广东深圳中学高中数学必修一导学案13对数函数的应用

12．对数函数概念、图象及性质曾劲松 学习目标1．理解对数函数的概论，能画出具体对数函数的图象．2．理解对数函数的性质，能应用所学知识解决简单的含对数符号的数学问题．3．通过对数函数的学习，进一步深化函数的概念、性质的理解，提高函数性质应用的能力． 4．了解同底数指数函数与对数函数是互为反函数关系，了解互为反函数的两个函数图象之间的关系． 一、夯实基础 基础梳理1．对数函数的定义一般地，函数____________________叫做对数函数，其中x 是__________，函数的定义域是__________．3．反函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）和指数函数____________________互为反函数． 题型一 对数值的大小比较题型二 简单对数不等式的求解 题型三 对数函数性质的综合应用 题型四 对数函数的概念题型五 对数函数的图象 题型六 求与对数函数有关的函数定义域基础达标 1．（1）()lg 43x y x -=-的定义域是____________________．（2）()()1log 3x y x -=-的定义域是____________________．2．若函数()()log 01a y x b a a =+>≠，的图象过两点()()1001-，，，，则a b +=__________． 3．若01m n <<<，则下列不等关系成立的是（ ） A ．0.20.2log log m n <B ．33log log m n >C ．32log log m n >D ．0.20.3log log m n >4．下列各组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A ．22log y x =与22log y x =B ．10lg y x =与log10x y =C ．y x =与log x y x x =D ．y x =与ln x y e =5．函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则2k =（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12二、学习指引 自主探究1．用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y 与残留污垢x 的关系式．在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的164，则要漂洗几次？2．根据对数函数的定义，试判断下列所给的函数中，哪些是对数函数？哪些不是？ （1）32log y x =； （2）5log 5x y =； （3）23log y x =；（4）2log y x =；（5）()2log 1y x =+； （6）2log y x =-．4．拓展思维：如果两个函数图象关于直线y x =对称，我们则称这两个函数互为反函数．例如函数()log 01a y x a a =>≠，与函数()01x y a a a =>≠，就是互为反函数．你能否再举两个函数也是互为反函数？从中你有什么窍门，能够迅速得到一组互为反函数的函数？ 案例分析1．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5=； （2）log 5.1a ，log 5.9a ； （3）6log 7，7log 6；（4）3log 2，2log 0.8；（5）5log 3，6log 3，7log 3．【解析】（1）因为对数函数2log y x =在()0+∞，上是增函数，3.48.5<，所以22log 3.4log 8.5<．（2）当1a >时，对数函数log a y x =在()0+∞，上是增函数，5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a <；当01a <<时，对数函数log a y x =在()0+∞，上是减函数，5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a <． （3）66log 7log 61>=，77log 6log 71<=，67log 7log 6∴>； （4）33log 2log 10>=，22log 0.8log 10<=，32log 2log 0.8∴>． （5）3330log 5log 6log 7<<<，5671110log 3log 3log 3∴<<<，即567log 3log 3log 3>>． 说明：比较两个实数大小，我们主要有两种思维选择：一是直接比较法，就是利用函数单调性或作差法等直接比较两个实数大小，上述问题（1）（2）就是使用了这个方法解决问题的：二是间接比较法，就是利用中间量、已知的大小关系等间接比较两个实数的大小，上述问题（3）（4）（5）就是使用了这个方法解决问题的．本题（5），也可以在同一直角坐标系中同时画出三个对数函数5logy x =、6log y x =、7log y x =的图象，直接观察3x =处函数值得大小即可．2．求下列函数的定义域：（1）()0.2log 4y x =-；（2）y =【解析】（1）要使函数解析式有意义，必须404x x ->⇔<，故所求定义域为()4-∞，；（2）要使函数解析式有意义，必须01112x x <-≤⇔<≤，故所求定义域为(]12，． 3．若函数()y f x =的定义地域是133⎛⎤⎥⎝⎦，，求函数()3log f x 的定义域．【解析】由题意知31log 32x <≤，即33log log log 27≤，3log y x =27x ≤，故函数()3log f x定义域为27⎤⎦． 4．判断函数())2log f x x =的奇偶性．【解析】方法一：21x x +>恒成立，()f x ∴的定义域为()-∞+∞，，())222log log log f x x x-==-=--)()2log x f x =-=-，所以，()f x 为奇函数． 方法二：()()))22log log 0f x f x x x -+=+=，其它略．三、能力提升能力闯关1．以下四个数中的最大者是（ ）． A ．()2ln 2B ．()ln ln 2C ．D ．ln22．设()g x 是函数()2log f x x =的反函数，若()()8g a g b ⋅=，则()f a b +的值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．2log 33．判断下列函数的奇偶性（1）()1lg 1x f x x-=+；（2）()()2lg 122x f x x -=--1．（1）若01a <<，01b <<，如果()6log 21x a -<，则x 的取值范围是__________． （2）已知3log 15a<，求a 的取值范围． 2．若log 4log 4m n <，试研究1m n ，，所有可能的大小关系． 挑战极限1．已知e 是自然对数的底数，求使不等式2223ln23x x x e e x +->+成立的x 的取值范围． 课程小结1．形如()log 01a y x a a =>≠，的函数，称为对数函数，注意对数函数的定义域为{}0x x >；对数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1． 2．关于对数函数log a y x =有以下和理要结论：（1）指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠），它们的图象关于直线y x =对称，指数函数x y a =的定义域、值域分别是对数函数log a y x =的值域、定义域； （2）画对数函数log a y x =图象时，一般要画出两个关键点()10，及()1a ，，在第一象限内，图象越往右偏，相应的对数函数的底数就越大；（3）对数函数log a y x =在R 上单调递增1a ⇔>；对数函数log a y x =在R 上单调递减01a ⇔<<；（4）对数函数x y a =是非奇非偶函数；值域为R ．3．对数比较大小方法：（1）底数相同考虑对数函数的单调性；（2）底数不同、真数不相同时要借助于中间值（如0或1）；（3）底数不同、但真数相同时要借助于数形结合或应用换底公式；（4）1log 01a a b b >⎧>⇔⎨>⎩，，或0101a b <<⎧⎨<<⎩，；1log 001a a b b >⎧<⇔⎨<<⎩，，或011.a b <<⎧⎨>⎩，4．当1a >时，对数函数单调递增；当01a <<时，对数函数单调递减．想一想1．函数12log y x =的定义域为__________．2．函数()log a f x x =的图象如图所示，则a 的取值可能是（ ）A ．10B ．12C ．13D ．1412．对数的函数概念、图象及性质基础梳理1．()log 0,1a y x a a =>≠且 自变量()0,+∞ 2．()0,+∞ R 增函数 减函数3．()0,1x y a a a =>≠且 基础达标1．（1）()(),33,4-∞∪．（2）()()1,22,3∪【解析】（1）40,430x x x ->⎧⇔<⎨-≠⎩且3x ≠，所求定义域为()()33,4-∞∪，． （2）由10,11,30x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得：1,23x x x >⎧⎪≠⎨⎪<⎩12x ∴<<且23x <<．2．4．由题意知()0log 11log a a b b ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解方程得2a =，2b =，故4a b +=．3．D ．【解析】0.2log y x =是减函数，所以答案A 不对；3log y x =是增函数，所以答案B 不对；3201log 0log m n m n <<<⇒<<，所以答案C 不对；0.20.3log 0log m n >>．答案D 成立，4．D ．【解析】两个函数相同当且仅当解析式相同，定义域相同，A 组、C 组中的两个函数定义域是不同的；B 组中的两个函数解析式是没的且定义域也不同；只有D 组满足相同函数要求．5．A ．【解析】141log 224k k =⇒=-．自主探究1．【解析】因为每次能洗去污垢的四分之三，所以每次残留的污垢都不洗之前污垢的四分之一．漂洗次数y 与残留污垢x 的关系式为14yx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由对数的定义有14log y x =．若164x =，则141log 364y ==．从而需要漂洗3次．2．【解析】只有（1）（6）是对数函数，其它都不是，因为函数（1）可以写成y x =，6）可以写成12log y x =，其它四个函数都只是含有对数符号的函数，但其对应法则无法符合对数函数定义要求，因此都不是对数函数，说明：函数21log y x=与函数（6）是同一函数数，因此也是对数函数．3．【解析】表略，从对数与指数的关系可以得到：()()log 0,10,1n a n m a a m a a a =>≠⇔=>≠．所以对数函数()log 0,1a y x a a =>≠经过点(),m n 当且仅当指数函数()0,1x y a a a =>≠经过点(),n m 于是可得（1）指数函数的值域、定义域恰好是对数函数的定义域、值域． （2）由于点(),m n 与(),n m 关于直线y x =对称．因此，对数函数log a y x =的图象与指数函数x y a =的图象关于直线y x =对称．4．拓展思维：【解析】例如把函数21y x =-中的字母x ，y 分别换成y ，x ，得到21x y =-，解出y ，得到12x y +=，显然函数21y x =-经过点点(),m n 时，函数12x y +=将经过点(),n m ，因此函数21y x =-与函数12x y +=也互为反函数． 想一想1．()0,+∞ 2．A 能力闯关1．D 【解析】0ln2ln 1e <<=，()ln ln 20∴<，()2ln 2ln 2<，又ln 2<，所以ln2最大．2．D 【解析】依题意()2x g x =，由()()8g a g b =，得到3a b +=，()2log 3f a b ∴+=． 3．【解析】（1）由101x x ->+得11x -<<．又()()1111lg lg lg 111x x x f x f x x x x ----⎛⎫-===-=- ⎪+++⎝⎭， ()f x ∴是奇函数，（2）由210x ->得11x -<<．于是()()2lg 1x f x x-=-，易得()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数．拓展迁移1．（1）()2,3．（2）1a >或305a << 【解析】（1）不等式等价于()()()log 20log 20log 2log 1021b x b b b aa x x x -<⇔->⇔->⇔<-<．所以x 的取值范围为()2,3．（2）当1a >时，3log log 1015a a <=<，不等关系恒成立； 当01a <<，3log 1log 5aa a <=，解得305a <<．综上可得，1a >或305a <<．2．【解析】（1）若log 4log 40m n <<． 则4444110log log 001log log n m n m m n<<⇔<<⇔<<<； （2）若log 40log 4m n <<，则01m n <<<；（3）若0log 4log 4m n <<， 则44441100log log 1log log n m n m m n<<⇔<<⇔<<． 综上所述，m ，n ，1所有可能的大小关系为01n m <<<或01m n <<<或1n m <<． 挑战极限 1．【解析】()22223232ln ln 23ln 23x x x x x ee e x e x x ++->⇔++>++．令()ln x f x e x =+，容易证明函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，于是 ()()()222322223ln 23ln 23100x x x xex e x f x f x x x +⎧+>⎪++>+⇔+>⇔⇔-<<⎨>⎪⎩或03x <<．故x 的取值范围是()()1,00,3-∪，说明：本题通过构造函数，利用函数单调性质，把复杂不等式等价转化为简单不等式，这种数学思想应注意体会和学习．。

