初高中数学衔接讲座00 前言 (深圳中学 曾劲松)

初高中数学衔接讲座曾劲松(深中校训)前 言个人网站：www .sx 一、高中，我们将要学习哪些内容？（高中数学课程框架）●必修模块：●选修系列：网上可查看所有人教版的教材：/●必修课程 (包括5个模块)数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。

数学3：算法初步、统计、概率。

数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：解三角形、数列、不等式。

●选修课程•系列1,由2个模块组成(文科)，•系列2,由3个模块组成(理科),•系列3,由6个专题组成(高考不考), •系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。

▲系列1：由2个模块组成(文科) 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

▲系列3：由6个专题组成(高考不考)•选修3-1：数学史选讲。

•选修3-2：信息安全与密码。

•选修3-3：球面上的几何。

•选修3-4：对称与群。

•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。

•选修3-6：三等分角与数域扩充。

▲系列4：由10个专题组成。

•选修4-1：几何证明选讲(文\理)。

•选修4-2：矩阵与差分。

•选修4-3：数列与差分。

•选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。

•选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。

•选修4-6：初等数论初步。

•选修4-7：优选法与试验设计初步。

•选修4-8：统筹法与图论初步。

•选修4-9：风险与决策。

•选修4-10：开关电路与布尔代数。

数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修2-1 选修2-2 选修2-3选修4-1 选修4-4 选修4-5 填空题，2选1总结：理科学习内容:数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修1-1 选修1-2选修4-1 选修4-4 填空题，2选1总结：文科学习内容:二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情) 1．绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式的问题。

高初中数学的衔接讲座-育才编（全套，新课标人教A版）如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。

引入课初高中数学教学内容分析教学目标：1．通过介绍，认识到衔接的重要性与必要性，2．了解初高中数学知识的“脱节点”3．初步规划高中数学的学习方法教学重点：知识点的差异与学习方式的差异教学难点：在初中薄弱的数学基础上如何学好高中数学教学过程：阅读材料一：现有初高中数学知识存在以下“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

阅读材料二：初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a<>⇔-<<；||(0)x a a x a>>⇔<-或x a>2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b-=+-⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b-=-++⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

高中数学导数教案曾劲松教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握导数的概念、求导法则以及应用，并能够熟练地运用导数解决实际问题。

教学重点：导数的概念、求导法则、导数应用教学难点：导数的运算技巧、实际问题的建模与解决教学准备：1. 教师备课：复习导数的相关知识，准备案例分析和习题讲解。

2. 学生准备：提前预习导数的基本概念和求导法则。

教学过程：一、导入新知识（5分钟）1. 回顾导数的概念，即函数在某一点处的斜率。

2. 提出问题：如何求一点处的导数？什么是导数的求导法则？二、讲解导数的求导法则（15分钟）1. 常见函数的导数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

2. 引导学生通过法则推导，掌握导数的计算技巧。

三、导数应用实例分析（20分钟）1. 案例讲解：通过实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、曲线切线问题等。

2. 学生独立思考：让学生自行尝试求解一些实际问题，提高运用导数的能力。

四、导数练习与作业布置（10分钟）1. 练习题：布置一些导数相关的练习题，巩固学生对导数的运用。

2. 作业布置：要求学生完成《高中数学导数》相关章节的习题，并思考如何解决更复杂的导数应用问题。

五、课堂总结（5分钟）1. 总结导数的基本概念、求导法则以及应用，强调导数在数学和实际问题中的重要性。

2. 引导学生对今天的学习进行反思和总结，以便更好地掌握导数知识。

教学反思：本节课主要围绕导数的概念、求导法则和应用展开，通过案例分析和实际问题探讨，帮助学生深入理解导数的重要性和作用。

在导数的学习过程中，学生需不断练习，加强计算技巧和思维能力的培养，以便更好地应用导数解决实际问题。

通过本节课的学习，学生希望能够掌握导数的基本知识和技巧，并能够灵活运用于解决各类导数相关问题。

初升高衔接课第一讲——开启高中数学成功的钥匙一、学习目标：1、认识初高中数学学习的特点和差异2、了解高中数学的考法3、了解高中数学的学习策略和学习方法二、学习重点：1、初高中数学知识差异与学法差异2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。

