当前位置：文档之家 › 2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-9

2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-9

  • 格式：doc
  • 大小：3.89 MB
  • 文档页数：47

第九章简单几何体9.1棱柱、棱锥、棱台1．棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形，且任意相邻的两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，底面多边形的顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．两个底面间的距离叫做棱柱的高．侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（参见图9-1）．AA'D'F'直五棱柱斜五棱柱图91棱柱的性质：（1）棱柱的侧面都是平行四边形；（2）棱柱的底面及平行于底面的截面是全等的多边形．直棱柱的性质：（1）直棱柱的侧面都是矩形；（2）直棱柱的侧棱与高相等；（3）正棱柱的侧面都是全等的矩形．底面是n边形的棱柱叫做n棱柱，底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，底面是矩形的直棱柱叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体（参见图9-2）．CBACBAC'C'B'B'B'A'A'A'DD'D'DD'C'DCBA正方体长方体平行六面体图92例1．如图9-3，长方体1111ABCD A B C D-中，AB a=，BC b=，1BB c=，并且0a b c>>>．求沿着长方体的表面自A到1C的最短线路的长．c a bDCAD'A'B'C'图93解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图9-4．b aa cA 1C 1B 1B 1cca b B AAB CC B AC 1D 1A 1C 1B 1A 1（c ）（b ）（a ）图94一个图形中1AC 的长分别为：，0a b c >>> ，0ab ac bc ∴>>>．例2．如图9-5，ABCD A B C D -′′′′为正方体．任作平面α与对角线AC ′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ．则（ ）图9-5D'C'B'A'D C BAA ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD -′与C D B C -′′′后，得到一个以平行平面A BD ′与D B C ′′为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ′′剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ′′，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A ′平行的线段（如图9-6中1E E ′），显然11E E A A =′′，故l 为定值．B'E'A'B 1E 1A 1D C BD'图9-6例3．直三棱柱111A B C ABC -中，平面1A BC ⊥平面11ABB A，且1AC ，则AC 与平面1A BC 所成的角θ的取值范围是__________．解：030θ︒<<︒ 作1AD A B ⊥于D ，易证AD ⊥平面1A BC ，所以ACD θ∠=．设1AA a =，AB x =，则sin AD θ==⋅，故22223sin 13sin a x θθ=-．易证BC ⊥平面11A ABB ， 故90CBA ∠=︒，从而AB AC <，即x <，于是22223sin 0313sin a a θθ<-≤，1sin 2θ<，又090θ︒<<︒，得030θ︒<<︒. 2．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥（pyramid ）．棱锥的多边形面叫做棱锥的底面，其余各三角形叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高（参见图9-7）．POFEDCB图9-7底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．例4．正四棱锥S ABCD -中，45ASB ∠=︒，二面角A SB C --为θ且cos m θ=m n ，为整数），则m n +=__________．解：因各侧面为全等的等腰三角形．在SAB △内作高AE ，则CE 也是SBC △的高，故AEC θ∠=．设1SA =则AE CE ==，452sin 2AB BC ︒==，2222458sin 2AC AB BC ︒=+==()41cos45-︒=4-222cos 32AE CE AC AE CEθ+-==-⋅得385m n +=-+=． 棱锥的性质：若棱锥被平行于底面的平面所截，则（1）侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2）截面与底面是相似多边形；（3）截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离的平方比． 正棱锥的性质：（1）侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形； （2）对角面都是等腰三角形；（3）高、侧棱、外接圆半径构成直角三角形； （4）高、斜高、内切圆半径构成直角三角形；（5）侧棱、斜高、底面边长的一半构成直角三角形；（6）外接圆半径、内切圆半径、底面边长的一半构成直角三角形． 例5．正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为60︒，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量． 解：正六棱锥的底面周长为24，见图9-8．图9-8E DPSCB AHO∴正六棱锥的底面边长为4． 在正棱锥S ABCDEF -中，取BC 中点H ，连SH ，SH BC ⊥， O 是正六边形ABCDEF 的中心． 连SO ，则SO ⊥底面ABCDEF OH BC ∴⊥．SHO ∴∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即么60SHO ∠=︒．（1）在Rt SOH △中，OH ==60SHO ∠=︒， tan 606SO OH ∴=︒=．（2）同样在SOH △中，斜高2SH OH == （3）Rt SOH △中，6SO =，4OB BC ==．SB ∴（4）SO ⊥ 底面ABCDEF ，SBO ∴∠是侧棱与底面所成角，同样在SOB △中，3tan 2SO SBO BO ∠==，3arctan 2SBO ∴∠=． 例6．如图9-9所示，正四棱锥P ABCD -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．图9-9P MENODCB（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦． 分析：（1）要证明MN ∥平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC 内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．可考虑证明MN PE ∥．（2）若能证明MN PE ∥，则PEO ∠即为直线MN 与底面所成的角． 解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． BE AD ∥，EN AN BN ND ∴=∶∶， 又BN ND PM MA =∶∶，EN AN PM MA ∴=∶∶，PE MN ∴∥，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，MN ∴∥平面PBC ．（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则PO ⊥上平面ABCD ．又MN PE ∥，则PEO ∠为直线MN 与平ABC 所成的角．由58BE AD BN ND ==∶∶∶及13AD =，得658BE =，在PBE △中，60PBE ∠=︒，13PB =，658BE =，由余弦定理，得918PE =．在Rt POE △中，PO =，918PE =，则sin PO PEO PE ∠==例7．在正三棱锥P ABC -中，2AB a PA a ==，，过A 作平面分别交平面PBC 于DE ．当截面ADE△的周长最小时，ADE S =△__________，P 到截面ADF 的距离为__________． 解：将三棱锥的侧棱PA 剪开，当ADE △的周长最小时，其展开图如图9-10．A'a2aEDPCB A图9-10ADE △的周长即是展开图中线段AA ′的长．易证ABD PAB △△∽，又22PA AB a ==，故2AD AB BD a ===，3324PD PD PB BD a DE BC a PB =-==⋅=，．ADE △中，DE上的高AH ．于是212ADE S AH DE =⨯⨯=△； 从P 向底面作高PO ．则PO =．于是2313P ABC V -=． 又22916PDE PBC S PD S PB ==△△，得33991616A PDE A PBCV V --===． 设P 到截面的距离为d，则313A PDE P ADE ADE V V d S --==⋅=△，于是d ． 拓展 已知正四棱锥-S ABCD 的侧面与底面所成二面角的平面角是1θ，相邻两侧面所成二面角的平面角是2θ，试用1θ表示2θ，参见图9-11．ODCBF ES图9-11解：设正四棱锥S ABCD -的底面边长是a ，斜高是h ′，1cos 2ah θ=′（见图9-12）． h baF EBAS图9-12过点A 作AE SB ⊥，E 是垂足，联结2CE AEC θ∠=，． 设AE b =，F 是AB中点，SF h SA ==，′ AB SA ABE SAF AE SF ∴= ，△△∽，即a b =222222122cos 1cos 2b b a ab b bθθ+-==-=-⋅⋅ ，221πarccos(cos )θθ∴=-．3．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，参见图9-13．