对数函数图像及性质
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§5.3 对数函数的图像与性质
1 0, 2
.
解： 因为x 2 2 x 5 , 2 对一切实数都恒有 x 2 x 5 4 , 所以函数定义域为R, 从而 log2 ( x 2 x 5) log2 4 2 ,
2
即函数值域为 [ 2, ).
例题解析 2 (3) y log1 ( x 4 x 5)
由(2) 当a
2
,
综合(1)(2)得 1
x 0 且0 a 1 .
例题解析
1 当 1 x 0 时( x x )的 最 大 值 为 4
2
1 1 2 所以0 x x ，所以 loga ( x x ) loga 4 4
2
所以 原函数定义域为：
(2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以 log0.71.6 >log0.71.8.
例题解析 例 3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y 2
x 2 1
解：要使函数有意义,必须：2 2 即： x 1 2 1 x 1 2 值域:因为 1 x 1所以 1 x 0
练习 97页1 例6 在同一坐标系内函数y= x 与 y= 2 的函数图像
log
2
x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=2x (0<a≠1)与对数函数
y=log2x(0<a≠1) 的图像关于直线y=x
对称.
Y
5
Y=2x
Y=X ● ●
4
3 2 ● ● 1●
●
●
Y=log2x
-1 O -1
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
.
解： 因为x 2 2 x 5 , 2 对一切实数都恒有 x 2 x 5 4 , 所以函数定义域为R, 从而 log2 ( x 2 x 5) log2 4 2 ,
2
即函数值域为 [ 2, ).
例题解析 2 (3) y log1 ( x 4 x 5)
由(2) 当a
2
,
综合(1)(2)得 1
x 0 且0 a 1 .
例题解析
1 当 1 x 0 时( x x )的 最 大 值 为 4
2
1 1 2 所以0 x x ，所以 loga ( x x ) loga 4 4
2
所以 原函数定义域为：
(2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以 log0.71.6 >log0.71.8.
例题解析 例 3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y 2
x 2 1
解：要使函数有意义,必须：2 2 即： x 1 2 1 x 1 2 值域:因为 1 x 1所以 1 x 0
练习 97页1 例6 在同一坐标系内函数y= x 与 y= 2 的函数图像
log
2
x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=2x (0<a≠1)与对数函数
y=log2x(0<a≠1) 的图像关于直线y=x
对称.
Y
5
Y=2x
Y=X ● ●
4
3 2 ● ● 1●
●
●
Y=log2x
-1 O -1
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
对数函数的图像及性质
联系。
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
此处添加副标题
单/击/此/处/添/加/正/文
对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
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对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0
对数函数 对数函数的图像和性质
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0； 0<x<1时，y<0. 单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
对数函数的图像和性质 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
a＜1.
x－4<x－2
解集为(4,+∞)
3.对数型函数的奇偶性和单调性
例 4.函数 f(x)＝log1 (x2－3x－10)的单调递增区间为( )
2
A．(－∞，－2)
B．(－∞，32)
C．(－2，3) 2
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
∴函数f(x)为奇函数
若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(1，＋∞)
令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数， 又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1] 上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
1
o1
x
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分 对称翻折到x轴上方
类型2 对数函数的性质
1.比较大小 例2.比较下列各组中两个值的大小:
(1) log25.3 , log24.7 y＝log2x在( 0,＋∞) 是增 函数.log25.3 > log24.7
(2) log0.27 , logo.29 y＝log0.2x在( 0,＋∞) 是减 函数.log0.27 > logo.29
②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜ a＜1.
∴a 的取值范围是( 1
2
,1).