2. 2.2 对数函数的性质的应用(2)【教学目标】1、使学生理解对数函数的定义，进一步掌握对数函数的图像和性质。

2、：通过定义的复习，图像特征的观察、巩固过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。

3、通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

【教学重难点】教学重点：对数函数的图像和性质教学难点：底数 a 的变化对函数性质的影响 【教学过程】（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性. （二）情景导入、展示目标 1．对数函数的图象由于对数函数x y a log =与指数函数xa y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质4321-1-2-3-6-4-2246011A4321-1-2-3-2246112．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a>1 0<a<1图 象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567811性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0<y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数（三）合作探究、精讲点拨 例1求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x （3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x点评：要牢记对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）。

第2课时对数函数及其性质的应用［学习目标］1•进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.厂知识梳理知识点一对数型复合函数的单调性(1) 设y= log a f(x)(a>0且1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.(2) 在定义域内考虑u= f(x)与y= log a u的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数知识点二对数型函数的奇偶性对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y= log2凶就是偶函数•证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质•题型援宠重点突破题型一对数值的大小比较例1比较下列各组中两个值的大小：(1) log 31.9, log32;(2) log 23, log 0.32；(3) log a n, log a3.14(a>0, a* 1).解⑴因为y= Iog3x在(0,+s)上是增函数，所以Iog31.9<log32.⑵因为log23>log 21 = 0, log o.32<log 0.31= 0,所以log23>log o.32.⑶当a>1时，函数y= log a x在(0, + )上是增函数，则有log a n >log3.14；当0<a<1时，函数y= log a x在(0,+^)上是减函数，则有log a n <log3.14.综上所得，当a>1 时，log a n >log3.14;当0<a<1 时，log a n <log3.14.反思与感悟比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2) 若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论(3) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺2 2 2时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较(4) 若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较•跟踪训练 1 (1)设a= log32, b = Iog52, c= log23,则( )A. a> c>bB.b >c> aC.c> b> aD.c>a> b⑵已知a= Iog23.6, b = Iog43.2, c= Iog43.6，则( )A.a>b>cB.a>c> bC.b>a>cD.c>a> b答案(1)D (2)B解析(1)a = Iog32v log33 = 1 ；c= log 23 >Iog22= 1,由对数函数的性质可知Iog52v Iog32,••• b v a v c,故选D.(2)a= Iog23.6 = Iog43.62，函数y= Iog4x在(0,+^)上为增函数,3.62>3.6>3.2, 所以a> c>b，故选B. 题型二对数型函数的单调性例2 讨论函数y= Iog0.3(3 —2x)的单调性.3解由3 —2x>0，解得x<|设t = 3 —2x, x€ (—a, |).•••函数y = log°.3t是减函数，且函数t = 3—2x是减函数，3•函数y = log°.3(3 —2x)在(—a,刁上是增函数.反思与感悟 1.求形如y= log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0, 先求定义域.2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.跟踪训练2 求函数y= Iog2(x2—5x + 6)的单调区间.解由y = x2—5x+ 6的图象可知，函数y= Iog2(x2—5x+ 6)的定义域为(一a, 2) U (3 , + a), 令u= x2—5x + 6,可知u = x2—5x+ 6在(—a, 2)上是减函数，在(3,+a)上是增函数，而y= Iog2U在(0 , +a )上为增函数，故原函数的单调递增区间为(3 , + a )，单调递减区间为(一a, 2).题型三对数型复合函数的值域或最值1例3 求y= (log 1 x)2—2log丄x+ 5在区间［2,4］上的最大值和最小值.2 2解因为2< x< 4,所以log 1 2> log 1 x> log 1 4,2 2 2即—1> log 1 x> —2.2设t = log 1 X,则一2W t< —1,21 1所以y= t2—qt+ 5,其图象的对称轴为直线t = 4，所以当t=— 2 时，y max = 10；当t =— 1 时，y min = ^3.反思与感悟1•这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题2•注意换元时新元的范围.跟踪训练3已知实数x满足4X—10 -2X+ 16W 0，求函数y= (log a x)2—log r x+ 2的值域. 解不等式4x—10 2x+ 16W 0 可化为(2x)2—10 2x+ 16< 0,即(2x—2)(2x—8) w 0•从而有 2 w 2x< 8,即 1 < x< 3.所以0w Iog3x w 1.由于函数y= (log 3x)2—Iog3 .x+ 2可化为y = (log 3x)2 —2|og 3x + 2= (log 3x—|)2+ 31,1 31 5当l0g3X= 4时，Y min =石；当I°93X= 1 时，y max=》31 5所以，所求函数的值域为电，5】.题型四对数型函数的综合应用x+ 1例4已知函数f(x)= loga—(a>0且吐1).(1)求f(x)的定义域；⑵判断函数的奇偶性和单调性x+ 1 > 0 x+ 1v 0,解(1)要使此函数有意义，则有或x—1 > 0 x—1 < 0.解得x> 1或x<— 1 ,此函数的定义域为(一8,—1) U (1,+8).—x+ 1 x—1(2)f(—X) = log a—x—1= log a X^—I x+1 —=—log a x— 1 =—f(x).又由(1)知f(X)的定义域关于原点对称,••• f(x)为奇函数.x+1 2f(x) = log a x一1 = log a(1 +X一1),2 函数U = 1+ 在区间(一8 1)和区间(1 , + g )上单调递减.X — 1x + 1所以当 a > 1 时，f(x) = log a 在(—8 ,— 1), (1,+ 8)上递减；X — 1x + 1当 O v a V 1 时，f(x) = log a 在(—g,— 1), (1, + g )上递增.X — 1反思与感悟 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称2. 求函数的单调区间有两种思路： (1)易得到单调区间的，可用定义法来求证;函数的单调性求得单调区间 .1 ^mx跟踪训练4已知函数f(x)= log a (a > 0,且1, 1)是奇函数.x — 1(1)求实数m 的值；⑵探究函数f(x)在(1,+g )上的单调性.解(1)由已知条件得f( — x) + f(x) = 0对定义域中的x 均成立., mx +1 , 1 — mx 小+也1；—厂0,•- t 1V t 2. 当 a > 1 时，log a t 1 V log a t 2，即 f(X 1)V f(X 2),•••当a > 1时，f(x )在(1,+g )上是减函数.(2)利用复合 mx + 1 —x — 1 1 —mxx — 1 •- m 2x 2— 1 = x 2— 1对定义域中的x 均成立.• m 2= 1,即卩 m = 1(舍去)或 m =— 1.1 + x⑵由(1)得 f(x) = lOgaR.X + 1 = x — 1 = x — 1 + 2 = x — 1 = 1+十 x — 1•当 X 1 > X 2> 1 时,2 X 2— 1 2 X 2 — X 1X 1 — 1 X 2— 1 V 0,22同理当0v a v 1时，f(x)在(1,+g)上是增函数对数型复合函数定义域为R与值域为R区分不清致误例 5 已知函数f(x)= lg(ax2+ 2x+ 1).