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面，参见图9-13．相邻两个侧面的公共边叫做侧棱，上下底面之间的距离叫做棱台的高．由n 棱锥所截得的棱台叫做n 棱台，由正棱锥所截得的棱台叫做正棱台．D'E C A（b ）（a ）图9-13正棱台的性质：（1）上下底面以及平行于底面的截面是边数相同的正多边形；（2）侧棱都相等，侧面都是全等的等腰梯形，此等腰梯形的高叫做正棱台的斜高； （3）对角面都是等腰梯形；（4）高、上下底面的外接圆半径、侧棱构成直角梯形； （5）高、上下底面的内切圆半径、斜高构成直角梯形； （6）斜高、侧棱、上下底面边的一半构成直角梯形．例8．如图9-14，已知正四棱台中，41624S S S ===上下，，侧．O G FEDC B AG'O'D'E'B'A'图9-14（1）求侧面与下底面所成二面角的平面角； （2）求相邻两个侧面所成二面角的平面角； （3）求对角面的面积S 对．解：（1）设E 、F ′分别是BC 、B C ′′的中点，点F 是点E ′在底面的射影，F EF ∠′是侧面与下底面所成二面角的平面角．41624S S S === 上下，，侧， 422AB A B EE ∴===，，′′′．21160OE O E EF E EF ==∴=∠=︒ ，，，′′′．（2）过点A 作AG B B ⊥′，G 为垂足，联结CG ，H 是点B ′在AB 上的射影，AGC ∠相邻两个侧面所成二面角的平面角．在等腰梯形A ABB ′′中，12()12B H HB AB A B BB ==-==，，′′′′，sin 4AG AB ABG ∴=⋅∠==．6464321cos 4AGC +-∠==- ， ∴相邻两个侧面所成二面角的平面角是1πarccos 4-．（3） 在等腰梯形A ACC ′′中，A C AC O O ===′′′，12S ∴==对基础练习1．设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是αβγ、、，写出一个αβγ、、满足的关系式．3．如图9-15，在棱锥P ABCDE -中，与底面平行的平面截棱锥得多边形A B C D E ′′′′′，点P 在底面、截面的射影分别是H 、H ′，求证：图9-15（1）PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE=====′′′′′′； （2）截面A B C D E ′′′′′与底面ABCDE 相似； （3）22A B C D EABCDE S PH S PH=′′′′′′．4．以1，1，1?5．四面体OABC 中，OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，点P 满足OP lOA mOB nOC =++，其中l m n ，，为正数且1l m n ++=．若直线OP 是由到面OBC 、面OCA 和面OAB 的距离相等的点构成，求二面角A OBC --的余弦值（用l m n ，，表示）． 6．如图9-16，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E 是1A B 的中点，F 在棱1CC 上，当点F 使得1A F BF +最小时，求异面直线AE 与1A F 所成的角．B AE GC H N 1FB 1A 1图9-167．如图9-17，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线18BD =，1BD 与侧面11BB C C 所成角为30︒，求：D C B AD 1C 1B 1A 1图9-17（1）1BD 与底面ABCD 所成角； （2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．8．如图9-18，已知三棱锥-P ABC 中，P A P B P C 、、与底面ABC 所成角相等，90CAB AC AB PB a D ∠=︒===，，为BC 中点，E 点在PB 上且PC ∥截面EAD ．求：AFBCEP图9-18（1）AE 与底面ABC 所成角； （2）PC 到平面EAD 的距离．9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这此线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个．10．如图9-19，-ABCD A B C D ′′′′为正方体．任作平面α与对角线AC ′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ．则（ ）D'C'B'A'D CBA图9-19A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值11．如图9-20，长方体1111ABCD A B C D -，1AB a BC b A A c ===，，，E 为11D C 中点，若平面11A BC 与平面ACE 所成二面角的平面角为θ．则sin θ=__________．EB'A'D'C'cba DC图9-2012．如图9-21，已知直三棱柱111-ABC A B C 的底面为直角三角形，1906ACB AC BC CC ∠=︒===，，P 是BC 上一动点．求1CP PA +的最小值．C 1B 1A 1PCB A图9-2113．设棱台的两底面积分别为S S ，′．它的中截面的面积为0S，求证：14．已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD为等腰梯形，AB DC∥，AC BD⊥，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又2BO PO PB PD==⊥，．（I）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角P AB C--的大小；（Ⅲ）设点M在棱PC上，且PMMCλ=，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．9．2简单多面体与欧拉定理多面体的概念在自然界和日常生活中，我们会看到各种形状各异的物体，有些物体可以看成是某些简单几何体的复合体．现在我们就从一些简单的几何体入手，开始对空间物体的认识和研究．由若干个多边形围成的封闭立体叫做多面体（polyhedron）．构成多面体的各平面多边形叫做多面体的面（face of polyhedron），相邻多边形的公共边叫做多面体的棱（edge of polyhedron），棱与棱的交点叫做多面体的顶点（vertex），联结不在同一平面内的两个顶点的线段，叫做多面体的对角线．若把多面体的任意一个平面伸展成平面，而此多面体的所有其他各面都在这个平面的同旁．则这样的多面体叫做凸多面体．图9-22中（a）是凸多面体，而（b）不是凸多面体．（b）（a）图9-22多面体的面数至少是四．多面体按照其面数分别叫做四面体、五面体等等．图9-22（a）的几何体叫做二十面体．1．正多面体正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数．正多面体只有5种（如图9-23），其顶点数V、面数F、棱数E如下表．正十二面体正十二面体正八面体正六面体正四面体图9-23V著名数学家欧拉对正多面体进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系．欧拉（Euler ，L.，1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄围和法国度过．他16岁获硕士学位，早年在数学天才丹尼尔·伯努利（Bernoulli ，Danicl ，1700～1784）赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文．他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的．欧拉还是数学符号发明者，如用()f x 表示函数、∑表示连加、i 表示虚数单位、π、e 等．在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式． 2．多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如止六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体．那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面．像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体．有关多面体的关系．参见图9-24．图9-24正多面体正四面 体 正方体棱锥棱柱简单多面体凸多面体3．欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系2V F E +-=．公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律． 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例．将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图形（见图9-25），四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形后都没有变（这里11F F =-）．因此，要研究V E 、和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDDCA B图9-25只需平面图形证明：11V F E +-=．（1）去掉一条棱，就减少一个面，1V F E +-的值不变．例如去掉BC ，就减少一个面ABC ．同理，去掉棱CD BD 、，也就各减少一个面ACD ABD 、（见图9-26），由于V 、1F E -的值都不变，因此1V F E +-的值不变．BA CDD CBA 图9-26（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，1V F E +-的值不变．例如去掉CA ，就减少一个顶点C ．同理去掉AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB （见图9-27）．DBA A BD CBA图9-27在以上变化过程中，1V F E +-的值不变，12011V F E +-=--=，所以 112V F E V F E +-=+-+=．对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段．