a＜(14. ).解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．
①当 a①＞当1 时a＞，1有时xx－－a，＜有4212>>，00a＜此12时，无此解时无解 x－4>x－2
对数函数的图像和性质
(2) log0.5 1.8, log0.5 2.1
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
对数函数图像及性质课件经典实用
图像
定义域
R+
R+
值域
R
R
单调性
增函数
减函数
过定点
（1，0）
（1，0）
0<x<1时，y<0
0<x<1时，y>0
取值范围 x>1时，y•>对0数函数图像及性质课件 x>1时，y<0
•对数函数图像及性质课件
•对数函数图像及性质课件
名称
指数函数
对数函数
指 数
一般形式
y = ax y = Log a x
…
描 点
•对数函数图像及性质课件
列 表
X 1/4 1/2 1 2
连线
Y=Log2x -2 -1 0 1
4 ….. 2…
…
连 线
•对数函数图像及性质课件
y = Log2 x与y = Log 0.5 x的图像分析
函数
y = Log2 x
y = Log 0.5 x
图像
定义域 值域 单调性 过定点
取值范围
函
a>1
数 图像
、 对
0<a<1
数
函 定义域
数 性
值域
质 单调性 a>1
R R+ 增函数
R+ R 增函数
比
0<a<1 减函数
减函数
较 一 览 表
函数的 a>1
变化情
况
0<a<1
x<0时，0<y<1， x>0时 ， y>1 x<0时，y>1
0<x<1时，y<0 x>1时，y>0
4.4.2对数函数的图像与性质课件(人教版)
对数函数图像特征及性质
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
a
二、新知探究
（二）探究对数函数的性质
4.视察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
（1）请同学们视察这些函数图像的位置、公共点、
变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：1. 这些函数图像都在由右侧,并且都过(1,0）.
2.这些函数定义域均为(0, +∞)、值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且
而1.8 < 2.7，∴0.3 1.8 > 0.3 2.7.
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
解：(3)∵ =
∴当 > 1时， = 在定义域上单调递增
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 < 5.9 .
当0 < < 1时， = 在定义域上单调递减
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 > 5.9 .
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
a
二、新知探究
（二）探究对数函数的性质
4.视察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
（1）请同学们视察这些函数图像的位置、公共点、
变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：1. 这些函数图像都在由右侧,并且都过(1,0）.
2.这些函数定义域均为(0, +∞)、值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且
而1.8 < 2.7，∴0.3 1.8 > 0.3 2.7.
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
解：(3)∵ =
∴当 > 1时， = 在定义域上单调递增
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 < 5.9 .
当0 < < 1时， = 在定义域上单调递减
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 > 5.9 .
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
高中数学对数函数的图像和性质新.pptx
图象
性质
应用
一、对数函数图象
x
log 2 x
1
4
1
2
- 2 -1
1
2
4
8
0
1
2
3
y = log 2 x
x
1
4
1
2
log 2 x
-2
log 1 x
2
2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
1
0
-1
-2
-3
y = log 2 x
y = log 1 x
2
y = log 2 x
从解析式来看：
y = log 2 x
结论一:
(1,-5)
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（知识层面，思想方法层面）
①对数函数的图象
本节内容 ②对数函数的性质
③应用
①类比
思想方法 ②数形结合
③分类讨论
①数学建模
核心素养 ②数学抽象
③数学运算
通过本节课的学习，今
后我们要学习的新函数
时，你知道如何入手研
究了吗？
谢谢大家！
利用对数函数单调性
分类讨论
(2) log 2 9
> log 5 9
(3)log 0.7 5 < log 3 8
log 2 5
> log 5 3
总结：
如何比较两个对数值的大小？
考虑对数函数的单调性；
可以利用换底公式,或者借助于数形结合；
要借助于中间值（如０或１）.
题型二 实际应用
（溶液酸碱度的测量）
对数函数的性质与图像
(2)函数y=log2x是非奇非偶函数. (
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方. (
)
(4)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4). (
)
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的
增函数.
(6)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. (
轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数 f(x)的值域为[0,+∞),递增
区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
1
1
当 x∈ 9 ,6 时,f(x)在 9 ,1 上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增
的.
1
1
又 f 9 =2,f(6)=log36<2,故 f(x)在 9 ,6 上的最大值为 2.
(0,+∞).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.
反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:
(1)求出函数的定义域;
(2)将复合函数分解为基本初等函数;
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方. (
)
(4)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4). (
)
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的
增函数.
(6)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. (
轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数 f(x)的值域为[0,+∞),递增
区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
1
1
当 x∈ 9 ,6 时,f(x)在 9 ,1 上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增
的.
1
1
又 f 9 =2,f(6)=log36<2,故 f(x)在 9 ,6 上的最大值为 2.
(0,+∞).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.
