高中数学3-4生活中的优化问题举例-同步课件新人教A

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[解 析 ] 如 图 所 示 ， 设 出 AD 的 长 ， 进 而 求 出 AB， 表 示 (biǎoshì)出面积S，然后利用导数求最值．
第二十五页，共43页。
设 AD＝2x(0<x<2)，则 A(x,0)， AB＝y＝4－x2， ∴矩形面积为 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3， S′＝8－6x2，令 S′＝0， 解得 x1＝ 23，x2＝－ 23(舍去)．
第二十页，共43页。
令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝12a(舍去)． x1＝16a 在区间0，a2内，x1 可能是极值点．且 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0.
第二十一页，共43页。
因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值 点，所以 x＝16a 是 V(x)的最大值点．
所以 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402.
又设总的水管费用为 y 元，则
y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
所以 y′＝－3a＋
5ax x2＋40 .
第三十六页，共43页。
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所 以 当 x ＝ 30 时 ， 取 得 (qǔdé) 最 小 值 ， 此 时 AC ＝ 50 － x ＝ 20(km)， 即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最 省．
第九页，共43页。
牛刀小试
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单

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2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应 怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. V 2 由V=πr h,得 h 2 ,则 pr V 2V 2 S ( r ) 2pr 2 2pr 2pr 2 . pr r V V V 2V · 3 令S ( r ) 2 4pr 0 ,解得 r ,从而h 2 pr 2p V 2 r 3 p( )
4 3 解：∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r ) 0，得r = 2
2
r f '( r) f (r)
课前探究学习
2 3 6 x
课堂讲练互动
活页规范训练
例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的 宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm
列表讨论如下：
x S '(x) S (x) (0，16) 16 0 (16，+∞)
减函数↘
+
增函数↗
极小值
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm， 宽为8dm时，S(x)最小 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。

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分析：根据全程运输成本＝每小时运输成本×运输总时间建立函数关系式，然后利用导 数方法求最值．
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解析：(1)设全程运输成本为 f(x)元，则
f(x)＝1921000x4－1160x3＋15x·40x0＝
418x3－52x2＋6 000(0＜x≤100)． 当 x＝60 千米/时， f(60)＝418×603－52×602＋6 000＝1 500(元)． 答：汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶时，全程运输成本为 1 500 元． (2)f′(x)＝116x2－5x(0＜x≤100)， 令 f′(x)＝0，得 x＝80. ∴当 x∈(0，80)时，f′(x)＜0，∴f(x)是减函数； 当 x∈(80，100]时，f′(x)＞0，∴f(x)是增函数． ∴当 x＝80 千米/小时，f(x)取最小值． ∵f(x)在(0，100]上只有一个极小值， ∴f(80)是最小值． ∴f(80)＝418×803－52×802＋6 000＝2 0300(元)． 答案：当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本最小，最小值为2 0300元．
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题型三 利润最大问题
例 3 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，并且在生产过程中产品的正品率 P
与每日生产量
x(x∈N*)件间的关系为
P＝4
200－x2，每生产一件正品盈利 4 500
4
0
元，每出现
一件次品亏损 2 000 元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数；
(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？求出日利润的最大值．
解析：(1)y＝4
4 000·

例2 (2010年高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季 供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层， 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：
【思路点拨】 首先利用C(0)＝8求出k的值， 从而可表示出f(x)，再利用导数求得最值．
方法感悟
解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出 发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模 型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究， 得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问 题中去，其思路如下：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条 件和结论，找出问题的主要关系；
用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： (1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′； (3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处 是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求 实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义 确定取得最值时变量的取值．
例3 某商品每件成本9元，售价30元，每星 期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增 加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价 的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正 比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出 24件．
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21]
f′(x) － 0
＋
0
－
f(x)
极小 值
极大 值
故x＝12时，f(x)取得极大值． 因为f(0)＝9072，f(12)＝11664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品 销售利润最大．

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r
当r0,2时,fr是减函,你 数能
解释它的实际?意义吗 图1.44
h
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房价应订为多少
1．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天 的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每 增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间， 宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多 少时，宾馆的利润最大？
即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．
方案二： f( n ) 2 n 2 4 n 0 9 （ n 8 0 ， n N )
f（n）取最大值102，
总收益为102＋8＝110（万元）．
比较如上两种方案，总收益均为11h 0万元，
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而方案一中n＝7，故选方案一．
归纳小结
函数的最值。（或直接画出函 数图象求最值）
h
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某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本
是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
yf(r)0.24pr30.8pr2
3
= 0.8π( r 3 - r 2 ) (0r6) 3
h
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如何求函数的最值？
求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤：
1、求 f (x)
2、列表
3、将 y f (x)的各极值与
f (a),f (b)比较，从而确定
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值