广东深圳中学高中数学必修一导学案6函数的单调性

课题：函数的单调性（教案）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修1第一章【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅力。

【教学重点】形成增（减）函数的形式化定义【教学难点】用定义证明函数的单调性【教学方法与手段】1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方法。

从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体投影、几何画板.【教学过程】一、创设情境，引入课题由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。

二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知问题1：下面分别是函数2,y x y x ==的图象，观察函数图象的升降趋势。

分析：学生会观察到一次函数y x =的图象从左到右都是上升的，而二次函数2y x =的图象在y 轴的左侧从左到右是下降的，在y 轴的右侧从左到右是上升的。

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）教学目标（一）知识与技能目标学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义2、会根据函数的图像判断函数的单调性3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数（二）过程目标1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养（三）情感、态度和价值观1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明一、复习回顾，新课引入1、函数与映射的定义。

2、函数的常用表示方法3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？4、作出下列函数的图象：（1）y=x ； (2)y=x 2；二、师生互动，新课讲解：观察函数y=x 与y=x 2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化情况如何？可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．区间D 叫做函数的增区间。

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）教学目标（一）知识与技能目标学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义2、会根据函数的图像判断函数的单调性3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数（二）过程目标1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养（三）情感、态度和价值观1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明一、复习回顾，新课引入1、函数与映射的定义。

2、函数的常用表示方法3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？4、作出下列函数的图象：（1）y=x ； (2)y=x 2；二、师生互动，新课讲解：观察函数y=x 与y=x 2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化情况如何？可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．区间D 叫做函数的增区间。

§1.3.1 函数的单调性【学习目标】1．知识与技能：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；2．过程与方法：通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。

3．情感态度与价值观：通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。

【学习重难点】重点：函数单调性的概念；难点：函数单调性概念的形成过程。

【学习探究过程】（一）创设情境，引入课题实例: 请观察江津区四面山某日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？（二）引导探索，生成概念问题1:任意写出一个函数的解析式及定义域(1) 列出一些自变量x 的值，计算相应的y 值；(2) 画出草图，观察图像的上升、下降趋势，并指出y 值随x 的增大如何变化。

问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随x 的增大而增大．．”？（2）已知12a x x b <<<，若有12()()()()f a f x f x f b <<<。

能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？（3）已知123a x x x b <<<<，若有123()()()()()f a f x f x f x f b <<<<，能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？（4）已知1234a x x x x b <<<<<⋅⋅⋅<，若有1234()()()()()()f a f x f x f x f x f b <<<<<⋅⋅⋅<，能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？问题3：对于一般的函数()y f x =定义域为I ，在区间D 上，我们应当如何给增函数下定义？问题4：类比增函数的定义，对于一般的函数()y f x =，我们应当如何给减函数下定义？(三） 学以致用，理解感悟例1. 下图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2．反比例函数1y x =的单调性x y y=f(x)–1–2–3–4–512345–1–2123O①画出反比例函数1y x=的图象，并说出函数的定义域I 是什么？ ②它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论．思考：物理学中的玻意耳定律k p V=(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．（四）回顾反思，深化认识课堂小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？（五）布置作业1.基础达标：第39页习题1.3 A 组：1、2；2.思考探究：函数()y f x =定义域内的某个区间D 上任意两个自变量12,x x 的值，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x -<-，则函数()y f x =在区间D 上是 ．（填“增函数”或“减函数”）。

课题：§1.3.1函数的单调性编写: 江英伟 审核：丛培凤 时间：2013年9月一、学习目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、问题导入1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值变化______________________ ○2 函数的最大、最小值______________________ ○3 函数图象是对称性______________________ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 三、课堂探究（一）函数单调性定义1．增函数______________________思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义______________________3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论（二）典型例题例1．（教材P 29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 例2．（教材P 29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 思考：画出反比例函数xy 1=的图象． ○1 这个函数的定义域是什么？ ○2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 四、课堂练习：○1 课本P 32练习第4题； ○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 五、自主小结六、作业布置书面作业：课本P 39习题1．3（A 组） 第1- 2题．七、课堂反思。

第九教时教材：函数的单调性目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。

能利用单调性进一步研究函数。

过程：一、复习函数的图象作y=x2y=x3y=-x1、观察讲解时注意：1。

“在区间上”2。

“随着x的…”“相应的y值…”3。

“我们说函数…在…上是增（减）函数”2、上升到理性，得出定义：（见P58）注意强调：1。

属于定义域I内某个区间上2。

任意．．两个自变量x1,x2且x1<x2时3。

都有．．f(x1)<f(x2)4。

可用P58的示意图3、讲解“单调区间”概念。

同时解释一下“严格”单调的意义。

三、例题：例一图象法见P59例一（略）例二定义法见P59例二（略）例三定义法见P59-60 例三（略）注意：课本中的两个“想一想” 同时强调观察—猜想—讨论的方法。

