医用高等数学课件：6 定积分

《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

则有换元公式
f[(x)](x)d x[f(u)du]u(x)
F[(x)]C.
例8
求
a2Biblioteka 1 x2dx.
.
解
1 a2 x2 dx

1 a2
1
1
x2 a2
dx
1
a
1

1 x
2
d

x a

u
x a
a
1 a

1 1 u2
d
u

1arctaunC a
性质1 k f(x)dx k f (x)dx
（k 是常数，k 0) .
性质2 [f(x)g(x)d ] x f(x)dx g(x)dx .
基本积分公式
(1) xd x x 1 1C(1);
(2) dxxlnxC；
(3) axdxa x C ； ln a
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c C . os
1x2
例3 求 (3x2 1 1)dx. 2x
解
(3x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
1
x2dx
dx
2
x3 xxC.
例4 求 3xexdx. 解 3xexdx(3e)xdx (3e)x C.
不定积分
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义1 若在某区间上F(x)f(x),则称 F( x) 为
f ( x) 在该区间上的一个原函数．
例如 : sinx coxs, x( , ),

把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ]，长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i，以 [ xi1, xi ]为底，f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
积 函
分积 变表
数 量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明 求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin

解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：

定积分的概念ppt课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。

y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和

处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割

设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质

一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式

高等数学
04-02-05
y
(x)
O a x
b
x
高等数学
04-02-06
定理 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 积分上限函数
( x) f (t )dt
a
x
在区间 [a,b] 上可导，且有
d x ( x) f (t )dt f ( x) (a x b) dx a

t1 t0
v(t )dt s(t1 ) s(t0 )
高等数学
04-02-04
变上限积分 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 它在 [a,b] 的任意一个子区间 [a,x] 上 是可积的，且
( x) f (t )dt
a x
(a x b)
就是它的积分上限 x 的函数，称此 函数为积分上限函数，或变上限积 分。
2
2
（2） y x 1 t dt
（3） y x e dt
t 2x
2
高等数学
04-02-16
定理（微积分基本定理） 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，即 F (x)=f(x)，则

b a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
04-02-19
例 计算定积分 1
3
1 dx 2 1 x
高等数学
04-02-20
例 计算定积分 0 1 x dx
2
高等数学
04-02-21
例
1 计算由 y ，x=1，x=2，x 轴 x
所围成的平面图形的面积。
高等数学

(2) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而
与积分变量的记法无关，即
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u )du
b
(3) a b 时,规定 a f (x)dx 0
a b时,规定
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
b
医用高等数学
例3-36 利用定义计算定积分
n 解
(1)分割 将[0,1]
等分,分点为
xi
i n
(i 1, 2,, n)
,小区间
[xi1, xi ]
的长度
Dxi
1 n
(2) 近似 取 xi xi
Dsi
f
(xi )Dxi
( i )2 n
1 n
y x2
(3) 求和
n
i 1
f (xi )Dxi
n i1
i n
2
1 n
o
医用高等数学
1 i 1 i
nn
Dsi
1 n3
最大值及最小值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质3-10（定积分中值定理）
如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,则在 [a,b]上至少 存在一个点 x ，使
间间隔 [T1,T2 ]内所走过的路程,其中 v(t) 为区间 [T1,T2 ]上的
非负连续函数. 路程=速度X时间
解决变速运动的路程的基本思路
把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看 作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到 路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值．

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv

2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5

y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
返回
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
返回
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
b
a f ( x)dx A1 A2 A3 返回
例1 利用定义计算定积分 1 x 2dx.
y
0
y x2
o
i1 i nn
1
x
Ai
f ( i )• 1 nn
i2 • 1 n2 n
返回
解 (1) 分割
将[0,1]n等分，分点为 xi
i ，(i n
1,2,, n )
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积 的负值
返回
y
a
A2
o
A1
b
A3 x
它是介于x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代数 和 ． 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ；在 x 轴 下 方 的 面 积取负号．
1 ，(i n
1,2,, n )
（2）取点 取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
（3）求和 f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
返回
n
i 1

