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控制系统的根轨迹分析法

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自动控制原理第5章根轨迹分析法

自动控制原理第5章根轨迹分析法

04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。

根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版

根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法

7.3 控制系统根轨迹分析

7.3 控制系统根轨迹分析

2、绘制系统的根轨迹rlocus() 、绘制系统的根轨迹 调用的格式： 调用的格式： rlocus(num,den) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统的根轨迹 在图形窗口绘制 系统的根轨迹 (num,den为系统开环传函的分子、分母多项式系数向量 为系统开环传函的分子、 为系统开环传函的分子 分母多项式系数向量) rlocus(sys) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统 系统sys的根轨迹 在图形窗口绘制 系统 的根轨迹 (sys为系统的开环传函 为系统的开环传函) 为系统的开环传函 [r,k] = rlocus(sys) %得到系统的闭环极点r ,及所对应的 %得到系统的闭环极点 ,及所对应的 得到系统的闭环极点r 开环增益k 从 至 所对应的闭环极点 所对应的闭环极点) 开环增益 (k从0至∞所对应的闭环极点 rlocus(sys,k) %绘制指定开环增益 下系统的闭环极点 绘制指定开环增益k下系统的闭环极点 绘制指定开环增益 r = rlocus(sys,k) %求指定的开环增益 下系统闭环极点 求指定的开环增益k下系统闭环极点 求指定的开环增益 rlocus(sys1,sys2,...)
Matlab控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 （p196表7-2） 表 ） 1、绘制系统的零极点图 、绘制系统的零极点图pzmap() 调用的格式： 调用的格式： pzmap(sys) %在图形窗口绘制系统 在图形窗口绘制系统sys的零极点图 的零极点图(SISO) 在图形窗口绘制系统 的零极点图 (对于 对于MIMO系统，绘制系统的极点和传递零点 系统， 对于 系统 绘制系统的极点和传递零点) pzmap(sys1,sys2,...,sysN) [p,z] = pzmap(sys) %得到零极点的列向量 得到零极点的列向量(SISO))(对于 得到零极点的列向量 对于 MIMO系统，得到极点的列向量和传递零点的列向量 系统， 系统 得到极点的列向量和传递零点的列向量)

第四章控制系统的根轨迹法

第四章控制系统的根轨迹法
10
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
11
第四章 控制系统的根轨迹法
1
根轨迹概念
根据系统的零极点分布可间接地研究控制系统的性 能。在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方 法称为根轨迹法。 根轨迹定义：开环系统某一参数从零变化到无穷大时，
闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹的类型：
常规根轨迹：包括180度等相角根轨迹和零度等相角根 轨迹。轨迹增益kg从0变化到无穷大时的根轨迹称为180度 根轨迹； kg从0变化到负无穷大时的根轨迹称为0度根轨迹。
分别为-2.93和-17.1，
分离（会合）角为90
45
度。根轨迹为圆，如
右图所示。
13
当
OB,其方程为
2 2
时，阻尼角 45，表示45 角的直线为
，代入闭环特征方程整理后得：
5 k10k j 2 2 5 k 0
令实部和虚部分别为零，有
5 k10k 0
2 5 k 0
增加开环极点对根轨迹的影响 （1）一般可使根轨迹向右半s平面弯曲或移动，降低 系统的相对稳定性，减小系统的阻尼。 （2）改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。
8
利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹可确定使系统稳定的参数范围 根轨迹处于s左半平面部分的系统是稳定的。
瞬态性能分析 闭环系统的零、极点和瞬态响应的关系在前面已讨
9
利用根轨迹分析系统性能(续)

控制系统的根轨迹分析

控制系统的根轨迹分析

实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。

2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。

二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。

2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。

3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。

4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。

观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。

（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。

三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。

假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。

b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。

p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。

[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。

K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。

控制系统的根轨迹分析(matlab)

控制系统的根轨迹分析(matlab)

用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。
图13.10 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过 System Data窗口 为不同环 节导入已 有模型， 如图 13.11。
图13.11 rltool工具System Data窗口
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线
13.2图形化根轨迹法分析与设计
图形化根轨迹法分析与设计工 具rltool
• MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析 系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便 性在于设计零极点过程中，能够不断观察系 统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
%鼠标确定文本的左下角位置
gtext('x')
Imaginary Axis
Root Locus
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
xx
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
(a) 直接绘制根轨迹

第四章控制系统的根轨迹分析法

○
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。

第4章 控制系统的根轨迹分析


绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于

自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹


j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。

第四章 控制系统根轨迹分析法

i j 1 j
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k

j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j


1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2

-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
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计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：
kg s( s 4)(s 6) 1
s 1.2 j 2.08 m
i 1 n
解得： kg 44
的形式表示时，k称为开环放
开环传递函数以 Gk ( s) 大系数。
k ( i s 1)
(T s 1)
j j 1
显然 k与kg 的关系为： k
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的取值范围。
渐进线：与实轴的交点：
实轴上根轨迹区间： (,6),[4,0]
Monday, January 26, 2015
nm (2k 1) 倾角： , nm 3
p z
i
i
4 6 1.4 2 3.13 3
6

