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又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2 πr 2 π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
mn 2 R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn
2为求f r 的最大值 ,计算f ' r 0. 2π R ' ' R 2r , 令 f r 0, 解得 r . f r
研究汽油的使用效率 单位 : L / km 就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路 程的比值 .如果用 G表示 w 每千米平均的汽油消耗 量,那么 G , 其中, w s 表示汽油消耗量 单位 : L , s表示汽车行驶的路 程 单位 : km . 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少 " , 就是求 G的最小值问题 . 解决" 优化问题 "的途径之一是通过搜集 大量的 统计数据 , 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模 型 ; 再通过研究相应函数的 性 质, 提出优化方案 , 使问题得到解决 .在这个过程中 , 导数往往是一个有力的 工具.
例2
磁盘的最大存储量问题
1 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? 2 你知道磁盘的结构吗? 3 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 1.4 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.
通过大量的统计数据 , 并 15 对数据进行分析、研究 , 10 人们发现 ， 汽车在行驶 5 过程中 ， 汽油平均消耗 v km / h 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 12 0 o 耗量, 单位 ：L / h)与汽车 图1.4 1 行驶的平均速度 v(单位 : km / h)之间有如图 1.4 1 所示的函数关系 g f v .
1.4
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 ， 这些问题 通常称为优 化问 题 .通 过 前面的学 小 习 , 我们知道, 导数是求函数最大 值的有力工具.本节我们运用导 数, 解决一些生活中的优化 问题.
我们知道,汽油的消耗量 w 单位 : L 与汽车的速度 v
那么, 我们如何根据这个图象 中的数据信息 , 解决汽 油使用效率最高的问题 呢?
gL / h
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 问题.因此, 我们首先需要 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15 10
gL / h
5
v km / h
30 50 60 90 12 0
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题 ,然后利用 图象中的数据信息 , 解决汽油使用效率最高 的问题.
如图 1.4 1,函数 g f v 最小值的意义是什么 ? 它是 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为 G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值 .从图象上看 , 表示 v km / h v 30 50 60 90 12 0 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出 , 表示经过原点与曲线上 点 v v, g的直线的斜率 . 继续观察图象 ,我们可以发现 ,
例1 汽油的使之间有一定关系 ,汽油的消耗量w是汽车
1 是不是汽车的速度越快 ,汽油的消越量越大? 2" 汽油的使用效率最高 " 的含义是什么?
速度v的函数.根据你的生活经验 , 思考下面两个问题:
现实生活中 ,当汽车行驶路程一定时 , 我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程 . 这就需要考 虑如何提高汽油的使用 效率, 使汽油使用效率最高 .
问题 : 现有一张半径为R的磁盘, R 它的存储区是半径介于 r 与R 的 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大 ? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m, 且最外面的磁道不存储任何信息, 所 Rr 以磁道数最多可达 . m
思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成 正比,那么如何计算磁盘的存 储量 ? 此时, 是不是 r越小, 磁盘的存储量越大?
gL / h
当直线与曲线相切时 , 其斜率最小 .在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时 , 要使汽油 的使用效率最高 , 即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为 90km / h . 从数 值上看, 每千米的汽油消耗量就 是图1.4 2中切线的斜率 , 即f ' 90, 约为 L.
