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级数知识点总结归纳考研一、级数的概念级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。
级数可以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。
二、级数的收敛性1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。
2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。
三、级数的性质1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。
2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且∑(an+bn)=∑an+∑bn。
3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。
4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件收敛的。
四、级数的判定方法1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。
2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。
4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
北京市考研数学必备公式总结数学是考研学习中不可忽视的一门重要科目，掌握数学公式是考生成功的关键之一。
本文将为考研数学学习者总结北京市考研数学必备公式，帮助大家提高学习效率和备考能力。
一、高等数学1. 导数公式：（1）常数函数导数为0；（2）幂函数求导，幂减1再乘以幂的导数；（3）指数函数求导，底数不变，乘以自然对数的底数，再乘以导数；（4）对数函数求导，底数不变，除以x再乘以导数；（5）三角函数求导，结果为导数表中对应的三角函数；（6）反三角函数求导，结果为导数表中对应的反三角函数。
2. 积分公式：（1）不定积分求解，幂函数积分公式；（2）定积分求解，基本积分公式。
3. 三角函数公式：（1）和差化积公式；（2）倍角公式；（3）半角公式。
4. 极限公式：（1）函数极限的定义；（2）常用的极限公式。
二、线性代数1. 矩阵运算公式：（1）矩阵的乘法、加法和减法规则；（2）矩阵的转置和共轭转置；（3）逆矩阵的求解。
2. 行列式公式：（1）二阶行列式和三阶行列式的计算公式；（2）行列式的性质和计算规则。
3. 向量运算公式：（1）向量加法和减法；（2）向量的长度和单位向量；（3）向量的点乘和叉乘；（4）向量的投影和夹角。
三、概率论与数理统计1. 概率公式：（1）基本概率公式；（2）条件概率公式；（3）全概率公式；（4）贝叶斯公式。
2. 随机变量公式：（1）离散型随机变量的概率质量函数和分布函数；（2）连续型随机变量的概率密度函数和分布函数；（3）随机变量的数学期望和方差公式。
3. 统计推断公式：（1）抽样分布和抽样分布函数；（2）参数估计的公式；（3）假设检验的公式。
四、数学分析1. 全微分公式：（1）函数的全微分定义和计算公式；（2）多元函数的全微分公式。
2. 广义积分公式：（1）第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算公式；（2）第一类曲面积分和第二类曲面积分的计算公式。
3. 级数公式：（1）等比级数和调和级数的性质；（2）幂级数和泰勒级数的计算公式。
2015年硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：数学分析一、考试要求：1.极限与连续：①. 掌握数列极限和函数极限的基本理论与性质，会用极限的定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．②.掌握函数连续性定义与性质，会用函数连续性定义与性质证明相关的命题和结论．③. 了解实数的基本定理，会用实数的基本定理证明相关的命题和结论．2. 一元函数微积分及其应用：①.掌握一元函数微分学的基本理论与性质，会用导数的定义与性质讨论或证明相关的命题和结论．掌握一元函数常见的求导方法，会求一元函数各阶导数．②.掌握导数与微分中值定理及其应用，会用微分中值定理证明相关的命题和结论．会用导数与微分的基本性质讨论函数的单调性，凹凸性，极值．掌握罗比塔法则，会利用罗比塔法则计算或讨论相关的命题和结论．③.掌握原函数、不定积分、定积分的概念与性质，掌握常见的不定积分与定积分计算方法，掌握变上限定积分定义的函数及其求导方法，掌握牛顿－莱布尼兹公式.④.会利用定积分表达或计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及表面积、质心、变力做功、压力等．3. 多元函数微积分学：①.掌握多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．②.掌握二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与性质，掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式，会利用有关的性质与公式计算或证明相关的命题和结论．会利用重积分、曲线积分表达或计算一些几何量与物理量，空间曲线的弧长、立体的体积、质心、引力等．4. 级数理论与广义积分：①.掌握数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，掌握函数项级数、幂级数、傅里叶级数的各种收敛理论与性质，会利用常见的判别方法判断各类级数的敛散性，会利用常见幂级数、傅里叶级数计算数项级数的和．②.掌握一元函数的广义积分的基本理论与性质，会利用常见的判别方法讨论无穷限广义积分，无界函数广义积分，含参变量的广义积分的敛散性．③. 理解广义重积分的基本理论与性质，会计算简单的广义重积分．