例四、讨论函数21)(x x f -=的单调性。

解：定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -= 2221)(x x f -= 则)(1x f -2221211)(x x x f ---==2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x ∴若-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f)(1x f <)(2x f若 x 1<x 2≤1 则 x 1+x 2>0 则)(1x f -0)(2>x f)(1x f >)(2x f∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数，在[0，1]上为减函数。

四、小结：1.有关单调性的定义； 2.关于单调区间的概念；3.判断函数单调性的常用方法：定义法图象观察—猜想—推理论证五、作业（练习）P60 练习 P64-65 习题2.3 4、5、6 练习中 1 口答 其中1、2、3 口答。

函数的单调性(二)三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.教学重点领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.教学难点利用函数的单调性求最值.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.生：从图象上看出0时～4时之间气温下降，4时～14时之间气温逐渐上升，14时～24时气温逐渐下降.师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?生：14时气温达到最高，4时气温达到最低.师：从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值，从图象上看出，图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数的最大、最小值问题.〔点明本节课的内容，并板书课题：单调性与最大（小）值（2）〕二、讲解新课师：上面我们从直观的感受知道了最值的概念，下面给出严格的定义（一起看课件）.一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值，记为y max＝f（x0）.师：定义中的两个条件缺一不可，只有（1）没有（2）不存在最大值点，而只有（2）没有（1），M 不一定是函数y=f（x）的最大值.比照最大值的定义，哪位同学说出最小值的定义？生：我们只需把“f（x）≤M”改为“f（x）≥M”，然后将最大值改为最小值即可.师：回答的简洁而正确.（点击课件，读一遍最小值的定义）（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，记为y min＝f（x0）.师：函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标，好像有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.请大家思考，是否每个函数都有最大值、最小值？举例说明.生：一个函数不一定有最值，例如y =x1在定义域内没有最大值也没有最小值. 师：对，有的函数可能只有一个最大（或小）值，例如y =3x +2，x ∈［0，3）.如果一个函数存在最值，那么函数的最大值和最小值都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个，如y =x 2，x ∈［－2，2］，最大值只有一个为4，而取最大值的x 有两个x =±2.（让学生自己出一些函数题给同桌解，加深对最值的理解）（接下来看函数最值的应用）【例1】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点（大约是在距地面高度25 m 到30 m 处）时爆裂.如果在距地面高度18 m 的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7 m/s.（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.（2）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确到1 m ）方法引导：这是物理中的上抛运动，s =v 0t +21at 2，又v 0与重力加速度g 的方向相反，所以s =v 0t －21gt 2. 解：（1）设烟花在t s 时距地面的高度为h m ，则由物体运动原理可知h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18.（2）作出函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18的图象（图略）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h （t ）=－4.9t 2+14.7t +18，我们有：当t =－)9.4(27.14-⨯=1.5时，函数有最大值，h =)9.4(47.1418)9.4(42-⨯-⨯-⨯≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.注：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知二次函数，求其定义域上的最大值.三、课堂练习1.求下列函数的最值：（1）y =x 2－2x +3，x ∈R ；（2）y =x 2－2x +3，x ∈［2，5］；（3）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，0］；（4）y =x 2－2x +3，x ∈［－2，4］.让学生讨论、求解，并结合图象说明理由，总结归纳求解这类问题的一般方法.（作图要求：在坐标系内画出y =x 2－2x +3完整的图象，但定义域内的部分用实线画出，其余部分用虚线画出）答案：（1）x =1时，y min =2.（2）x =2时，y min =3；x =5时，y max =18.（3）x =0时，y min =3；x =－2时，y max =11.（4）x =1时，y min =2；x =－2或4时，y max =11.求二次函数在闭区间上最值问题的方法，是弄清对称轴与区间的相互位置、利用图象，结合单调性求解.课后研究：求下列函数的最值：（1）y =x 2－3x +1，x ∈［t ，t +1］，t ∈R ；（2）y =x 2－2ax +5，x ∈［－2，3］，a ∈R .【例2】 求函数y =12-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 方法引导：由函数y =12-x （x ∈［2，6］）的图象可知，函数y =12-x 在区间［2，6］上递减.所以，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1、x 2是区间［2，6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=121-x －122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x . 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，（x 1－1）（x 2－1）＞0，f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）.所以，函数y =12-x 是区间［2，6］上的减函数. 因此，函数y =12-x 在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得最大值，最大值是2，在x =6时取得最小值，最小值是0.4.注：闭区间上的单调函数的最值在区间的端点处取得.2.北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元.解：若设每天从报社买进x （250≤x ≤400，x ∈N ）份，则每月共可销售（20x +10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x －250）份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f （x ），再求f （x ）的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得y =0.10（20x +10×250）－0.15×10（x －250）=0.5x +625，x ∈［250，400］.∵函数y 在［250，400］上单调递增，∴x =400时，y max =825（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容.（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生甲：这节课我们学习了函数最值的定义，定义中两点是缺一不可的.另外，若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个.有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值.生乙：今天学了两类函数的最值的求法；二次函数在闭区间上最值问题，关键是弄清对称轴与区间的相互位置；利用图象、结合单调性求解；单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性，然后在区间的端点处取得.五、布置作业1.（补充）某鱼塘目前鱼群总量为x 千克，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总量变为h 千克，反映x 与h 间的函数关系为h （x ）=rx （1－Nx ），其中常数r （r ＞1）是鱼群的增长系数，N （N ＞0）是该鱼塘环境所能负荷的最大鱼群重量（千克）.如果该鱼塘最多能负荷20万千克的鱼群，还知道有一年这鱼塘养了8万千克鱼群，第二年鱼塘鱼群总量达19.2万千克，为了保持每年鱼塘中鱼群量的稳定，捕鱼时必须适度捕捞.问这个鱼塘应保持鱼群量为多少时，才能从第二年起每年都有持续的最大捕鱼量?每年持续的最大捕鱼量是多少千克?板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（2）最大值：最小值：例1例2例3例4。