三、重点讲解：高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。

高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。

客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。

那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。

（一）高中数学教材分析高中数学课程分为必修和选修。

必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。

内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。

进入高中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。

《必修1》模块由两章构成，分别是：第一章：集合第二章：函数如何理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。

在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。

（二）高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上的突变。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高中数学一开始即在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。

初高中数学衔接讲义摘要：I.引言- 介绍初高中数学衔接讲义的背景和目的II.初高中数学衔接的重要性- 分析初中数学和高中数学的差异- 强调初高中数学衔接的必要性III.初高中数学衔接讲义的内容- 初中数学知识的回顾与巩固- 高中数学知识的预先介绍- 初高中数学衔接的策略与方法IV.初高中数学衔接讲义的实践效果- 学生学习兴趣的提高- 学生数学成绩的提高- 学生思维能力的培养V.结论- 总结初高中数学衔接讲义的意义和价值正文：I.引言初高中数学衔接讲义是为了帮助学生更好地从初中数学过渡到高中数学，建立初高中数学知识的桥梁。

通过本讲义，学生可以提前了解高中数学知识，更好地理解高中数学课程，提高学习效率和兴趣。

II.初高中数学衔接的重要性初中数学和高中数学之间存在很大的差异，初中数学知识以基础为主，而高中数学知识更加深入和抽象。

如果没有一个良好的衔接，学生可能会在进入高中后感到难以适应，影响学习效果。

因此，初高中数学衔接非常必要。

III.初高中数学衔接讲义的内容初高中数学衔接讲义主要包括初中数学知识的回顾与巩固，高中数学知识的预先介绍，以及初高中数学衔接的策略与方法。

通过这些内容，学生可以温故知新，更好地理解高中数学知识，掌握学习方法。

IV.初高中数学衔接讲义的实践效果初高中数学衔接讲义在实际教学中取得了良好的效果。

学生通过学习讲义，不仅提高了学习兴趣，而且数学成绩也有所提高。

同时，讲义中的思维训练题目也有效地培养了学生的思维能力。

V.结论总的来说，初高中数学衔接讲义对于学生适应高中数学学习，提高学习效果具有重要意义。

22．函数的最大（小）值及其应用曾劲松 学习目标1．会用函数图象或函数性质研究函数的最大（小）值． 2．会用换元法研究复合函数的最大（小）值． 3．会用方程思想研究复合函数的最大（小）值．4．能利用函数0ax b a b y ac cx d c d +⎛⎫=≠≠ ⎪+⎝⎭，与()0by ax a x=+>求简单的分式函数的最值． 5．对“不等式恒成立”与“不等式有解”这两种题型能利用函数思想进行等价转化． 一、夯实基础 基础梳理题型三 函数最值的实际应用 基础达标1．函数()f x ax b =+，[]11x ∈-，最大值是（ ）．A ．a b +B ．a b -+C ．a b +D ．a b +2．函数()()20f x ax bx c c =++≠的图象关于直线2x =对称，那么在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，最小听一个不可能是（ ）A ．()1f -B ．()1fC ．()2fD ．()5f3函数()()111f x x x =--的最大值是（ ）．A ．45B ．54C ．34D ．434．设1a >，()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）．A B ．2 C ． D ．45．若函数()()2log 231a y x x a a =++->没有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 二、学习指引 自主探究1．（1）给出二次函数()()210f x x bx a =++>，我们知道，它对应的抛物线开口向上，对称轴位置不确定．你在求()f x 在闭区间[]m n ，上的最大值时，应该分哪几种情况讨论？如果是求最小值呢？你这样分类的理由是什么？（2）若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，[]x m n ∈，的最大值在x m =处取得，则系数a ，b ，c 应满足什么条件，请结合函数图象加以说明．2．（1）回顾函数最小值的定义，用定义的方法证明函数()()00bf x ax a b x=+>>，在()0+∞，上的最小值为x 的值．