二、考试内容：1）极限与连续：a:数列极限、函数极限的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．b:函数连续、一致连续的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．c: 实数基本定理，闭区间上函数连续的性质及其应用．2) 一元函数微积分及其应用：a: 一元函数各阶导数的定义与性质，导数与微分中值定理及其应用：微分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，凹凸性，极值，罗比塔法则．利用有关定义微分学的基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论b: 一元函数积分及其应用：不定积分，定积分，平面图形的面积，曲线的长，旋转体的体积及表面积、质心．c: 原函数、不定积分、定积分的概念与性质，不定积分与定积分计算方法，变上限定积分定义的函数及其求导.利用有关定义微分学的基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论3) 多元函数微积分学：a: 多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．b:二重积分、三重积分、曲线积分，曲面积分的定义与性质，格林公式，高斯公式. 利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．c: 计算多元函数的偏导数和全微分、二重积分、三重积分、曲线积分，曲面积分．4) 级数理论与广义积分：a: 数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数敛散性的判别. 利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．b:幂级数的收敛域，将函数展成幂级数或傅里叶级数，计算数项级数的和．c: 一元函数的广义积分与广义重积分的基本理论与性质，判别广义积分的敛散性．利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．计算一元函数的广义积分与简单的广义重积分．讨论含参变量的广义积分的性质．三、试卷结构：a)考试时间：180分钟，满分：150分b)题型结构a:基本概念与理论（含填空、选择与判断题）(约40分)b:证明题(约60分)c:计算题(约50分)石油大学华东专业课考研复习资料联系扣扣2410194465四、参考书目1.《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系：陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编，高等教育出版社，2004年7月，第二版．2.《数学分析》（上、下册），郭大钧，陈玉妹，裘卓明编著，山东科技出版社，2002年8月，第二版．负责人：；联系电话：教学秘书：；联系电话：计算数学系2013-9-23。
数学一考研必备知识点总结数学一考研是考研数学的一个科目，它的题目和知识点覆盖范围很广，包括高等数学、线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在备考数学一考研的过程中，掌握一定的知识点是非常重要的。
本文将对数学一考研的必备知识点进行总结，希望能对考生们有所帮助。
一、高等数学高等数学是考研数学一的重要基础知识，包括微积分、常微分方程、多元微积分等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：1.1 微积分微积分是高等数学的基础，包括极限、导数、积分、微分方程和无穷级数等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用函数的导数和积分公式。
1.2 常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用，包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性常微分方程和非线性常微分方程等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握常微分方程的基本概念、解法和应用，特别是一阶线性常微分方程和二阶线性常微分方程的解法。
1.3 多元微积分多元微积分是微积分的一个重要拓展，包括重积分、曲线积分、曲面积分和梯度、散度和旋度等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握多元微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用的重积分和曲线积分公式。
二、线性代数线性代数是考研数学一的另一个重要基础知识，包括向量空间、线性方程组、矩阵和特征值等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的概念、线性相关和线性无关、基和维数、子空间和直和等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握向量空间的基本概念和性质，以及子空间和直和的相关定理和应用。
2.2 线性方程组线性方程组是线性代数的一个重要应用，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组、解的结构和解的存在唯一性等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握线性方程组的基本概念、解的性质和解的求法，特别是线性方程组的解的结构和解的存在唯一性的定理和应用。
考研高等数学教材答案
教材：《高等数学》（第三版）
答案版本：参考答案
引言：
在考研备考过程中，高等数学是一门重要的学科。
为了更好地帮助
广大考生对高等数学知识点进行复习和巩固，本文提供了《高等数学》（第三版）教材的答案。
考生可以参考本文答案，结合教材进行自我
检测，以达到更好的备考效果。
第一章微分学
1. 函数、极限与连续
答案：略
2. 导数与微分
答案：略
3. 高阶导数与隐函数、参数方程的微分
答案：略
......
