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医用高等数学第四章课件.ppt

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高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。

高等数学第四章课件-矩阵的逆

高等数学第四章课件-矩阵的逆

( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
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医用高等数学第四章课件

医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

高等数学第四章课件.ppt

高等数学第四章课件.ppt
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即

《高等数学》教学课件 第4章

《高等数学》教学课件 第4章

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

医用高等数学-教案 第4章

医用高等数学-教案 第4章

2o 当(x, y)沿直线 y = kx 趋于( 0, 0)时,
lx i0m x2xyy2lx i0m x2k x k22x2
1
k k
2
yk x0
其值随 k 值的不同而变化,
故 f(x, y) 的极限不存在.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第15页
补充例:
求证 lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
第3页
4. 几类常见的方程
Ax + By + Cz + D = 0 (平面方程)
(x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 = R 2 (球面方程)
x2+y2 =R2
(柱面方程)
z=x2+y2
(椭圆抛物面)
z2 = x 2 + y 2
2020/1/30
(圆锥面)
《医用高等数学》第四章
在(0,0)的连续性.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y
2

lxim0 x2
kx2 k2
x2

1
k k
2
y0
ykx
其值随k的不同而变化, 极限不存在.
故 函数在(0,0)处不连续.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第20页
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合步骤所 构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数.
lim
x0
x6

y 2 不存在.
y0
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高等数学第四章 第二节不定积分 课件

高等数学第四章 第二节不定积分 课件

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

医用高等数学(第7版)PPT课件 第四章 第五节 多元复合函数和隐函数的微分法

医用高等数学(第7版)PPT课件 第四章 第五节 多元复合函数和隐函数的微分法

所以 x z y z y dz y dz 0 x y x du x du
医用高等数学（第7版）
例4-23 设 z euv , u sin x ，v x2 cos x ,
求 dz .
dx
u
解 dz z du z dv dx u dx v dx
z
x
v
veuv cos x ueuv (2x cos x x2 sin x)
导数为
dy dy du dx du dx
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推 广到多元复合函数.
医用高等数学（第7版）
定理4-2 如果函数 u u( x, y) 、v v( x, y) 在点 ( x, y) 处有连续偏导数，
而函数 z f (u,v) 在对应点 (u, v) 处有连续偏导数，则复合函数
医用高等数学（第7版）
2.当中间变量都是多元函数时，其导数是偏导数. （1）一个中间变量是二元函数
z f (u) ，而 u u( x, y), 则复合函数 z f u( x, y) 的偏导数
z dz u x du x
x
z dz u y du y
zu
y
医用高等数学（第7版）
（2）两个中间变量都是二元函数，见定理4-2.
医用高等数学（第7版）
锁链式法则
y
u
x
u
z v
x
z
y
(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐条相加.
ux
v
w
y
医用高等数学（第7版）
例4-21 设
z u2, ln v
而

医用高等数学第四章课件

医用高等数学第四章课件
（ k是 常 数 ， k0)
例7
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
例8
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .

《医学高等数学》课件 第四章 向量代数与空间解析几何

《医学高等数学》课件 第四章 向量代数与空间解析几何

图4－1
在空间直角坐标系中，轴及轴所确定的平面称为平面，轴及轴
所确定的平面称为平面，轴及轴所确定的平面称为平面，这三个平
面将空间划分成八个部分，称为空间直角坐标系的八个卦限，如图4－2所示.
图4－2
2.空间点的坐标
设点为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，
别取坐标为，，的三个点，，，过这三个点分别作垂直于三个坐
标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组（，，）
为坐标的点，这样空间中的点就与有序数组（，，）之间建立了一一
对应关系.
图4－3
注意：、、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足.
例1
求点 3，2，1 关于各坐标平面对称的点的坐标.
−
式 4 − 2 称为向量的坐标表达式，简记为 = ，， .
我们把 ，， 称为的坐标.
图4－11
4.利用坐标进行向量的线性运算
设在空间直角坐标系中，向量 = 1 ，1 ，1 ， = 2 ，2 ，2 ，则
= 1 + 1 + 1 ， = 2 + 2 + 2
行.
2.向量的线性运算
（1）向量的加法
定义1 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示，，然后以、
为邻边作平行四边形，则从起点A到顶点C的向量称为向量与的和，
记作 + .
这种求和方法称为平行四边形法则， 如图4－6所示.
图4－6
由于向量可以平移，因此若将向量平移,使其起点与向量的终点重合，则以
这就是空间任意两点组成的向量的坐标表达式.
5.向量的模与方向角
（1）向量的
模
如图4 − 11所示，设向量 = ，， = ，有

医学高等数学PPT课件

医学高等数学PPT课件
（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv

《医用高数》课件

《医用高数》课件
探索医学影像分析 的基本原理和方法， 如计算机断层扫描 和磁共振成像。
第五部分：结语
1 总结
回顾医用高数的重要内容，强调对医学统计学的理解和应用。
2 展望
展望医学统计学发展的前景，并鼓励学习者继续深入探索相关领域。
《医用高数》PPT课件
医用高数PPT课件大纲
第一部分：导论
课程简介
探索医学统计学的重要性 和应用，帮助医学相关专 业人士更好地理解数据分 析的基本概念和方法。
相关概念介绍
介绍统计学中的常见概念， 如样本、总体、参数和变 量类型，为后续内容打下 基础。
数理统计的重要性
讲解数理统计在医疗领域 中的作用，包括数据收集、 数据分析和结果解读。
第二部分：概率论
概念及定义
阐述概率的基本概念和定义，包括样本空间、 事件和概率的计算。
事件与概率
通过举例说明概率与事件的关系，并介绍如何 计算常见事件的概率。
随机变量及其概率分布
介绍随机变量和概率分布的概念，包括离散型 和连续型随机变量。
Hale Waihona Puke 常见分布及特性讲解常见概率分布，如二项分布、正态分布等， 并探讨它们的特性和应用。
第四部分：医学统计学应用
药效学实验 设计
探究如何设计药物 实验，确定样本量、 随机化和盲法等的 重要性。
临床试验设计
介绍临床试验的基 本设计原则和常见 类型，如随机对照 试验和前瞻性研究。
生存分析及 风险估计
讲解生存分析的概 念和方法，包括 Kaplan-Meier曲线和 Cox比例风险模型。
影像分析
第三部分：统计学基础
1
样本及抽样
解释样本和抽样的概念，介绍样本容量和抽样方法对统计结果的影响。
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或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
第四章 不定积分 Integration
第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法
第一节 不定积分的概念和性质
• 原函数和不定积分的概念 • 不定积分的几何意义 • 不定积分的性质 • 不定积分的基本公式及线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
例6、求积分
ax
1 1 x2
sin
x dx
三、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f
( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例9
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例10
求积分
1
1 cos
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
（k 是常数，k 0)
例7
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例8
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
二、不定积分的几何意义
几何意义：
函数 f(x)的不定积分 f(x)dx是一族积分曲线(在每
一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线 相互平行，其斜率都是f(x))
y F(x) c y
y F(x)
x
o
x
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f
( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
例5、求积分 3x exdx
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) dx ln x C;
表
x
说明：
x
0,
dx x
ln
x C,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
(4)
1
1 x
2
dx