常义积分_两种广义积分和无穷级数收敛注记_袁德美

广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。

因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

常义积分,两种广义积分和无穷级数收敛比较
常义积分指的是在一维实数域上的积分，它的核心思想是把原函数的原域内的区域分割成有限多个小子区域，然后根据某种规则来求解每个子区域上的积分，最后把每个子区域上的积分加起来就获得了整个函数在原域内的积分。

而广义积分则是把一般实数域上的积分推广到更高维度的复数域和矢量空间上，也可以用来确定函数在特定域内某种积分表示的值。

无穷级数收敛指的是如果一个级数的各项和都在无穷小范围内，那么这个级数就是收敛的。

常义积分是一种求解不定积分的方法。

它利用定义域上某个函数的有限多个小子区域，并以某种规则来求解每个子区域上的积分，当把所有积分相加时，就可以得到整个函数在原域内的积分。

除了常义积分，还有二阶导数积分、边界积分、双重积分等，都是用来求函数的积分的重要方法。

广义积分是指在一般实数域上的积分的拓展，它可以用来确定函数在特定域内某种积分表示的值，同样也可以在复数域和矢量空间上使用。

无穷级数收敛法是一种判断级数是否收敛的方法，如果一个级数的各项和都在无穷小范围内，那么这个级数就是收敛的，它在很多领域中，如物理、数学以及工程中被广泛应用。

常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛比较1常义积分常义积分（RegularIntegral）是指一般形式下的定积分，它就是根据某函数的参数实现积分。

其求解的方式一般有两种，一是利用求解定积分公式，二是利用积分计算机计算。

定积分在数学上具有重要的地位，它是定积分积分方程组（ODEs）和椭圆型偏微分方程（PDEs）的基础理论。

它也是应用于统计学和动力学最重要的数学工具。

2两种广义积分广义积分（GeneralizedIntegral）是一种改进后的定积分，它是复杂的定积分加以扩展和改进后得到的。

它通常用于研究更复杂的函数，这些函数往往具有不可积的特性。

它的几何意义就是将积分域分解成多边形，使所有边界条件都得以满足。

广义积分可以用于计算更复杂的函数，但它存在一定的反压力，即求解复杂且非线性的函数时，广义积分的计算效率较低。

3无穷级数收敛无穷级数收敛（SeriesConvergence）是指一个数列的和可以无限接近另一个某一数的性质，或者是数列的每一项都收敛到某一数值。

这种性质具有很强的数学意义，它可以用来表示特殊函数的特性，如正弦函数的级数收敛性是它拥有无限周期性的重要原因。

无穷级数收敛也可以用来构造逼近函数，因为它可以把任意函数拆分成若干有限项累加和，从而对函数进行逼近。

总之，定积分、广义积分、无穷级数收敛都是作为整数系统的重要概念和工具，在数学中得到了广泛的应用，在实际应用中也有很大的作用。

各自在应用上拥有自身的优势，积分不仅可以用来求解各种运动物理量，而且还可以给出一系列有趣有趣的问题。

不同的积分技术在优劣上有所差异，但它们都是能够更好地理解和解释数学概念和外国学科，为大家提供更多令人心满意足的工作。

本节阐述广义积分收敛原理及判别法
1、正文
1.1广义积分收敛原理
无穷限积分收敛原理
1处：这里采用的是柯西收敛原理，而我们知道柯西收敛原理和语言的极限定义是等价的。

因为只是判定积分是否收敛，那么用柯西收敛原理是更好的。

无穷限积分的比较判别法
无穷限积分判别法的重点是找到满足条件的。

绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。

条件发散可推出绝对发散，但反之不然。

注记
1处：无穷下限的积分，我初步尝试了一下，发现和无穷上限的积分收敛原理和比较判别法是一样的。

2处：双无穷限的积分不难，就是判断无穷下限的积分和无穷上限的积分是否同时收敛。

瑕积分收敛原理
注意这个指的是点的左开区间。

瑕积分收敛的比较判别法
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。

条件发散可推出绝对发散，但反之不然。

注记
1.左端点的无界积分的收敛原理和比较判别法是类似的。

2.对于区间中有一瑕点的无界积分，其要义是判定区间和的无界积分是否同时成立。

注意！
无论是无穷限积分还是无界积分，都要求它们的子闭区间是黎曼可积的。

1.2广义积分收敛判别法
无穷限积分收敛判别法的比较形式。

常义R积分与广义R积分的L积分方法
徐千里
【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1991(000)002
【摘要】本文利用L积分研究了R积分的计算问题,得到了常义R积分与广义R 积分的L积分方法—RL法。