公式对任意简单多面体都是正确的． 定理的意义（几点说明）（1）数学规律 公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律．（2）思想方法创新提高 在定理的发现及征明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）． （3）引入拓扑新学科 “托开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数、面数、棱数等不变．事实上．定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学．我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮泥）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质． （4）给出多面体分类方法在欧拉公式中，令()f p V F E =+-()f x 叫做欧拉示性数，定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数()2f p =．除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体．例如，将长方体挖去一个洞，联结底面相应顶点得到的多面体．它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为()1616320f p =+-=，所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零． （5）利用欧拉定理可解决实际问题． 例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗?解：设有简单多面体棱数6E =，由欧拉公式2V F E +-=得8V F +=． 又4V ≥，4F ≥．所以8V F +≥．所以4V =、4F =，即有4个顶点、4个面．由于四面体有且只有4个顶点，从而有且只有4个面． 所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三棱锥．例2．有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V 、面数F 、棱数E ，（1）求证：3222FE F V ==+，．（2）如果过各顶点的棱数都相等，则此多面体是几面体?（1）证明：因为此正多面体有F 个面，每个面有3条边，所以F 个面总共有3F 条边，但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次，所以实际棱数为32E F =；由欧拉公式2V F E +-=得322222FV E F F F =-+=-+=+．（2）解：设各顶点处有m 条棱，则2mV E =，又3222F E F V ==+，，代入上式得66m E m =-． 故60m ->，所以6m <，从而35m ≤≤，所以345m =、、，从而4820F =、、． 由此可知，此多面体分别为四面体、八面体和二十面体．例3．运用欧拉公式，求解足球问题．解：设足球表面有正五边形x 块，正六边形y 块，则由上面总结可知：多面体的顶点个数就是正五边形顶点个数之和，所以5V x =，又由于每条棱都是两个多边形的公共边，故562x yE +=． 而正五边形和正六边形块数之和就是整个多边形的块数：F x y =+，代入V F E +-=2，得744x y -=， ① 球体表面每个顶点处有3个正多边形，由此发现563x y V +=，②联立解得1220x y ==，，此时32F x y =+=，即共有32个面．另外，也可以计算出共有60个顶点． 基础练习1．已知：一个简单多面体的各个顶点都有三条棱．求证：24V F =-． 2.是否存在七条棱的简单多面体?3．1996年的诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家．60C 是由60个原子组成的分子，它的结构为简单多面体的结构（见图9-28）．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，计算60C 分子中形状为五边形和六边形的面各有多少．图9-289．3 旋转体的概念平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体．定直线叫做旋转体的轴．1．圆柱将矩形ABCD绕一条边AB所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆柱（见图9-29）．AB所在直线叫做圆柱的轴，线段AD、BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面．线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱底面间的距离叫做圆柱的高．D图9-29圆柱的性质：（1）圆柱的两个底面是相等的圆，它们所在的平面平行；（2）圆柱的轴经过两个底面的圆心，且垂直于两个底面，联结两个底面的圆心的线段长等于圆柱的高．通过圆柱轴的截面，叫做圆柱的轴截面．圆柱的轴截面是矩形．若圆柱的轴截面是正方形，则这个圆柱叫做等边圆柱．例1．已知圆柱的底面圆半径是r，用一个乎行于轴的平面截圆柱，所得的截面面积是轴截面面积的一半，求圆柱的轴到截面的距离．解：如图9-30所示，设圆柱的高是h，平行于轴的平面截面是A ACC AC a=，′′，截面A ACC′′和轴截面A ABB′′的面积分别是S截和S轴．BABAB'A'图9-30S截=ah，S轴2rh=，S截∶S轴=12∶，a r ∴=．过底面圆圆心O 作AC 的垂线，垂足是D OD ，是圆柱的轴到截面的距离． OAC △是边长是r的正三角形，OD ∴=． 2．圆锥将直角三角形ABC 绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥（见图9-31）．C图9-31AB 所在直线叫做圆锥的轴，点A 叫做圆锥的顶点，直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线，圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高． 圆锥的性质：（1）圆锥的底面是圆，它们所在的平面垂直圆锥的轴；（2）圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，联结顶点和底面的圆心的线段长等于圆锥的高； （3）圆锥的母线都经过顶点且相等，各条母线和轴的夹角相等．通过圆锥轴的截面，叫做圆锥的轴截面．圆锥的轴截面是等腰三角形．若圆锥的轴截面是正三角形，则这个圆锥叫做等边圆锥．例2．在等边圆锥（圆锥的轴截面为等边三角形）中，底面半径为R ，AB 为底面直径，60ABC ∠=︒，，求异面直线PA BC ，的距离．解：在PA 上任取一点M ，过M 作ML ⊥底面圆O ，垂足为L （如图9-32）．图9-32轴截面PAB ⊥底面圆O ，L ∴在直径AB 上． 再过L 作LN BC ⊥，垂足为N ．由三垂线逆定理，可知MN BC ⊥．设60cot 60ML x PAB AL ML =∠=︒∴=⋅︒= ，，． 2BL AB AL R x ∴=-=，又60ABC ∠=︒， ∴直角三角形BNL中，1sin 6022N BL R x x ⎛∠=⋅︒==- ⎝⎭．∴直角三角形MLN中，MN==．当且仅当x=时等号成立．MN的最短距离即异面直线PA BC，之间的距离故异面直线PA BC，．3．圆台将直角梯形ABCD绕其垂直底面的腰AB所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆台（见图9-33）．AB所在直线叫做圆台的轴，梯形的两条底边AC BD、旋转而成的两个互相平行的圆面叫做圆台的底面，梯形另一条腰CD旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，腰CD叫做圆台侧面的一条母线，两个底面间的距离叫做圆台的高．C图9-33圆台的性质：（1）圆台的两个底面是圆，它们所在的平面平行；（2）圆锥的轴经过两个底面的圆心，并且与底面垂直，联结两个底面的圆心的线段长等于圆台的高；（3）圆台的母线都相等，各条母线的延长线相交于一点．通过圆台轴的截面，叫做圆台的轴截面．圆台的轴截面是等腰梯形．例3．已知圆台的母线长为l，母线与下底面所成的角为θ，圆台的高是上、下底面圆半径的等差中项，求圆台的高和上、下底面圆半径．解：如图9-34所示，设圆台的高为h，上、下底面圆半径分别是r R、．rlhR B AO'A'O图9-34cos22sinR r l R r h lθθ-=+==，，11sin sin cos sin cos22h l R l r lθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴==+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．4．球将圆心为O的半圆绕其直径AB所在的直线旋转一周形成的几何体叫做球．半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，点O叫做球心，原半圆的半径和直径是球的半径和直径．在半圆旋转形成球的过程中，半圆上的点C′绕着它在直径上的射影O′旋转形成一个圆心为O′、半径为1r O C =′′的圆．当O ′位于球心O 时，圆O ′叫做球O 的大圆；当O ′异于球心O 时，圆O ′叫做球O 的小圆．C图9-35球的性质：（1）同一个球的半径都相等；（2）用任意平面截球所得的截面都是圆，球心与球截面圆心的连线与截面垂直；（3）若用R 和r 分别表示球的半径和截面圆的半径，用d 表示球心到截面网的距离，则d（4）同一个球的大圆互相平分．在平面上，两点间的距离是联结两点的直线段的长度．在球面上，联结两点的最短路径叫做两点的球面距离．可以证明两点的球面距离是过这两点的球的大圆的劣弧的长度．例4．已知地球的半径为R ，球面上A B ，两点都在北纬45︒圈上，它们的球面距离为π3R ，A 点在东经30︒上，求B 点的位置及A B ，两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． 解：如图9-36，设球心为O ，北纬45︒圈的中心为1O ，图9-36由A B ，两点的球面距离为π3R ，所以π3AOB ∠=， OAB ∴△为等边三角形．于是ABR =．由11cos 45O A O B R ==⋅︒=， 22211O A O B AB ∴+=．