自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理实验报告
5-4、设控制系统的开环传递函数为)16.0)(5.0()()(2+++=s s s s k s H s G ，试绘制系统的根轨迹图，并分析阻尼情况。
源代码：>> num=[0 1]>> den=conv([1 0],conv([1 0.5],[1 0.6 1]))>>sys=tf(num,den)>> rlocus(sys)>>grid根轨迹图：由根轨迹图的网格我们大概可以知道根轨迹上的不同部分所对应的阻尼系数，在左边横轴上的线阻尼系数对应的为1；在左半平面（非横轴）对应的阻尼系数为0到1；在右半平面阻尼系数对应为小于0；在纵轴上对应的阻尼系数为0。
下面进行验证在左边横轴上对应的阻尼系数：在左半平面（非横轴）对应的阻尼系数：在右半平面对应的阻尼系数：经过验证可知，之前的阻尼系数分析正确5-6、已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)3()1()(-+=s s s k s G ，试绘制系统的根轨迹图，并求出使系统稳定的k 值范围。
源代码：>> num=[1 1]>> den=conv([1 0],[1 -3])>> sys=tf(num,den)>> rlocus(sys)根轨迹图：分析稳定的k的取值范围：由上图可知：当k>3的时候，根轨迹在左半平面，此时系统稳定。
阻尼分布情况由图可以看出与上题相同：在左边横轴上的线阻尼系数对应的为1；在左半平面（非横轴）对应的阻尼系数为0到1；在右半平面阻尼系数对应为小于0；在纵轴上对应的阻尼系数为0。
另外，在右边横轴上的阻尼系数为-1。
6-4、（1）)12)(12.0)(11.0()1(5)()(++++=s s s s s H s G 源代码：>> num=[5 5]>> den=conv(conv([0.1 1],[0.2 1]),[2 1])>> sys=tf(num,den)>> nyquist(sys)奈氏曲线：奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点0次，右半平面开环极点数为0，由奈氏判据一可知该闭环系统稳定。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
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G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
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G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理实验报告
大连理工大学本科实验报告课程名称：自动控制原理实验A 学部：电子信息与电气工程专业：自动化辅修班级：学号：学生姓名：2017年 3 月9 日实验项目列表大连理工大学实验预习报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：典型线性环节的模拟一、实验目的和要求二、实验原理和内容三、实验步骤1．比例环节模拟电路图及参数计算方法2．积分环节模拟电路图及参数计算方法3．比例积分环节模拟电路图及参数计算方法4．比例微分环节模拟电路图及参数计算方法5．微分环节的模拟电路图及参数计算方法6．比例积分微分环节模拟电路图及参数计算方法7．一阶惯性环节模拟电路图及参数计算方法四、实验数据记录表格1．比例环节2．积分环节3．比例积分环节4．比例微分环节5．比例微分积分环节6．一阶惯性环节大连理工大学实验报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：典型线性环节的模拟一、实验目的和要求见预习报告二、实验原理和内容见预习报告三、主要仪器设备四、实验步骤与操作方法五、实验数据记录和处理1．比例环节的阶跃响应曲线2．积分环节的阶跃响应曲线3．比例积分环节的阶跃响应曲线4．比例微分环节的阶跃响应曲线5．微分环节的阶跃响应曲线6．比例积分微分环节的阶跃响应曲线7．惯性环节的阶跃响应曲线六、实验结果与分析七．思考题八、讨论、建议、质疑大连理工大学实验预习报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：二阶系统的阶跃响应一、实验目的和要求二、实验原理和内容画出二阶系统的模拟电路图，如何通过改变电路中的阻、容值来改变二阶系统的参数？