广东深圳中学高中数学必修二导学案4平面的基本性质

1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义. 平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用.平面的基本性质的推论用以确定平面的依据.(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具.是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用.通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换.难点是平面的基本性质的理解与应用.课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系.知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究.对于证明学生可能感觉难度较大.二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义.2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；三、评价设计目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示.能说出两个平面的位置关系.目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示.目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；四、教学方法学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程.通过这个过程可培养学生的抽象能力.要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景.学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理.五、教学过程温故知新，导入新课.1.平面有哪些性质呢？2.一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？教学重点、难点的学习与完成过程师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）【设计意图】：形象直观，学生易于接受.这就是基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示．【设计意图】：学生学会符号语言.这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据基本性质1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉师：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.【设计意图】：形象直观，学生易于接受.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合这就是基本性质3其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示基本性质3判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？【设计意图】：以问题串的形式引出基本性质2.（教师演示给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即基本性质2其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．基本性质2是确定平面位置的依据之一.推论师：确定一个平面的依据，除基本性质2外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论并证明.生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面．∉已知：A l求证：经过点A和直线l有且只有一个平面.【设计意图】：学生学会将文字叙述改写为数学语言.证明：①存在性：如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线，根据基本性质2，经过不共线的三点A、B、C有一个平面αα∈B ，α∈C ∴α⊂l （基本性质1）所以平面α就是经过直线l 和点A 的平面.②唯一性： B l ∈ ，C l ∈ ，∴ 任何经过点A 和l 的平面一定经过点A 、B 、C ，三点A 、B 、C 不共线，根据基本性质2，这样的平面只有一个，由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）已知：a ∩b =A求证：经过a 和b 有且只有一个平面.证明：①存在性： 如图（2）在a 上任取一点B ，且B ∉b,根据推论1， 经过一条直线b 和直线外一点B 有一个平面α∵A ∈a ,B ∈a ∴a α⊂所以平面α就是经过相交直线a 和b 的平面.②唯一性：∵B ∈a∴任何经过直线a 和b 的平面一定经过点B 和直线b ，∵根据推论1，这样的平面只有一个，由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.已知：a∥b求证：经过a和b有且只有一个平面.证明：①存在性：如图（3）∵a∥b∴根据平行线的定义，a和b在同一平面α内.②唯一性：在a上任取一点A,在b上任取一点B,连接点A,B作直线c，∵A∈α，B∈α,∴c在α内，∵a∩c=A,b∩c=B,∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.又a和b在同一平面内，则a，b，c在唯一的一个平面内.由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面.证明线共面例题：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．证明线共点例题. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．又∵α∩β＝点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．当堂检测：1、下列命题是否正确.1.不共线的三点确定一个平面.（√）2.有三个公共点的两个平面重合.（√）3.三角形一定是平面图形.（√）4.平行四边形一定是平面图形.（√）5.四边形一定是平面图形.（×）6.不共线的四点确定一个平面.（×）2、P38练习B组第6题用符号语言表示.3、P38练习B组第2题.【设计意图】：检测基本性质及推论的理解及应用.归纳总结：请同学将3个平面基本性质及3个推论用图形语言及符号语言表述. 【设计意图】：学生会将自然语言、数学语言和符号语言相互转化.。

平面的基本性质与推论一. 教学内容：1. 平面的基本性质与推论2. 空间中的平行关系二. 教学目的1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三. 教学重点、难点【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。

【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

四. 知识分析（一）平面的基本性质与推论1. 平面的基本性质（1）关于公理1①三种数学语言表述：文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述：如图1所示图1符号语言表述：②内容剖析：公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。

这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

（2）关于公理2①公理2的三种数学语言表述：文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：如图2所示图2符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.②内容剖析：公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。

条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

高二数学必修2 2.2.4平面与平面平行的性质学案【教学目标】1、性质定理内容及应用2、理解线线、线面、面面转化的思想【教学重难点】重点：线面平行、面面平行的性质定理．难点：平行关系的相互转化【知识】面面平行的判定定理面面平行的性质定理内容：图形符号语言【学法指导】（2个）线面平行→面面平行（判定定理）面面平行→线线平行（性质定理）【学习内容】1、过正方体AC 1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE12、如图，已知平面α∥β，直线AB分别交α，β于A、B，直线CD 交α、β于C、D，M、N分别在线段AB、CD上，且AM/BM=CN/ND求证：MN∥平面β.3、在长方体木料ABCD－A′B′C′D′的A′C′面上有一点P，如图所示，其中P点不在对角线B′D′上，过P点和底面对角线BD，将木料踞开，应该如何画线？请说明理由．4、如果三个平面两两相交，那么它们的交线位置如何？【学习小结】平行的转化【达标检测】判断下列命题是否正确？（1）如果a,b是两条直线，且a∥b ，那么a平行于经过b的任何平面。