RL法的优点乃是让L积分出现在运算过程中,使当R 积分存在且有限而又不宜于用通常R积分方法计算时,RL方法却能相当流畅地将R 积分值计算出来。

【总页数】9页(P59-66,38)
【作者】徐千里
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛比较
2.常义积分`两种广义积分各无穷级数收敛注记
3.常义R积分与广义R积分的L积分方法
4.求广义高阶欧拉多项式与广义高阶伯努利多项式的微积分方法
5.某类广义积分的积分方法
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第二节 广义积分的收敛判别法【2 】上一节我们评论辩论了广义积分的盘算, 在现实运用中,我们将发明大量的积分是不能直接盘算的,有的积分固然可以直接盘算,但因为进程太庞杂,也不为盘算工作者采用,对这类问题盘算工作者常采用数值盘算办法或MonteCarlo 办法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决前提 — 积分收敛,不然其成果毫无意义. 是以,断定一个广义积分收敛与发散是异常主要的．定理9.1（Cauchy 收敛道理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要前提是：0>∀ε, 消失A>0, 使得b, b '>A 时,恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证实：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 运用柯西收敛道理立刻得此结论．同样对瑕积分⎰badx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛道理）设函数f(x)在[a,b)上有界说,在其任何闭子区间[a,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰badx x f )(收敛的充要前提是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f界说9.5假如广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞a dx x f )(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞a dx x f )(前提收敛,也称f(x)在[a,+)∞上前提可积． 因为a AA ≥∀/,,均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f是以,由Cauchy 收敛道理,我们得到下列定理． 定理9.3假如广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不必定成立,后面我们将会看到如许的例子.对其它情势的广义积分,相似地有绝对收敛及前提收敛的界说及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无穷区间上的广义积分）设在[a,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时,⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞a dx x )(ϕ也发散．证实：由Cauchy 收敛道理立时得结论成立． 对瑕积分有相似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如消失一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a,b), 则 1）如⎰b a dx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散,则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在现实运用时,我们常常用下列极限情势．定理9.6 假如f(x), g(x)是[a,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 (1) 假如+∞<≤l 0, 且⎰+∞a dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． (2) 假如+∞≤<l0, 且⎰+∞a dx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证实：假如,0)()(lim≠=∞→l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 消失A, 当A x≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0即)()()()()(x g l x f x g lεε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l=0或 l=∞时,可相似地评论辩论. 运用同样的办法,我们有定理9.7 对以b 为独一瑕点的两个瑕积分⎰badx x f )(与⎰ba dx x g )(假如f(x), g (x) 长短负函数,且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤<l 0,且⎰badx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无穷区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f(x)是[a,+)∞的函数,在其随意率性闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f(x)≤pxc, p>1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f(x)≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限情势为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p=)((+∞<≤l 0, p>1), 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b liml x f x p=)(,而+∞≤<l 0,p ≤1, 则⎰+∞a dx x f )(发散.例9.8 断定下列广义积分的收敛性.(1)⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m>0, n>0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 11121)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-n mmn xx x 所以当n －m>1时,积分⎰∞++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,运用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f(x)在[a,b )上的独一奇点,在其随意率性闭区间上可积,那么（1） 如0≤f(x)≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰badx x f )(收敛．（2） 如f(x)≥pa x c)(- (c>0), p ≥1, 则⎰badx x f )(发散．瑕积分的Cauchy 断定法的极限情势为 定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k<∞, p<1, 则⎰badx x f )(收敛如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--10222)1)(1(x k x dx(k2<1)(2)⎰2cos sin πxx dxqp (p,q>0) 解：（1）1是被积函数的独一瑕点因为 -→1limx )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先评论辩论,cos sin 4⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πx x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dx q p 发散． 再评论辩论 ⎰24cos sin ππx x dxq p 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-x x x q p pπ所以当 q<1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f(x)单调趋势于+∞,则+→0lim x x f(x)=0. 证实：不妨设]1,0(∈∀x , f(x)≥0, 且f(x)在(0, 1)上单调削减.