（2）利用（1）的结论及函数的奇偶性，证明函数()()00bf x ax a b x=+>>，在()0-∞，上的最大值为-，并指出取最小值时x 的值．（3）借用以上结论求()23511x x y x x ++=>-+的最小值．3．若函数()f x 是奇函数，函数()()21g x f x =+有最大值M ，最小值m ，你能否求出M m +的值？()g x 的图象有何特点？4．“不等式恒成立”与“不等式有解”问题通常中转化为函数的最值来解决． 已知定义在D 上的函数()f x 最大值为M ，最小值为m ，请将下列问题等价转化：注：如果函数()f x 在D 上没有最大（小）值，或不等式由“>”变成“≥”时，要特别小心分析． 想一想所有的单调函数都有最值吗？ 案例分析1．分别求函数241y x x =-+在下列范围上的最大值、最小值．（1）134x ≤≤； （2）01x ≤≤；（3）05x ≤≤．【解析】()224123y x x x =-+=--，∴抛物线的顶点为()23-，，对称轴为直线2x =．(三)(二)(一)（1）由图（一）知，当34x ≤≤时，y 随x 的增大而增大．∴当3x =时，y 有最小值2-；当4x =时，y 有最大值1．（2）由图（二）知，当01x ≤≤时，y 随x 4的增大而减小．∴当0x =时，y 有最大值1；当1x =时，y 有最小值2-．（3）由图（三）知，当0x ≤≤2时，y 随x 的增大而减小；当25x ≤≤时，y 随x 的增大而增大．∴当2x =时，y 有最小值3-．再比较0x =与5x =的函数值可知，当5x =时，y 有最大值6．2．已知函数()221f x x ax =++，[]12x ∈-，的最大值为4，求a 的值．【解析】()()221y f x x a a ==++-，抛物线的对称轴为直线x a =-．区间[]12-，的中点为12． ① 当12a -≤，即12a -≥时，函数在2x =处有最大值，即()2544f a =+=，解得14a =-；②当12a ->，即12a <-时，函数在1x =-处有最大值，即()1224f a -=-=，解得1a =-． 综上所述：14a =-或1a =-．3．画出函数()13f x x x =---的图象，并回答下列问题： （1）若关于x 的不等式13x x a --+>恒成立，求a 的取值范围； （2）若关于x 的不等式13x x a --+>有解，求a 的取值范围． 【解析】函数可化为：43223141x y x x x <-⎧⎪=---<⎨⎪-⎩，，，，，，≤≥函数图象如右．容易看出，y 有最大值4，最小值4-．函数()y f x =的最大值为4，最小值为4-．（1）作出函数y a =的图象，要使不等式恒成立，()y f x =的图象必须恒在y a =的图象的上方，这等价于()y f x =的最小值大于4a ∴<-，即实数a 的取值范围是()4-∞-，． （2）要使不等式有解，就必须保证()y f x =的图象存在点在y a =的图象上方．只需()y f x =的最大值大于a ，∴4a <，即实数a 的取值范围是()4-∞，． 4．函数()349x x x f x a =++⋅，若对一切[]11x ∈-，，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围． 【解析】3434349009999x x x x xxxa a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅>⇔++>⇔>+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设()3499x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]11x ∈-，上单调递增，从而()g x 的最大值为()719g =-． 对一切[]11x ∈-，，恒有()0f x >⇔对一切[]11x ∈-，，恒有()max 3499xxa a g x ⎛⎫⎛⎫>+⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]11x ∈-，．所以，79a >-．三、能力提升 能力闯关1．函数()2413y ax a x =+--，[]02x ∈，在2x =时取得最小值，则a 的取值范围是__________． 2．若不等式210x ax ++≥对于一切()02x ∈，成立，求a 的最小值是． 拓展迁移1．已知函数()()log 2x xa f x a -=-()1a >，当2x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的最小值．2．定义在R 上的单调函数()f x 满足()30f >，且对任意的x ，y R ∈都有()()()fx y f x f y+=+． （1）求主：()f x 是奇函数；（2）若()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立，求k 的取值范围． 挑战极限1．（2012年湖南）已知两条直线1l y m =：各()28021l y m m =>+：，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ）．A ．B ．C ．D ．课程小结1．函数的最大值就是函数图象上最高点纵坐标，最小值就是函数图象上最低点的纵坐标，所以如果能够画出函数图象，则我们容易得到时函数最值点的位置．2．函数的单调性与函数最值密切相关，若函数在定义域上单调，则函数的最值必在端点发生． 3．