(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；⑵若函数的值域为R，求实数a的取值范围. 解⑴若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+ 2x+ 1>0的解集为R,a>0,结合二次函数图象可得222-4 a 1<0 ,解得a>1.⑵若函数f(x)的值域为R,则ax2+ 2x+ 1可取一切正实数，a>0,结合函数图象可得a= 0或222-4 a 1 > 0,解得O w a< 1.纠错心得解这类问题容易将定义域为R与值域为R搞混淆，解题关键在于正确转化题意• 规律技巧若函数y= log a f(x)的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y= log a f(x)的值域为R，需f(x)取遍一切正数，在解题时，当最高次项系数带字母时，需注意分情况讨论.跟踪训练5若函数y= lg( ax2+ ax+ 1)的定义域为R，求实数a的取值范围.解当a = 0时，y= lg 1，符合题意；a>0,当0时，由题意得2得0<a<4,△= a2- 4a<0,综上，得a的取值范围是0w a<4.当堂检测自杳自纠1•已知函数f(x) = lg(x2+ 1),则()A. f(x)是偶函数B. f(x )是奇函数C. f(x)是R上的增函数D. f(x)是R上的减函数答案A解析因为f(-x)= lg[( —x)2+ 1] = lg(x2+ 1) = f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x) 是偶函数•故选A.2.函数y= In x的单调递增区间是()A.[e ,+^ )B.(0 ,+^ )C.(-m,+m )D.[1 ,+8 )答案B解析函数y= In x的定义域为(0, + g)，其在(0, + g)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0, + g).3.设a= log54, b= (Iog53)2, c= log45,则( )A.a v c v bB.b < c v aC.a v b v cD.b v a v c 答案D解析・.T= Iog55 > log 54 > Iog5 3> log 51 = 0,••• 1 > a = Iog54> log 53 > b= (log 53)2.又••• c= log 45 > log44= 1.• c> a> b.4.函数f(x)= |log 1 x|的单调递增区间是()2A. 0,B.(0,1]C.(0，+g )D.[1 ,+g )答案解析—log 1 x, x> 1,2f(x)= 当x> 1时，t= log 1 x是减函数，f(x)=—log 1 x是增函数.log 1 x, 0v x v 1. 2 22• f(x)的单调增区间为[1 , + g).5.函数y= log 1 (x2—6x+ 17)的值域为________ .2答案(一g,—3]解析令t= x2—6x+ 17= (x—3)2+ 8>8,因为y= log 1 t 为减函数，所以y= log 1 t< log 1 8=—3.2 2 2「课堂小结--------------------------------------- 11.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a> 1和O v a v 1两类分别求解.1.函数f(x)= log 1 x—1的定义域是(2A.(1 ,+ a )B.(2 ,+a )C.(—m, 2)D.(1,2］答案 D解析x—1>0,由题意有log 1 x—1 > 0,2解得1 < x< 22. 设a= log 3 n, b= log^3, c= log^/2，贝U ( )A.a > b > cB.a >c> bC.b>a>cD.b>c> a答案A11 11解析 a = log3 n> 1, b= log2 3 = 2log23 € 2，1，c= log3 2 = - log32 € 0,㊁，故有> c.3. 函数f(x)= log a x(0< a v 1)在［a2, a］上的最大值是()A.0B.1C.2D.a答案C解析■/ 0< a< 1，二f(x) = log a x 在［a2, a］上是减函数，f(x)max= f(a2) = log a a2= 2.4. 设a= log 36, b= log510, c= log 714，贝U ( )A.c> b>aB.b>c> aC.a > c> bD.a> b > c答案D解析a= log 36 = log 33 + log32 = 1 + log32,b= log510= log55+ log52= 1 + log52,c= log714= Iog77+ log72= 1 + log72,log 32> log52> log72, • a> b>c,故选D.5. 函数y= log 1 (—x2+ 4x+ 12)的单调递减区间是()3A.( —a, 2)B.(2 ,+^ )C.( —2,2)D.( —2,6)答案C解析y= log 1 u, u=—x2+ 4x+ 12.3令u=—x2+ 4x+ 12>0，根据二次函数的图象得一2<x< 6.• x€ (—2,2)时，u=—x2+ 4x + 12 为增函数，••• y = log 1 ( — x 2 + 4x + 12)为减函数，3•函数的单调减区间是(一2,2).6. 已知y = log a (8 — 3ax)在［1,2］上是减函数，则实数 a 的取值范围是() 4 A.(0,1)B.(1 , 3) 4C.g , 4)D.(1 ,+a )答案 B解析 因为a>0,所以t = 8 — 3ax 为减函数，而当a>1时，y = log a t 是增函数，所以y = log a (8 —3ax)是减函数，于是a>1.由8 — 3ax>0 ,得a<38-在［1,2］上恒成立，所以a<(3p min = 3 ： ?=扌 二、填空题7. ____________________________________________________________________________ 已知f(x)= log 1 (x 2— ax + 3a)在区间［2,+a )上为减函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ .2 答案 (一4,4］解析 二次函数y = x 2— ax + 3a 的对称轴为x = |,由已知，应有|w 2，且满足当x > 2时y = x 2 — ax + 3a>0,8. 已知定义域为 R 的偶函数f(x)在［0，+a )上是增函数，且f(》=0,则不等式f(log 4x)< 0 的解集是 ________ .1 答案{X|?< x < 2}1 1 1 1 一 - 1 解析 由题意可知，f(log 4x) < 0? —2 < log 4x < 2?log 44 2 < log 4x < log 44 2 ? " < X < 2. a — 2 x — 1, x w 1, 9. 已知函数f(x)=若f(X )在(— a,+a )上单调递增，则实数 a 的取值log a x , x > 1 , 范围为 _________ .答案{a|2< a w 3} 解析 I •函数f(x)是(—a,+a )上的增函数，a — 2 > 0,• a 的取值需满足 a > 1,log a 1 > a — 2 — 1,解得2v a w 3.2,a-2 nr解得一4<a w 4.210. __________________________________ 若log a§<1，则a的取值范围是,2 答案(0, 3) u(i ,+s)0<a<1, a>1,解析原不等式？2或23>a 3<a，2解得0<a<|或a>1,32故a的取值范围为(0, 3) U (1,+ ^).三、解答题11. 讨论函数f(x) = log a(3x2—2x—1)的单调性.解由3x2—2x— 1 > 0得函数的定义域为则当a> 1时，若x> 1，贝U u= 3x2—2x—1为增函数，••• f(x)= log a(3x2—2x—1)为增函数；若x v —£贝U u= 3x2—2x—1为减函数.• f(x)= log a(3x2—2x—1)为减函数.当0v a v 1时，若x> 1，则f(x)= log a(3x2—2x—1)为减函数；1若x v — 3 贝y f(x)= log a(3x2—2x—1)为增函数.12. 已知f(x) = 2 + log3X, x€ [1,9]，求y= [f(x)]2+ f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值. 解■/ f(x) = 2 + log 3x,• y=[f(x)]2+ f(x2)=(2 + log 3x)2+ 2+ log 3x2=(2 + log 3x)2+ 2+ 2log 3x=(log 3X)2+ 6log3x+ 6=(log 3x+ 3)2—3.•••函数f(x)的定义域为[1,9],•••要使函数y= [f(x)]2+ f(x2)有意义,1 w x2w 9,必须满足•••1w xW 3,1 w x W 9,• 0w log3x W 1. .• 6w y= (log3x+ 3)2—3w 13.当log3x= 1，即x= 3 时，y= 13.•••当x= 3时，函数y= [f(x)]2+ f(x2)取得最大值13.2 113. 若不等式x2—lo g m x<0(m>0，且m^ 1)在(0, 2)内恒成立，求实数m的取值范围.解由x2- log m x<0，得x2<log m x,在同一坐标系中作y= x2和y= log m x的图象，1 1要使x2<log m x在(0，2)内恒成立，只需y= log m x在(0,刁内的图象在y= x2的上方，于是0<m<1, 如图所示.1 1•••当x= 1时，y= x2=1,1•只要x =1时,y= log m f》= log m m4 .11 1• y m4，即一w m.2 161又0<m<1, • +w m<1.故所求m的取值范围是[丄,1).。