已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f(x)ε2<即+→0lim x x f(x)=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-10)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证实:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面评论辩论的长短负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行评论辩论,我们先给出下面的主要成果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上单调,则消失ξ∈[a,b] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证实定理9.12,我们先评论辩论下列特别情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调降低并且非负,函数g(x)在[a,b]上可积,则消失c ∈[a,b],使⎰badx x g x f )()(=f(a)⎰ca dx x g )(证实：作帮助函数)(x ψ= f(a),)(⎰xa dt t g 对[a,b]的任一分法P: a=x0<x1<x2<…<xn=b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x xii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△xi这里L 是|g(x)|在[a,b]的上界,)(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估量式可知,当P 0→时,应该有dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证实≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此,引入记号 G(x)=⎰xa dt t g )(并作如下变换dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证清楚明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限,就得到)(min ],[x b a x ψ∈≤⎰ba dx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈是以,消失c ∈[a,b],使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()(（因为)(x ψ在［b a ,］上是持续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰ca dx x g a f )()(证毕下面我们证实定理9.12证实：如f(x)是单调降低的,则f(x)－f(b)单调降低且非负,由引理12.2.1知,消失c ∈[a,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f(x)单调上升的情况,可作相似评论辩论.运用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个前提之一知足,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛（1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛,g(x)在[a,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰Aadx x f )(在[a,∞]上有界,g(x)在[a,)∞上单调, 且+∞→x lim g(x)=0.证实：（1）0>∀ε, 设|g(x)|≤M,∈∀x [a,∞), 因⎰+∞a dx x f )(收敛,由Cauchy 收敛道理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理,我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξA dx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g(x)=0,所以消失a A ≥0, 当x>A0时, 有g(x)|<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A A dx x f +⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例9.12 评论辩论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令f(x)=x1, g(x)=cosx则当x +∞→时,f(x)单调降低且趋于零, F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx前提收敛 例9.13 评论辩论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctanx 在[a, +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛. 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 前提收敛.对瑕积分也有下列情势的Abel 判别法和Dirichlet 判别法 定理9.14若下列两个前提之一知足,则⎰badx x g x f )()(收敛：（b 为独一瑕点）（1）（Abel 判别法）⎰badx x f )(收敛, g(x)在[a,b )上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在[a,b )上有界, g(x) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证实: (1) 只须用第二中值定理估量⎰--/)()(ηηb b dx x g x f读者可以模仿定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证实. (2) 读者可以模仿定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证实.例9.14 评论辩论积分 ⎰101sin dx x x p(0<p ≤2) 的敛散性 解: 对于0<p<1 , 因为p p x x x 11sin≤ 由⎰11dx xp 收敛知 ⎰11sin dx x x p绝对收敛敛对于0≤p<2, 因为函数f(x) =px-2, 当+→0x时单调趋于0, 而函数g(x)=21sin x x 知足2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤⎰ηηdx xx p所以积分⎰11sindx x x p ⎰-=10221sindx x x x p 收敛.但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin 2-=≥ 因⎰1021dx x p发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知dx x x p ⎰101sin 发散 从而当0≤p<2时, 积分前提收敛. 最后我们评论辩论p=2的情况, 因为⎰121sinηdx x x n1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰1021sin dx x x 发散. 值得留意的是, 两种广义积分之间消失着亲密的接洽, 设⎰badx x f )(中x=a 为f(x)的瑕点, 作变换y=a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yya f 12,)1(尔后者是无穷区间上的广义积分.习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛, 前提收敛, 发散）(1)⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx; (2)⎰+∞02sin dx x ;(3)⎰222sin cos 1πdx xx ; (4)⎰-121ln dx x x ; (5)⎰---1011ln )1(xdx x xq p ;(6))0,(ln 111>-⎰--q p dx xx x q p ;(7)⎰∞++01dx xx qp ; (8)⎰+∞--01dx e x x p ; (9)⎰∞+-+0211dx xx p ; (10)⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ; (11))0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ;(12))0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证实：若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数f(x)单调趋于+∞, 则+→0lim x x f(x)=0． 3. 若函数f(x)在),[+∞a 有持续导数f/(x), 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．4. 设f(x)在),[+∞a 上可导,且单调削减,+∞→x limf(x)=0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证实：若函数f(x)在),[+∞a 上一致持续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数f(x)在),[+∞a 内单调, 则f(x)=o(x1)．7. 盘算下列广义二重积分的值．(1)⎰⎰Dqp yx dxdy,个中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ; (2)⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy ;(3)dxdy ey x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证实π112=⎰+∞∞--dx ex .8.评论辩论下列广义重积分的敛散性． (1)dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ;(2)dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。