即1π2AO B ∠=． 又A 点在东经30︒上，故B 的位置在东经120︒，北纬45︒或者西经60︒，北纬45︒． ∴AB ，两点在其纬线圈上所对应的劣弧1π2O A R ⋅=．例5．如图9-37所示，在棱长为l 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．DCBA图9-37（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．解：（1）如图9-38，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作AD ，BC 的垂线交于E ，F ．O 2O 1F E DCBA图9-38则由1AB AC ==，12AO CO ，．)r R r R ∴+++=，R r ∴+==（2）设两球体积之和为V ，则332244π()π()(-)33V R r r R R Rr r =+=++24()33R r rR ⎤=+-⎦24π33R R ⎤⎫⎥=--⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22433R ⎤⎥=-+⎥⎝⎭⎣⎦．当R =时，V 有最小值． ∴当R r ==时，体积之和有最小值． 例6．空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，求这个小球的半径．解：设半径为3的球心为A B 、，半径为2的球心为C D 、（见图9-39）．则易知6AB =，4CD =，5AC AD BC BD ====．设小球中心为O ，半径为r ，则O 在四面体ABCD 内且3AO BO r ==+，2CO DO r ==+．取AB 中点E ，联结CE ，DE ，则CE AB ⊥，DE AB ⊥，故平面CDE 为线段AB 的垂直平分面α，所以O 在平面CDE 内，又由2OC OD r ==+知O 在CD 的垂直平分面β内，故O 在等腰CED △底边CD 上的高EF 上（F 为CD 中点），易算出4ED EC =，得ECD △为等边三角形．于是EF ==．而OF．OE 代入OE OF EF +==611r =． OFEDCB A 图9-39基础练习1．已知等边圆锥的轴截面面积是 2．求正四面体的内切球和外接球的半径之比．3．由曲线2244x y x y ==-，，4x =，4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ；满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点()x y ，组成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为2V ，求21V V ∶． 4.三个圆柱侧面两两相切，且它们的轴也两两相互垂直，如果每个圆柱底面半径都是1，求这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径．5.已知SN 是联结南北两极的球直径，O ′是线段SN 三等分点，求过点O ′且垂直SN 的平面截球所得的截面圆面积与球的大圆面积的比值．6．四面体A BCD -中，5AB CD AC BD AD BC ====，A BCD -的外接球半径．7．已知A B 、两点在半径为R 的球面上，点A 位于东经x ︒，北纬y ︒，点B 位于东经u ︒，北纬v ︒．（1）当1575x u y v ===，，时，求A B 、两点的球面距离； （2）当451575y v x u ====，，时，求A B 、两点的球面距离． 8．如图9-40，在三棱锥S A B C -的棱S A S B S ，，上分别有点111A B C ，，，且11S A S A S B S BS C S C ⋅=⋅=⋅．求证：A B C ，，111A B C ，，在同一球面上．B图9-409．4 几何体的直观图和三视图在阳光的照射下，物体会在地面上留下影子．根据这种简单的自然现象，进行抽象研究，人们形成了一套将三维空间的物体在二维平面上表示的投影理论和投影方法．画家利用投影法在二维画布上描绘三维空间的自然景物．设计师利用投影法在二维图纸上设计绘制物体的图样．将空间一点S 作为投影中心，平面H 作为投影面，由投影中心S 引出的线称为投影线．在这个投影体系中，过投影中心S 向空间点A 引投射线与投影面H 相交，其交点a 就是空间点A 在投影面H 上的投影．由于投射线交于投射中心，我们把这样的投影叫做中心投影法，参见图9-41（a ）．H F EA DSf de b aB （a ）（b ）图9-41将投影中心S 移至与投影面的无穷远点，此时全部投影线互相平行，这种投影法叫做平行投影法． 在平行投影法中，根据投射线与投影面是否垂直又分为正投影法和斜投影法两种． 正投影——投射线与投影而垂直，如图9-42（a ）所示． 斜投影——投射线与投影面不垂直，如图9-42（b ）所示．（b ）斜投影法（a ）正投影法图9-42单面投影图是指将空间形体向单一投影面投射得到的投影网，参见图9-41（b ）；多面正投影是指将空间形体向两个或两个以上互相垂直的投影面投射得到的投影图．利用平行投影法，将物体连同其直角坐标系投射在单一投影面上所得到的具有立体感的图形叫做轴测投影图，简称轴测图．坐标轴Ox Oy Oz 、、叫做轴测投影轴，简称轴测轴．轴测图立体感强，常被用作在图纸上进行空间构思和表达零部件结构形状、装配关系的效果图，是机械工业常用的辅助图样．。

合集下载

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．实数a ，b 满足31a -≤≤，13b -≤≤，则3a b -的取值范围是．3．若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是．4．命题“1x >”是命题“11x <”的条件.5．已知0x >，则812x x --的最大值为.6．已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为．7．已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b +=．8．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为.9．若函数()f x 满足R x ∀∈，()()11f x f x +=-，且1x ∀，[)21,x ∈+∞，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是.10．已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是．11．已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b++的最小值是.12．如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，90ABO DCO ∠=∠=︒，则x 的取值个数为.二、单选题13．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D．2(),()f x x g x ==14．设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A ．(x 1+x 2)∈A B ．(x 1﹣x 2)∈A C ．(x 1x 2)∈A D ．12x x ∈A 15．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）A．B．C ．D ．16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③三、解答题17．已知关于x 的不等式122x a -≤的解集为集合A ，40x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭.(1)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.18．已知函数()211y m x mx =+-+．(1)当5m =时，求不等式0y >的解集；(2)若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．20．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.(1)求函数23y x x =--的不动点；(2)若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；(3)若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.21．对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n n n A a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}12n a a a n ++⋅⋅⋅+=，集合(){1212,,,,,,n n n B b b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}122n b b b n ++⋅⋅⋅+=．设()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ ．(1)写出集合2A 和2B ；(2)证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ ；(3)设集合(){},,,n n n S A B αβαβαβ=∈∈ 求证：n S 中的元素个数是完全平方数．。