第二章积分学
1. 不定积分
2. 定积分及其应用
答案：略
3. 定积分的计算
答案：略
4. 微积分基本定理与换元积分法答案：略
......
第三章级数
1. 数项级数
答案：略
2. 幂级数
答案：略
3. 函数项级数
答案：略
......
第四章常微分方程
1. 微分方程基本概念与初等解法
2. 可降阶的高阶线性微分方程答案：略
3. 高阶线性微分方程的解法答案：略
......
第五章多元函数微分学
1. 二元函数微分学
答案：略
2. 多元函数微分学
答案：略
3. 隐函数与参数方程
答案：略
......
第六章无穷级数与函数展开1. 广义积分
答案：略
2. 无穷级数
......
结语：
本文提供了《高等数学》（第三版）教材答案的相应章节，以帮助考生在备考过程中进行自我检测，巩固知识点。
考生可以结合教材进行学习和复习，加深对数学知识的理解和掌握。
祝愿广大考生在考研中取得优异成绩！。
考研机构课程表一、数学课程1. 高等数学考研数学中，高等数学是基础课程之一。
该课程主要包括微积分、数列与级数、多元函数、微分方程等内容。
为了帮助考生全面掌握高等数学的基础知识和解题技巧，我们设计了以下课程安排：- 微积分基础：导数和微分的概念、基本常用函数的微分法则等；- 级数与广义积分：数列与级数的收敛性、基本收敛判别法、广义积分的存在性等；- 多元函数与偏导数：多元函数的极限与连续性、偏导数及其计算方法等；- 微分方程与应用：常微分方程的基本概念、常系数线性微分方程、变量分离方程等。
2. 线性代数线性代数是考研数学中的另一个重要课程。
通过学习线性代数，考生将掌握向量空间、线性变换、矩阵的特征值与特征向量等基础概念和性质。
我们的线性代数课程内容包括：- 向量空间与线性变换：向量空间的概念与性质、线性变换的定义与性质；- 矩阵与线性方程组：矩阵的运算与性质、线性方程组的求解等；- 特征值与特征向量：特征值与特征向量的概念、对角化与相似矩阵等。
二、英语课程1. 英语阅读与翻译英语阅读与翻译是考研英语中的重要内容之一。
通过系统学习，考生将提高英语阅读理解能力和翻译水平。
我们的英语阅读与翻译课程包括以下内容：- 阅读技巧与方法：文章分析与解题技巧、关键词定位法等；- 阅读素材与练习：提供考研英语真题和模拟题，进行针对性训练；- 翻译练习与答疑：提供翻译题目，进行实践训练，并解答考生疑惑。
2. 英语写作与听力英语写作与听力是考研英语中需要重点培养的技能。
通过系统学习和实践训练，考生将提高英语写作和听力水平。
我们的英语写作与听力课程内容包括以下方面：- 写作技巧与范文分析：学习写作的基本要素、段落结构和常用引言段句型等；- 写作素材与练习：提供各类写作素材，进行实践训练；- 听力训练与答疑：提供英语听力材料，进行听力技巧与听力能力训练。
三、专业课程1. 政治考研政治是考生必备的专业课程之一。
通过系统学习，考生将全面掌握政治学基本概念、中国政治体制和国际政治等知识。
第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。
2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。
2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。
3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
考研数二知识点归纳总结考研数学二，通常指的是高等数学和线性代数的组合。
以下是对考研数学二知识点的归纳总结：# 高等数学部分1. 函数、极限、连续性- 函数的概念与性质- 极限的定义与性质- 无穷小的比较- 函数的连续性与间断点2. 一元函数微分学- 导数的定义与几何意义- 基本初等函数的导数- 高阶导数- 微分中值定理- 洛必达法则- 函数的单调性与极值问题- 曲线的凹凸性与拐点- 函数图形的描绘3. 一元函数积分学- 不定积分与定积分的概念- 基本积分公式- 换元积分法与分部积分法- 定积分的性质与几何意义- 定积分的计算- 广义积分4. 多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题- 方向导数与梯度5. 多元函数积分学- 二重积分与三重积分- 曲线积分与曲面积分- 格林公式、高斯公式与斯托克斯定理6. 无穷级数- 常数项级数的收敛性- 幂级数与泰勒级数- 函数的幂级数展开7. 常微分方程- 一阶微分方程的解法- 高阶微分方程的降阶- 线性微分方程的解法# 线性代数部分1. 矩阵理论- 矩阵的运算- 矩阵的秩与行列式- 逆矩阵与伴随矩阵- 分块矩阵2. 线性空间与线性变换- 向量空间的定义与性质- 基与维数- 线性变换与矩阵表示- 特征值与特征向量3. 线性方程组- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 高斯消元法- 克拉默法则- 矩阵的行列式与线性方程组的解4. 特征值问题与二次型- 特征值与特征向量的计算- 对称矩阵的谱分析- 二次型的标准化与规范型5. 内积空间与正交性- 内积空间的定义与性质- 正交基与正交投影- 正交变换与酉矩阵6. 矩阵分解- 矩阵的LU分解- 矩阵的QR分解- 奇异值分解(SVD)结束语：考研数学二的知识点广泛且深入，掌握这些基础知识点是解决复杂数学问题的关键。
