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对数函数的图像与性质

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对数函数的图像和性质-课件ppt

对数函数的图像和性质-课件ppt
a 0 ，且 a 1 ．
例1、 求下列函数的定义域
(1) y=㏒ax2
( 2) y=㏒a(4-x)（ a＞0,且a ≠1）
(3)y 1 log2(x 1)
解: (1) 因为x2>0 , 即x≠0 . 所以函数y=㏒ax2的定义域是｛x︱x≠0 ｝.
解: (2) 因为4-x>0 , 即x<4 . 所以函数y=㏒a(4-x)的定义域是｛x︱ x<4 ｝.
你知道吗？
在学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采 取怎样的方法？
借助图象研究性质
探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出 研究对数函数性质的内容和方法吗？
画出函数 y log2x 的图象,
再画出 y log 1 x 的图象。
2
பைடு நூலகம்对数函数的图象和性质如下表
a>1
0<a<1
图
y x=1y=㏒ax (a>1) y x=1
对数函数及其性质
y
y=㏒ax (a>1)
0
(1,0) x
x=1
引例：在2.2.1节例6中得到的对数式 t log P 5730 1
中给出了 p 0.767 可求出 t 2193
2
若给出P的不同值又会怎样呢？你发现了什么？能否从 函数的观点解释？
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t
注意：利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的 方法，规范解题格式．
(这一点刚与相关的指数函数的底数逐渐变大相反)
例2、 比较下列各组数中的两个值大小
（1） log2 3.4 , log2 8.5
（2） log0.3 1.8 , log0.3 2.7

对数函数的图像和性质

对数函数的图像和性质

10
…
… -1 -1/2 0 1/4 1/2 1 …
y
1 1 -1 2 3 4 5 6 7 Y=lgx
x
8 9 10
x
Y=log1/2x
… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … 3 2
y
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Y=log1/2x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数
(-4)
(3) 因为 3-x>0 x-1>0 x-1≠ 所以 1<x<3,x≠2即函数y=log(x-1)(3-x)的定 义域为 (1,2)
例2:比较下列各组中两个值的大小: (1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
( 解: 1)考察对数函数y=log2x,因为 2>1, 3<3.5所以 log23<log23.5 (2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以
x轴
（3）对数函数是非奇非偶函数。
例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x)
解:
(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为
- (0,+
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
log0.71.6 >log0.71.8
比较大小:
(1) log35 和 log45 (2) log35 和 log0.50.6

对数函数的图像与性质详解

对数函数的图像与性质详解
1、对数函数的定义：形如y=log a x (a>0且a ≠ 1,x>0) 对数函数的定义： 对数函数的图像与性质： 2、对数函数的图像与性质：
解析式
对数函数的图像与性质
y = log a x (0 < a < 1)
y = log a x (a > 1)
图 像
定义域 值域 单调性 奇性 备注
(0, +∞)
例:函数 y = log a x, y = logb x, y = log c x, y = log d x 的图像如图所示，则 a, b, c, d 的大小关系 为 c < d < a < b.
例：函数 的图 b 像如图所示，则的大小关系为c < d < a <。
y = ax , y = bx , y = cx , y = d x
R
在 (0, +∞ ) 上为减函数 非奇非偶
(0, +∞)
R
在 (0, +∞ )上为增函数 非奇非偶
1）函数图像恒过点（1，0），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ），该点将所有对数曲线一分为二 2）在x轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的 值变大。 轴上方做平行于x轴的线 值变大。 ） 轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的a值变大
(0, +∞)
在R上为增函数 上为增函数 非奇非偶
R
1）函数图像恒过点（0，1），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ），该点将所有指数曲线一分为二 2）在y轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的 值变大。 轴右边做平行于y轴的线 值变大。 ） 轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的a值变大