4

0
3
分离角（点）： d
2

2
N (s) s 2s 4, N ' (s) 2s 2
D(s) s5 11.4s 4 39s3 43.6s 2 24s
D' (s) 5s 4 45.6s3 117s 2 87.2s 24
n
s 2 2 n s n
2
2 s j 1 n 共轭极点为2n
在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
cos ( 1 2 n ) 2 ( n ) 2
n

n 所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。
Monday, January 26, 2015
6
[例]非最小相位系统： ，试确定使系统 Gk ( s) ( s 1)(s 2) 稳定时的增益值。 [解]：根轨迹如右： 有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 k gp 。
kg
s 2 s 2 kg 0 ，当s=0时， 闭环特征方程为： k gp 2 ，所以，系 统稳定的条件是：k g 2
ks 4ks 3k 0
2
1 4k k 3k 4k 3 0 3k 3 当 k 时，由辅助方程 ks 2 3k 0 ，可求出根轨迹与虚轴
4 j 3 。 的交点为
s3 s2 s1 s0
3 （2）由劳斯表可知当 k 时，系统稳定。 4
Monday, January 26, 2015
Monday, January 26, 2015
B
A
10
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 k g 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
%e
ctg1
60 100%, 当 % 18 % 时解得：
画根轨迹 分离（会合）点 分别为-2.93和-17.07， 分离（会合）角为90 度。根轨迹为圆，如 右图所示。
（3）系统含有三个积分环节，属Ⅲ型系统，Ⅲ型系统对于斜 坡输入的稳态误差为零。 23
k s 10 例4-14．已知单位反馈系统的开环传递函数为Gs ss 5 （1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的 1 阻尼比 是 2 ，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统 性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。
j1.732
6.65 3
1
j1.732
Monday, January 26, 2015
21

s Ds N s D s 0 会合分离点：由方程 N
2 得 s 8s 9 0
解得 s1, 2 4 2.65
s1 6.65 在根轨迹上，因此是会合点。 s 2 1.35不在根轨迹 上，舍去。
Monday, January 26, 2015
7
二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系 统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
n 2 以二阶系统为例：开环传递函数为 Gk ( s) s( s 2 ) 2
闭环传递函数为 ( s)
s2 Gk ( s) s( s 1)
Monday, January 26, 2015
( s 2 j1)(s 2 j1) Gk ( s) s( s 1)
18
三、用Matlab绘制根轨迹
Matlab参考书推荐：
现代控制工程，[美]Katsuhiko Ogats,卢伯英译， 电子工业出版社
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
Gk ( s) [例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为： kg s( s 4)(s 6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18 % ，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 k g 240 时， 闭环系统不稳定。
1 180 2k 1 ，得1 60 , 180 。 求出射角：
该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点 -1处；另两条从原点以 60 的出射角起始，分别终止于-3和无穷 零点处。
Monday, January 26, 2015
22
求与虚轴交点 系统特征方程为 s 3 劳斯表为


1
0
相角条件为：1 2 3
120 tg 1

Monday, January 26, 2015
4
tg 1
（2） 6
11
08 1.2, 2.08共轭主导极点： s1,2 1.2 j 2.。 由(1)，(2)式解得：
2
一、 条件稳定系统的分析 [例4-11]：设开环系统传递函数为： Gk ( s) [解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
0.7 j 0.714，零点： 开环极点：0，-4，-6， 1 j1.732
k g ( s 2 2s 4) s( s 4)(s 6)(s 2 1.4s 1)
由图可知：当 0 kg 14 和 64 kg 195时，系统 是稳定的（为什？）； 当 kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。 左图是用Matlab工具绘 制的。
Monday, January 26, 2015
5
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。 下面的系统就是条件稳定系统的例子： 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； 具有正反馈的环节。
N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 由： 可以求得分离点。 D ' (s) k gd N ' ( s ) |s d 近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s
0
0
-0.5
-1
-1.5
-2.0
-2.5
-3
-3.5
-4
k gd
1.628 3
13
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
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⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ 当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主 导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ 要求ts≤2秒，即要求3/2， .5。由根轨迹可知主导极 点的实部，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。 ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？
K p lim Gk ( s)
s 0
K gp 16
6.25
所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。
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[特别提示]：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。 一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨 迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。
Gk ( s)
kg s( s 1)
Gk (s)
kg s( s 1)(s 2)
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G( s)
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kg s(s 1)(s 2)(s 3)
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若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。 从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。
⒈画出根轨迹; ⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹
①实轴无根轨迹
②渐近线 2.5，=±45°, ±135°
③与虚轴交点=±2，Kgp=100
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第五节 控制系统的根轨迹分析法
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利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 由给定参数确定闭环系统的零、极点的位置； 分析参数变化对系统稳定性的影响； 分析系统的瞬态和稳态性能；
根据性能要求确定系统的参数；
对系统进行校正。
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