不等式()f x C ≥恒成立可等价转化为()min f x C ≥；不等式()f x C ≤恒成立可等价转化为()max f x C ≤．在解决“恒成立”与“存在有解”的两种类型的问题时，可以利用数形结合的方法来帮助思考．4．对形如2ax bx c y x d++=+形式的分式函数，我们一般使用换元法求其值域或最值，具体步骤如下：（1）令u x d =+，把2ax bx c y x d ++=+变形为()00ny mu p m n u=++>>，形式；22．函数的最大（小）值及其应用基础梳理 任意≤ ≥ ()0f x M = 高 低基础达标1．C ．【解析】当0a >时，函数在定义域上单调递增，()()max 1f x f a b a b ==+=+； 当0a <时，函数在定义域上单调递减，()()max 1f x f a b a b =-=-+=+； 当0a =时，函数为常函数，()max f x b a b ==+．综上所述：()max f x a b =+．2．B 【解析】若0a >，函数()f x 是开口向上的二次函数，在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，()2f 最小，若0a <，函数()f x 是开口向下的二次函数，在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，()()15f f -=最小，综上，()1f 不可能最小．3．D 【解析】令()221311124u x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，显然34u ≥，()143f x u =≤当且仅当12x =时等号成立，所以函数()()111f x x x =--的最大值是43．4．D 【解析】1a >，()log a f x x =在区间[],2a a 上单调递增，所以由题充有()1log 2log 2a a a a -=，1log 242a a ∴=⇔=． 5．{}|14a a <≤【解析】方法一：()()22log 23log 14a a y x x aa x a ⎡⎤=++-=++-⎣⎦．若4a >，()min log 4a y a =-，不符合题意；若14a <≤，函数值域为()0,+∞，无最小值，所以实数a 的取值范围是{}|14a a <≤方法二：223y x x a =++-与x 轴有交点，从而()4430a ∆=--≥．自主探究1．【解析】（1）求最大（小）值的关键是弄清给定区间上函数的单调性，分类的目的就是为了明确函数()f x 在[],m n 的单调性，若求最大值，则分两种情况：①当2b m n a +-≤时，最大值为()f n ；②当22b m n +->时，最大值为()f m ．若求最小值，则分三种情况：①当[],2bm n -∈时，最小值为2b f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当2b m -<，最小值为()f m ；③当2b n ->，最小值为()f n ．（2）若0a >，则2y ax bx c =++图象为开中向上的抛物线，横坐标离对称轴2bx a=-越远，函数数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴2bx a=-最远，因此对称轴应落在区间[],m n 中点的右侧，即应有22b m na +-≥，若0a <，则2y ax bx c =++图象为开口向下的抛物线，横坐标离对称轴2bx a=-越近，函数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴线，横坐标对称轴2bx a=-越近，函数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴2b x a =-最近，因此有2bm a-≤，综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件是022a bm n a >⎧⎪+⎨-⎪⎩≥或02a b m a<⎧⎪⎨-⎪⎩≤． 2．【解析】（1）任取()0,x ∈+∞，则()b f x ax x -=+-()21ax b x =-+210x=-≥（当且仅当x 时取等号）．又f =()0f x f -≥，即()f x f ≥． ∴当x 时， ()f x的最小值为方法二：设最小值为()0f x ，则()()00f x f x -≥在()0,+∞恒成立． 由()()()()200010b f x f x ax f x ax f x x b x x ⎡⎤-=+-=-+⎣⎦≥．()0,x ∈+∞． 得()200ax f x x b -+≥，()0,x ∈+∞．上式恒成立，且能取到等号，则二次函数()20y ax f x x b =-+开口向上且与x 轴只有一个交点．从而()2040f x ab ⎡⎤∆=-=⎣⎦，即()0f x =，此时0x = （2）任取(),0x ∈-∞，则()0,x -∈+∞由（1）知()f x f -≥，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-． ()()()f x f f x ff x f ⎛∴-⇒-⇒= ⎝≥≤≤ ∴当x =()f x的最大值为-． （3）先将()23511x x y x x ++=>-+化为py mx n cx d=+++的形式． （配凑法）()()()()222141133531111111x x x x x x y x x x x x +++++++++====+++++++≥其它变形方法：（换元法）设1x t +=，则1x t =-，()()21315t t y t-+-+=-，后略．