广义积分与级数的收敛条件探讨一、广义积分的收敛条件广义积分是对无界区间上的函数进行积分运算，相比于定积分而言，广义积分在收敛性上有更多的可能性和条件。

下面我们将探讨广义积分的一些收敛条件。

1. 第一类广义积分的收敛条件第一类广义积分是对有界区间上的函数进行积分运算，它的收敛与有界性密切相关。

如果函数在有界区间上单调递减且有界，那么第一类广义积分是收敛的。

这是因为单调递减函数的积分与上下界之间的面积有关。

此外，如果函数在有界区间上有有限个或者无穷个可去奇点，那么积分在奇点处可以先求极限，再将区间分割为多个有界区间，对每个区间应用有界性的条件判断，最后将收敛的部分相加即可。

2. 第二类广义积分的收敛条件第二类广义积分是对无界区间上的函数进行积分运算，其中一个典型的例子是柯西主值积分。

对于第二类广义积分，我们需要额外考虑函数在无穷远处的行为。

如果函数在无穷远处为无穷大，那么第二类广义积分是发散的。

如果函数在无穷远处为有限值，同时在有界区间上满足第一类广义积分的收敛条件，那么第二类广义积分是收敛的。

此外，我们还可以运用比较判别法、绝对收敛性和交错级数判别法等方法进行判别。

比较判别法可以通过把广义积分与一个已知的收敛或发散的积分进行比较，从而判断广义积分的收敛性。

绝对收敛性的判定方法是通过判断广义积分的绝对值是否收敛来判定原积分是否收敛。

交错级数判别法可以用于判断交错级数是否收敛。

二、级数的收敛条件级数是一种包含无穷项的数列求和运算，其收敛性与数列的项有密切关系。

下面我们将探讨级数的一些收敛条件。

1. 正项级数的收敛条件正项级数是指级数中每一项都为非负数的级数。

对于正项级数，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。

即将级数的每一项与一个已知的收敛级数进行比较，如果比较级数收敛，则原级数也收敛。

此外，我们还可以使用比值判别法或根值判别法进行判断。

比值判别法是通过计算级数中相邻两项的比值的极限值来判断级数的收敛性。

学校代码： 10722 分类号：O172.2 学号： 1106212120 类别：公开本科毕业论文（设计）题目论广义积分的收敛性（中、英文）The Convergence of Improper integral作者姓名付美专业名称数学与应用数学学科门类理学指导教师杨衍婷提交论文时间二〇一三年五月成绩等级评定摘要广义积分主要包括：无穷限的广义积分、无界函数的广义积分以及含参变量的广义积分. 无界函数的广义积分又可称为瑕积分. 广义积分是定积分突破条件限制的一个推广. 定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在积分区间上有界，但这些限制条件不能解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分. 广义积分又称为非正常积分或反常积分. 大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件.本文就针对敛散性论述广义积分. 首先简述无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义及性质；其次探讨两类广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉积分.关键词：广义积分；收敛；发散；一致收敛性AbstractImproper integral mainly includes improper integral of infinite range, improper integral of unbounded function and improper integral of parameter. Improper integral of unbounded function can be called defect integral. Improper integral is a generalization of breaking out the constraints for definite integral. The mainly characteristics of the definite integral is that the integral region is bounded and integrand is bounded in the region, but some of these restrictions can’t solve the problem actually. So breaking through bondages of two limits can get the improper integral. Improper integral is also known as abnormal integral or improper integral. Most of improper integral cannot be calculated directly. Although some of them can able to compute its value, the calculation process is very troublesome. So judging the convergence of the improper integral becomes a decisive condition to evaluating improper integral. This article mainly discussion the