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期9月阶段数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期9月阶段数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期9月阶段数学试题一、单选题1．直线()()1120a x a y --++=恒过定点（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1--【答案】A【分析】将直线变形为()20x y a x y ---+=，则0x y -=且-20x y -+=，即可求出定点【详解】将()()1120a x a y --++=变形为：()20x y a x y ---+=，令0x y -=且-20x y -+=，解得1,1x y ==，故直线恒过定点()11，故选：A2．已知直线:10++=l mx y ，(1,0)A ，(3,1)B ，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(0,1)B ．当0m =时，直线l 的斜率不存在C ．当1m =时，直线l 的倾斜角为π4D ．当2m =时，直线l 与直线AB 垂直【答案】D【分析】由题可得直线恒过定点()0,1-，然后结合斜率公式逐项分析即得.【详解】直线:10++=l mx y ，故0x =时，1y =-，故直线l 恒过定点()0,1-，选项A 错误；当0m =时，直线:10l y +=，斜率0k =，故选项B 错误； 当1m =时，直线:10l x y ++=，斜率1k =-，故倾斜角为34π，选项C 错误； 当2m =时，直线:210l x y ++=，斜率2k =-，101312AB k -==-， 故1AB k k ⋅=-，故直线l 与直线AB 垂直，选项D 正确. 故选：D.3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点2004A B （，），（，），若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是A ．40-（，）B ．40,20--，（，）C ．40,30--，（，）D ．42-（，）【答案】A【分析】设C 的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB 的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C 点的坐标.【详解】设C(m ，n),由重心坐标公式得重心为24(,)33m n++, 代入欧拉线方程得：40m n -+= ① AB 的中点为(1,2)，40202AB k -==--， 所以AB 的中垂线方程为230x y -+=联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩ 所以三角形ABC 的外心为(1,1)-，则2222(1)(1)3110m n ++-=+=，化简得：22228m n m n ++-= ② 联立①②得：4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，B,C 重合，舍去， 所以顶点C 的坐标是(4,0)- 故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.4．数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法错误的是（ ）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦【答案】B【分析】作差得21(1)n n n a a a +-=--，并由二次函数性质得54n a ≤，由11n a +=得1n a =或2n a =，由此可判断ABC ，对选项D ，1n =时命题成立，在2n ≥时，证明121111222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<---（易得）和121111222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>---，从而只要证明T=2311112222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>---，为证此不等式，只要对最后一项用放缩法，11111212n n n a a a --<----，然后从后向前依次相加即可得． 【详解】A ．22121(1)n n n n n a a a a a +-=--=--， 只要1n a ≠，则1n n a a +<，22135531()244n n n n a a a a +=--=--+≤，若11n a +=，即2311n n a a --=，则1n a =或2n a =，显然2n ≥时，54n a ≤， 若12a a ==，则21a =，因此231a a ===，若11a a ==，则121a a ===，所以当1a ≠且2a ≠时，对任意的2n ≥，1n a ≠，从而10n n a a +-<，1n n a a +<，{}n a 递减，A 正确，B ．由上面推理，2a =时，也有无数个正整数n ，使得1n n a a +=，B 错；C ．由选项A 知，1a <或2a >时，{}n a 递减，无最小值，C 正确；D ．13a a ==，22333110a =⨯--=-<，又由以上推理知{}n a 递减，所以0(2)n a n <≥， 1n =时，1112a =-，2n ≥时，231110222n a a a +++<---，则121111222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<---， 所以对任意*n ∈N ，121111222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤---， 下证1211112222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>---， 1n =时，1112a =-12>， 2n ≥时，0n a <，设T =23111222na a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+---， ()()221111112332312n n n n n n n a a a a a a a -------=-+>-+=--0>，111111112(1)(2)12n n n n n a a a a a ----<=------， 11111221n n n a a a --+<---，2122222222111111112232(1)(2)21n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------+=+=+=---+-----，依次类推，21112T a <=-， 所以12111112222n T a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=->---， 综上，对任意*n ∈N ，1211112222n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>---， 综上，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦，D 正确． 故选：B ．【点睛】易错点点睛：本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处（可以利用函数的单调性得数列的单调性），又与函数的单调性不尽相同，如本题，在作差21(1)n n n a a a +-=--后如果直接由1n a ≠得数列是递减数列的结论，则出现错误，错误的原因在于n a 是数列{}n a 中项，而不是自变量n ，此式只能说明1n a ≠时，1n n a a +<，而不能直接说明数列就是递减的，它必须利用数列的递推性质进行推理判断．由此可得2a =时数列也不是递减的．本题选项D 的证明是难点，不等式的放缩法只对和式中最后一项进行放缩，然后从后向前依次求和可得．这个求和不是通常的裂项求和，实质上只对最后一项由放缩法进行了裂项操作，然后即依次求和得出结论．本题属于困难题．二、填空题5．两条相交直线的夹角的取值范围是________ 【答案】π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得. 【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：π0,2⎛⎤⎥⎝⎦.6．直线210x y -+=的一个方向向量的单位向量的坐标是________【答案】⎝⎭【分析】由题可得直线的一个方向向量为()1,2，进而即得. 【详解】由210x y -+=可得21y x =+，所以直线210x y -+=的一个方向向量为()1,2所以直线210x y -+=的一个方向向量的单位向量的坐标是⎝⎭.故答案为：⎝⎭.7．若平面内两条平行线1l ：()2120x a y l +-+=，：210ax y ++=，则实数=a _____. 【答案】-1【分析】根据两直线平行的公式可得2a =或1a =-，再代入计算平行线间的距离判断即可【详解】平面内两条平行线1l ：()2120x a y l +-+=，：210ax y ++=， 112221a a a -∴=≠∴=，或 1a =-． 当2a =时，两条平行直线即 1l ：22240x y l ++=，：2210x y ++=，=，不满足条件．当1a =-时，两条平行直线即1l ：2220x y l -+=，：210x y --=，=故实数1a =-． 故答案为：1-8．已知实数x 、y 满足约束条件25010270x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =-+的最大值为________【答案】0【分析】先作出约束条件所表示的可行域，再结合图像即可求得目标函数的最大值. 【详解】根据题意，作出25010270x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域，而3z x y =-+表示平行直线3y x z =+经过可行域内过(),x y ，截距为z ，由250270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3C ，当3z x y =-+经过点()1,3C 时，截距最大，即z 取得最大值3130z =-⨯+=. 故答案为：0．9．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程为________ 【答案】30x y +-=或10x y -+=或2y x =【分析】分直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0和等于0两种情况，分别设直线方程为1x ya a +=或1x y a a-=和y kx =，进而即得.【详解】当直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0， 设l 方程为1x ya a +=或1x y a a-=，∵直线过(1,2)A∴121a a+=或121a a -=，∴3a =或1a =-，∴30x y +-=或10x y -+=②当直线在两坐标轴截距绝对值相等且等于0时， 设l 方程为y kx =， ∵直线过()1,2A ， ∴21k =⨯， ∴2k =， ∴2y x =，综上所述，l 方程为30x y +-=或10x y -+=或2y x =.