三、实验步骤1．在学习机上模拟二阶系统，仔细连线，不要发生错误2．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=0.47秒，求二阶系统的单位阶跃响应3．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=1.47秒，求二阶系统的单位阶跃响应4．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=1.0秒，求二阶系统的单位阶跃响应5．取二阶系统的阻尼比ζ=0.4，时间常数T=1.0秒，求二阶系统的单位阶跃响应6．取二阶系统的阻尼比ζ=0.7，时间常数T=1.0，求二阶系统的单位阶跃响应7．取二阶系统的阻尼比ζ=1，时间常数T=1.0，求二阶系统的单位阶跃响应四、实验数据记录大连理工大学实验报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：二阶系统的阶跃响应一、实验目的和要求见预习报告二、实验原理和内容见预习报告三、主要仪器设备四、实验步骤与操作方法五、实验数据记录和处理标示出每条曲线的峰值、峰值时间、调整时间，计算最大超调量。
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
中南大学自动控制原理实验报告
中南大学自动控制原理实验报告--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________信息科学与工程学院本科生实验报告实验名称自动控制原理实验预定时间实验时间姓名学号授课教师实验台号专业班级实验一 1.1典型环节的时域分析实验目的：1．熟悉并掌握 TD-ACC+(或 TD-ACS)设备的使用方法及各典型环节模拟电路的构成方法。
2．熟悉各种典型环节的理想阶跃响应曲线和实际阶跃响应曲线。
对比差异、分析原因。
3．了解参数变化对典型环节动态特性的影响。
实验设备：PC 机一台， TD-ACC+(或 TD-ACS)实验系统一套。
模拟电路图如下：实验结果：当R0=200K；R1=100K。
输出电压约为输入电压的1/2，误差范围内满足理论波形，当R0 = 200K； R1 = 200K。
积分环节模拟电路图：当R0=200K；C=1uF。
实验结果：当R0 = 200K； C = 2uF。
比例积分环节 (PI)模拟电路图：取 R0 = R1 = 200K； C = 1uF。
实验结果取 R0=R1=200K； C=2uF。
惯性环节(T)模拟电路图：取 R0=R1=200K； C=1uF。
取 R0=R1=200K； C=2uF。
比例微分环节(PD)模拟电路图：取 R0 = R2 = 100K， R3 = 10K， C = 1uF； R1 = 100K。
取 R0=R2=100K， R3=10K， C=1uF； R1=200K。
比例积分微分环节(PID)模拟电路图：取 R2 = R3 = 10K， R0 = 100K， C1 = C2 = 1uF； R1 = 100K。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
自动控制原理实验02
实验二、线性系统的根轨迹法1. 设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)*(s+5)), （1）绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较；clf>> num=1;>> den=conv([1 1 0],[1 5]);>> rlocus(num,den)（2）从实验结果上观察系统稳定的K值范围；由图可知K值范围为0~29.9（3）用simulink环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应。
2.设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=K*(s+3)/(s*(s+1)*(s+2));（1）仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性;clf>> num=[1 3];>> den=conv([1 1 0],[1 2]);>> rlocus(num,den)由图知，该系统始终保持稳定.（2）分别取K=5 和K=50,利用simulink环境观察系统的单位阶跃响应，并比实验结果。
K=5时，该系统呈现欠阻尼状态，阻尼系数接近于1。