（2）若直线a和平面α，a ∥α那么a与平面α内的任意直线平行。

（3）如果a,b和平面α，满足a ∥α，b ∥α，那么a∥ b（4）如果a,b和平面α，满足a∥b，a∥α，bα那么b∥α（5）平行于同一直线的两个平面平行。

（6）平行于同一平面的两平面平行。

（7）一个平面与两个平行平面相交则交线平行。

（8）一条直线与两个平行平面中的一个相交则必与另一个相交。

【学习反思】平行的转化作业：试卷。

平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm 左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l 是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a 上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ]2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。

A1§1.2.1 平面的基本性质(1)教学目标：1．了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；2．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；3．了解公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．教学重点：掌握使用符号语言及三个公理的正确理解与使用．教学难点：三个公理的正确理解与使用．教学过程：1．问题情境情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。

问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？2．平面的概念(1)平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。

常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。

(对比直线的无限延伸和无粗细)思考：一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？两个呢？三个呢？(2) 平面的画法及其表示方法○1在立体几何中，常用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图，即用锐角成45︒，横边成邻边两倍的平行四边形表示水平放置的平面。

注：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分线段画成虚线。

○2一般用一个希腊字母α、β、γ…来表示，如平面α，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC等。

(3)3公理1推理模式：AABBααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图所示：应用：○1判定直线在平面内；○2判定点在平面内。

模式：AA a α⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这B 1C 1ADBCO个公共点的一条直线。

的交线。

推理模式：P l P ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且P l ∈。

如图所示：应用：○1确定两相交平面的交线位置；○2判定点在直线上。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

如图示： 说明：过不共线三点,,A B C 的平面通常记作“平面ABC ”推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合。