故答案为：30x y +-=或10x y -+=或2y x =.10．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为___________ 【答案】45【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立.故答案为：45.11．直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线120kx y k -++=（R k ∈）的最大距离为________【答案】【分析】由题可得()2,1P -，由直线方程可得直线恒过定点()2,1Q -，进而即得.【详解】由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得21x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1P -，又120kx y k -++=，即()210k x y +-+=，由2010x y +=⎧⎨-+=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，所以直线120kx y k -++=恒过定点()2,1Q -，则点P 到直线120kx y k -++=（R k ∈）的最大距离为PQ故答案为：12．已知点(,),P t t t R ∈，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是_____ 【答案】2【分析】利用圆的性质可得||PN 的最大值是1||2PB +,||PM 的最小值是1||2PA -，结合对称性可求.【详解】设圆221(1)4x y +-=的圆心为A ，圆221(2)4x y -+=的圆心为B ， ||PN 的最大值是1||2PB +,||PM 的最小值是1||2PA -，所以||||PN PM -的最大值是||||1PB PA -+.点(,),P t t t R ∈在直线y x =上，设圆心(0,1)A 关于直线y x =的对称点是(1,0)A ' 则||||||||||1PB PA PB PA A B ''-=-≤=, 所以||||PN PM -的最大值是2. 故答案为：2．13．已知曲线C 的方程是22()()8x y x y x y-+-=，给出下列四个结论：①曲线C 与两坐标轴有公共点；②曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P ，Q 在曲线C 上，则PQ 的最大值是 ④曲线C 围成图形的面积大小在区间()40,44内． 所有正确结论的序号是______． 【答案】②③【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即可得答案．【详解】根据题意，曲线C 的方程是22()()8x y x y x y-+-=，必有0x ≠且0y ≠，当0x >，0y >时，方程为22(1)(1)8x y -+-=，当0x >，0y <时，方程为22(1)(1)8x y -++=，当0x <，0y >时，方程为22(1)(1)8x y ++-=，当0x <，0y <时，方程为22(1)(1)8x y +++=，作出图象：依次分析4个结论：对于①，由于0x ≠，0y ≠，曲线C 与坐标轴没有交点，故①错误；对于②，由图可知，曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确； 对于③，若点P ，Q 在曲线C 上，则当且仅当P 、Q 与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，故PQ 的最大值是圆心距加两个半径，为224262=③正确； 对于④，当0x >，0y >时，方程为22(1)(1)8x y -+-=与坐标轴的交点()71,0，()71，则第一象限面积为))21117171(22)π24S >⨯⨯+⨯⨯，故总的面积大于1678π44+>，故④错误． 故答案为：②③．14．在平面直角坐标系中，已知圆()()221:314C x y ++-=和圆()()222:454C x y -+-=，设P 为平面上的点，若满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，则所有满足条件的点P 的坐标是________ 【答案】51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设出点P 的坐标、直线12,l l 的方程，根据垂径定理，结合点到直线距离公式，得到两个等式，根据方程有无穷多个实数解，得到两个方程组，最后解方程即可. 【详解】设点P 坐标为(,)m n ，由题可知存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ， 所以一定有无穷多对直线1l 和2l 斜率存在满足题意，故可设直线12,l l 的方程分别为：()1(),()0y n k x m y n x m k k -=--=--≠，即：110,0kx y n km x y n m k k-+-=--++=，因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等， ∴22415|31|111n mk n km k kk k --++--+-=++， 化简，得(2)3m n k m n --=--，或(8)5m n k m n -+=+-，关于k 的方程有无穷多解，有2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，解方程组，得点P 坐标为51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，经检验以上两点满足题意. 故答案为：51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.三、解答题15．已知点(),P x y 满足约束区域Ω：410050250x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩.(1)求11y s x +=-的取值范围； (2)求22t x y =+的取值范围.【答案】(1)2|63s s s ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或(2){}|525t t ≤≤【分析】（1）在图中做出线性约束区域，将本问求解的式子转化成(,)x y 与(1,1)-两点连线的斜率，然后通过观察求解出对应的最大、最小即可完成求解；（2）将本问求解的式子转化成(,)x y 与(0,0)两点间距离的平方，通过观察，可以发现最大值在点()0,5取得，最小值为(0,0)点到直线250x y +-=的距离，通过点到直线记录公式即可完成求解.【详解】(1)约束区域如图所示，其中()0,5A 、5,02B ⎛⎫⎪⎝⎭、()3,2C ，11y s x +=-表示约束区域内的点(),P x y 与()1,1Q -两点的斜率，23QB k =，6QA k =-，于是s的取值范围是23s ≥或6s ≤-； 故答案为：]()2,6,3∞∞⎡--⋃+⎢⎣;(2)22t x y =+表示约束区域内的点(),P x y 与原点()0,0O 两点间的距离平方，而5OA =，13OB OC OA <<，于是OP 的最大值为5，OP 的最小值为点O 到直线250x y +-=的距离5d =t 的取值范围是525t ≤≤; 故答案为：]5,25⎡⎣.16．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=- 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数[]11,8I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】(1)答案见解析 (2)虫害的危机最快在第9周解除【分析】（1）首先根据题意得到当111.020.20 1.080.46I I -=-，解得1133I =，再分别讨论即可.（2）利用数列构造得到234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为114-，公比为1.08的等比数列，从而得到111231.0844n n I -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，再解不等式111231.08144n -⎛⎫-⨯+< ⎪⎝⎭即可. 【详解】(1)策略A ：1 1.020.20n n I I +=-，策略B ：1 1.080.46n n I I +=-， 当111.020.20 1.080.46I I -=-，解得1133I =. 当1133I =时，策略A 和策略B 第二周的虫害严重程度相等， 当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，策略B 第二周的虫害严重程度更小，当113,83I ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，策略A 第二周的虫害严重程度更小.(2)由（1）知：13I =，最优策略为策略B ，1 1.080.46n n I I +=-，即14 1.0823234n n I I +⎛-=⎫- ⎪⎝⎭， 所以234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为114-，公比为1.08的等比数列.12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，令111231.08144n -⎛⎫-⨯+< ⎪⎝⎭，解得9n ≥， 所以虫害的危机最快在第9周解除.17．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围. 【答案】（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【解析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标； （3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=+-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，则()()313tan tan 132kk k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k =此时3πα=，23πβ=， 即两直线倾斜角分别为2,33ππ；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-，当12332,,623k k k ===时，直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ，当12332,,623k k k =-=-=-时，直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=+-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d ===由于22459k k ++≥，当且仅当22k =时等号成立，故[)22910,145k k-∈++，12d d ⎡∈⎣， 即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三