反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:
(1)求出函数的定义域;
(2)将复合函数分解为基本初等函数;
对数函数的图象及性质
对数函数的图象及性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图象 • 对数函数的实际应用 • 对数函数与其他数学知识的联系 • 练习与思考
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
1 2
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其定义域为(0, +∞)。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx，其定义域为(0, +∞)。
对数函数和幂函数在定义域和值域上 存用
对数函数在数学中的应用
求解方程
对数函数在求解方程中有着广泛的应 用，例如在解对数方程、指数方程等 数学问题时，常常需要利用对数函数 的性质进行转换和求解。
数值计算
在数值计算中，对数函数可以用于加 速某些计算过程，例如在计算复数的 模、向量的点积等运算中，利用对数 函数可以大大简化计算过程。
3
任意对数
以a为底的对数，记作log_ax，其定义域为(0, +∞)，其中a>0且a≠1。
对数函数的基本性质
定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)， 因为对数的底数必须大于0且不
能等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实 数。
单调性
当底数a>1时，对数函数是增 函数；当0<a<1时，对数函数 是减函数。
基础练习题2
已知函数$f(x) = log_2(x^2 - 1)$，求函数的值域。
基础练习题3
已知函数$f(x) = log_2(x + 3) - 1$，判断函数的 奇偶性。
提升练习题
提升练习题1
求函数$y = log_2(x^2 - 4x + 5)$的单调区 间。
提升练习题2
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图象 • 对数函数的实际应用 • 对数函数与其他数学知识的联系 • 练习与思考
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
1 2
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其定义域为(0, +∞)。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx，其定义域为(0, +∞)。
对数函数和幂函数在定义域和值域上 存用
对数函数在数学中的应用
求解方程
对数函数在求解方程中有着广泛的应 用，例如在解对数方程、指数方程等 数学问题时，常常需要利用对数函数 的性质进行转换和求解。
数值计算
在数值计算中，对数函数可以用于加 速某些计算过程，例如在计算复数的 模、向量的点积等运算中，利用对数 函数可以大大简化计算过程。
3
任意对数
以a为底的对数，记作log_ax，其定义域为(0, +∞)，其中a>0且a≠1。
对数函数的基本性质
定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)， 因为对数的底数必须大于0且不
能等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实 数。
单调性
当底数a>1时，对数函数是增 函数；当0<a<1时，对数函数 是减函数。
基础练习题2
已知函数$f(x) = log_2(x^2 - 1)$，求函数的值域。
基础练习题3
已知函数$f(x) = log_2(x + 3) - 1$，判断函数的 奇偶性。
提升练习题
提升练习题1
求函数$y = log_2(x^2 - 4x + 5)$的单调区 间。
提升练习题2
高一数学对数函数的图像与性质课件.
y=x对称.
1.习题3-5A组3、4、5题 2.认真完成下节导学案
例3、比较下列两个数的大小
（1）log2 5.3 log2 4.7 log 0.3 7 log 0.3 9
（2）log3 4 log2 4 （3）log6 7 log 7 6
log 0.4 5 log 0.3 5 log 3 2 log2 0.8
(4) loga , loga 3.141
2、比较两个对数值的大小，常用的三种方法：
3、研究对数函数性质，要注意底数 的取值是(1，＋∞)还是(0,1)；否则要 分类讨论．
例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。 在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年 代，已知放射性物质的衰减服从指数规律：
C（t）=C0 e –r t ， 其中t表示衰减的时间， C0 放射性物质的原始质量，C（t）表示经衰减了 t年后剩余的质量。
y
（1）定义域是(0,)
2
（2）值域是 R
1 11 42
0 1 23 4 -1
-2
（3）图像过特殊
x点 (1, 0)
（4）在其定义域 上是减函数
思考：若把对数函数的底数换成0.3，0.4，
0.68……图像性质又会是怎样的？与上相仿
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图像与性质
a ＞1
0＜a＜1
1 2x 1
2y log 1 3x 2
2
思考交流1
在同一坐标系中用描点法画出对数函数 的图
像。说说图像间有什么关系？你能得出什 么结论？
x
0.25 0.5
y log 2 x -2 -1
x
-2 -1
y 2x 0.25 0.5
对数函数的图像和性质课件
奇函数，a 为常数．