高一数学必修1 函数的单调性
教学目标
知识与技能
（1）通过对初中已学习过的函数（特别是二次函数）图象的观察，分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义。

（2）能根据图像的升降特征，划分函数的区间；理解增（减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。

过程与方法
从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题，引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立增（减）函数的概念。

情感态度与价值观
(1)理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言，
提升学生的数学思维能力，使学生学会科学地思考问题，科学地
解决问题。

(2)加强判断能力，推理能力和化归转化能力。

重点难点
重点
借助图像，表格和自然语言，数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题。

难点
形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；用定义证明函数的单调性。

教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。

“教学评”导学案课题：函数的单调性与最大（小）值（第一课时）共 2 课时姓名年级班组名【学习目标】1. 会用函数语言表达函数单调性的定义.2. 会根据函数单调性的定义判断、证明一些简单函数的单调性，并能归纳出证明的一般步骤.【知识梳理】1．一般地，设函数f(x)的定义域位D，区间I⊆D:（1）如果 x1,x2∈I，当时，都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.（2）如果x1,x2∈I，当时，都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.2.函数单调性的定义：如果函数y=f(x)在区间D上，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.3.（1）当函数f(x)在它的定义域上时，我们就称它是.（2）当函数f(x)在它的定义域上时，我们就称它是.【核心任务】探究一、利用函数图像的直观性叙述函数的单调区间（指向目标一）例1 给出函数y = f (x) 的图象，如图所示，可根据图象得出函数在区间上是单调递减；在区间上是单调递增．探究二、利用定义证明简单函数的单调性（指向目标二）在区间(0,+∞）上的单调性.例2用定义证明f(x)=xx+1当堂练习：判断并证明函数f(x) = 4 x-2的单调性.【课堂评价】注：①(0,70]为第一层次.②(70,85]为第二层次.③(85,100]为第三层次.【课后作业】根据课堂评价表分层对应题型.第一层次：判断并证明函数f(x)=2x在区间(0,+∞)上的单调性.第二层次：判断并证明函数f(x)=2x的单调性.第三层次：判断并证明函数f(x)=2ax 的单调性.课堂评价表项目评价内容自评分值15分互评分值5分1 任务一：会用函数语言表达函数单调性的定义2 例题1、2；当堂练习3 任务二：会根据函数单调性的定义判断、证明一些简单函数的单调性，并能归纳出证明的一般步骤4 学后总结、口诀理解5 笔记6 总分。