4.4.2 对数函数的图像和性质一、学习目标1. 掌握对数函数的图象与性质2. 能利用对数函数的图象与性质比较大小解决与单调性、定点相关问题 二、知识梳理（复习导入）对数函数的概念：一般地，函数 (ɑ>0，且ɑ≠1)叫做对数函数. （新授探究）指数函数的图像及性质探究1：画出y =log 2x ，y =log 12x 的图象，探究两个函数的图象有什么区别和联系？探究2：此关系是否也适用于函数y =log a x (01)且>≠a a 与y =log 1ax (ɑ>0，且ɑ≠1的图象？探究3：能否用数学方法证明上述结论的成立？对数函数的图像及性质：xy =log 2x y =log 12xy =log 3x y =log 13xy =log 4x y =log 14x函数y =log a x （10<<a ）y =log 1ax （1>a ）图 象定义域 值 域 性定 点探究4：对数函数与指数函数的联系1、对数函数y =log _a x （a >0，且a ≠1）和指数函数y =a ^x "（" a >0"，且" a ≠1"）"互为 2、反函数的特点：（典例剖析） 1、比较大小2．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？3．求的值域. （课堂小结）◆ 对数函数的性质：定义域、值域、定值、单调性、奇偶性 ◆ 反函数的概念三、课后作业：P135页练习1、2、321y=log x x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，质 单调性奇偶性y =log a x 与 y =log 1ax 的图象关于________________。

一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，也是实际问题中经常使用的数学工具。

本篇文章主要讲述如何借助对数函数解决实际问题，并结合例题进行讲解。

同时，还将给出一份对数函数应用的教案，供有需要的读者参考。

二、什么是对数函数对数函数的定义：设a>0且a≠1，那么以a为底的对数函数，数学中的对数函数(log a x)的定义为y=log a x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