§2.1.1 平面【学习目标】1.初步了解平面的概念.2.了解平面的基本性质(公理1-3)3.能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系.4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题【学习过程】1．平面的概念：2．平面的表示法３．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：【学习评价】1．有关平面的说法不正确的是（）A．平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名，如平面αB．平面是处处平直的面C．平面是有边界的面D．平面是无限延展的2.下列命题中正确的是( )A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.三条直线两两相交可以确定一个平面D.一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点最多可以确定4个平面 3. 若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关4.下列推断中，错误的是（ ）.A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（已知A 、B 为不同点） B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=（已知A 、B 为不同点，α、β为不同平面）C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合 5.下列四个命题中，正确命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若α∈M ，β∈M ，l αβ=，则l M ∈；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．46．用数学符号表示“点A 在直线l 上”、 “l 在平面α外”、“点A 在平面α外”为 . 7. 下列说法中正确的是______． （1）平行四边形是一个平面； （2）任何一个平面图形都是一个平面； （3）平静的太平洋海面是一个平面； （4）圆和平行四边形都可以表示一个平面. 8.在空间中，下列命题正确的是______________. ①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线③若点A 既在平面α内，又在平面β内（α与β不重合），则α与β相交于直线b ，且A 在b 上④任意两条直线不能确定一个平面.9.如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 关于O 点，AC BD ，交于M 点，求证：1C O M ，，三点共线10如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DHGC HC==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】1.了解空间两条直线的位置关系2.掌握平行公理及其应用3.掌握等角定理，并能解决相关问题． 【学习过程】１. 空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 平行直线 异面直线２. 公里４：符号表示： 思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行 答： ３．等角定理4. 异面直线的定义5．异面直线的特点 6．画法：平面衬托法7．异面直线的判定方法 (1)定义法 (2)判定定理 (3)反证法8．异面直线所成的角(1)定义： (2)范围： 9．异面直线的垂直【学习评价】1. 已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线（ ）aba ba bA ．18对B ．24对C ．30对D ．36对3. 已知a ，b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系是__________.4. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为____ .5. 已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，则异面直线AB 和CD 所成的角的大小为 .6.空间两个角α、β且α与β的两边平行，且α=500，则β= .7. 一个正方形礼品的包装纸的展开图如图 1.图中有正方形的格子和斜线装饰.其中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对.8. 如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC的中点（1）求证：MN //平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA =PA 与MN 所成的角的大小.9.如图，空间四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点. （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若加上条件AC BD =，四边形EFGH 是什么图形？ （3）若加上条件AC BD ⊥，四边形EFGH 是什么图形？ （4）若AC BD =且AC BD ⊥，结果又如何？10.如图中，正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是1AD AA 、的中点. （1）哪些棱所在的直线与直线1AB 是异面直线？哪些棱所在的直线与直线1AA 垂直？ （2）求直线1AB 和1CC 所成的角的大小； （3）求直线1AB 和EF 所成的角的大小.图1H GF E DCBA FED 1C 1B 1A 1DCB2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系【学习目标】（1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系；【学习过程】1．阅读课本，准确地归纳出直线与平面的三种位置关系及两个平面之间德两种位置关系：并画出图像：2. 图列如下线面关系，用数学符号填图.① ② ③ ，其中①为直线在平面__ ___；②③为直线在平面__ _.3.观察右图，思考：直线1A B 与长方体1111ABCD A B C D -六个面所在平面有几种位置关系？答：【学习评价】1. 若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与a 平行D ．α内的直线与a 都相交 2. 下列说法中，正确的是（ ）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D C BA A 1D 1C 1B 1D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 3. 经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个4.如图1，已知平面α∩平面β=l ，点A ∈α,B ∈α，AB ∩l =R ，C ∈β，且C ∈l ，设过A 、B 、C 三点所确定的平面为γ，则β∩γ是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对 5. 两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线（ ）A.平行B. 相交C. 平行或异面D.以上都不对6. 如果直线l 上有一个点A 不在平面α内，则直线l 与平面α的公共点至多有 个．7. 两个平面重合的条件是 . （1）有三个公共点；（2）有两条不重合的公共直线； （3）有无数个公共点； （4）有一条公共直线.8．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ） A . 平行 B . 相交 C . 平行或垂合 D . 平行或相交9．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .10．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分．2.2.1直线与平面平行的判定【学习目标】（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定；（2）掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行⇒线面平行” ．【学习过程】预习教材5554P P -的内容，完成下列问题．图11. 一条直线和一个平面的位置关系有以下三种2.观察与体会身边的事物，体验直线与平面的平行关系①你能在教室里找出直线与平面平行的例子吗？②下面直线a 与平面α都平行吗？如何去确定这种关系呢？①直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面 ． 即：线线平行⇒线面平行．②用符号语言表示此定理： ．【学习评价】1.下列命题中正确的是（ ）A ．如果一条直线与一个平面不相交，它们一定平行B ．一条直线与一个平面平行，它就与这个平面内的任何直线平行C ．一条直线与另一条直线平行，它就与经过该直线的任何平面平行D ．平面外的一条直线a 与平面α内的一条直线平行，则a//α2.直线a,b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（ ） A ．α⊂b B ．α//b C ．b 与a 相交 D ．以上都有可能3.如果点M 是两条直线a ，b 外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ） A ．只有一个 B ．恰有两个C ．或没有，或只有一个D ．有无数个4.已知α//a ,α//b ,则下列直线a,b 的位置关系中，可能成立的有（ ） ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5.以下命题（其中a,b 表示直线，a 表示平面）： ①若b a //，α⊂b ，则α//a ； ②若α//a ，α⊂b ，则b a //；③若b a //，α//b ，则α//a . 其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6.有以下四个命题：①直线与平面没有公共点，直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线不相交，直线与平面平行； ③直线与平面内的无数条直线不相交，直线与平面平行；④平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与平面不相交. 正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④7.过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的重点作直线，其中与平面11D DBB 平行的直线共有（ ）A.4条B.6条C.8条D.12条 8.如果平面α外有两点A,B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）A.平行B.相交C.平行或相交D.α//AB9.已知PA 垂直矩形ABCD 所在的平面，M,N 分别是AB ，PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 10. 如下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，并说明理由。

