医用高等数学第四章 PPT课件
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高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu， 如图4-5所示，当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时， 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x，dv=sinxdx=d(-cosx)，则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后，可以不写出u和dv，而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算，所以，导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤，因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x)，将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形，即 ∫f(x)dx不易求出，但适当选择变量代换x=φ(t)后，得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt，而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
大学高等数学ppt课件第四章1积分的应用
计算阻抗和导纳
计算阻抗
阻抗是电路中阻碍电流流动的因素，由电阻 、电感、电容等组成。通过积分，我们可以 计算出阻抗的大小，从而分析电路的性能。
计算导纳
导纳是电路中与阻抗相对应的另一个重要参 数，表示电路对电流的响应能力。通过积分 ，我们可以计算出导纳的大小，进一步分析
电路的响应特性。
计算功率和能量
计算曲线的弧长
对于一般的平面曲线，其弧长可以通 过格林公式计算，即∫Pdx+Qdy，其 中P、Q为曲线上的参数函数。
03
积分在物理学中的应用
计算质量
总结词
积分在物理学中常用于计算质量，通过计算体积对质量的密度分布进行积分， 可以得到物体的总质量。
详细描述
在物理学中，质量是物体所含物质的量，通常用 m 表示。物体的质量可以通过 对质量的密度分布进行积分来计算。假设物体的体积为 V，质量的密度分布为 ρ(x, y, z)，则物体的总质量 M 可以表示为 M = ∫ρ(x, y, z)dV。
计算长度
不定积分可以用来计算平面曲 线的长度，例如圆弧、椭圆弧 等。
积分在经济学中的应用
计算总收益
在经济学中，总收益是指企业在 一定时期内通过销售产品或提供 服务所获得的总收入，可以通过 积分来计算。
计算总成本
总成本是指企业在生产过程中所 花费的所有成本，包括固定成本 和变动成本，也可以通过积分来 计算。
计算速度和加速度
总结词
通过积分计算速度和加速度是物理学中常见的应用，速度是位移对时间的积分，加速度是速度对时间的积分。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体位置变化快慢的物理量，通常用 v 表示。速度可以通过对位移函数 s(t) 进行时间 t 的积分得到，即 v = ∫ds/dt。加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用 a 表示。加速度可以通过对速 度函数 v(t) 进行时间 t 的积分得到，即 a = ∫dv/dt。
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
医用高等数学-教案 第4章
2o 当(x, y)沿直线 y = kx 趋于( 0, 0)时,
lx i0m x2xyy2lx i0m x2k x k22x2
1
k k
2
yk x0
其值随 k 值的不同而变化,
故 f(x, y) 的极限不存在.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第15页
补充例:
求证 lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
第3页
4. 几类常见的方程
Ax + By + Cz + D = 0 (平面方程)
(x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 = R 2 (球面方程)
x2+y2 =R2
(柱面方程)
z=x2+y2
(椭圆抛物面)
z2 = x 2 + y 2
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(圆锥面)
《医用高等数学》第四章
在(0,0)的连续性.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y
2
lxim0 x2
kx2 k2
x2
1
k k
2
y0
ykx
其值随k的不同而变化, 极限不存在.
故 函数在(0,0)处不连续.
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《医用高等数学》第四章
第20页
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合步骤所 构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数.
lim
x0
x6
y 2 不存在.
y0
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高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
高等数学第四章
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
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（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
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9
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2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv
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2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv
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不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x dx .
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 内原函数. 或 f ( x )dx 在区间
例
sin x cos x
sin x 是cos x 的原函数.
C kdx kx 1
( k是常数);
1 arctan x C ; ( 4) dx 1 x2 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ; dx 2 sec xdx tan x C ; cos2 x
1 ln x ( x 0) x 1 ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
I 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
1 , 2 1 x
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启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分 (3) dxlnxC;
表
x
说明：
x0, dxxlnxC,
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
不定积分的性质
思考题
1, x0 符号函数 f(x)sgnx0, x0
1, x0
在 ( ,)内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
xC, x 0
假设有原函数 F(x) F(x) C,
x0
xC, x 0
但 F (x )在 x 0 处 不 可 微 ， 故假设错误
所以 f (x)在 ( ,)内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分部积 分法
一、第一类换元法（“凑”微分法） 二、第二类换元法 三、分部积分法
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
在一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
d [ ( x ) F f ] [ ( x ) ( x ] ) dx
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
[ f(u )d]u u (x) 由此可得换元法定理
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ，
那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数.
x
x
dxxln(x)C, dxxln|x|C,
(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
1 dxarcxsC i;n 1x2
(6) coxsdxsix nC;
(7) six ndxcox sC ; (8) cod2sxxse2cxdxtaxn C;
(9) sidn2xxcs2cxdxco x tC ;
ar x c lx n t C a . n
例9
求积分
1 2x2 x2(1 x2
dx. )
解
1 2x2 x2(1 x2
dx )
1 x2 x2
x2(1 x2)dx
x12dx11x2dx
1arctxa C n. x
例10 求积分1c1os2xdx.
解 1c1os2xdx12c1o2sx1dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
例6、求积分
ax
11x2
sinxdx
三、 不定积分的性质
(1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
证 f(x)d x g(x)dx f(x )dx g (x )d xf(x)g (x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) k(fx)d xk f(x)dx.
则有换元公式
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
第二类积分换元公式
例16 求
1 dx(a0).
x2a2
解
令
xatat nd xase 2tc dtt
2
,
2
x21a2dxas1etcase2ctdt
问题 x5 1x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果）
定理2 设 x (t)是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ，
并且(t)0，又 设 f[(t) ](t)具 有 原 函 数 ，
f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx. 解 x6 x5,
6
x5dxx6C.
6
例2
求
1 1 x2
dx.
解 arcxta 1n 1x2,
1 1x2d xarcxtC a.n
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 six ncoxs six n Ccoxs
（ C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C， F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
（2）若F(x) 和 G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F (x ) G (x ) C（ C为任意常数）
(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
根据积分公式（2）
xdx x1 C
1
51
x2 51
C
2
7
x2
C.
7
2
例5、求积分 3xexdx
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g(x)dx 化为 f[(x) ](x)d.x
观察重点不同，所得结论不同.
例1 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
解 设曲线方程为 yf(x),
根据题意知 dy 2 x, dx
即 f(x)是 2x的 一 个 原 函 数 .
2xdx2C, f(x)x2C,
由曲线通过点（1，2） C1, 所求曲线方程为 yx21.
二、不定积分的几何意义
几何意义：
函数 f(x)的不定积分 f(x)dx是一族积分曲线(在每
一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线 相互平行，其斜率都是f(x))
解（二）
cscxdx
1 sinx
dx
ssiinn2xxdx
1c1o2x sd(cox)s u cx os
11u2 du1211u11udu
1 ln|
1u|C1ln|1coxs|C.
2 1u
2 1coxs
类似地可推出 se xc d ln x |se x c ta x | n C .
二、第二类换元法
a
a
例6
求
x2
1 dx. 81)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
例7
求
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
yF(x)c y
yF(x)
x
o
x
由不定积分的定义，可知
ddxf(x)dxf(x), d[f(x)d]x f(x)d,x
F (x)d x F (x)C , d(F x)F (x)C .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
y s2 e x s cx id nx
ta x c n x o C ,s y (0 ) 5 , C6, 所求曲线方程为 y ta x c nx o 6 .s
四、 小结
原函数的概念：F (x)f(x)
不定积分的概念：f(x)d xF (x)C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )