医用高等数学课件：5 不定积分 1

第一节 不定积分(之二)
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q

例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．

12
12
例10
求
1

1 cos
x
dx.
解

1

1 cos
x
dx


1

1 cos x
cos x1 cos
x
dx


1 cos x 1 cos2 x
一、第一类换元法（“凑”微分法） 二、第二类换元法 三、分部积分法
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2

cos
2
xdx

1 2

cos
tdt

1 2
sin
t

C
1 2
sin
2
x
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
二、不定积分的几何意义
几何意义：
函数 f(x)的不定积分 f(x)dx是一族积分曲线(在每
证


f
( x)dx



g( x)dx



f ( x)dx


g( x)dx
f
( x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.

x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,

x11 x11

dx

t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C

(1 x ) 102

(1 x ) 101
C
解二


x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx

x)
dx
(1
101
100
x)
dx

(1 x ) 102
102

(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C

1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一

ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx


dx 2 co s
2
d x 2

2
类似可得
sec xdx ln | sec x tan x | c
27
小结
1. 第一换元法（凑微分法） 令φ(x)=u , 最后换回原变量 x
28
2. 三个常用公式
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
x x
a a
|
c
csc xdx ln | csc x cot x | c
sec xdx ln | sec x tan x | c
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1
2 x2 2x 2
(x2 1)2 1
1 ln(x 2x 2) arctan(x 1) c 2
12
例7
dx x(1 2 ln
x)
1
1 2 ln
d x
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
2
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
1 ln |1 2 ln x | c 2
13
例9
e3 x
5
例2 e2xdx
1 e2xd 2x
2
1 d (e2x )
2 1 e2x c
2
6
例3
1
2
x x
2
dx
1
1 x
2
dx
2
1
1 x
2
d
(1
x
2
)
d ln(1 x2 )

（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质

ln 2
(2)
(1)x d x 1 (1)x C 1 (1)x C
2
ln 1 2
ln 2 2
2
(3) ex dx ex C.
三、不定积分的性质
性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.
kf (x)dx k f (x)dx (k是常数，k 0).
3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2

5
x2

2
3
x2

1
x2 ,

x
(
x
1)
2dx


(
x
5 2

2
x
3 2

x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx

2 7
7
x2

4 5
5
x2

2 3
3
x2

3x

C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
解 (3x 2sin x)dx 3xdx 2sin xdx 3x 2 (cos x) C
ln 3
C 1 ，

y


xdx

1 2
x2

C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系

x
解 lnxxdxlnx1xdxlnx(lnx)dx
lnxdlnx1 2(ln x)2C
例3-14 求
a2
1
x2
dx.
解 a2 1x2dx (ax)1a (x)dx
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a[d(a a x x)d(a a x x)]
1(ln axlnax)C 2a
1 lnax C 2a ax
例3-15 求 secxdx.
解
secxdx

1 cos
dx


cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1ln1sinx 2 1sinx
1 (1sinx)2
C

ln 2
1sin2
x
C
(9) 11x2dxarx c C t a a c r n x o c C t
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c Co
1x2
例3-3 求 (2x2 1 1)dx.
2x
解
(2x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F(x)f(x),则称 F (x)为 f ( x)
在该区间上的一个原函数．
例 sinx coxs x(,)
7 .f(tx ) a s2 n e xc d f( xtx ) a d tn a xn 8.f(1a xr2x c)d ta xn f(arx c)dt(a an rx c)tan

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
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9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv

2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5

1)
dx


1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t

f (t)
1
2
t3


f
(t )dt


1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.

v0t

x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx


f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2

2
x
ln
ex 2
1

5 ln 2

C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达

F ( x ) C （C 为任意常数）称为 f ( x ) 在 I 上的不定积
分（indefinite integral） ，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
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如果忽略常数C ， 不定积分运算与求导运算 （或 微分运算）互为逆运算．
．
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1 d x． 例 1 求 x 1 解 由(2 x ) ， 可得 x

1 d x 2 x C． x
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1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
[( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 .
由第三章拉格朗日中值定理的推论可知，
( x ) F ( x ) C
其中C 为常数．
或
( x ) F ( x ) C ，
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定义 2
在 区 间 I 上 ， 函 数 f ( x) 的 原 函 数 的 全 体
10. sec x tan x d x sec x C ；
11. csc x cot x d x csc x C ；
12. e x d x e x C ；
x a C． 13. a x d x ln a
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三、不定积分的性质
性质 1 两个函数代数和的积分等于其各自积分的 代数和，即