19．函数单一性与奇偶性综合应用王红玲学习目标1．进一步熟习函数奇偶性、单一性有关知识，能利用这些性质研究综合性更强的问题．2．能解决含字母函数的奇偶性、单一性问题．3．能解决与指数函数、对数函数有关的复合函数的性责问题．4．会剖析简单的抽象函数的奇偶性、单一性问题．一、夯实基础基础梳理基础达标1．（2011 年广东）设函数 f x 和 g x 分别是R上的偶函数和奇函数，则以下结论恒建立的是（）A． f x g x 是偶函数B． f x g x 是奇函数C． f x g x 是偶函数D． f x g x 是奇函数2．以下四个函数中，在区间0，1上为减函数的是 B 5x x 1A． y x 1 B． y xlog 2 x C． y 1 D． y x32 23 ．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，且在，0 上 f x 是单一增函数，那么当x1 0，x2 0 且 x1 x2 0 时，有（）．A． f x1 f x2 B． f x1 f x2C． f x1 f x2 D．不确立4．已知函数 f x3a 2 x 6a 1，x 1，a 的取值范a x，x 1在，上单一递减，那么实数围是（）A． 0，1 B．0 ，2C．3，2D．3，3 8 3 185．（ 1）若 f x 为奇函数，且在0，内是增函数，又 f 3 0 ，求不等式 x f x 0 的解集．（ 2）定义在 2 ，2 上是偶函数g x ，当 x 0 时， g x 为减函数，若g 1 m g m 建立，求 m 的取值范围．二、学习引导自主研究1．若 f x 1 是定义在R上的偶函数，判断以下等式在R 上是一否恒建立：（ 1） f x 1 f x 1 ；（2） f x 1 f x 1 ．2 ． 若 函 数 f x 在 区 间 a ，b 上 满 足 条 件 ： 对 任 意 x 1 ，x 2 a ，b ，x 1 x 2 ， 恒 有f x 1f x 20 ，你可否确立函数 f x 在区间 a ，b 上的单一性？x 1 x 23 ． 若 函 数 f x 在 区 间 a ，b 上 满 足 条 件 ： 对 任 意 x 1 ，x 2 a ，b ，x 1 x 2 ， 恒 有f x 1f x 21，请你 用 f x 结构一个单一函数．x 1x 24．若函数 f x是定义在 R 上的偶函数，且函数 f x 在 0 ， 上单一递加， f m f n ，则 m ，n 应知足如何的关系？请用一个不等式回答． 5．奇函数 f x 有最大值 M ，那么函数 f x 能否必定有最小值吗？说明原因．6．拓展思想：已知 f x 是定义在 R 上的函数，依据以下条件，解决问题：（ 1）若对于随意实数 a ，b ，都有 f a b f a b 2 f a f b ，求证： f x 是偶函数．（2）设 F x f xfx ， G xf xf x ，求证： F x 是偶函数， G x 是奇函数．事例剖析1．定义在R 上 的 偶 函 数 f x ， 对 任 意 x ， x 0，xx ， 有1212x 1 x 2f1x f2 0x ，则以下结论正确的选项是（）A ． f 3 f 2 f 1B ． f 1f 2 f 3C ． f2f 1f 3D ． f 3f 1f2【答案】 A ．【分析】由已知 x 1 x 2 f x 1 f x 20 ，得 fx 在 0，上单一递减，由偶函数性质得 f 2f2 ，即 f3 f2 f 1 ．x e x2．函数 y e 的图象大概为（ ）xe xeyyyy1111O 1xO1xO1 x O 1xA B C D【答案】 A．【分析】 f x eexe xx 在其定义域，0 0 ，x xf x ， f 上是奇函数，图e象对于原点对称，清除D．x 0时， y e x e x e2x 1121，清除 C，e x e x e2x 1 e2x 1因此当 x 0 时，函数 f x 为减函数，清除B．3．已知 a 0 ，函数 f x x ax 0 ，x（ 1）用定义研究该函数的单一区间，指出其在相应区间上的单一性；（ 2）若已知该函数的最小值是 a 8 ，务实数 a 的值．【分析】依据单一性的定义，按基本步骤要求去剖析、研究．（ 1）设 x1、 x2是随意两个正数，且x1 x2，则 f x1 f x2 x1 a x2 a x1 x2 x1x2 a ，x1 x2 x1x2当0 x1 x2 a 时， 0 x1 x2 a ，又 x1 x2 ,0 ，因此 f x1 f x2 0 ，此即 f x1 f x2 ，因此函数 f x 在0 ， a 上单一递减；而当 a x1 x2时， x1x2 a ，又x1 x2 0 ，因此 f x1 f x2 0 ，此即 f x1 f x2 ，因此函数 f x 在 a ，上单一递加．（ 2）方法一：由（1）的研究得该函数的最小值是 f a 2 a ，依题意， a 8 2 a ，因此22 a 8 0 ，解得 a 4 a 2舍去，a因此所求的实数 a 16 ．方法二：由最小值的定义知， f x a 8 0 恒建立，且能取到等号．f x a 8 0 x a a 8 1 x2 a 8 x a 0 ，x 0x x2a 8 a 0，x 0x于是二次函数y x2 a 8 x a ，x 0 的图象张口向上，且与 x 轴只有一个交点，即24a 0 ，得 a 16 或 a 4 ．a 8经查验， a 16．4．函数 f x log 9 x 8 a 在 1，上是增函数，求 a 的取值范围．x【分析】设 u x 8a ，则问题等价于u x 8 a在 1，上是增函数且恒有 u 0 ．x x一方面，对随意的 1 x1 x2， u1 u2 x1 8 ax2a x8xx1 x2 x1 x2 a0 ，x1 x2此中 x1 x2 0 ，进而 x1 x2 a 0 ，即 a x1x2．x1x2x2 x1 1，x1 x2能够取到 1，中一确实数，要使 a x1x2恒建立，只需 a 1 ；另一方面， u x 8 a 在1，上是增函数，x恒有 u 0 umin 1 8 a 0 ，即 a 9 ，综上 a 的取值范围是．说明：函数 f x log9 g x 在 1，上是增函数能够等价转变为函数g x 在 1，上是增函数且在1，上恒有 g x 0 ．5． f x 是定义0，上的函数，对于随意正数x ， y 都有 f xy f x f y ，且 f x 0 ，当 x 1 时， f x 1 ．试判断 f x 在0 ，上的单一性，并说明原因．【分析】解法一：对于x 0 ，有 f x f x x2x 0 ，f又 f x 0 ， f x 0 ，设 x1，x2 0 ，，且 x1 x2，则f x2 f x2 x f x2 f x1x2 x1 x1 f 1，f x1 f x1 f x1 x1因此 f x1 f x2。

