(11)高考对数函数公式及其图像的性质

对数函数复习
一、基础知识
1.对数概念 对数的概念：如果(01)x a N a a >≠＝，且，那么数x 叫做以a 为底N 的
对数，记作log a x N ＝，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2.对数的运算法则
如果0,1,0,0a a N M >≠>>有
log ()log log a a a MN M N =+
log log log a
a a M
M N N
=- log log n m a a m
M M n =
3.对数换底公式：
a
N
N m m a log log log =
( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>， 4.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m
n
b a n a m log log =
, 01a b >（且均不为） 4.对数函数的性质：
一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数。

a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当1
=
x时，0
=
y
)1,0(
∈
x时0
<
y
)
,1(+∞
∈
x时0
>
y
)1,0(
∈
x时0
>
y
)
,1(+∞
∈
x时0
<
y
在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数5.同底的指数函数x
y a
=与对数函数log
a
y x
=互为反函数
6.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()()()
()log, log
f x b
a a
a b f x b f x b f x a
=⇔==⇔=（定义法）
()()()
()()(), log log()()0
f x
g x
a a
a a f x g x f x g x f x g x
=⇔==⇔=>（转化法）()
()()log()log
f x
g x
m m
a b f x a g x b
=⇔=(取对数法)
()
log()log()log log()/log
a b a a a
f x
g x f x g x b
=⇔=(换底法)
对数函数专项训练
一、选择题
1．已知在上是的减函数，则的取值范围是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．
2．当时，函数和的图象只可能是（）
3．如果，那么、之间的关系是（）
A． B．C． D．
4．如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为( )．
A． B．C． D．
5．若，且，则满足的关系式是 ( )．
A． B．且
C．且 D．且
6．若是偶函数，则的图象是 ( )．A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
7．方程实数解所在的区间是 ( )．
A． B． C． D．
8．已知函数的图象过点（4，0），而且其反函数的图象过点（1，7），则是（）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
9．将函数的图象向左平移一个单位，得到图象，再将向上平移一个单位得到图象，作出关于直线的对称图象，则的解析式为（）A． B．
C． D．
10．已知偶函数在上单调递增，那么与的关系是（）
A． B．
C． D．不确定
11．若函数的值域是，则这个函数的定义域（）
A． B． C． D．
12．有解，则的取值范围是（）
A．或 B．
C．或 D．
二、填空题
1．设且，则函数和的图象关于_________对称；函数
与的图象关于__________对称；函数和的图象关于________对称．
2．函数的定义域为，则函数的定义域是_________．
3．已知，则，，由小到大的排列顺序是
________．
4．若，则的取值范围是_________．
5．已知集合，定义在集合上的函数的最大值比最小值大1，则底数的值为_________．
6．函数（）的最大值为_________．
7．函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数 =__________．8．已知奇函数满足，当时，函数，则 =____．
9．已知函数，则与的大小关系是_______．
10．函数的值域为__________．
三、解答题
1．已知，且，，，试比较与
的大小．
2．若（，），求为负值时，的取值范围．
3．已知函数，证明：
（1）的图象关于原点对称；（2）在定义域上是减函数
4．已知常数（）及变数，之间存在着关系式
（1）若（），用，表示
（2）若在范围内变化时，有最小值8，则这时的值是多少？的值是多少？
5．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．
6．设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．
7．比较大小：与（）．
8．求函数的单调区间．
9．若，是两个不相等的正数，是正的变量，又已知的最小值是，求的值．
10．设函数且．
（1）求的解析式，定义域；
（2）讨论的单调性，并求的值域．
11．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，现在这种物质1克，试写出其剩留质量随时间变化的函数关系式，如果，，你能算出大约经过多少年，剩留的质量是原质量的一半吗？
12．某工厂1994年生产某种产品2万件，计划从1995年开始，每年的产量比上年增长20%，问从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件？
13．已知且，试求方程有解时的取值范围．
14．函数（）图象的对称轴方程为，求的值．
参考答案：
一、1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C
二、1．轴；轴；直线 2． 3．
4． 5．为或 6．
7．或 8． 9． <10．
三、1．解：，则有：
（1）当或时，得或，都有，；
（2）当时，，，；
（3）时，，，
综上可得：当或时，；
当时，；当时，
说明：在分类时，要做到不重不漏，关键在于找准分类标准，就此题而言，分类标准为：的底且，又由于将与0比较，则还有一个特殊值为，故应分为以下四种情况讨论：
（1）；（2）；（3）；（4）
2．解：由已知得，即，两边同除
得，解得，或（舍），对
两边取对数得：
当时，；当时，
当时，
说明：本题分类的标准是，，，它是由指数函数的单调性决定的3．解：（1）证明：的图象关于原点对称，等价于证明是奇函数，又
的定义域为
是奇函数，它的图象关于原点对称
（2）设，则
，
又
，故在上是减函数，又由（1）知是奇函数，于是
在其定义域上为减函数
4．解：（1）由换底公式可将原方程化为，若，
则，故有，整理有，
（）
（2）由（），，时，有最小值为，由已
知，，此时
5．解：由原方程可化为
，变形整理有
（*）
，，由于方程（*）的根为正根，则
解之得，从而
说明：方程（*）不是关于的方程，而是关于的一元二次方程，故求出的范
围，另外，解得，其中是真数，不要忽略
6．解：对任意，函数
值恒为正，则
设，则不等式组化为，解之得
，即，
说明：对所有实数，不等式恒成立的充要条件是二次项系数大于0且判别式
7．解：是增函数，当时，，则
当时，，则
当时，，则
8．解：设，，由得，知定义域为
又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数
的单调增区间为，单调减区间为
9．解：
当时，有最小值为由已知，，或
10．（1）；
（2）在上单调递增，在上单调递减，．
11．解：设经过年剩留的质量为克，则（）即为所求函数关系式
当时，，则
大约经过4年，剩留的质量为原来质量的一半
12．解：由题目条件可得，，两边取以1.2
为底的对数可得，，这家工厂从2004年开始，年产量超过12万件．
13．解：由对数函数的性质，应满足，当（1）（3）成立时，（2）显然成立，故只需解
，
由（1）得（4）
当，由知（4）无解，故原方程无解；
当时，（4）的解是（5）
将（5）代入（3）得，即
14．解：解法一：由于函数图象关于对称，则，即
，解得，或
又，
解法二：函数的图象关于直线对称，则函数
的图象关于轴对称，则它为偶函数，即
，。