对数函数的定义与性质

对数函数的定义与性质

对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。

常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。

自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。

常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。

2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。

（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。

•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。

•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。

•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。

（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。

•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。

•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。

•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。

•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。

•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。

对数函数的图像与性质PPT教学课件

对数函数的图像与性质PPT教学课件

复习:1.对数函数 y log2 x 的图像与性质,以及与 指数函数 y 2x 的图像与性质之间的关系
2.练习:画出下列函数的图像
(1)y 2x ;
(2)y log 1 x;
2
(3)y (1)x ; 3
(4)y lg x
对数函数 y loga x(a 0,a 1) 分别就其底数a 1和 0 a 1这两种情况的图像和性质
log3 5.3l>o4g.373,此所时1以, l,loogg同a235.理1.3l1olgoagl5o2.g24,.7; log 3 , 所 以
lo当 g(230)因为 alog01.2时3<;,1函,函数数y yloglaoxg在0.2(0x,
) 上是减函数,
是减函数,
此时, loga 3.1 loga 5.2
同学们对学校部分优秀班干
部、三好学生的调查
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
成绩目标
学习时间
服务同学
自我发展
三好生 优秀班干 一般同学
桑兰
她说：“我一直坚信自己
总有一天会站起来的，我
会为此而努力。”如今，
她在坚持康复训练的同时，
不仅在北大新闻传播专业
苦修学业、在“星空卫视”
7<9,所以 log0.2 7 log0.2 9 ;
练习 2:比较下列各组数中两个值的大小：
（1） log 23.4 ， log 28.5
（2）
log
1.8 0.3
，
log
2.7 0.3
（3） log a5.1 ， log a5.9
课堂补充练习: 1、求下列函数的定义域：
(1) y log3 (1 x) (2) y log3 x

对数函数 对数函数的图像和性质

对数函数 对数函数的图像和性质
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0； 0<x<1时，y<0. 单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来

《对数函数的图像与性质》知识解读

《对数函数的图像与性质》知识解读
(1)一般地,对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图像与性质如下表:
(2)底数a 对函数图像的影响
①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”:当a >1时,对数函数的图像“上升”;当0<a <1时,对数函数的图像“下降”.
②2函数1log log (0,1)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称.
③底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大.
a .上下比较:在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图像向右越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图像向右越靠近x 轴.
b .左右比较:比较图像与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
根据如图所示的图像,我们很容易得到上述结论.
辨析比较☆
两个单调性相同的对数函数,它们的图像在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”,如图所示。

对数函数的图像与性质


你能口答吗？
变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log2
0.8
log2 m ＞ log2 n 则
3
3
m ＜ n
你知道指数与对数的关系吗?
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与 之对应，把y看作自变量，x就是y的函数， 但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的 函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
（一）对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
对称性：y loga x 和 y log1 x 的图像关于y轴对称. a
例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） y loga x2 （2）y loga (4 x) 解：（1）因为 x2 0, 即x 0,所以函数 y loga x2的定义域是
（-，0）（0，+）
（2）因为 4-x 0, 即x 4,所以函数 y loga (4 x)
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
• 例8：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

对数函数的图像与性质


1 1 log 4 6 log 4 7
log6 4 log7 4
方法
当底数不相
同，真数相 同时，写成 倒数形式比 较大小
y 2
1 11
0 42
123 4 12
y log 2 x
y log 3 x
x
y log1 x
3
y log1 x
2
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越大
例3.比较大小：
探究：对数函数:y
=
loga x
(a＞0,且a≠ y
1)
图象与性质
发现:认真观察函数 2
y log1 x
111
42
2
的图象填写下表
0 123 4 -1
x
图象特征
-2
代数表述
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
与轴交点（1,0）
定点（1,0）
图象向上、向下无限延伸 值 域 : R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
l
og3
n
，则m___n;
> > 2、log1.51.6 ______log1.51.4 4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
例3 比较大小：
> log64
log74
解:
log6
4
1 log 4
6
log 7
4
1 log 4
7
0 log 4 1 log 4 6 log 4 7
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认真观察 y
函数y=log2x 的图象填写下表