当a=10时，常用记法是lgx，当a=e时，常用记法是lnx。

在实际应用中，我们常用的是以10为底的对数函数以及自然对数函数。

对数函数具有如下性质：（1）对数函数的定义域是正实数集，即x>0。

（2）对数函数的值域是实数集。

（3）对数函数是单调増加的。

（4）对数函数的反函数是指数函数，即a^x。

（5）loga（mn）=logam+logan，loga（m/n）=logam-logan。

其中m,n>0。

三、如何使用对数函数解决实际问题对数函数在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下两个方面。

1.对数函数在指数函数中的应用在实际应用中，经常会遇到指数函数的问题，比如放射性物质的衰变问题、人口增长问题、病毒增长问题等等。

这些问题中都涉及到指数函数的性质，而对数函数作为指数函数的反函数，可以方便地求解这些问题。

以下是一个具体的例子：某种放射性物质的衰变规律是这样的：每小时放射性原子核数减少32%，则将其放置12小时后，该物质中还剩下原来的多少？解法：设原来物质中有N个原子核，放置12小时后，还剩下x个原子核。

则有：x=N*0.68^12由于0.68是小于1的实数，而12次方又是一个大数，可以用对数函数方便地进行计算，于是有：log0.68x=log0.68N+log0.68(0.68^12)即：x=N*0.68^12这个问题就这样被成功地解决了。

可以看出，借助对数函数，我们可以方便地求解指数函数问题。

2.对数函数在数据处理中的应用对数函数在数据处理中也有着重要的应用。

对数函数的图象与性质的应用1.掌握指数函数与对数函数图象的关系.2.能灵活利用对数函数的单调性解对数不等式.3.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性、值域最值等问题的处理方法.前面我们学习了对数函数的概念、图象与性质,并重点学习了图象和性质的简单应用;在解决一些对数问题时,还常常会遇到与对数有关的不等式问题、与对数函数有关的复合函数问题等,这些都体现了对对数函数图象与性质的深层次应用,这一讲我们就来探索这些问题的解法.问题1:对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域、值域和单调性(1)y=log a x定义域为,值域为.(2)当0<a<1时,y=log a x在定义域内是,当a>1时,y=log a x在定义域内是.问题2:函数y=a x与函数y=log a x(a>0,且a≠1) 的区别与联系(1)将函数y=a x中的字母x,y对换一下就变成了函数y=log a x,所以称函数y=a x与函数y=logx互为.a(2)若函数y=a x图象经过点(a,b),则反函数y=log a x图象经过点,所以函数y=a x图象与函数y=log a x图象关于直线对称.问题3:关于对数的不等式的解法(1)关于不等式log a f(x)>b的解法:先把不等式转化为log a f(x)>log a a b,再根据底数a的值确定函数y=log a x的单调性,当0<a<1时,log a f(x)>log a a b⇔,当a>1时,log a f(x)>log a a b⇔.(2)关于不等式log a f(x)>log a g(x)的解法:首先要求定义域,其次根据底数a 的值确定函数y=log a x的单调性:当0<a<1时,log a f(x)>log a g(x)⇔.当a>1时,log a f(x)>log a g(x)⇔.(3)关于不等式log a f(x)>c log a g(x)的解法:先将不等式转化为log a f(x)>log a g(x)c,再根据(2)的解法进行求解,注意求定义域即解不等式组.问题4:判断复合函数y=log a f(x)的单调性.(1)先求函数的定义域,即解不等式;(2) 在函数的定义域范围下讨论函数t=f(x)的单调性;(3) 确定底数a的值,若0<a<1,则t=f(x)的单调性与y=logf(x);a若a>1,则t=f(x)的单调性与y=log a f(x).1.若log2a<0,()b>1,则().A.0<a<1,b<0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.a>1,b>02.如果lo x<lo y<0,那么().A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x3.函数y=lo x(1≤x≤8)的最小值为.4.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,求f(x).对数函数的图象已知f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0,且a≠1),若f(3)·g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一直角坐标系中的图象是().与对数函数有关的不等式的解法(1)已知a=,若log a m>log a5,则m的取值范围是.(2)已知log a>1,则a的取值范围为.2x<log0.7(x-1),则x的取值范围为.(3)已知log0.7与对数函数有关的复合函数问题已知y=log a(2-ax)在[0,1]上是关于x的减函数,则a的取值范围是().A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2,+∞)已知a>0且a≠1,函数y=a x与y=log a(-x)的图象可能是下图中的().若a>0且a≠1,且log a(2a+1)<log a3a<0,求a的取值范围.已知f(x)=log a(a-a x)(a>1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断并证明f(x)的单调性.1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于().A.⌀B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}2.若函数f(x)=a-x(a>0,a≠1)是定义域为R的增函数,则函数g(x)=log a(x+1)的图象大致是().3.满足不等式log3x<1的x的取值集合为.4.解不等式:log a(x-4)-log a(2x-1)>0(a>0,a≠1).5.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是().考题变式(我来改编):答案第8课时对数函数的图象与性质的应用知识体系梳理问题1:(1)(0,+∞)R(2)减函数增函数问题2:(1)反函数(2)(b,a)y=x问题3:(1)(2)(3)问题4:(1)f(x)>0(3)相反相同基础学习交流1.A∵函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,∴由log2a<0=log21,得0<a<1.∵函数y=()x在(0,+∞)上为减函数,∴由()b>1=()0,得b<0.2.D∵y=lo x是(0,+∞)上的减函数,且lo x<lo y<0=lo1,∴x>y>1.3.-3y=lo x是[1,8]上的减函数,故当x=8时,函数取得最小值-3.4.解:因为函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数为y=log a x(a>0,且a≠1),所以f(x)=log a x,所以f(2)=log a2=1,解得a=2,所以f(x)=log2x.重点难点探究探究一:【解析】由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,故选项A,D错误;观察B,C两个选项中的图象,B中显然f(3)·g(3)>0,不符合要求.【答案】C【小结】结合函数解析式判断函数的图象,首先要考虑函数对应哪一个基本初等函数;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质:定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出.此类题目常用排除法,即根据性质逐一加以排除.探究二:【解析】(1)∵0<a<1,x在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)=loga∴0<m<5.(2)由log a>1得log a>log a a,①当a>1时,有a<,此时无解;②当0<a<1时,有<a,∴<a<1,即a的取值范围是(,1).(3)∵函数y=log0.7x在(0,+∞)上为减函数,∴由log2x<log0.7(x-1),得解得x>1,0.7即x的取值范围是(1,+∞).【答案】(1)0<m<5(2)(,1)(3)(1,+∞)【小结】常见的对数不等式有三种类型:(1)形如log a x>log a b的不等式,借助y=log a x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如log a x>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助x的单调性求解.y=loga(3)形如log a x>log b x的不等式,可利用图象求解.探究三:【解析】设u(x)=2-ax,∵a>0且a≠1,∴u(x)在[0,1]上为减函数,故要使y=log a(2-ax)在[0,1]上为减函数,则需y=log a u为增函数,故a>1.①又u(x)=2-ax>0在[0,1]上恒成立,只须u(1)>0,即2-a>0,∴a<2.②由①②可知a的取值范围为1<a<2.【答案】B【小结】求参数的取值范围要充分挖掘题目中包含的不等关系,本题中函数y=log(2-ax)的单调性须依据对数函数与一次函数的单调性综合考虑,还须注意a定义域的限制.思维拓展应用应用一:B(法一)首先,曲线y=a x只可能在上半平面,y=log a(-x)只可能在左半平面,从而排除A,D.其次,从单调性着手,y=a x与y=log a(-x)的增减性正好相反,又可排除C.(法二)若0<a<1,则曲线y=a x下降且过点(0,1),而曲线y=log a(-x)上升且过(-1,0),而所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x上升且过点(0,1),而曲线y=log a(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.(法三)如果注意到y=log a(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=log a x,又x与y=a x互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可选B.y=loga应用二:不等式可化为log a(2a+1)<log a3a<log a1,等价于或解得<a<1,即a的取值范围为(,1).应用三:(1)由a>1,a-a x>0,即a<a x,得x<1,故f(x)的定义域为(-∞,1),由0<a-a x<a,可知log a(a-a x)<log a a=1,故函数f(x)的值域为(-∞,1).(2)f(x)在(-∞,1)上为减函数,证明如下:任取1>x1>x2,又a>1,∴>,∴a-<a-,∴log(a-)<log a(a-),即f(x1)<f(x2),a故f(x)在(-∞,1)上为减函数.基础智能检测1.D由log2x>1知x>2,故N={x|x>2},∴M∩N={x|2<x<3}.2.D因为函数f(x)=a-x的定义域为R的增函数,所以0<a<1.另外g(x)=log a(x+1)的图象是由函数h(x)=log a x的图象向左平移1个单位得到的,所以选D.3.{x|0<x<3}因为log3x<1=log33,所以x满足的条件为即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}.4.解:原不等式化为log a(x-4)>log a(2x-1).当a>1时,不等式等价于解得x∈⌀.当0<a<1时,不等式等价于解得x>4.综上知,当a>1时,x∈⌀;当0<a<1时,解集为{x|x>4}.全新视角拓展A本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知f(x)=f(-x),即函数为偶函数,排除C;由函数过(0,0)点,排除B,D.思维导图构建反函数y=x 减函数增函数f(x)>0。