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
对数函数的图像及性质ppt课件
“同正异负”
> ① log35.1 0 < ③log20.8 0
< ② log0.12
0
> ④log0.20.6 0
思考：4、解对数不等式
log a f (x) log a g(x)
1.a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
2.0 a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
y log 2 x和y log 1 x 的图象。
作图步骤: ①列表, 2
②描点, ③用平滑曲线连接。
x…
列 表
y
y
log 2
log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
x
y=log1/2x
24 …
1 2… -1 -2 …
y
logc x logd x
loga x logb x
o
x
0< c< d < 1< a < b
三.对数函数的图性质：
函数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
底数
a＞1
y
0＜a＜1
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值 符号
(0,+∞)
R 非奇非偶函数 ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
> ① log35.1 0 < ③log20.8 0
< ② log0.12
0
> ④log0.20.6 0
思考：4、解对数不等式
log a f (x) log a g(x)
1.a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
2.0 a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
y log 2 x和y log 1 x 的图象。
作图步骤: ①列表, 2
②描点, ③用平滑曲线连接。
x…
列 表
y
y
log 2
log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
x
y=log1/2x
24 …
1 2… -1 -2 …
y
logc x logd x
loga x logb x
o
x
0< c< d < 1< a < b
三.对数函数的图性质：
函数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
底数
a＞1
y
0＜a＜1
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值 符号
(0,+∞)
R 非奇非偶函数 ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
对数函数图像及性质
2 2
3、已知f x 2 log 3 x ,x 1, 9,求y f x f x 2 的最值及相应的 x的值。
4、设f x 2log 2 x 2a log 2
2
1
x
b,
1 已知x 时，f x 有最小值 - 8 2 （1）求a与b的值； （2）求f x 0的解集A； 1 1 （3）设集合B t ,t ,且A B , 2 2 求实数t的取值范围，
a
大小关系是
A、仅0 a 1时，有唯一实数解 B、仅a 1时，有唯一实数解 C、恒有唯一实数解
D、无实数解
二、定义域
1、y log 5x 1 7x 2 1 2、y log 3 3x 2 3、y lg 2 x 求下列函数的定义域：
1 2 4、y ln 1 x 1x 5、已知函数y f lg x 的定义域为1, 10 ， 求函数y f log 1 x 1的定义域。 2
x log2 10 , x log2 10 ,
4 5
根据对数的定义得到关系式为：x = log 2 y 习惯上表示为： y = log 2 x
一、对数函数概念
函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做
对数函数.其中x是自变量.
定义域为(0,＋∞)
值域为(－∞,＋∞).
例1、判断下列函数是否为对数函数
2
（8）若不等式2x log a x 0,当x 0, 2时恒 成立，求实数 a的取值范围。 1 变式：若不等式 x log m x 0在 内恒成立， 0， 2 求实数m的取值范围。
2
1 (7)若函数y f x 的定义域为 ， 2，求函数 2 y f log 2 x 的定义域。
3、已知f x 2 log 3 x ,x 1, 9,求y f x f x 2 的最值及相应的 x的值。
4、设f x 2log 2 x 2a log 2
2
1
x
b,
1 已知x 时，f x 有最小值 - 8 2 （1）求a与b的值； （2）求f x 0的解集A； 1 1 （3）设集合B t ,t ,且A B , 2 2 求实数t的取值范围，
a
大小关系是
A、仅0 a 1时，有唯一实数解 B、仅a 1时，有唯一实数解 C、恒有唯一实数解
D、无实数解
二、定义域
1、y log 5x 1 7x 2 1 2、y log 3 3x 2 3、y lg 2 x 求下列函数的定义域：
1 2 4、y ln 1 x 1x 5、已知函数y f lg x 的定义域为1, 10 ， 求函数y f log 1 x 1的定义域。 2
x log2 10 , x log2 10 ,
4 5
根据对数的定义得到关系式为：x = log 2 y 习惯上表示为： y = log 2 x
一、对数函数概念
函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做
对数函数.其中x是自变量.
定义域为(0,＋∞)
值域为(－∞,＋∞).