对数函数的图像和性质

§5.3 对数函数的图像和性质预习案学习目标：会利用对数函数的图像仿指数函数总结对数函数的性质。

会利用对数函数性质求于对数函数的复合函数的定义域。

学习重点：掌握对数函数的基本图像，是学生能初步自觉地、有意识地利用图像研究对数函数的性质。

学习难点：运与用指数函数的性质求解对数函数的复合函数的定义域。

知识链接：对数函数的概念：一般的，我们把函数xy2log=叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是。

可以用两种不同的方法画出函数xy2log=的图像。

预习自测1、通过分析xy2log=与xy21log=图像特点，归纳出一般的对数函数y=xa在a＞1和0＜a＜1的情况下的图像和性质，并完成下表：2、求下列函数的定义域:（1）xyalog=（2）)5lg(xy+=3、比较下列各题中两个数的大小：（1）7.4log,3.5log22 (2)2log,2log7.43.5(3)2.5log,1.3log5.02 (4)2log,1.3log1.32探究案例1、已知)1(log)2(log-<mmaa，求m的取值范围.变式：解不等式)102(log)43(log2223131+--⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛xxx例2、如果函数.)1(log22的定义域为一切实数，++=xmxy求m的取值范围.例3 、求单调区间)23(log)(22+-=xxxf.变式：求函数的单调区间)1(log)(-=xaaxf.训练案1、恒过定点函数1)1(log+-=xya。

2、23.0，3.0log2，3.02这三个数之间大小顺序是（）A3.0log23.023.02<< B 3.02223.0log3.0<<C23.023.023.0log<< D 3.02223.03.0log<<求函数)34(log5.0-=xy的定义域.。

