自动控制原理之根轨迹

第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.3 根轨迹方程
由特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
m
∏ K g ( s − zi )
G(s)H (s) =
i =1 n
∏ (s − pj)
j =1
根轨迹方程
G(s)H(s)= -1
m
∏ K g
(s − zi)
i=1 n
= −1
∏ (s − p j)
j =1
S平面 Im
Re
-2
-1
0
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
首先： 写出特征方程并化成零极点的形式
例如：某开环系统的传递函数为 1. G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)
1+ G(s)H (s) = 0
m
∏ k g (s − zi )
i=1 n
= −1
∏ (s − pj)
j =1
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1 控制系统的根轨迹
R(s)
C(s)
k 1/s(s+2)
4.1.1 根轨迹的基本概念
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征 方程式的根在s平面上的变化轨迹。
例如，某系统开环传递函数 闭环环传递函数
G(s) = k s(s + 2)
Φ (s)
=
s2
+
k 2s +
第四章 线性系统的根轨迹法
第四章 线性系统的根轨迹法
分离点的位置可由下面几种方法确定： 试探法、重根法、极值法
（1）试探法：设分离点的坐标为d，则d满足如下关系
∑ ∑ m 1
n1
=
i=1 d − z i j=1 d − p j
z，p为有限开环零点和极点，无零点时左边表达式为零。
求例4-1的根轨迹的分离点
第四章 线性系统的根轨迹法
z x , z x+1 为一对共轭开环复数零点，在
该极点处根轨迹的入射角为
zx
-j
m
n
-2
∑ ∑ φzx = 1800 − ∠(zx − zi ) + ∠(z x − p j )
i =1
j =1
i≠x
φzx +1 = −φzx
-1
z x +1
第四章 线性系统的根轨迹法
求图示系统 1+j和1-j的出射角
G (s) H (s) = K g
i =1 n1
k =1 n2
∏ (s − p j )∏ (s − pl )
j =1
l =1
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.2 闭环零极点与m开1 环零极点的关系
∏ K G
(s − zi )
i=1
n1
∏ (s − p j)
Φ (s) =
j =1
m1
m2
∏ ∏ K g
3
s1,2 =
2×3
= −1± 3
S1,2=-1.577,-0.422
第四章 线性系统的根轨迹法
例4-2：设负反馈系统的开环传递函数为
G(s)H (s) = k(s + 2) s(s +1)
求概略的根轨迹图。
解： 两条根轨迹，分别起始于 0和-1，其中一条终止于 -2， 由 一条沿渐近线趋于无穷远
2个无穷远的零点
同理，对于 G(s)H (s) = k(s +1)(s + 2) s
1个无穷远的极点
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则一】根轨迹的渐近线
根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨 迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远
处的开环零点。
与正实轴的夹角记为 φa
2k +1 φa = n − m π (k = 0,1,..., n − m −1)
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
第四章 线性系统的根轨迹法
解：由 得
∑ ∑ m 1
n1
=
i=1 d − z i j=1 d − p j
11 +
+
1
=0
d d +1 d +2
3d 2 + 6d + 2 =0
d (d +1)(d + 2) 3d 2 + 6d + 2 = 0
62 − 4× 3× 2
第四章 线性系统的根轨迹法
模值条件 幅角条件
n
∏ s− pj
Kg =
j=1 m
∏ s − zi
i=1
m
n
∑ ∑ ∠ ( s − zi ) − ∠ ( s − p j ) = −1800 + 2kπ
i =1
j =1
k = 0, ±1, ±2, ...
根轨迹的幅角方程是确定 s平面上根轨迹的充分必要条件 ，这就是说，绘 制根轨迹时，只需用使用幅角方程即可；而当需要确定根轨迹上各点的 Kg值时，才需要使用模值方程。
第四章 线性系统的根轨迹法
用重根法求例 4-1的根轨迹的分离点
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
解：方法1 M(s)=1; N(s)=s(s+1)(s+2)=s 3+3s2+2s
由
M ′(s)N (s) − N ′(s)M (s) = 0
得
3s2 + 6s + 2 = 0
62 − 4×3× 2
第四章 线性系统的根轨迹法
根轨迹方 程说明
k = −1 s(s + 2)
s ⋅s+2 模值条件 k =
1
p1 = 0, p2 = − 2,
s
S+2
s
-2
-1
0
相角条件 − ∠(s + 0) − ∠(s + 2) = −1800 + 2kπ k = 0,±1,±2,...