K=50时，该系统呈现欠阻尼状态，阻尼系数接近于0.3.完成教材第四章习题4-7，4-8，4-10（1）习题4-7，已知开环传递函数为K/(s(s+4)(s^2+4s+20));试概略画出其闭环系统根轨迹图。
clf>> num=1;>> den=conv([1 4 0],[1 4 20]);>> rlocus(num,den)该系统K值范围为0~260时系统稳定。
（2）习题4-8，已知开环传递函数为K(s+2)/((s^2+4s+9)^2)；试概略画出其闭环系统根轨迹图。
clf>> num=[1 2];>> den=conv([1 4 9],[1 4 9]);>> rlocus(num,den)该系统K值范围为0~95.6时稳定。
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
实验3 控制系统的根轨迹作图
自动控制原理实验报告课程名称 自动控制原理 成 绩 实验项目 控制系统的根轨迹作图 指导教师 齐立省 学生姓名 赵儒桐 学号 201100805035 班级专业 11电子信息工程 实验地点 综合楼226 实验日期 年 月 日一、实验目的1.利用计算机完成控制系统的根轨迹作图2.了解控制系统根轨迹图的一般规律3.利用根轨迹进行系统分析及校正二、实验步骤1.在Windows 界面上用鼠标双击matlab 图标，即可打开MATLAB 命令平台。
2.练习相关M 函数根轨迹作图函数：rlocus(sys)rlocus(sys,k)r=rlocus(sys)[r,k]=rlocus(sys)函数功能：绘制系统根轨迹图或者计算绘图变量。
图1-1 格式1：控制系统的结构图如图1-1所示。
输入变量sys 为LTI 模型对象，k 为机器自适应产生的从0→∞的增益向量， 绘制闭环系统的根轨迹图。
格式2：k 为人工给定的增益向量。
格式3：返回变量格式，不作图。
R 为返回的闭环根向量。
格式4：返回变量r 为根向量，k 为增益向量，不作图。
更详细的命令说明，可键入“help rlocus”在线帮助查阅。
例如：系统开环传递函数为)3)(1()(++=s s s k s G g方法一：根轨迹作图程序为k=1; %零极点模型的增益值z=[]; %零点p=[0,-1,-3]; %极点sys=zpk(z,p,k); %零点/极点/增益模型rlocus(sys)作出的根轨迹图如图1-2所示。
方法二：s=tf('s'); G1=1/(s*(s+1)*(s+3));rlocus(G1); 图1-2 gridK1=12;figure;step(feedback(G1*K1,1)) % 绘制K1＝12的闭环单位反馈阶跃响应曲线闭合时域仿真simulink 模型：三、实验内容给定如下各系统的开环传递函数，作出它们的根轨迹图，并完成给定要求。
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
要求等价为：
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法 (2)
閉環控制系統的動態性能與閉環極點在S平面上的 分佈位置是密切相關的,分析系統的性能時,往往要求 確定系統閉環極點的位置.另一方面,在分析和設計系 統時,經常需要研究一個或幾個參量變化時,對系統的 極點和系統性能的影響。
採用分解因式的古典方法求特徵方程式的根通常不容 易,特別是當某一參量發生變化(靈敏度)時,需要反復進 行計算,這時採用上述方法就顯得十分煩瑣,難以在實際 中應用。
K＝0.5 K＝0
該系統對於所有的K都是穩定的 穩態性能：
-1 0
原點處有一個極點 Ⅰ型系統
根軌跡上的K值就 是靜態誤差係數
0 K 0.5 : 过阻尼系 ，階统 躍回應為非週期過程
動態 K＝0.5：临界阻尼 ，階系 躍回统應為非週期過程
性能：
K
0.5：欠阻尼，階系躍统 回應為阻上尼頁振盪下過頁程
返回
根據相角條件,在同一分離點分離的各條根軌跡 分支,它們的切線將均分360度。2條根軌跡在分離 點相隔180度,4條根軌跡在分離點相隔90度。
分離點的座標為:
m
1
n
1
i1 d zi
j1 d p j
分離角：根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切 線方向之間的夾角
(2k 1)
l
l－進入並立即離開分離點的 根軌跡條數
根軌跡：當系統某一參數在規定範圍內變化時，相應的系
統閉環特徵方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個
根形成一條軌跡。
系統特徵根的圖解方法!!!
廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。
狹義根軌跡（通常情況）：
變化參數為開環增益K，且其變化取值範圍為0到∞。
自動控制原理
一 根軌跡的概念
根軌跡法:系統某一參數變化時,繪製特徵方程的根在 S平面的位置變化軌跡的圖解方法。 根軌跡法的優點： 1：從已知的開環零、極點的位置及某一變化參數來求 取閉環極點的分佈，即解決閉環特徵式的求根問題。
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线性系统的根轨迹
一、 实验目的
1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、 实验容
1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。
)
136)(22()(22++++=s s s s s K s G )
10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=
s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。
2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并
观察增加极、零点对系统的影响。
三、 实验结果及分析
1.（1） )
136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：
num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0];
rlocus(num,den)
[r,k]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus')
运行结果：
选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：
selected_point =
0.0021 + 0.9627i
k =
28.7425
r =
-2.8199 + 2.1667i
-2.8199 - 2.1667i
-2.3313
-0.0145 + 0.9873i
结论：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )
10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：
num=[1 12]；
den=[1 23 242 1220 1000];
rlocus(num,den)
[k,r]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')
title('Root Locus')
运行结果：
选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：
selected_point =
k =
1.0652e+003
r=
-11.4165 + 2.9641i
-11.4165 - 2.9641i
-0.0835 + 9.9528i
-0.0835 - 9.9528i
结论：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<1065.2时，系统总是稳定的。
（3）)
11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：
num=[0.05 1]；
den=[0.0008568 0.01914 0.1714 1 0];
rlocus(num,den)
[k,r]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')
title('Root Locus')
运行结果：
选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：
selected_point =
0.0237 + 8.3230i
k =
7.6385
r =
-0.0916 + 8.4713i
-0.0916 - 8.4713i
-11.0779 + 1.2238i
-11.0779 - 1.2238i
结论：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<7.6385时，系统总是稳定的。
（4）根轨迹绘制规则分析：
由以上根轨迹图知，根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
在复平面上标出系统的开环零极点后，可以根据其零极点数之和是否为奇数确定其在实轴上的分布。
根轨迹的分支数等于开环传递函数分子分母中的最高阶次，根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。
当开环传递函数的分子阶次高于分母阶次时，，根轨迹有n-m 条沿着其渐近线趋于无穷远处。
根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点，两条根轨迹分支在复平面上相遇在分离点以某一分离角分开；不在实轴上的部分，根轨迹以起始角离开开环复极点，以终止角进入开环复零点。
有的根轨迹随着K 的变化会与虚轴有交点。
在画图时，确定了以上的各个参数或者特殊点后，就可得系统的根轨迹概略图。
2. 观察增加极、零点对系统的影响：
（1）通过添加零、极点凑系统)
136)(22()(22++++=s s s s s K s G ： 先令G(s)=1/s,则可得其单位阶跃响应波形图为
然后逐步添加如下：
第一步、添加共轭极点-1+j1和-1-j1得到G(s)=1/[s(s2+2s+2)]，运行可得其单位阶跃响应波形为
第二步、添加共轭极点-3+j2和-3-j2得到G(s)=1/[s(s2+2s+2)( s2+6s+13)]，运行后可得其单位阶跃响应波形为
（2）通过添加零、极点凑系统)
10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G ： 先令G(s)=1/(s+1),则可得其单位阶跃响应波形为
然后逐步添加如下：
第一步、添加共轭极点-6+j8和-6-j8得到G(s)=1/[(s+1)(s 2+12s+100)]，运行后可得其 单位阶跃响应波形为
第二步、添加极点-10得到G(s)=1/[(s+1)(s 2+12s+100)(s+10)]，运行后可得其单位阶
跃响应波形为
第三步、添加零点-12得到G(s)=(s+12)/[(s+1)(s2+12s+100)(s+10)], 运行后可得其单位阶跃响应波形为
（3）通过添加零、极点凑系统)
11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s G ： 先令G(s)=1/s,则可得其单位阶跃响应波形图为
然后逐步添加如下：
第一步、添加极点-1/0.0714得到G(s)=1/[s(0.0714s+1)], 运行后可得其单位阶跃响应 波形为
第二步、添加一对共轭极点，即分子添加项（0.012s2+0.1s+1）后可得到
G(s)=1/[s(0.0714s+1)( 0.012s2+0.1s+1)]
运行后可得其单位阶跃响应波形为
第三步、添加极点-20得到G(s)=1/[s(0.0714s+1)( 0.012s2+0.1s+1)(0.05s+1)]，运行后可得
其单位阶跃响应波形为
（4）结论：
由图知，给系统添加开环极点会使系统的阶次升高，若添加的合理，会使系统的稳态误差减小，同时若添加的不合理，反倒会使系统不稳定；给系统添加开环零点，可使原来不稳定的系统变成稳定的系统。
四、实验心得与体会
本次实验我们首先熟悉了MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式，随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图，而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可通过自己添加零极点或者改变根轨迹增益的围来观测参数变化对特征根位置的影响。
在绘制系统根轨迹的过程中，我们逐渐掌握了用根轨迹分析系统性能的图解方法。
根轨迹分析法较时域分析法更加方便和直观，它让我们看到了参数变化对系统性能的影响具体方面，让我们理解得更加透彻。
要求：正文用小四宋体，1.5倍行距，图表题用五号宋体，图题位于图下方，表题位于表上方。