高中数学必修一：对数运算的应用拓展教案
一、教学目标
1.了解对数的应用领域及其与数学、物理、化学等学科的联
系。

2.掌握对数的特性、常用的对数运算及其实际应用。

3.运用对数解决实际问题，培养学生的数学思维能力和创新
精神。

二、教学方法
1.课前讲授，让学生了解对数的基本概念和性质。

2.课堂活动，引导学生探究对数的实际运用和应用举例。

3.小组合作，加强学生间的互动交流，提升学生的思维能力
和解决问题的能力。

三、教学内容
1.对数的应用领域
介绍对数运算的应用领域，如音乐、生物、物理、化学等，在不同领域中对数的应用方法和实际意义。

2.对数的特性及运算规律
1)对数的定义及基本性质
2)对数的运算规律：加减、乘除及其法则。

3.对数的实际应用
1)物理中的对数应用
2)生物学中对数的应用
3)化学中对数的应用
4)金融中对数的应用
四、课堂实践
1.让学生自己寻找对数的实际应用，结合实际例子进行讲解。

2.利用小组合作方式，让学生进行对数的题目练习，并加强学生之间的互动交流。

3.让学生自己设计有关对数的小项目，提升学生的实践能力和创新精神。

五、教学反思
通过对数运算的应用拓展教学，让学生深入了解对数的特性和实用性，掌握对数的基本知识和运算规律，培养学生的数学思维能力和创新精神，提升学生的实践能力和解决问题的能力。

同时，通过小组合作方式，加强学生之间的互动交流，促进共同学习和友好协作，达到了教育教学目的。

《对数函数的应用》导学案教学目标：①掌握对数函数的性质。

②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。

③注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。

教学重点与难点：对数函数的性质的应用。

教学过程设计：⒈复习提问：对数函数的概念及性质。

⒉开始正课1 比较数的大小例1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？生：这两个对数底相等。

师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga5.1板书：解：ⅰ）当0∵5.1loga5.9ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？生：这三个对数底、真数都不相等。

师：那么对于这三个对数如何比大小？生：找“中间量”，log0.50.6>0，lnл>0，logл0.51，log0.50.6板书：略。

师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数函数图象的位置关系来比大小。

2 函数的定义域, 值域及单调性。

例2 ⑴求函数y=的定义域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要使函数有意义。

若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。

高一数学对数函数教案3篇(高一数学对数函数课件)下面是整理的高一数学对数函数教案3篇(高一数学对数函数课件)，欢迎参阅。

高一数学对数函数教案1教学目标：(一)教学知识点：1.对数函数的概念；2.对数函数的图象和性质.(二)能力训练要求：1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质.(三)德育渗透目标：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的互相转化.教学重点：对数函数的'图象和性质教学难点：对数函数与指数函数的关系教学方法：联想、类比、发现、探索教学辅助：多媒体教学过程：一、引入对数函数的概念由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念”由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有：问题：1.指数函数是否存在反函数？2.求指数函数的反函数．3.结论所以函数与指数函数互为反函数．这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数．二、讲授新课1.对数函数的定义：定义域：(0,+∞);值域:(-∞,+∞)2.对数函数的图象和性质：因为对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称．因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的图象．研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形．那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．请同学们作出与的草图，并观察它们具有一些什么特征？对数函数的图象与性质：（1）定义域：（2）值域：（3）过定点，即当时，（4）上的增函数（4）上的减函数3.练习：(1)比较下列各组数中两个值的大小：(2)解关于x的不等式：思考：(1)比较大小：(2)解关于x的不等式：三、小结这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数．并且研究了对数函数的图象和性质．四、课后作业课本P85，习题2．8，1、3高一数学对数函数教案2本文题目：高一数学教案：对数函数及其性质2.2.2 对数函数及其性质(二)内容与解析(一) 内容：对数函数及其性质(二)。

第1页，共8页 第2页，共8页§4.3.2 对数的运算一、导读[学习目标]1.理解对数的运算性质．2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．[重难点]1.教学重点：对数的运算性质；2.教学难点：对数的运算性质的探究、对数换底公式的推导.突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。

二、自究(预习课本128、129页)1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是________________.2.运算性质 条件 0>a ,且1≠a ，0,0>>N M性质3.换底公式ab bc c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．2第3页，共4页第4页，共4页三、展评例1．求下列各式的值：（1） （2）()752log 42⨯ （3）log 84＋log 82；（4）log 510－log 52 （5）12log 612－2log 6 2变式练习1.课本P 126练习1.2.计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8； (4)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8第5页，共8页第6页，共8页例2．用ln ,ln ,ln x y z 表示下列各式：（1）ln xy z ； （2）23x y z变式练习3.课本P 126练习2.4.设10a ＝2，lg 3＝b ，则log 26＝( )A.b aB.a ＋b aC ．abD ．a ＋b例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+ 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？变式练习5.课本P 126练习3.四、课堂检测：1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A ．log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B ．(log a x)n ＝nlog a xC.log a x n ＝log a n xD.log a x log a y＝log a x －log a y 2．计算：log 153－log 62＋log 155－log 63＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．计算log 92·log 43＝( )4第7页，共4页第8页，共4页 A ．4 B ．2 C.12 D.144．计算log 916·log 881的值为________．5.求值：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2).log 23·log 35·log 516（3）(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．6．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .五、课堂小结1.对数的运算法则。