第四章 线性系统的根轨迹法
φa = n − m π
= π,π, π 33
第四章 线性系统的根轨迹法
画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线
1).G(s)H (s) =
k (s +1)
(s + 2)(s + 3)(s + 4)
2)..G(s)H (s) =
k (s + 2)
(s +1)(s + 3)(s + 4)
3)..G(s)H (s) = k (s + 2) (s +1)(s + 4)
d 1,2 = − 2 ± 2
概略画出下列系统的根轨迹
G (s )H (s ) = k (s + 1) s2 + 2s + 2
d1 d2 是否均为分离点吗？
根轨迹示例1
j
j
j
j
00
00
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
00
j j
00
j j
0
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则四】根轨迹与虚轴的交点 1） 在D(s)=0中，令s=jw，
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则五】根轨迹的入射角和出射角 px , px+1 为一对共轭开环复数极点，在
该极点处根轨迹的出射角为
px
-j
m
n
-2
∑ ∑ θ px = 1800 + ∠( px − zi ) − ∠( px − p j )
i =1
j =1
j≠x
θ px+1 = −θ px
-1
p x +1
(s − zi)
(s − zk )
1+
i=1 n1
k =1 n2
∏ ( s − p j )∏ ( s − pl )
j=1
l=1
m1
n2
KG ∏ (s − zi )∏ (s − pl )
Φ ( s ) = n i =1
l =1 m
∏ (s − pi ) + K g ∏ (s − z j )
i =1
j =1
得 z1 = −2 p1 = 0, p2 = −1
渐近线与实轴正方向的夹角为 1800， 即渐近线沿负实轴趋于无穷远
第四章 线性系统的根轨迹法
G(s)H (s) = k(s + 2) s(s +1)
画出实轴上的根轨迹。
解： 存在分离点，为 d,满足
由
得
11
1
+=
d d +1 d +2
d 2 + 4d + 2 = 0
2 G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)
写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。
k(2s +1)
1+
= 0,
s(s + 5)
系统2： 零点：-0.5 极点为0, -5 Kg=2k
1+ 2k(s + 0.5) = 0 s(s + 5)
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
【 根轨迹性质 1】 根轨迹是连续的 【 根轨迹性质 2】 根轨迹关于实轴是对称的
【 根轨迹性质 3】 根轨迹的条数 【 根轨迹性质 4】 根轨迹的起点与终点
第四章 线性系统的根轨迹法
根轨迹始于开环的极点，终止于开环的零点。
起点
m
n
∏ ∏ Kg (s − zi ) + (s − pj ) = 0
i=1
j=1
终点
∏ ∏ m
1n
i=1 (s − zi ) + Kg
(s − pj) = 0
3
d1,2 =
2×3
= −1± 3
d1,2=-1.577,-0.422
d1 d2 是否均为分离点吗？
第四章 线性系统的根轨迹法
（2) 重根法
D(s) =1+G(s)H(s) = 0 dD(s) = 0
ds
d [1+
ds
kg
M(s)] N(s)
=
0
M ′(s)N(s) − N′(s)M (s) = 0
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则三】根轨迹的分离点与会合点 在复平面上，两条或两条以上的根轨迹相遇以后又立即 分开的点称为分离点或会合点 。
在分离点或会合点上，根轨迹的切线与正实轴之间 的夹角称为根轨迹的分离角。分离角按下式计算：
θd =(2k +1)π / L, k = 0,±1,±2,...
L为相遇根轨迹的条数
k
第四章 线性系统的根轨迹法
闭环特征方程 s2 + 2s + k = 0,
闭环极点
s1,2
=
−2±
4 − 4k 2
= −1±
1− k
极点性质
k ≤ 1, s1,2 = − 1 ± 1 − k k > 1, s1,2 = − 1 ± j k − 1
第四章 线性系统的根轨迹法
K 0.1 0.8 1 2
与实轴的交点记为 σ a
σa
=
∑
所有极点 −∑
n -m
所有零点
∑ ∑ σ a =
pi − zj n -m
第四章 线性系统的根轨迹法
n-m=1时， φa = 1800
n-m=2时， n-m=3时，
⎧ 900 φa = ⎨⎩2700
⎧ 600
φa
=
⎪ ⎨
1
8
0
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⎪ ⎩
−
6
0
0
k =0 k =1
k =0 k =1 k = −1
4
将特征根画在 s平面上
s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87
s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87
将特征根随增益的变化在s平 面上轨迹称为根轨迹
K=2 K=0.1 k=1
-2j
j k=0.1
-2
-1
0
-j
-2j
第四章 线性系统的根轨迹法
R(s)
Φ(s) = G(s)
CG((ss))
1+ G (s)H (s)
G (s) =
m1
∏ K G
(s − zi )
i =1
n1
∏ (s − p j)
j =1
H(s)
m2
∏ K H
(s − zk )
H (s) =
k =1 n2
∏ (s − pl)
l =1
m1
m2
∏ (s − zi )∏ (s − zk )
j=1
对于物理可实现系统，一般满足 ，因此有n-m条根轨迹终止于无穷远处
n
∏ s− pj
li m K g =
j =1 m
∏ s → ∞
s − zi
i =1
= lim s→∞
s n−m = ∞
n-m个无穷远的零点
第四章 线性系统的根轨迹法
例如：
G(s)H (s) =
k
s(s +1)(s + 2)
有三条根轨迹，开环的零点 z=-1, 极点p=0,-2,-3,
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系
（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道 H(s)的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开 环零点。 （2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。 对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨 迹增益。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则二】实轴上的根轨迹分布
S平面
s右方的实数极点与实数零点的总和为奇 数时， s就是根轨迹上的点。
-3 -2
-1 0
m
n
∑∠(s − zi ) − ∑∠(s − pj ) = (2k +1)π...
i=1
j =1
第四章 线性系统的根轨迹法
例4-1 设某负反馈系统的开环传递函数为
2）应用Routh判据求解，求特征方程的虚根。使 Routh表发生特殊情况。 （第一列的元素为零）
特征方程： 1+k/s(s+1)(s+2)＝０
s3+3s2+2s+k=0
S3 1
2
S2 3
k
S1 (6-k)/3
S0 k
(6-k)/3=0, k=6
3s2+k=0 s2=-k/3=-2 s=j1.414,-j1.414
根轨迹的作用
Step Res pons e 1 .4
k= 0 .8
1 .2
k=2
k=4
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (s ec )
K=2 K=0.1 k=1
-2j
j k=0.1
-2
-1
0
-j
-2j
A m p litu d e
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
试确定系统根轨迹的条数、起点和终点、渐近线及实轴上的根轨迹 分布。
解 三条根轨迹，分别起始于 0，-1，-2，沿渐近线区域无穷远
渐进线与实轴交点坐标
n
m
-2
-1
0
∑ ∑ σa
=
i =1
pi − zj
j =1
n-m
= 0 −1−2 3−0
= −1
2k +1 1 5