上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三

6.4 反三角函数三角函数解决知道角求三角函数值的问题，例如π1sin62=，5πcos 6=这类问题称作“知角求值”问题．在科学研究和生产实践中还会遇到大量的知道三角函数值，需要求角的问题，例如知道1sin 2x =，cos x =，是什么？这类题称作“知值求角”问题．那么我们如何来解决这类问题呢？“知角求值”与“知值求角”是关系十分密切的问题，类似的情形我们在数学学习中是否遇到过呢？是什么问题呢？本质是函数与反函数的问题．那么我们如何来解决三角函数的反函数问题呢？首先回顾一下反函数的定义．若确定函数()y f x =的映射是一一映射，则()y f x =存在反函数．三角函数在定义域内是否是一一对应的呢？我们知道三角函数都是周期函数，因此定义三角函数的映射不是一一对应的，从而三角函数不存在反函数． 那么我们如何解决“知值求角”的问题呢？目前的焦点是如何摆脱不是“一一映射”的困扰．是什么因素造成了正弦函数sin y x =无法构成一一映射呢？是正弦函数的对应法则？还是函数的定义域？决定因素是定义域！ 那么我们是否有可能选择自变量的取值范围，使定义在此范围上的函数sin y x =具有一一映射的特点？现在看看我们该做些什么．我们要寻找这样的集合A ，使得对于每一个正弦值（落在区间[]11-，内），在集合A 中有且只有唯一的与之对应． 我们可以先考虑寻找的集合A 具有这样的特点：对于每一个正弦值，都在集合A 存在弧度数为的角与之对应．其次是关注这样的是否唯一．若不唯一，则调整集合A ，使之满足要求． 让学生寻找集合A ，然后分析讨论．满足条件的集合是()ππππ22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．对于每一个整数，函数ππsin ππ22y x x k k ⎛⎫⎡⎤=∈-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，都有反函数． 在三角问题的研究中使用频率最高的是锐角，因此我们在确定反正弦函数时，就锁定了函数，ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，．定义：把函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的反函数，叫做反正弦函数，记为[]arc sin 11y x x =∈-，，．对定义的理解：（1）arc sin x 表示一个区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的角；（2）这个角的正弦值为．总之arc sin x 是一个落在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内正弦值是的角．由反正弦函数的定义有()()sin arc sin 11x x x =-≤≤；()ππarc sin sin 22y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤．根据前面有关反函数的知识可知：互为反函数的图像关于直线y x =对称，于是函数arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像与函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图像关于直线y x =对称（见图6－17）．图6-17反正弦函数的主要性质：（1）arc sin y x =的定义域是[]11-，，值域是ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，且在1x =-时取到最小值π2-，1x =时取到最大值π2． （2）单调性 由于正弦函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故其反函数arc sin y x =在[]11-，上也是单调递增的． （3）奇偶性 由arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像知，它的图像关于原点对称，它是一个奇函数，且有()arc sin arc sin x x -=-．类似的，根据余弦函数、正切函数、余切函数的类似性质，我们可以定义它们的性质分别如下：定义：余弦函数cos y x =在区间[]0π，上的反函数，叫做反余弦函数，记作arc cos y x =，它的定义域是[]11-，，值域是[]0π，． 对定义的理解：（1）arc cos x 表示一个区间[]0π，内的角；（2）这个角的余弦值为．总之，arc cos x 是一个落在区间[]0π，内正弦值是的角． 由反余弦函数的定义有()()cos arc cos 11x x x =-≤≤； ()()arc cos cos 0πx x x =≤≤．反余弦函数的图像如图6－18所示．∈（0，π）图6-18反余弦函数的主要性质：（1）arc cos y x =的定义域是[]11-，，值域是[]0π，，且在1x =-时取到最大值，1x =时取到最小值0．（2）单调性 由于余弦函数cos y x =在[]0π，上单调递减，故其反函数arc cos y x =在[]11-，上也是单调递减的．（3）奇偶性 由[]arc cos 11y x x =∈-，，的图像知，它的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，它是一个非奇非偶函数．可以证明()arc cos πarc cos x x -=-． 反正弦函数和反余弦函数之间有个重要关系，见下述例题： 例l ．求证πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，． 证明：()sin arc sin x x =，()πsin arc cos cos arc cos 2x x x ⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦． 又由于ππarc sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，[]arc cos 0πx ∈，，πππarc cos 222x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， 所以πarc sin arc cos 2x x =-，即πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，一般说来，要证明两个角αβ=的方法是：先证明这两个角的同一个三角函数值相等，比如sin sin αβ=；再证明这两个角在同一个单凋区间内．定义：正切函数tan y x =在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的反函数，叫做反正切函数，记作arc tan y x =，它的定义域是R ，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，．对定义的理解：（1）arc tan x 表示一个区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的角；（2）这个角的正切值为；总之arc tan x 是一个落在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内正切值是的角，见图6－19．图6-19由反正切函数的定义()()tan arc tan x x x =-∞<<+∞； ()ππarc tan tan 22y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．定义：余切函数cot y x =在区间()0π，内的反函数，叫做反余切函数，记作arc cot y x =，它的定义域是R ，值域是()0π，． 对定义的理解（1）arc cot x 表示一个区间()0π，内的角； （2）这个角的余切值为；总之arc cot x 是一个落在区间()0π，内余切值是的角，见图6－20．x ，x ∈（0，π）图6-20由反正切函数的定义()()cot arc cot x x x =-∞<<+∞； ()()arc cot cot 0πy y y =<<．反正切、反余切函数的性质如下：（1）arc tan y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，；arc cot y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是()0π，．（2）单调性 arc tan y x =是()-∞+∞，上的增函数；arc cot y x =是()-∞+∞，上的减函数． （3）奇偶性 arc tan y x =是一个奇函数，对任意x ∈R 有()arc tan arc tan x x -=-；acr cot y x =是一个非奇非偶函数，且对任意x ∈R 有()arc cot πarccot x x -=-． 反正切、反余切函数之间有个重要的关系式：πarc tan arc cot 2x x x +=∈R ， 例2．