（待定系数法）令1c y ax b x =+++，则()21ax a b x b c y x ++++=+比较2351x x y x ++=+可得113253a a ab b bc c ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩所以321y x x =+++，后略．3．()()()()1212g x g x f x f x -=+⇔=，()g x 有最大值M ，最小值m ，()f x ∴的最大值、最小值分别是12M -，12m -，函数()f x 是奇函数，所以110222M m M m --+=⇔+=． 由于()2f x 是奇函数，图象关于原点对称，从而()g x 的图象关于点()0,1对称． 说明：利用()g x 的图象关于点()0,1对称也可以得其最大值与最小值的关系． 4．【解析】能力闯关1．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】当0a =时，43y x =--，[]0,2x ∈是一次函数，且y 随x 的增大而减小，符合题意；当0a >时，()2413y ax a x =+--为二次函数，且开口向上，对称轴为()412a x a-=-，横坐标离对称轴越近，相应的纵坐标越小，所以2x =是区间[]0,2距离对称轴最近的横坐标，故必须()4122a a --≥，又0a >，解得12a <≤，当0a <时，同样的方法分析得()4102a a --≤，又0a <，解得0a <，综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．2．【解析】方法一：()0,2x ∈时，210x ax ++≥1a x x⇔-+≤，令()212f x x x =+=+1x ⇔=时，()()min 12f x f ==．14a x -+≤在()0,2x ∈上恒成立()m i n 22a f x a ⇔-=⇔-≤≥，所以，a 的最小值为2-．方法二：设()21g x x ax =++，问题转化为()min 0g x ≥，后略．拓展迁移1．【解析】记()2x x g x a -=-，由题知，当2x >时，()1g x >恒成立．()1x y a a =>为增函数，2x y -=为减函数，()2x x g x a -∴=-在()2,+∞上为增函数，2x ∴>时，()()2124g x g a >=-，所以()1g x >在2x >上恒成立，当且仅当()21214g a =-≥，即a a．2．【解析】（1）对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+． 令0x y ==，得()()()0000f f f +=+，()00f ∴=．令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-()()()00f x f x f ∴+-==，()f x ∴是奇函数数∶ （2）()()300f f >>，所以单调函数()f x 为R 上单调增函数，又()f x 是奇函数；()()()3392932x x x x x f k f f ∴<---=-+即3932x x x k ⋅<-+对任意的x R ∈恒成立．方法一：令3x t =，即()21320x t k -+⋅+>对任意的0t >恒成立． 令()()2132x g t t k =-+⋅+．其对称轴12kx +=． 当102k+<时，即1k <-时，()020g =>．符合题意． 当102k +≥时，即1k -≥时，()0g t >对任意0t >恒成立，则()211420k k -⎧⎪⎨∆=+-⨯<⎪⎩≥解得11k -<-+≤综上所述，1k <-+()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立． 方法二：139323213xxxxxk k ⎛⎫⋅<-+⇔<+- ⎪⎝⎭，记右边为y ，问题转化为min k y <令()30xt t =>，则12321113xxy t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭≥，这表明y的最小值为1．综上所述，1k <-+()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立． 挑战极限1．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，()8021y m m =>+，2log y x =图像如下图， 由2log x m =，得12mx -=，22mx =，28log 21x m =+，得82132m x +=，82142m x +=依照题意得82122mm a -+=-，82122mm b +=-8218821218212222222mm m mm m m m b a++++-+-===-821m m ++ 141174122222m m =++--=+≥ （也可用判别式求法最值）minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2x。

《导数的概念》教案说明广东省深圳市深圳中学曾劲松一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．四、教法特点及预期效果本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．。