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2
x 2 2 2 4 f [ g ( x )] ( ) , f [ f ( x )] ( x ) x 解 1 x x x2 x 1 x g[ f ( x )] , g[ g( x )] 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x
可见，复合顺序是关键．另外，要注意：若经过变 量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无 意义，或者说它们不能复合．
16.6 8.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0
二、初等函数
1.基本初等函数
); （1）常函数 y c(c是实数
y x (为任意实数 ); （2）幂函数
（3）指数函数
y a x (a 0, a 1);
（4）对数函数 y loga x(a 0, a 1); （5）三角函数 y sin x, y cos x, y tan x, y cot x,
1 而函数y 在(0,1)内无界, 在(1, )上有界. x
2. 单调性 设 x1 、x2 是函数 f ( x )在定义区间 ( a , b )内的任意 两点,且 x1 x2 .若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则称 f ( x )在 ( a , b ) 内是单调递增的;若 f ( x1 ) f ( x2 ) ,则称 f ( x ) 在 ( a , b ) 内是 单调递减的.
是奇函数.
y
f ( x )
y x)
y f ( x)
f ( x)
o x x
-x o 偶函数
x
x
f ( x )
奇函数
4. 函数的周期性
对于函数 f ( x ),如果存在正的常数T,使得 f ( x ) f ( x T ) 恒成立,则称 f ( x ) 为周期函数,满足这个等式的最小正数T , 称为函数的周期. 例如 sinx, cos x, tan x, cot x 都是周期函数,周期为 2 .
y sec x, y csc x.
（6）反三角函数 y arcsinx, y arccosx, y arctanx,
y arc cot x 等.
2.复合函数
定义1-2 设变量 y 是变量
u 的函数,变量 u 又是变量 u可以确定变量 y的值,
x 的函数,即
y f (u)
y 3 0.6 x
x [1,6] 公式法
例1-2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T 的变化曲线,如下图示: T
T (t0 )
37
o
t0
t
例1-3 某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热 的发病率,见下表 t (月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y (‰)
o
x
例1-8 设某药物的每天剂量为y (单位:毫克) ,对于 16岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为2mg.而对于16 岁以下的未成年人,则每天用药剂量y 成比于年龄x ,比例 常数为0.125mg/岁,其函数关系为
0.125x y 2
y
0 x 16 x 16
这是一个分段函数，如图
定义1-3 由基本初等函数经过有限次的四则运算以 及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初 等函数．
三、分段函数
在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称 为分段函数． 例1-7
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x0 x0
y 2x 1
y
y x2 1
的复合函数．
u是 y 的中 解 这里，变量传递顺序是规定好了的， v 是 u的中间变量，故依次代入可得 间变量，
y lg arctan( x 1) x (1,).
x , 试求 f [ g( x)], f [ f ( x)] 例1-5 设 f ( x ) x , g ( x ) 1 x g[ f ( x )], g[ g( x )].
主要内容
１.常量 变量 函数的概念
２.基本初等函数 复合函数 分段函数 初等函数
３.函数的性质：有界性
单调性
奇偶性
周期性
第一章
第一节
函数和极限
函数
一、函数的概念
二、初等函数
三、分段函数 四、函数的几种简单性质
一、函数的概念
1．常量与变量 在某过程中始终保持同一数值的量称为常量, 而在过程中可取不同数值的量称为变量. 注意 一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要 根据具体过程和条件来确定. 例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是 常量；而在研究成人的健康状况时通常是变量．
2 o
16
x
例1-9 设 f ( x) 定义为：当 x 0 时，f ( x) 当x
x /x，
f ( x) 0 则 0时，
1, f ( x) 0, 1,
y
当x 0 当x 0 当x 0
1
o
x -1
四、函数的几种简单性质
1. 有界性
设函数 f ( x)在(a, b)内有定义 .若存在正数 M , 对于所
２．函数的概念 定义1-1 设 和 y 是同一变化过程中的两个变量， 如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律， 变量 y 总有一个确定值与之对应，则称变量 y 是变量 的函数．变量 称为自变量，变量 y 称为因变量.记为
x
x
x
x
y f ( x)
因变量
xD
自变量
域．而因变量 y 的所有对应值的集合则称为函数的值域. 注意1 在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.
有的x (a, b), 恒有 f ( x) M , 则称函数 f ( x)在(a, b)内有界 .
y
如果不存在这样的 M， 则称函数 f ( x)在(a, b)内无界 .
y M y=f(x) a o x b 有界 -M a o M
x0
b x 无界
-M
例如 ,函数y sin x在R上有界 ．
u ( x)
如果变量 x 的某些值通过变量 则称 y 是 x的复合函数,记为
y f [ ( x)]
变量 u 称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可 以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间 变量的传递而构成的． 例1-4 设 y lg u, u arctanv , v x 1,求 y 关于 x
y arcsinu, u 2 x 2 就不能复合．因为 例如，
2 x 1,
2
y arcsin( 2 x 2 ) 的定义域为空集,即函数
y arcsin( 2 x 2 ) 无意义.
例1-6 将下列复合函数“分解”为简单函数
(1) y a sin( bx c ) a ( 2) y 1 2 kx (3) y lg( 1 1 cos2 x )
解 (1) y a sinu, u bx c
a ( 2) y , u 1 2v , v kx u
(3) y lgu, u 1 v , v 1 2 , cos x
注意 简单函数是指基本初等函数或由基本初等函 数经过四则运算而得到的函数.
3.初等函数
D是自变量 x的所有允许值的集合，称为函数的定义
注意2
函数的两要素为： 定义域与对应规律
因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完 全相同时,才认为是两个相同的函数. 注意3 函数的表示法有:公式法、图像法和表格法, 这三种表述各有特点并可以相互转化． 例1-1 在出生后 1～6个月期间内,正常婴儿的体重近 似满足以下关系:
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
增 函 数 o a
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
减 函 数
f ( x1 )
o
a
b x
bx
3. 奇偶性
如果对于函数 f ( x )定义域内的任意点 x ,恒有
f ( x ) f ( x ) ,则称 f ( x ) 是偶函数;如果对于函数 f ( x ) 定义域内的任意点 x ,恒有 f ( x ) f ( x ),则称 f ( x )