例1、判断下列函数是否为对数函数
2
（8）若不等式2x log a x 0,当x 0, 2时恒 成立，求实数 a的取值范围。 1 变式：若不等式 x log m x 0在 内恒成立， 0， 2 求实数m的取值范围。
2
1 (7)若函数y f x 的定义域为 ， 2，求函数 2 y f log 2 x 的定义域。
对数函数的图像和性质
巩固练习
下图是对数函数①y=logax②y=logbx③ y=logcx④y=logdx的图像,则a,b,c,d与1的大 小关系是 ( B ) A. a>b>1>c>d B. b>a>1>d>c C. 1>a>b>c>d D. a>b>1>d>c
y
1 O
① ② ③ ④
x
人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在 考古工作中常用14C的含量来确定有机物的年代. 已知放射性物质的衰减服从指数规律: C(t)=C0e-rt, 其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始 质量,C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰 减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C的半 衰期大约是5730年,由此可确定系数r.人们又知 道,放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的.
y y=2x y=x
P(a,b)
函数y=log 2 x的图像 与函数y=2 x 的图像 关于直线y=x对称
函数y=f(x)的图像和 它的反,b)
y=log2x x
(0,1) (1,0)
1.根据下列中的数据(精确到0.01),画出函数 y=log2x,y=log3x和y=log5x的图像.并观察图像,说 明三个函数图像的相同与不同之处.
例题讲解
例4 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (2)y=loga(4-x). 解 (1)因为x2>0, 即 x≠0, 所以函数y=logax2的定义域为{x|x≠0} (2)因为4-x>0, 即 x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域为{x|x<4}
例5 比较下列各题中两个数的大小: ①log25.3,log24.7; ②log0.27,log0.29; ③log3π;logπ3 ④loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1)
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图 形
补充 性质 一 补充 性质 二
y
y=log 2 x
y=log 10 x
01
x
y=log 0.1 x
y=log 0.5 x
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对 称。
a>1时, 底数越大,其图象越接近x轴。
0<a<1时, 底数越小,其图象越接近x轴。
例1：求下列函数的定义域：
例2、 比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5
新知讲解
对数函数的定义
一般地，函数 y loga x(a 0, a 1)
叫做对数函数。其中 x为自变量，函数
的定义域为 (0, )。
二、对数函数的图象
用描点法画出对数函数，你能发现什么？
y = log2 x和y = log 1 x的图象。
2
作图步骤: ①列表,
②描点, ③连线。
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入
一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大
小
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.
比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数函 数的单调性直接进行判断.
岐山高级中学
王升平.
三维目标：
1、知识与技能 （1） 理解对数函数的定义 （2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的 应用。 2、过程与方法 （1）形成数学交流能力和与分组合作意识； （2）从对数函数的学习中渗透数形结合、分类讨 论的数学思想。 3、情感、态度与价值观 （1）通过对对数函数的图象和性质研究，体会知 识之间的有机联系，激发学习兴趣.
⑴ log 67 , log 7 6 ;
提示 : log aa＝1
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示: log＝1 ⑵ ∵log3π＞log31＝0
log76＜log77＝1
log20.8＜log21＝0
∴ log67＞log76
∴ log3π＞log20.8
解法1：画图找点比高低 解法2：利用对数函数的单调性
y
log28.5
y = log2 x
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
log23.4
0 1 3.4 8.5 x
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函 数； ∵5.1<5.9
∴ loga5.1 > loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0<a<1 和 a > 1
练习：
你能口答吗？ 变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
2、比较下列各组中两个值的大小:
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
定义域 : ( 0,+∞)
值域:
R
性
过定点 (1 ,0),
即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 增函数 当x>1时， y>0
质 当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0 当0<x<1时，y>0
例2、比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解法1：画图找点比高低 解法2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
㈡ 若底数为同一字母,则按对数函数 的单调性对底数进行分类讨论.
㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、－1等中间量进行比较
作业：p46（三）1、2（2）
教学反思：
（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的 研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数 学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、 接受别人意见的优良品质.
教学重点： 对数函数的图象和性质
教学难点： 对数函数性质的应用
教学过程：
一、复习引入 （1）对数的定义：
（2）对数的运算性质：
那么，今天我们一起来学习对数函数的图像和 性质。
你能总结出比较两个同底对数值大小的方法吗？
比较两个同底对数值的大小时: １.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
0<a<1时为减函数）
结 ２.比较真数值的大小；
３.根据单调性得出结果。
例3、比较下列各组中，两个值的大小：
loga5.1与 loga5.9 解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；