convergence of the improper integral. At the first, the definition and properties of improper integral of infinite range and improper integral of unbounded function is discussed. Secondly, the divergence and convergence of the two improper integrals are studied. At the same time, several discriminant methods and techniques are given, with taking some examples for validation. The last, the uniform convergence of improper integral of parameter and Euler integral can be discussed.Key words: Improper integral; Convergence; Divergence; Uniform convergence目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2无穷限广义积分 (1)2.1无穷限广义积分的定义 (1)2.2无穷限广义积分的性质 (2)2.3无穷限广义积分敛散性的判别 (3)2.3.1无穷限广义积分的定义判别法 (3)2.3.2无穷限广义积分的比较判别法 (4)2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式 (4)2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法 (5)2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则 (6)2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (7)2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法 (7)2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法 (8)3瑕积分 (8)3.1瑕积分的定义 (8)3.2瑕积分的性质 (9)3.3瑕积分的敛散性判别法 (9)3.3.1瑕积分的定义判别法 (10)3.3.2瑕积分的比较判别法 (10)3.3.3瑕积分的柯西收敛准则 (11)3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (12)3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法 (12)3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法 (12)4含参变量的广义积分 (13)4.1含参变量广义积分的定义 (13)4.2含参变量广义积分的一致收敛性 (13)4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法 (13)4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法 (13)4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法 (14)4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法 (14)5欧拉积分 (16)5.1第一类欧拉积分（Beta函数） (16)5.2第二类欧拉积分（Gamma函数） (16)总结 (17)参考文献 (18)谢辞 (19)咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）1引言无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无界函数积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分. 单从定积分⎰abdx x f )(可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的. 积分dx ⎰∞0x sinx ，⎰∞∞--dx e x 2就不满足这两个限制条件，约束限制了定积分的应用，因此就要摆脱定积分在这两方面的限制，将定积分的概念加以推广，把积分区间有界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题，为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了促进作用.广义积分在实际解决问题中有重要的作用，从而对广义积分敛散性的探讨就十分有必要了. 关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.2无穷限广义积分2.1无穷限广义积分的定义前面学过了函数)(x f 在有界区间[]b a ,上的定积分⎰ba dx x f )(（黎曼函数）, 其积分区间有限,被积函数在积分区间上有界，但在实际问题的解决中把有界这一限制予以解放，推广到无穷限的积分区间和被积函数无界的积分，是目前我们还模糊的，这些统称为广义积分，广义积分又称为非正常积分（或反常积分）. 