希望以上的归纳总结能够帮助考生系统地复习和巩固相关知识，为考研数学二的考试做好充分的准备。
2021考研数学知识点梳理(高数篇)同学们，计划备考2021考研的考生，现在开始就应该开始复习考研数学了，考研数学对于很多考生来说都比较难，所以更应该提早进行复习。
文都考研为同学们梳理出2021考研数学复习的基础知识点的内容，计划参加2021考研的小伙伴们可以划重点啦~第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)希望以上梳理出的关于2021考研数学复习的基础知识点的内容可以为同学们的复习提供帮助，会不断更新2021考研数学备考知识，欢迎广大考生持续关注！。
1.利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.2.证明：x 1sin 在)1,0(上不一致连续，但在)0)(1,(aa 上一致连续.3.若),3,2,1(131211222n nx n，用柯西收敛准则判定数列n x 的收敛性.4.（1）证明：2sin )(x x f 在),0(上不一致连续.（2）若nnn x 2cos 23cos 22cos 21cos 132),3,2,1(n ，用柯西收敛准则判定数列n x 的收敛性.5.设E 是非空有上界的实数集.（1）给出E 的上确界a E sup 的定义；（2）若,sup E a E 证明：在数集E 中可取出严格单调增加的数列n x ，使得.lim a x nn6.证明：22sin 0.x dx7.判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例. (1) .,0)(lim 收敛则数列都有若对于每一个正整数n n p n na a a p (2) 若)(dx x f 收敛，且.0)(lim )(lim x f x f xx存在，则8.广义积分)10(sin 0pdx xxp是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？9.求nk k kn kn12)11(311lim10.设40tan nna xdx ，（1）求211()n n n a a n；（2）试证对于任意的常数0，级数1n n a n收敛.11.利用p 级数的敛散性判别级数1])11([n nne 的敛散性.12.设),,3,2,1(0n a n且级数1n n a 发散，试判断下列级数的收敛性：（1）;112n nna n a （2）.11n nna a 13.设级数.)(1121绝对收敛试证：，绝对收敛收敛，n n n n n n n nb a b a a 14.设.),1(,01nk k nna S na 证明：级数12n nn S a 收敛.15.设...),(0111发散证明：记发散且n nn ni i nn n nS a a S a N na 16.若函数)(x f 在),0[上连续，且.)(lim A x f x证明：.)(1limA dt t f xx x3.（10分）利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.证明：设数列n x 单增有界，记N n x E n ,E 为非空有界集合，必有上确界，记E sup .……………１分任给使得中的元素存在,,0N x E N x ……………4分因为n x 单增，故当时，有N n nNx x …………3分即有nx ，故n nx lim .………２分7.（15分）证明：x1sin 在)1,0(上不一致连续，但在)0)(1,(a a 上一致连续.证明：在)1,0(上，令.21,1n x nx n n………3分虽然有0lim nnn x x ，但是11sin1sinnnx x ，因此，x1sin 在)1,0(上不一致连续. ………4分在)0)(1,(aa 上，对任意的,0取02a，………4分对任意的),1,(,21a x x 当21x x 时，有2212121211111cos1sin1sinax x x x x x x x ，即x1sin在)0)(1,(a a 上一致连续. ………4分2.（10分）若),3,2,1(131211222n nx n，用柯西收敛准则判定数列n x 的收敛性.解：数列n x 收敛. 考察222)(1)2(1)1(1p nn n x x npn……………………………2分))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n …………………………2分npn n111……………………………………………………………2分对任意给定的0，取11N ，………………2分则当N n时，对任意的正整数p ，总有nx x npn1，根据柯西收敛准则，数列n x 收敛. ………………………………………………………………2分1.