求下列各式的值： （1）1arc cos 2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）arc sin ⎛ ⎝⎭；（3）5arc tan tan 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()arc tan tan 4．解：（1）因为2π1cos32=-，且2π0π3<<，由定义知12πarc cos 23⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）因为πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ22x -<<，于是由定义有πarc sin 3⎛=- ⎝⎭； （3）因为5ππtan πtan πtan 1444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5πarc tan tan arc tan 144⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）因为()tan 4tan 4π=-，且ππ4π22-<-<，所以 ()()arc tan tan4arc tan tan 4π4π=-=-⎡⎤⎣⎦．例3．求值：（1）1sin arc cos 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）14cos arc sin 25⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）13tan arc sin arc cos 25⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）设1arc cos 3α=，则1cos 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin arc cos sin 3α⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）设4arc sin5α=，则4sin 5α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是3cos 5α=，所以，14cos arc sin cos 252α⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）设1arc sin2α=，3arc cos 5β=，则13sin cos 25αβ==，，于是cos α==，4sin 5β==，tan α=4tan 3β=．()4tan tan tan 1tan tan αβαβαβ---====+⋅． 例4．求值：（1）πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：（1）ππarc sin sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）3ππarc sin sin arc sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭． 例5．比较下列各组数的大小：（1）2arc sin 3与4arc sin 7；（2）arc cot1.3与arc cot1.31；（3）2arc sin 3与2arc cot 3；（4）1arc tan 3与arc cot 2．解：（1）由于arc sin x 是一个单调递增的函数，且2437>，于是； （2）由于arc cot x 是一个单调递减的函数，1.3 1.31<，于是arc cot1.3arc cot1.31>； （3）设2arc cot3α=，则2cot 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin csc αα====，所以arc α=．又23<，故22arc sin arc cot 33<． （4）设ar cc o t2α=，则co t α=2，1tan 2α=，于是1arc cot 2arc tan 2=，故1a r ct a n a r cc o t23<．例6．已知()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=，求22sin sin αβ+的值． 解：()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=， ()arc sin sin sin αβ+与()arc sin sin sin αβ-互余．()()sin arc sin sin sin cos arc sin sin sin αβαβ+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，sin sin αβ∴+化简，得221sin sin 2αβ+=． 例7．用反正弦函数值的形式表示下列各式中的：（1）3ππsin 522x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，，； （2）[]3sin 0π5x x =∈，，；（3）3sin 5x =-，[]π2πx ∈，．解：（1）3arc sin 5x =；（2）3arc sin 5x =，或3πarc sin 5x =-；（3）3πarc sin 5x =+，或32πarc sin 5x =-．例8．比较arc sin a 与()2arc sin 1a a ≤的大小． 解：当0a =，或1a =时，22arc sin arc sin a a a a =⇒=；当[)10a ∈-，时，22arc sin arc sin a a a a <⇒<； 当()01a ∈，时22arc sin arc sin a a a a >⇒>． 基础练习1．求下列反正弦函数的值：（1）1arc sin 2；（2）arc ； （3）arc sin 0；（4）arc sin1；（5）arc sin ⎛ ⎝⎭；（6）()arc sin 1-．2．求下列函数的定义域和值域： （1）12arc cos log y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()12log arc cos y x =；（3）()arc cos arc sin y x =；（4）()arc sin arc cos y x =．3．求值：（1）4sin arc tan 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）12tan arc cos 13⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）3cos 2arc tan 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）()arc sin sin 6； （5）11arc tan 2arc tan 73+；（6）4πarc tan tan 5⎛⎫ ⎪⎝⎭；（7）1arc tan arc tan x x+；（8）((arc sin arc cos -．4．求下列函数的反函数：（1）π3πsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，；（2）π02y x ⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎭，；（3）()πlg sin 02y x x ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，；（4）()(]()lg arc sin 01y x x =∈，．5．用反正切函数值的形式表示下列各式中的：（1）4ππtan 322x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，，；（2）123πtan π52x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，； （3）()24tan 2π07x x =-∈-，，． 能力提高 6．求值：（可用反三角函数表示）：（1）34arc cos arc sin 45-；（2）()()arc sin sin 2arc cos cos4+；（3）315arc sin arc sin 517+．7．当[]11x ∈-，时，比较arc sin x 与arc cos x 的大小．§6.4 反三角函数 基础练习 1．（1）1πarc sin26=；（2）πarc 3=；（3）arc sin 00=； （4）πarc sin12=；（5）πarc sin 4⎛=- ⎝⎭；（6）πarc sin(1)2-=-． 2．（1）[0π]A =，；（2）12log πA ⎡⎫=+∞⎢⎪⎢⎭⎣，；（3）[0π]A =，；（4）π0lg 2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，．3．（1）45；（2）512-；（3）725；（4）62π-；（5）π4； （6）π4-；（7）π02π02x x ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，，；（8）π-．4．（1）πarc sin ([11])y x x =-∈-，；（2）2arc sin ([01])y x x =∈，；（3）arc sin10((0])x y x =∈-∞，；（4）πsin102x y x ⎛⎫⎛⎤=∈-∞ ⎪ ⎥⎦⎝⎝⎭，．5．（1）4arc tan 3x =；（2）12πarc tan 5x =-；（3）24arc tan 7x =-或24arc tan π7--．能力提高 6．（1）arc -（2）3π6-；（3）84πarc sin 85-． 7．当x =时，πa r c s i n a r c c o s 4x x ==；当1x ⎡∈-⎢⎢⎭⎣时，a r c s i n a r c c o s x x <；当1x ⎤∈⎥⎦⎝时，arc sin arc cos x x >．。

上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三

上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三

6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，； （2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，；（5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。