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∴log 0.31.8＞log 0.32.7 （3）当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
你能口答吗？
１、 log
6 0 .5
变一变还能口答吗？
A组 7 B组 2
欢迎下载使用！
y log
1 3
1 2
-1 -2
x
x
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越大
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
lo g c x lo g d x
1
lo g a x lo g b x
o
C
d 1
a
b
x
0< c< d < 1< a < b
例
解:
比较大小：
11
1） log53
<
log43
y
(0,1)
y=1
(0,1)
y=1 x
0
x
0
定义域: R 值 域 : （0 , + ∞） 定 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . x>0,y>1 x<0, 0<y<1 x>0,0<y<1 ; R 上是 x<0,y>1; 在 增函数 减函数
在 R 上是
类比可得对数函数的图象及性质
2 2 2
x
1 0
2
8 log
2 3
3
讲解范例 例2：求下列函数的定义域： ①y=logax2 ②y=loga(4-x)
解： ①要使函数有意义，则
x 0
2
x 0 ∴函数的定义域是{x|x≠0} ② 要使函数有意义，则
4 x 0 x 4
∴函数的定义域是{x |x<4 }
学习函数的一般模式（方法）： 解析式（定义） 图像
4
4
6
log
7
4
4
7
4
0 log log log 1
4 6
1 log 1 log
7 4
6 log
7
6 4 log
7 4
小结： 1．正确理解对数函数的定义； 2．掌握对数函数的图象和性质； 3．能利用对数函数的性质解决有关问题. 作业：P73 2 3.(2),(3)
深入探究：函数 y=2 X与 y=log 2x 的图象关系
观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2 X y=x y=log 2 x
●
●
y 2
B 1●
0
A●
1 1 4 2
A*
1 2 3
B*
4
x
-1 -2
结论(1)：图象关于直线y=x对称。
深入探究：
观察（2）：
y log
1 2
质
最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
两个同底对数比 较大小，构造一 个对数函数，然 后用单调性比较 解:⑴∵对数函数y = log 2x 在(0,+∞)上是增函数 且 3.4<8.5 ∴ log 23.4＜log 28.5 ⑵∵对数函数 y = log 0.3 在(0,+∞)上是减函数, x, 且1.8<2.7
x
y log
1 2
… …
1/4 1/2
2 1
1
0
2 4
-1
…
x
-2 …
y 2 1
0
1 1 4 2
1
2 3
4
x
-1 -2
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 发现:认真观察函数
y log
x 1 2
1
1 1 4 2
的图象填写下表
图象特征
0 -1 -2
解： f ( x ) 为对数函数
（ a 0 且 a 1)
x
设 f ( x ) log
a
又 f ( x ) 过（ 4，） 2 2 log a
2 a
4
4
a 2 ( a 2 舍） f ( x ) log f (1) log f ( 8 ) log
1 1 4 2
图象特征
代数表述
图象位于y轴右方
与 轴 交 点 （ 1,0 ）
定义域 : ( 0,+∞)
定 点 （ 1,0 ）
值 域 :
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升
R
在(0,+∞)上是： 增函数
探究：对数函数:y
= loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
列 表 描 点 连 线
观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2 X y=x
y 2
B 1●
0
阅读教材P73—反函数
A●
1 1 4 2
●
y=log 2 x
●
A*
1 2 3
B*
4
x
-1 -2
结论(1)：图象关于直线y=x对称。
结论(2)：函数 y=a X 与 y=log ax 互为反函数。
作业: P74.习题2.2
探究:对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性
质
作y=log2x图象
列 表 描 点
连 线
X
1/4
1/2
1
2
4
…
y=log2x
-2
-1
0
1
2
…
y 2
1
0
1 1 4 2
1 2 3
4
x
-1 -2
探究：对数函数:y
= loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
列 表 描 点 连 线
x 和 y ( ) 图像的关系 2
x
1
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系 y=x y 阅读教材P73—反函数 2
B 1●
0
1 1 4 2
1 2 3
B*
●
4
x
-1 -2
结论：图象关于直线y=x对称。
结论(2)：函数 y=a X 与 y=log ax 互为反函数。
深入探究：函数 y=2 X与 y=log 2x 的图象关系
x
y log
y log
2
1 2
…
x …
x
1/4 1/2
-2 2 -1 1
1
0 0
2 4
1 -1
…
2 … -2 …
…
y 2 1
0
1 1 4 2
1 2 3
4
x
-1
-2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y log y 2 1
0
1 1 4 2
3
x 和 y log
深入探究：函数 y=2 X与 y=log 2x的图象关系
观察（1）：
从下表中你能发现两个函数变量间的什么关系
x y=2x … … -2 -1 0 1 2 4 … …
1/4
1/2
1
2
4
16
x y=log2x
… …
1/4
1/2
1
2 1 1
4
16
… …
-2
-1
0
2
4
关系：二者的变量x,y的值互换,即：---
方法
当底数不相
同，真数相 同时，利用 图象判断大 y1=log4x 小. y2=log5x
x
利用对数函数图象 得到 log53 < log43
y
o
1
3
知识应用 ----定点问题
例1、求下列函数所过的定点坐标。
( 1 ) y ln( 4 x ) 7
( 2 ) y e log a ( 7 x 2 )( a 0 , a 1 )
1 3
x 的图象。
2
y log
x
y log
3
x
1 2 3
4
xHale Waihona Puke y logy log
1 3
1 2
-1 -2
x
x
y log
a
x 与 y log
1 a
x 关于轴对称
( a 0 且 a 1)
y 2 1
0
1 1 4 2
y log
2
x
y log
3
x
1 2 3
4
x
y log
x =1
图
象
O
定义域 值域
(1,0)
X
(1,0)
O
X
a
y log
x
(0 a 1)
(0,+) R 过点（1，0） 在(0,+)上是增函数
(0,+) R 过点（1，0） 在(0,+)上是减函数
性
特殊点
单调性
奇偶性
非奇非偶函数 无最值
非奇非偶函数 无最值