精编医用高等数学第三章课件

解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量 来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为 ，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节 曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A

高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
(3)如果当x(x0 , x0)及x(x0, x0 )时, f '(x)
2、函数极值不一定唯一；
3、极大值不一定大于极小值；
x 1 x2
x 3 x4
1
2
4、称f使 (x)0的点为驻点；
由 图 可 知 ： 可值导点函处数的极切x线 轴平 。
4
定理1(必要条件)设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 , 且 在 x 0 处 取 得 极 值 , 那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
第五节 函数的极值与最值
一、函数极值及求法 二、最值的求法 三、应用举例 四、小结及作业
1
一、函数极值及求法
y
yf(x)
a o x1
x2
y
x4
b x 5 x 6
x
y
o
x0
x
o
x0
x
2
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
f(x0)0
5
定理表明：
可导函f数 (x)的极值点必定是点 它 , 的驻 反之不一定。
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值 . 点
5、函数的极值是 点驻 只点 可或 能导数点 不。 存

第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则

医用高等数学
本课程旨在探索数学和医学之间的精美交叉。通过深入讲解微积分和线性代 数等概念，我们将了解这些概念如何应用于医疗领域。
课程介绍
课程目标
掌握数学的基本原理和概念，了解其在医学和 生命科学中的应用。
教学方法
授课和案例分析相结合，以及小组讨论和解决 实际问题。
课程内容概述
导数与微分，积分，微分方程，线性代数以及 它们在医学领域的应用。
总结讲话
1 课程收获
本课程将使您了解医疗领 域和数学的紧密联系，为 您的未来工作奠定坚实的 数学基础。
2 学习建议
预习，认真听课，及时解 决所有问题，参加在线讨 论，互相学习。
3 Q&A 时间
敬请参与师生互动环节， 问答时间将会为您提供关 于这个跨学科领域的深入 了解。
线性代数
了解线性代数的基本概念和方法，如矩阵和行列式， 以及它们在医学图像处理中如何使用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用案例分析
1
医学影像处理
了解如何使用数学来处理医学影像，从分段到计算机断层扫描（CT）。
2
生物医学工程
深入探讨基础和高级生物医学工程问题，如心理学，病理学和生物力学。
3
医学统计分析
通过分析数据集，查找和评估医疗方案和疾病的影响。
学习资源
每周有详细的课堂笔记、教学视频、答疑在线 会议和老师的在线答疑时间。
重点概念讲解
导数与微分
学习微分和导数的概念和应用，例如，如何计算出 给定函数的斜率以及面积和体积的微小变化。
积分
了解积分的基本概念，包括如何计算区间函数的面 积，体积，质量和中心。
微分方程
讲解常微分方程的概念和解决方法，以及它在生命 科学和医疗技术方面的应用。

定理2 设 A = (aij )n×n , 则 R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 R( A) < n ⇔ | A |= 0
(满秩矩阵) (降秩矩阵)
k 级子式
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
(1 ≤ k ≤ min(s,n)) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
就是A行(列)向量组的一个极大无关组.
例
⎛1 1 1 ⋯ 1⎞
⎜ ⎜
a1
a2
a3
⋯
an
⎟ ⎟
设 A = ⎜ a12 a22 a32 ⋯ an2 ⎟ , 其中 a1 , a2 ,⋯, an
⎜ ⎜
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a s−1 1
a s−1 2
a s−1 3
⋯
a s−1 n
⎟ ⎠
互不相同, 且 s ≥ n,求 R(A).
所以方程组 x1α1 + x2α2 + ⋯ + xrαr = 0 只有零解.
即
⎧ ⎪ ⎨
aa11⋯21xx1⋯1 ++⋯aa22⋯21xx⋯22++⋯⋯⋯⋯++⋯aa⋯rr12xx⋯rr ==
0 0
⎪ ⎩
a1n
x1
+
a2n
x2
+
⋯
+
arn xr
=
0
（2）
只有零解. 由引理1，方程组（2）的系数矩阵
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
注
① R( A) ≤ r ⇔ A的所有 r + 1级子式等于0； R( A) ≥ r ⇔ A有一个 r 级子式不为0.

x
解 lnxxdxlnx1xdxlnx(lnx)dx
lnxdlnx1 2(ln x)2C
例3-14 求
a2
1
x2
dx.
解 a2 1x2dx (ax)1a (x)dx
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a[d(a a x x)d(a a x x)]
1(ln axlnax)C 2a
1 lnax C 2a ax
例3-15 求 secxdx.
解
secxdx

1 cos
dx


cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1ln1sinx 2 1sinx
1 (1sinx)2
C

ln 2
1sin2
x
C
(9) 11x2dxarx c C t a a c r n x o c C t
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c Co
1x2
例3-3 求 (2x2 1 1)dx.
2x
解
(2x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F(x)f(x),则称 F (x)为 f ( x)
在该区间上的一个原函数．
例 sinx coxs x(,)
7 .f(tx ) a s2 n e xc d f( xtx ) a d tn a xn 8.f(1a xr2x c)d ta xn f(arx c)dt(a an rx c)tan

与
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1,n−1 xn−1 = a j −1,n ⎨ ⎪ a j +1,1 x1 + ⋯ + a j +1,n −1 xn −1 = a j + 1,n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ a s1 x1 + ⋯ + a s ,n−1 xn−1 = a sn
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
线性表出.
α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 事实上，对任意 皆有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n也称为 n 维单位向量组．
若向量 β 可表成向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 的一个 α1 ,α 2 ,⋯ ,α β 线性组合, 则称向量 可由向量组 s 线性表出.
注： 1) 若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例. ℝ 3 中,向量 α 与 β 成比例 ⇔ α 与 β 共线. ℝ 3 中,若向量 α 1与 α 2不成比例,则
⎛ α1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜αs ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜αs ⎟ → ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ β1 ⎟ β1 ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βt ⎠ ⎝ βt ⎠ ⎝ 0⎠
若能，写出它的一个线性组合．

医用高等数学
第三讲 极限与函数
主 讲 人：曹灿 单 位：吉首大学数学与统计学院 讲授时间：2019年9月2日 授课班级: 2012级临床医学3，4班
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
1
本节课主要内容
一、无穷小量的性质 二、极限的运算法则 三、极限存在准则 四、函数的连续性
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
2
一、无穷小量的性质
1.1无穷大与无穷小的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
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三、 极限存在准则
一、 夹逼定理
二、函数极限与数列极限的关系
三、柯西收敛准则
四、两个重要极限
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
（3） 无界变量未必是无穷大.
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
8
二、极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限
2019年9月2日12时20分

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv