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二、微分与导数的关系
函数 f (x)在点x0可微的充要条件是函 数 f (x)在点x0处 可导, 且 A f (x0 ).
即:
可导 可微. A f (x0 ).
证明 (1) 必要性 f (x)在点x0可微
y A x o(x) y A o(x)
x
x
则 lim y A lim o(x) A
dx
函数和、差、积、商的微分法则
d (u v) du dv d (uv) vdu udv
d (Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2-30 设 y ln(x ex2 ), 求dy.
解
y
1 2xex2 x ex2
1 2xex2 dy x ex2 dx
例2-31 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d (e13x ) e13x d (cos x)
dy x2 3x2x x2 0.24
x0.02
x0.02
三、微分的基本公式与法则
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cosx) sin xdx
d (tan x) sec2 xdx d (cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(cscx) cscx cot xdx
S x2
x (x)2
x
xx x
(1) : x的线性函数,且为S的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
2. 自由落体运动路程的改变量
自由落体路程 s与时间 t 的关系是
s 1 gt2 2
当时间由 t0变到时t0 t ,路程 s 有相应的改变量
s
1 2
g(t0
t ) 2
1 2
dy xx0 A x
函数 y f (x)在任意点 x 处的微分,称为函数的微分,
记为 dy 或 df (x)
dy A x
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0). dy A x
第三节 微分
一、微分的概念 二、微分与导数的关系 三、微分的Байду номын сангаас本公式与法则 四、一阶微分形式不变性
一、微分的概念
1．面积改变量的大小
一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由
x0变化到 x0 x ,问此薄片的面积改变了多少?
x
S ( x x)2 x2
xx
2x x (x)2
(1)
(2)
函数y f (x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
x0 x
x0 x
即函数 f (x)在点 x0可导, 且A f (x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导
lim y x0 x
f ( x0 )
即
y x
f ( x0 )
从而 y f (x0 ) x (x), 0 (x 0)
f (x0 ) x o(x)
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
(4) A是与x无关的常数, 但与f (x)和x0有关;
(5) 当x 很小时, y dy (线性主部).
微分的几何意义
当y是 曲线的纵坐 标 增 量 时, dy就 是 切 线 纵坐标对应 的 增 量.
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段MN .
d (a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 x ln
a
dx
d (arcsinx) 1 dx 1 x2
d (ex ) exdx d (ln x) 1 dx
x d (arccosx) 1 dx
1 x2
d (arc tanx)
1 1 x2
dx
d (arc
cot
x)
1
1 x2
dy Ax f (x)x
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分, 记作 dx,
即dx x.
dy f (x)dx
dy f (x) dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数
的导数. 导数也叫"微商".
例2-29 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy (x3)x 3x2x
x (t), 则
dy f (x)(t)dt
(t)dt dx dy f (x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f (x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例2-32 设 y eaxbx2 , 求dy.
解 y eu u ax bx2
dy (eu )du eud (ax bx2 )
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
y Ax
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函 数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义2-2 设函数y f (x)在某区间内有定义,x0 及
x0 x在这区间内,如果函数的增量可表示为
y Ax o(x)
其 A是不依赖于x的常数,而 o(x)是比 x高阶的无穷小, 那么称函数 y f (x)在点 x0是可微的, Ax叫做函数 y f (x) 在点 x0 相应于自变量增量 x 的微分,记作 dy xx0 ,即
e(axbx2 ) (a 2bx)dx
例2-33 设 y ln( x2 x 2), 求dy.
解
dy
x2
1 x
d(x2 2
x
2)
2x 1 x2 x 2 dx
主要内容
微分的定义 微分的几何意义: 切线纵坐标的改变量 可导与可微的关系: 可导 可微 微分公式
一阶微分形式不变性 无论 x是自变量还是中间变量,
gt02
gt0t
(1)
1 2
g (t ) 2
(2)
(1) : t的线性函数,且为s的主要部分;
(2) : t的高阶无穷小,当t 很小时可忽略.
面积改变量 S 2xx
路程改变量 s gt0t
既容易计算 又是较好的
近似值
共性 函数改变量y Ax o(x)
(1)
(2)
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(e13x ) 3e13x (cos x) sin x dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx
四、一阶微分形式不变性
设函数 y f (x)有导数 f (x)
(1) 若x是自变量时, dy f (x)dx; (2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数