【学习目标】（1）建立单调性的概念.（2）经历图形语言，自然语言到符号语言的思维过程. （3）理解函数单调性的证明过程. 【重点、难点】“任意”二字必要性的体现 【教学过程】 提出问题，导入新课在初中阶段学过一次函数，二次函数以及反比例函数，请根据函数图象，说说这些函数图象的性质. 师生互动，探索新知问题1：函数2=)(x x f ，x 在哪个范围变化时，y 随x 的增大而增大或者减小？你用什么方法判断的？ 问题2: 如何用符号语言精确描述y 随x 的增大而增大？问题3: 如果函数f (x )在给定区间I 上的图象是上升的，也就是函数值在区间I 上随着 x 的增大而增大，能用符号语言刻画这一特点吗？思考： (1)设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且∀D x x ∈<21，都有)(<)(21x f x f 我们能说函数f (x )在区间D 上单调递增吗？(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出整个定义域内是单调递增的函数例子吗？那些函数在某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减？ 学以致用，巩固新知例1、根据定义证明函数x +1x在区间（1，+∞）上单调递增.变式训练:（1）讨论函数y = x +1x的单调性.（2） 讨论函数y = x +k x(k >0)在的单调性. （3）探究函数y = ax +b x(a >0,b >0)的单调性 .例2、设函数y =f (x )的定义域为I ，区间I D ⊆，记21=x x x －Δ21=Δy y y －证明：(1)函数y =f (x )在区间D 上单调递增的充要条件是：∀D x x ∈<21，21≠x x ，都有0>ΔΔxy. (2)函数f(x)在区间D 上单调递减的充要条件是：∀D x x ∈<21，21≠x x ，都有0<ΔΔxy. 例3、设函数3+)1+(2=)(2x a x x f －－在区间(−∞，3]上是增函数，求实数a 的取值范围.变式训练：将上列函数单调性改成在区间（1，2）上是单调函数，实数a 的取值范围.例4、设函数f (x )在R 上是增函数，且f (2x 3)<f (5x 6) ，求实数x 的取值范围. 变式训练：(1)将上列函数定义在(0，+∞)上是增函数，求实数x 的取值范围.(2)若定义在R 上的奇函数f (x )在(−∞，3）上是单调递减，且f (2)=0，则满足 xf (x 1)≥0的x 的取值范围是 . 反思小结，观点提炼（1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体的例子吗？ （2）理解函数单调性时应把握好哪些关键问题？（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？ 布置作业，拓展提升函数单调性跟踪作业.。