11．对数及对数运算张文涛学习目标1．理解对数的观点及其运算性质，会娴熟地进行指数式与对数式的互化，能灵巧娴熟地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算．2．认识对数恒等式，知道用换底公式能将一般对数转变成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简与证明．3．认识对数的发明历史以及对数在简化运算中的作用．一、夯实基础基础梳理1．对数的概论（ 1）定义一般地，假如a x N ，（ a0 ，且 a 1），那么数x叫做以 __________为底 __________的对数，记作 __________，此中a叫做对数的 __________， N 叫做 __________ ．（ 2）常用对数与自然对数往常我们将以 __________为底的对数叫做常用对数，记为__________．在科学技术中常使用以无理数 e 2.718 28 为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为 __________．2．对数与指数间的关系当 a 0 ， a 1 时， a x N__________ ，前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质性质 1__________ 没有对数性质 2 1 的对数是 __________ ，即 log a 1__________（ a0 且 a 1 ）性质 3底数的对数是 __________，即 log a a__________（ a0 且 a 1 ）4．对数的运算性质（ 1）前提条件 a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N0 ．（ 2）运算性质① log a M N__________②M__________ log aN③ log a M__________5．对数的换底公式（ 1）条件： a0 ，且 a1； c0 ，且 c 1 ； b 0 ．（2）公式： log a b __________ ．6．题型剖析（ 1）对数式与指数式的互化（ 4）对数的运算性质（ 2）求对数的值（ 5）附带条件的对数式求值（ 3）求解含对数式的方程基础达标1．若a b2b0，b 1 ，则有（）A． log 2 a b B． log 2 b a C． log a b2D． log b a2 2．给出以下四个式子（已知 a 0 ，a 1 ，x y 0 ；）① log a x log a y log a x y② log a x log a y log a xy ③ log a x log a x y④ log a x log a ylog a x ylog a y此中正确的个数是（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个3． 2log a M2 Nlog a Mlog aN ，则M的值为（ ）NA ．1B ． 4C ． 1D ．4或144．给出以下 4 个等式中错误的选项是（）A ． log 2 53 3log 2 5B ． log 253 5log 2 3 C ． log 8 42D ． log 2 4435．计算：（ 1） lg2 2lg25 ；lg2 lg50（ 2） 2 lg22 lg5lg2lg2 12lg 2二、学习引导自主研究1．假定 2008 年我国公民生产总值为a 亿元，假如每年均匀增加8%，那么经过多少年公民生产总值是 2008 年的 2 倍？（设经过的年数为 x ）（ 1）请你列出对于 x 的方程，并化简．（ 2）若该方程的根 x 能够取小数，你以为该方程的正确解吗？请利用这前所学的知识回答．（ 3）你可否利用计算器或软件预计x 近似值吗？阅读课本，怎样表示x 的正确值？2．请依据以下所给的方程，填写空格：方程已知未知 求未知数的运算未知数的表示名称 x 3 8底数开方2 x8底数和幂3．（ 1）阅读课本，你能求情对数符号 log a b 的数学意义吗？请联合详细例子说明．（ 2） log 2 3 放在以下哪一个地点，等式必定建立？由此可否获得一般的结论？① 2 3 ； ② 32 ； ③ log 23 ； ④ log 32 ．4．依据对数的定义，我们能够确立以下各式的结果，请试一试，并证明你的结论： （1）alog ab__________ ；（ 2 ） log a 1__________ ；（ 3 ） log a a__________ ；（ 4 ）n__________．log a a5．（ 1）在对数符号 log a N a 0 ，a 1 中， N 可否能否是正数？为何？（ 2） log a N a 0 ，a 1 的值能够是负值的吗？如能，试举一例．6．研究 log a MN、 log a M与 log a M 和 log a N 的关系，并用自己的方法证明．N7．以下等式建立恒建立吗？假如不建立，能否存在特别的 a ，M ，N 使等式建立呢？（ 1） log a M N log a M log a N ．（ 2） log a MN log a M log a N ．（ 3）log a M log a M．N log a N以上均要求 a0 ，a1，M0 ，N0 ．事例剖析1．求以下各式中x 的值：（ 1） log x 311x ；（ 3） log a x 0a0 ，a 1 ；（ 4） log 1 x1；（ 2） log 2．222【答案】（ 1） 3；（ 2） 1 ；（ 3）1；（4） 2．【分析】（ 1）log x 3 1 ，x13即 x 3 ．（ 2）log 21x， 2 x1，x 1 ．22（ 3）log a x0a 0，a1，x1 ．a111（ 4）log 1x x2 2 ．，2222．求值：（ 1） log 1 16 ；（ 2） lg0.01 ；2（ 3） log a a b a0 ，a 1 ，b R ；（ 4）9log 3 10．【答案】（ 1） 4 ；（ 2）2；（ 3） b ；（4） 100 ．1x【分析】（ 1）设 log 1 16x ，则16，即 2 x 2 4，因此 x 4 ．22（ 2）设x ，则10x10 x10 2，因此 x2．bx ，则 a x b，因此 x b ．（ 3）设 log a a a（4）由a log a N N，得9log3 103log 3 102100 ．评注：对数问题经常经过复原成指数化来解决．3．求以下各式的值：（ 1）log24725；（ 2） lg5lg 2 ；（ 3） lg252lg8lg5lg20 lg22．3【答案】（ 1） 19 ；（2）1；（ 3）3．【分析】（ 1）log24725log2 21919 ．（ 2） lg5lg 2lg10 1 ．（ 3） lg252lg8 lg5 lg202lg 23lg252 31 lg2 1 lg222lg2lg3lg25lg41 lg2 2lg 2 2lg100 1 3 ．4．已知 abc ，且11 2 ，求 c 的值．3 5ab【答案】 15 ．【分析】由 3ac 得： log c 3a 1 ，即 a log c 3 1 ，log c 3 1 ；a 同理可得1log c 5 ，由11 2 得 log c 3 log c 5 2 ，bab logc 15 2 ， c 2 15 ， c0 ， c 15 ．5．设 Fxlg x 12lgx 1．当 x 在什么区间时， F x ≥ 0 ．2xx 2【分析】 lg x 12lg 1 ≥ 0 lgx 1 ≥ lg12 21≥x2x12x 2 8x 8 ≤ 0 ， 4 2 2 ≤ x ≤ 4 2 2 ， x 1x2x 2 ，x12解得： 2 x ≤ 4 2 2 ，当 x 2 ，4 2 2 时， F x ≥ 0 ．6．设 x 1 ，y 1 ，且 2log x y 2log y x 3 0 ，（ 1）证明： t log x y 0 ；（ 2） T x24 y 2 的最小值．