（每小题10分，共20分）（1）证明：2sin )(x x f 在),0(上不一致连续. （2）若nnn x 2cos 23cos 22cos 21cos 132),3,2,1(n ，用柯西收敛准则判定数列n x 的收敛性.解：（1）构造两个数列)(2,22)2()1(N n n x nx nn,…………………………………5分有)(02222)2()1(n nnx x nn,………………………2分但1)()()2()1(nn x f x f 不趋于0, …………………………………………2分故2sin )(x x f 在),0(上不一致连续. …………………………………1分（2）数列n x 收敛. 考察pn n npnp n n x x 2)cos(2)1cos(1………………………………2分pn n p n n 2)cos(2)1cos(1pn n 21211…………………………2分.21)211(21npn……………………………………………………………2分对任意给定的0（不妨设1），取11log 2N，………………2分则当N n 时，对任意的正整数p ，总有nnpnx x 21，根据柯西收敛准则，数列n x 收敛. ………………………………………………………………2分8.（15分）设E 是非空有上界的实数集. （1）给出E 的上确界a E sup 的定义；（2）若,sup E aE证明：在数集E 中可取出严格单调增加的数列n x ，使得.lim a x nn解：（1）若满足：①a xE x ,；………………2分②axE x,,0………………2分则称a 是E 的上确界，记为a E sup ………………1分（2）证明：,sup E aE 因此,,0E x使得a xa.……………3分取;,,11111a x aE x ………………2分取2122212,},,21min{x x a x a E x x a ；取3233323,},,31min{x x ax aE x x a；……取n nn nn n nx x a x aE x x a n11,},,1min{；………………3分……从而在E 中取到了严格单调增加的数列n x ，使得.lim a x n n………………2分证明：22sin 0.x dx证明：222111,=sin sin sin 222t x tdttdt tdtttt令原式2111sin sin()sin 222utt dt u duudut uu令，则故011=sin ()022t dttt原式1.（每小题9分，共18分）判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例.(1) .,0)(lim 收敛则数列都有若对于每一个正整数n n pnna a a p (2) 若)(dx x f 收敛，且.0)(lim )(lim x f x f xx存在，则12.（15分）广义积分)10(sin 0pdx xxp是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由于1sin lim 0px xx 从而0x不是瑕点. ………………2分对每个有限的A ，都有2sin 0A xdx, px1在),0[上单调减少且01limpxx，由Dirichlet 判别法可知)10(sin 0pdx xx p收敛. ………………5分类似得，有)10(2cos 1p dx x xp收敛. ………………1分又有)2c o s 1(21s i n s i n 2ppppxx xxx xx 但)10(11pdx xp发散，从而)10(sin 1pdx xxp发散，进一步得到)10(sin 0pdx xxp发散. ………………5分因此，)10(sin 0pdx xxp条件收敛. ………………2分求nk k knkn12)11(311lim解：考虑正项级数12)11(31k k kk由收敛）（而或因kk k k kkkke e ke u )3,)3()11(31(13lim12知该级数收敛，设收敛于S ，故有Sknk k k12)11(31所以nk k kn kn12)11(311lim=0.设40tan nn a xdx ，（1）求211()n n n a a n；（2）试证对于任意的常数0，级数1n n a n收敛.（1）解：224420111()tan (1tan )tan sec n n n n a a x x dxx xdx nnn.令tan x t ，则上式=1011(1)nt dtnn n ，因此211111()1(1)1nnni iii S a a ii i n ，于是211()lim 1n n nnn a a S n.（2）证明：令tan x t ，则114201tan 11nnnnta xdxdtt dt tn ，所以对于任意的常数0，111(1)n a nn n n（2分），而级数111n n收敛，从而级数1n n a n收敛.