§2.1.1 平面 学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.学习过程一、课前准备4043引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学※ 探索新知探究1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A 在平面α内，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉.⑵点P 在直线l 上，记作P l ∈，点P 在直线外，记作P l ∉.⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作l α⊂；否则直线就在平面外，记作l α⊄.探究2：平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ=.公理3用集合符号表示为,P a ∈且P β∈⇒l αβ=,且P l ∈※ 典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC 在平面ABCD⑵设上下底面中心为,O O 则平面AA C C ''与平面BB D D '的交线为OO '；⑶点,,A O C '⑷平面AB C ''与平面AC '重合.※动手试试练用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A在平面α内，但点B在平面α外；⑵直线a经过平面α外的一点M；⑶直线a既在平面α内，又在平面β内.三、总结提升※学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（）.①平面ABCD的面积为210cm②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④2. 下列结论正确的是（）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面A.1个B.2个C.3个D.4个3.）.A.在直线DB上B.在直线AB上C.在直线CB 上D.都不对4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________.5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.。

课题§1.2.1平面的基本性质与推论教学目标知识与技能1理解并掌握平面的基本性质和推论并能运用它们解释生活中的某些现象；2.掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4.通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

过程与方法通过观察实验，直观感知，操作确认理解与掌握平面的基本性质与推论。

情感态度与价值观通过从实际生活中抽象出数学模型，利用一些数学理论去诠释生活中的现象。

使学生感悟数学源于生活，增强学习兴趣。

教学重点平面的基本性质与推论，以及它们的应用教学难点文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化与应用教学环境及资源准备多媒体教室 PPT教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课给出四幅图片，联系生活实际导入新课以上生活经验都应用了哪些数学知识？教师提出问题，学生认真思考，带着问题进入到新课的学习中。

通过生活中常见的事物引发学生学习的兴趣。

初步体会数学与实际生活的联系。

新课教学一、空间中点、直线、平面之间的位置关系空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把点看做元素，直线、平面看成是点的集合，教师引导发现可以借助集合符号表示空间中点、线、面的位置关系。

学生动手填表格，明确如何用符号语言和图形语言表示点线面位置关系。

首先明确点线面位置关系的符号语言，为学习性质及推论的三种语言的相互转化做铺垫。

所以可以借助集合符号来描述点、线、面的位置关系。

即点在线上或在面内都要用“∈”符号。

线在面内要用“⊂”符号。

数学实验1：如果把书看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：(1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？二、平面的基本性质及推论1.基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图形语言：符号语言：若A∈l；B∈l，A∈α，B∈α，则AB⊂α或若A∈α，B∈α，则直线AB⊂α作用：判断或证明直线在平面内（只需证线上两点在平面内）举例：把一把尺子放在桌面上，如果尺子是直的，能判断桌面是否是平的，检验是否完全贴合即可。

示范教案整体设计教学分析教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．三维目标1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．推进新课新知探究提出问题(1)在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？(2)把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？(3)在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？(4)长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？讨论结果：(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．(3)基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(4)基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．提出问题(1)经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？(2)经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？(4)在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？(5)阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：(1)推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．图(1)图(2)图(3)事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．(2)推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面(3)推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作A α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作lα；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线AB⊂α.应用示例思路1例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．2．根据下列条件，画出图形．(1)α∩β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如下图．点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．思路2例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面直线D．相交成60°解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC ＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．变式训练1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH 在原正方体中相互异面的有__________对．答案：三2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．拓展提升求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，b α.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、d α，即a、b、c、d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．课堂小结本节课学习了：1．平面的基本性质与推论；2．异面直线；3．用符号表示空间位置关系．作业本节练习A2,3,4,5题．设计感想由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．备课资料备选习题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如下图．求证：C1、O、M三点共线．证明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．2．已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面．证明：如下图，∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.同理，b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．3．α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：如下图，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．。

【学习目标】知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。

过程与方法：通过共同讨论，增强对平面的感性认识；归纳整理本节所学知识情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

【重点难点】学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

学习难点：平面基本性质的掌握与运用。

【学法指导】通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。

【知识链接】生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？【学习过程】A问题1、平面含义A问题2、平面的画法A问题3、平面的表示平面通常用希腊字母（）等表示，如（）等，也可以用表示平面的平行四边形的（）来表示，如（）等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（）A问题４、点与平面的关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A在平面α内，记作：点B在平面α外，记作：A例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打√，否则打×：1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2）、平面有边界； ( )3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )A问题5如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？·B1A 问题6公理1： 符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内B 问题7公理2：符号表示为：公理2作用：确定一个平面的依据。

