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医用高等数学第四章课件.ppt

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高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。

高等数学第四章课件-矩阵的逆

高等数学第四章课件-矩阵的逆

( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
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医用高等数学第四章课件

医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

高等数学第四章课件.ppt

高等数学第四章课件.ppt
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即

《高等数学》教学课件 第4章

《高等数学》教学课件 第4章

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

医用高等数学-教案 第4章


2o 当(x, y)沿直线 y = kx 趋于( 0, 0)时,
lx i0m x2xyy2lx i0m x2k x k22x2
1
k k
2
yk x0
其值随 k 值的不同而变化,
故 f(x, y) 的极限不存在.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第15页
补充例:
求证 lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
第3页
4. 几类常见的方程
Ax + By + Cz + D = 0 (平面方程)
(x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 = R 2 (球面方程)
x2+y2 =R2
(柱面方程)
z=x2+y2
(椭圆抛物面)
z2 = x 2 + y 2
2020/1/30
(圆锥面)
《医用高等数学》第四章
在(0,0)的连续性.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y
2

lxim0 x2
kx2 k2
x2

1
k k
2
y0
ykx
其值随k的不同而变化, 极限不存在.
故 函数在(0,0)处不连续.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第20页
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合步骤所 构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数.
lim
x0
x6

y 2 不存在.
y0
2020/1/30

高等数学第四章 第二节不定积分 课件


1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

医用高等数学(第7版)PPT课件 第四章 第五节 多元复合函数和隐函数的微分法


所以 x z y z y dz y dz 0 x y x du x du
医用高等数学（第7版）
例4-23 设 z euv , u sin x ，v x2 cos x ,
求 dz .
dx
u
解 dz z du z dv dx u dx v dx
z
x
v
veuv cos x ueuv (2x cos x x2 sin x)
导数为
dy dy du dx du dx
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推 广到多元复合函数.
医用高等数学（第7版）
定理4-2 如果函数 u u( x, y) 、v v( x, y) 在点 ( x, y) 处有连续偏导数，
而函数 z f (u,v) 在对应点 (u, v) 处有连续偏导数，则复合函数
医用高等数学（第7版）
2.当中间变量都是多元函数时，其导数是偏导数. （1）一个中间变量是二元函数
z f (u) ，而 u u( x, y), 则复合函数 z f u( x, y) 的偏导数
z dz u x du x
x
z dz u y du y
zu
y
医用高等数学（第7版）
（2）两个中间变量都是二元函数，见定理4-2.
医用高等数学（第7版）
锁链式法则
y
u
x
u
z v
x
z
y
(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐条相加.
ux
v
w
y
医用高等数学（第7版）
例4-21 设
z u2, ln v
而

医用高等数学第四章课件

（ k是 常 数 ， k0)
例7
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
例8
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
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或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
第四章 不定积分 Integration
第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法
第一节 不定积分的概念和性质
• 原函数和不定积分的概念 • 不定积分的几何意义 • 不定积分的性质 • 不定积分的基本公式及线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
例6、求积分
ax
1 1 x2
sin
x dx
三、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f
( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例9
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例10
求积分
1
1 cos
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
（k 是常数，k 0)
例7
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例8
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
二、不定积分的几何意义
几何意义：
函数 f(x)的不定积分 f(x)dx是一族积分曲线(在每
一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线 相互平行，其斜率都是f(x))
y F(x) c y
y F(x)
x
o
x
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f
( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
例5、求积分 3x exdx
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) dx ln x C;
表
x
说明：
x
0,
dx x
ln
x C,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
(4)
1
1 x
2
dx