2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长

y=y1(x)
Oa
bx
高等数学
06-06-32
f(x,y)dxdy d x2(y) f(x,y)dxdy c x1(y) D
y
dy d
x2(y)
f
( x,
y)dx
c
x1(y)
d
x=x1(y) D
c
x=x2(y)
O
x
高等数学
06-06-33
b d
xy2(x)
f(x,y)dy
dy d
系D 中的面积元素。
高等数学
二
z
重
积
分
的
几
何
意
O
义
x
06-06-19
z=f(x,y)
i
y
D
高等数学
06-06-20
性质1 被积函数的常数因子可以提 到二重积分号外面，即
k (fx,y)dx dkyf(x,y)dxdy
D
D
高等数学
06-06-21
性质2 两个〔或有限个〕函数代数 和的二重积分等于各函数等数学
04-01-11
〔1〕分割：将区域 D 任意分成 n 个 小闭区域 1, 2,…, n，这 些小薄片的质量分别记为
m1, m2,…, mn。
高等数学
04-01-12
〔2〕近似替代：当这些小闭区域的直径〔指
区域上任意两点间距离的最大值〕很小时， 由于 (x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，
叫做曲顶柱体，现在来讨论如何定 义并计算上述曲顶柱体的体积。
高等数学
曲
z
顶
柱
体
的
体
积
O
x
06-06-04

心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,在生理学实验
中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉,染
料将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动
脉系统. 假定在时刻 t=0 时注入 5mg 的染料，自染料注入后
便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度,它 t 是时间 的函数 C(t):
60 1 5 2 ( (10t t )dt 25e k (t 5) dt ) 5 60 0
1 1 3 5 5 k (t 5) 60 2 (5t t ) e 5 60 3 0 12k
11.63(单位 / ml )
医用高等数学
五、定积分在医学上的应用
例3-60 染料稀释法确定心输出量
医用高等数学
例3- 59 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低 体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验 测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为
10t t 0 t 5 C (t ) k (t 5) 25 t 5 25 e
Байду номын сангаас
102 3402 (1379.25) 1.59375 30
因此
25 Q _ 6.275( L / min) 1.59375 c(t ) 2M
医用高等数学
例3- 61 单位时间内血管稳定流动时血流量
设有一段长为L,截面半径为R的血管,其左端动脉端的 血压为1p ,右端相对静脉的血压为 p2 ( p1 p2 ) ,血液黏滞系 数为 .假设血管中的血液流动是稳定的,由实验可知,在 血管的横截面上离血管中心 r 处的血液流速为
2
c

0 t 3或18 t 30 0 c(t ) 3 2 ( t 40 t 453 t 1026)10 3 t 18
医用高等数学
6 5 4 3 2 1
O
C(mg/l)
C(t)
3
8
13
18
30
t(s)
_
注入染料的量M与在30秒之内测到的平均浓度 C (t ) 的 比值是半分钟里心脏泵出的血量,因此,每分钟的心输出量 Q是这一比值的2倍,即 2M
p1 p2 2 V (r ) (R r 2 ) 4 L
取血管的一个横截面来讨论单位时间内的血流量Q.
1p
r
p2
L 医用高等数学
解 血液量等于血流流速 截面积的,由于血液流 速随流层而变化,故在横截面上任取一个内半径为 r ,外 半径为 r dr 的小圆环. 小圆环面积
s ds 2 r dr
心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,在生理学实验
中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉,染
料将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动
脉系统. 假定在时刻 t=0 时注入 5mg 的染料，自染料注入后
便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度,它 t 是时间 的函数 C(t):
定积分在医学中的应用
曾巽凌 董思琦
叶美玲
医用高等数学
定积分？？？医学？？？ 二者会有什么关联？？？
医用高等数学
在医药学领域中，有许多指标 具有一定的累加性。因此，通过 定积分的计算来研究具有累加 性的指标问题，是非常重要的 ！
❶血药浓度—时间曲线下的面积 ❷药物有效度的测定 ❸血液中胰岛素的平均浓度的测定
在该小圆环上血液流速可近 似认为是相等的,所以单位时间内 通过该小圆环的血流量