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.B 问题8公理3：符号表示为：公理3作用：判定两个平面是否相交的依据B 例题教材P43 例1【基础达标】B 课本P43 练习1、2、3、4①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？④用符号表示下列语句，并画出图形：⑴点A 在平面α内，点B 在平面α外；⑵直线L 在平面α内，直线m 不在平面α内；⑶平面α和β相交于直线L⑷直线L 经过平面α外一点P 和平面α内一点Q ；⑸直线L 是平面α和β的交线，直线m 在平面α内, 和m 相交于点P.【学习反思】1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示C · B· A · α P · α L β。

9．平面与平面垂直的判断及其性质史强学习目标1．熟习二面角、二面角的平面角、两个平面垂直的定义．1．掌握判断面面垂直的判判定理，概括证明两个平面垂直的方法。

2．能利用面面垂直的性质解决一些线面地点关系的证明问题．3．掌握求二面角的常用方法．4．体见面面垂直、线面垂直、线线垂直的转变．一、夯实基础基础梳理1．二面角及二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫做二面角，平面叫做二面角的面。

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作棱的角叫做二面有的平面角。

二面角的取值范围是≤≤．这条直线叫做二面角的棱，这两个半__________的射线，则两射线所成2．平面与平面垂直的定义两个平面订交，假如它们所成的二面角是直二面角就说两个平面相互垂直。

3．平面与平面垂直的判断方法（1）定义法。

（2）判判定理：假如一个平面经过另一个平面的______，那么这两个平面相互垂直。

符号语言： AB，AB。

说明：由线面垂直能够获得面面垂直。

4．平面与平面垂直的性质性质定理：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于_______的直线必垂直于另一个平面。

符号语言：， a ，b，b a b。

说明：由面面垂直能够获得线面垂直。

基础达标1．已知 l，m，有以下四个命题：① //l m ；②l // m ；③ l // m；④ l m// 。

此中正确的命题是（）A．②与④B．③与④C．①与②D．①③2．以下四个命题中，正确的命题为__________（填序号）① //，，则②//， //，则//③，，则④，，则//3．如图，ABCD是正方形，PA平面 ABCD ，且 PA AB a 。

PADBOC（1）在四棱锥P ABCD的五个面中，共有 __________个直角三角形；（2）二面角 A PD C的度数为 ___________；（3）二面角 B PA D的度数为 ___________；（4）二面角 B PA C的度数为 ___________；（5）二面角 B PC D的度数为 ___________。

高中数学人教版必修2导学案：平面的基本性质（1）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第3课时分课题平面的基本性质（一）分课时第1课时教学目标初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理31 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．重点难点正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．3．平面的表示方法：4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系：点与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：5．平面的基本性质：公理1：文字语言描述为：符号语言表示为：公理2：文字语言描述为：符号语言表示为：公理3：文字语言描述为：符号语言表示为：例题剖析例1 辨析：10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．（）有一个平面的长是50米，宽是20米．（）黑板面是平面．（）平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．（）例2 把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．例3 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m．例4 如图，ABC∆中，若BCAB，在平面α内，判断AC是否在平面α内．巩固练习1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（）A．α∉∈llA，B．α⊄∈llA，C．α⊄⊂llA，D．α∉⊂llA，lαAaαACBαlaABβ2．下列叙述中，正确的是（ ） A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,,ΘC ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,,ΘB ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,Θ D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,,Θ 4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？课堂小结正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．课后训练班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题 1．完成表格位置关系 符号表示点P 在直线l 上直线AB 与直线BC 交于点B∈M 平面α l C ∉⊂AB 平面α直线l 不在平面α内2．直线和平面的公共点的个数可能为 ． 3．根据下列条件画图：（1）a A a A ∈⊂∈，，αα； （2）αβα∈=⋂A l ，且β∈A ； （3）m B m B l l A A ∈=⋂=⋂∈∈，，，，βαβα；（4）ααα⊂⊂⊂c b a ，，且C a c B c b A b a =⋂=⋂=⋂，，．二 提高题4．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题 是否正确？并说明理由． ①．1AC 在平面B B CC 11内； ②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；DOO 1 A 1B 11⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．5．平面⋂α平面l =β，直线α⊂a ，且a 与l 不平行，在β内作直线b ，使b a ，相交．三 能力题6．在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．A C DB 1 A 1α β al。