【答案】 T min 4 ．【分析】（ 1） tlog x y y x ， y 1x t 1 x 0，又 x1 ，由指数性质能够知道 t 0 ． （ 2）由 2log x y 2log y x 30 ，得 2t 23 0 ， 2t 23t 2 0 ，t1，即 log x y 11x y 2 ，2t 1 t20 ， t 0 ， t，因此 y x 22 2T2224x x22x 4 y x 4 ，x 1 ，当 x 2 时， T min 4．三、能力提高能力闯关1． log █n1n等于（）A． 1B．1C．2D．2a 22．若 lg a 、lg b 是方程 2x24x10 的两个实根，求lg ab lg的值．b3．已知 18a9，b5 ，试用a ，b表示log3645的值．18拓展迁徙1．解以下方程：（ 1） log 4x4x2 5 x2 1 ；（ 2） log a x log x a a 0 ，a 1 ．22．设 log8 3 a ，log35 b ，试用 a 、b 表示 lg 5．挑战极限1．解决以下问题：（ 1）对于x的方程 log a12log 212， a0 ，a1的解集是 __________．x x11（ 2）设 p ，q0 ，且知足 log 9p log 12 q log 16p q，求q的值．p课程小结1． log a b x a x b ．此处要求 a0 ，a1， b 0．对数中的好多问题的解决都要用到指数式与对数式互化知识．2．以下 9 个（三组）对数运算公式在对数式运算与变形中应用宽泛：（ 1）第一组：① log a 10 ；② log a a 1 ；③a log a b b ．（ 2）第二组：① log a x log a y log a xy ；② log a x log a yx log a xlog a；③log alog x ．y y（ 3）第三组：① log a x b y ylog a b ；② log a b log ax bx；③1logb a ．x log a b3．常用对数就是以10 为底数的对数，其符号是lg x ，即 lg x log10x ；自然对数就是以自然常数为底数的对数，其符号为ln x ，即 ln x log e x ，这两种对数是我们此后要点研究的两种对数．11．对数及对数运算基础梳理1．（ 1）a， N ， x log a N ，底数，真数；（ 2） 10 ， lg N ， ln N 2 ． x log a N不能够．能够．log c b3．对数的性质负数和零；0，0；1，1．4．log a M log a N ，log a M log a N ，n log a M ．5．log c a基础达标1． D2． A． 3．B 4． B．5．（ 1） 2；（2） 1【分析】（1）原式l2g221l．lg（ 2）原式 lg 2 2lg 2lg5lg2122 lg2lg5lg21 lg2 1 lg21lg自主研究1．【分析】（ 1） a 1 8%x2 2a ，即x（ 2）该方程必定有解，画出指数函数y x与常数函数 y 2 的图象，它们必有独一的交点，故方程x 2 必定有解．（ 3）利用《几何画板》，察看交点的横坐标，x9 ．方程的正确解为x log 2．yxA y=2O x2．【分析】方程已知未知求未知数的运算名称未知数的表示x38指数和幂底数开方x382x8底数和幂指数对数x log 2 83．【分析】（ 1）对数符号log a b 是用往返答真数 b 是底数a的多少次方的，或许说对数符号log a b 是用来求指数大小的，某种意义上说，对数就是指数．如：等式log 2 8 3 ，其意义就是8 是2 的3 次方（这里 3 是以 2 为底，8 的对数）；等式log a 10 ，其意义就是 1 是a的0 次方（这里0 是以 a 为底，1的对数）；若5x36 ，我们就能够回答x log 5 36 ．（ 2）可放在①的地点．由此可得对数恒等式：a log a b b ．说明；在学习数学的过程中，需要理解数学不单关注研究对象确实切结果，有时更关注怎样才能把研究对象的结果表示出来，对数的符号的引入其意义就在此，根式符号的引入也是出于这个目的．4．【分析】（ 1）令 log a b x，则 a x b，即a log a b b．（ 2）设 log a 1x ，则 a x1，又 a0 ， a1，x0 ，即 log a 10 ．（ 3）设 log a a x ，则 a x a ，又 a0 ， a 1 ，x 1 ，即 log a a1．（ 4） log a a n x ，则 a n a x，又 a0 ， a1，x n ，即log a a n n ．5．【分析】（ 1）设 log a N b ，则 a b N ，当 a0 时，不论 b 取何实数， a b0，即 N0， N≤0时，log a N 无心义．（ 2）令 log 21 b ，则 2b 1， b1， log 210 ．2226．【分析】经过特别值的察看，我们可发现：（ 1） log 2 32log2 4log 2 8log 2 2log 2 16 ．（2）log 2 4 log 2 8log 2 2log 2 32log 2 8 ，猜想，在 a0 ， a 1 ， M0 ， N0 时，应有以下恒等式；log a MN log a M log a N ，log a Mlog a M log a N ．设 log a M p ， log a N q ，由对数定N义能够获得：M a p， N a q , MN a p a q a p q ，log a MN log a a p q p q ，pM a q a p q，log a M log a a p q p q ，N a N即得 log a MN log a M log aMlog a M log a N ．N ， log aN7．【分析】取 a 2 ， M N8 ，代入查验，可知三式均不建立．等殊状况下，（1）（ 2）（3）式仍是有可能建立的，如：log a22log a 2log a 2 ； log a11log a 1 log1 ； log a a4log a a 4．不必定建立．a2log a a2能力闯关lg a lg b221． B2． 4．【分析】解：1lg ab lg alg a lg b lg a lg blg a lg b b22lg a lg b4lg a lg b2 4 443．a b．【分析】18a9 ， 18b 5 ，a log18 9 ， b log18 5，2alog36 45log18 45log 18 9log185a b ．log 18 36log18 18log1822a拓展迁徙1．（ 1） x 2 ；（ 2）x a或 x1 a124x4x 25x2【分析】（ 1）由原方程得4 x24 x5 x 24x 12．4 x 14x ≥ 0（ 2）原方程可化为 lg xlg a ， lg x lg a 或 lg xlg a ，即 xa 或 x1 ． lg a lg xa2．3ab ．【分析】3ab1lg3 lg3lg3alog 3 3 a lg8 3lg 23 1 lg5lg3lg53ablg5．log 3 5blg53 1lg5ab1 3ab blg3lg3挑战极限1．（ 1）当 a1时，解集为x | x 1或x 1 ；当 a1时，解集为；（2）1 5．222【分析】（ 1）方程等价于 log a x 1 log 2 x 1log a x 1log 2 x 1 ，x 1 x 1x 1x 1 进一步变形得：lg x 1 1 10 ，x1lg a lg 2当 a1时，110 ，只要x1 0 ，解得 x1 或 x1 ；lg a lg 22x 1当 a1时， 110 ，故 lg x 1 0即 x1 1 ，无解．lg 22 lg ax 1x 1（ 2）令 log 9 p log 12 q log 16 p qt ，即 p 9 ， q 12 ， p q 16442因此 912．16 ，即133q124，则 1 x21 5，又q q 15记 x93x，解得 x0 ，因此p．p2p2。