广义积分可分为无穷积分与瑕积分.定义1 设函数)(x f 在区间[)+∞,a 内，及对a x ≥有定义，且在任何有限区间[]u a ,内可积，若积分⎰ua dx x f )(在a u >下有意义，当积分在∞→u 时的无穷极限论广义积分的收敛性函数)(x f 在区间[),a +∞无穷积分，记作dx x f dx x f a u )(lim )(⎰∞∞→=. 若lim ()uu a f x dx →∞⎰A =则称无穷积分⎰∞a dx x f )(收敛，且值为A .若⎰∞→u au dx x f )(lim 不存在，则无穷积分⎰∞adx x f )(发散.类似可定义)(x f 在区间(]b ,∞-上的无穷积分，⎰⎰∞--∞→=b a b a dx x f dx x f )(lim )(，若⎰-∞→ba a dx x f )(lim 的极限存在，则积分⎰∞-b dx x f )(收敛，否则发散. 当()+∞<<<∞-b a 时，)(x f 在区间[]b a ,上都可积，则⎰∞∞-dx x f )(称为函数)(x f 在()∞∞-,上的无穷积分，且有⎰⎰⎰∞∞-∞-∞+=a a dx x f dx x f dx x f )()()(（积分区间具有可加性），当积分⎰⎰∞∞-aa dx x f dx x f )(,)(都收敛时，可判定无穷积分⎰∞∞-dx x f )(收敛，否则发散. 2.2无穷限广义积分的性质无穷限广义积分⎰∞a dx x f )(是否收敛取决于积分dx x f ua⎰)(在∞→u 时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出无穷积分的性质.性质 1 如果积分⎰∞a dx x f )(在[]b a ,收敛，则积分()a u dx x f a >⎰∞)(也收敛，且有dx x f dx x f dx x f uu a a ⎰⎰⎰∞∞+=)()()(.性质2 如果积分dx x f dx x f aa )(,)(21⎰⎰∞∞均收敛，对C k k ∈∀21,，可推知积分dx x f kdx x f k a a )()(2211⎰⎰∞∞+的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出：咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）dx x f k dx x f k dx x f kdx x f k aa a a )()()()(22112211⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞+=+. 性质3 如果积分()()dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞,均收敛，则积分[]dx x g x f a⎰∞±)()(也收敛，且有[]dx x g dx x f dx x g x f a a a ⎰⎰⎰∞∞∞±=±)()()()(.性质4 如果)(x f 在区间[]b a ,上可积，且积dx x f a ⎰∞)(分收敛，则积分dxx f a⎰∞)(必收敛，则成立不等式dx x f dx x f a a ⎰⎰∞∞≤)()(.2.3无穷限广义积分敛散性的判别2.3.1无穷限广义积分的定义判别法可通过无穷限广义积分的定义及极限的方法判别无穷积分的敛散性，适用于无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型.例1 证明无穷积分dx x ⎰∞∞-+211收敛. 证明 因为dx x dx x dx x ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+++=+02022111111（积分的可加性），设()0,∞-∈a 则有a x dx x dx x a a arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞-,则2arctan lim 11lim 02π==+-∞→-∞→⎰a dx x a a a 设()∞∈,0b , 从而可得b x dx x dx x b b arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞, 故201lim 1bb dx x →∞+⎰ limarctan 2b b π→∞==可知积分dx x dx x ⎰⎰∞∞-++020211,11均收敛于2π，所以得211dx x ∞-∞=+⎰ 0220111122dx dx x x πππ∞-∞+=+=++⎰⎰，即积分dx x ⎰∞∞-+211收敛于π. 例2 讨论无穷积分dx x a p⎰∞1收敛性. 解 设1≠p ,对于R b ∈∀且1>b ，则有b a p b b ap b a p x p x dx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-∞→∞→∞⎰⎰111lim 1lim 1论广义积分的收敛性()1,1,111lim 111>⎪⎩⎪⎨⎧<∞-=--=---∞→p p p a a b p p pp b ，当1=p 时则可有===⎰⎰⎰∞→∞∞b a b a a p x dx x dx x dx lim ()()∞=-=∞→∞→a b x b b a b ln ln lim ln lim ，综上可知，当1>p 时，积分⎰∞ap x dx 收敛于11--p a p ， 当1≤p 时，积分⎰∞a p xdx 发散. 