解：（1）4022)1(sec tan dx x x a n nnna xxd 40tan tan 11tan11412n xn a a n nn 111)1(1)(12nnnn a a nnn 211()1n n n a a n（2）由（1）nna n111，故11n na n 由正项级数的比较判别法知1n n a n收敛.12.（15分）利用p 级数的敛散性判别级数1])11([n nne 的敛散性.解：tt e nn e tt nn 1)1(lim1)11(lim])1[(lim 10t tt ………5分])1ln(1[)1(])1[(11t tt t t t])1(1)1ln(1[)1(21t t t t t t)1()1ln()1()1(21t t t t tt t………5分故nne nn1)11(lim2)1ln()1(limttt t e t22)1ln(lime t t e t………3分由级数11n n发散，知原级数发散. ………2分11.（15分）设),,3,2,1(0n a n 且级数1n n a 发散，试判断下列级数的收敛性：（1）;112n nna n a （2）.11n nn a a 解：(1),11022na n a n n 而121n n收敛，故原级数收敛.(2)若),,3,2,1(nMa n则011Ma a a n nn ,而11111n n n na MMa 发散，故原级数发散.若n a 无上界，则nn a a 1不趋于0,此时级数也发散.故原级数总是发散. 12.（13分）设级数.)(1121绝对收敛试证：，绝对收敛收敛，n n n n n n n nb a b a a 证明：记121)(a a a a S n nk k k n收敛收敛收敛由n n n n n a S a a 21)(Nn M a Ma nn 对使有界，即,0Sb Sb nk kn n 11,设收敛于收敛由故.,111绝对收敛即n n n nk knk kk b a MS b M b a 6.（13分）设.),1(,01nk k nna S n a 证明：级数12n nn S a 收敛.证明：因为2nn S a 21nn nS S S ………………………………………………3分,11111nn nn nn S S S S S S …………………………………………………3分故有12n nn S a 211111n nn S S a ………………………………………2分nnS a 1lim21.21a …………………………………………………3分因此正项级数12n nn S a 收敛. ………………………………………………2分设...),(0111发散证明：记发散且n nn ni i nn n n S a a S a N n a 证明：因).(,01n S a a nn n n发散，故令由柯西准则：,nn nS a u pnnnn n u u u NpN n N u 21,1,0时，对任意的当，收敛而PNp N N NpNNNS a S a u u u 1121pNnp NpNNS a a S a a 111对任一使故存在正整数因正整数,,,p S N n 2111pNnS a a ，故1n n u 发散.若函数)(x f 在),0[上连续，且.)(lim A x f x证明：.)(1limA dtt f xx x证明：由于,)(lim A x f x从而对任意的,0,0X 对任意的,X x有Ax f )(.于是x xdtt f x)(1lim ])()([1lim 0x X X xdt t f dt t f x])()([1lim 0xXx XXxAdt dtA t f dtt f x x Xxx XxX xAdtxdtA t f xdt t f x1lim)(1lim )(1lim.)(1lim 0A dtA t f xx Xx又由于,1)(1)(1x Xx Xx XdtxdtA t f xdt A t f x因此,)(1limA dtA t f xx Xx最后得.)(1lim 0A dtt f xx x 设()d af x x 收敛，且)(x f 在,a 上一致连续，证明)(lim x f x= 0.证：因)(x f 在,a 上一致连续，故0，0，使得当12,,t t a 且12t t 时，有12()()2f t f t .令(1)()d a nna n u f x x ，则由积分第一中值定理得，(1),nx an a n，使得(1)()d ()a nnn a n u f x x f x . 因()d af x x 收敛，故级数1n n u 收敛，从而0nu ，即()0n f x ，也即()0n f x ，故对上述的，存在N￠，使得当nN 时，()2n f x .取XaN，则当x X 时，因,(1),k x a a k a k U故存在惟一的k￠，使得(1),xaka k ，易见kN ，且kxx ，从而()()()()22k k f x f x f x f x。