由例题可看出定义法判别积分的敛散性非常的简洁方便.2.3.2无穷限广义积分的比较判别法定理1 如果当)(a A A x ≥≥时成立不等式)()(x g x f ≤，且)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，则由积分dx x g a ⎰∞)(收敛性可推知积分dx x f a⎰∞)(的收敛性，即由积分的发散性dx x f a ⎰∞)(可推知积分dx x f a⎰∞)(的发散性.定理2 如果存在极限()∞≤≤=∞→A A x g x f x 0)()(lim 则在∞<A 时由积分dx x g a⎰∞)(的收敛性可推知积分dx x f a ⎰∞)(的收敛性，而0>A 时积分dx x f a⎰∞)(的发散性可推知积分dx x g a⎰∞)(的发散性 (在∞<<A 0时两积分同时收敛或发散) .2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式积分dx x f a ⎰∞)(收敛的充分必要条件是积分dx x f ua⎰)(在u 增大时保持有上界，有L dx x f u a ≤⎰)(（L 为常数），若条件不满足，则积分dx x f a ⎰∞)(有值∞.定理3 如果)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，0)(>x g ，且c x g x f x =∞→)()(lim ，则 ()i ∞<<c 0时，积分dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞)(,)(同敛态；()ii 0=c 时，积分dx x g a ⎰∞)(收敛可知dx x f a⎰∞)(收敛；()iii ∞=c 时，由dx x g a⎰∞)(发散可知dx x f a⎰∞)(也发散.定理4 对于非负)(x f 的，如果λ=∞→)(lim x f x px 存在，且1>p ，则积分dxx f a⎰∞)(收敛；若0)(lim >=∞→μx f x p x 或∞=∞→)(lim x f x px ，且1≤p ，则积分dx x f a⎰∞)(发散.例3 判别积分dx e x ⎰∞-12的收敛性.解 当1≥x 时，由积分dx x x⎰∞-1收敛知积分dx e x ⎰∞-12也收敛.例4 判别积分dx x x x⎰∞+11cos 的收敛性. 解 因为()∞<≤+≤+x x x x x x 1111cos ，并且极限11lim 11lim 23=+=+∞→∞→x xx x x x x ，在这里123>=p ，从而积分dx x x ⎰∞+111收敛，故积分dx x x x ⎰∞+11cos 收敛.运用比较判别法不需求出积分所对应的定积分的函数形式，只需通过适当的放缩把所求的问题转移到一些简单的积分上或已知其收敛性的积分上，从而，放缩就成为计算的关键.2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法定理5 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,可积，则)(i 当,1)(px x f ≤[)∞∈≤,,1)(a x x x f p ，且1>p 1>p 时积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当p x dx x f 1)(≥，[)∞∈,a x ，且1≤p 时积分dx x f a⎰∞)(发散.定理6 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,上可积，且lim ()p x x f x →∞λ=, 则)(i 当1p >, 0λ<<∞时，积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当1p ≤, 0λ<≤∞时，积分dx x f a⎰∞)(发散.例5 判别积分dx e x x-∞⎰12和积分dx x x ⎰∞+0521的收敛性.解 对R ∈∀α有0lim lim 22==⋅⋅+∞→-∞→x x xx ex ex x αα，由柯西判别法定理6()1,2==λp 知积分dx e x x-∞⎰12收敛. 因为111lim1lim 55221=+=+⋅∞→∞→x x x x x x , 根据柯西判别法定理6)1,21(==λp 知, 积分dx x x ⎰∞+0521发散.2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则定理7 无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是：对于0>∀δ，有a M >，当M m m >>'''时，δ<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f m m m am a'''''')()()((柯西收敛准则是研究数列函数敛散性的重要方法，同时也是研究无穷积分敛散性的重要方法) . 例6 设)('),(x g x f 在a x ≥上连续，,0)(lim ,0)('0=≤→x g x g x 则M dx x f ba≤⎰)(（其中0,>∈M C M ）讨论积分dx x g x f a)()(⎰∞的敛散性.解 设对a >>∀'''δδ有⎰⎰≤≤=ηδδδδηδδ''''''',)()'()()(dx x f g dx x g x f ，则=⎰ηδ')(dx x f ⎰⎰⎰⎰+≤-'')()()()(δηηδaaaadx x f dx x f dx x f dx x f 又M dx x f ba ≤⎰)(则Mdx x f 2)('≤⎰ηδ故)'(2)()('''δδδMg dx x g x f ≤⎰，因为0)(lim 0=→x g x ，则对0>∀ε有a u >，当u ≥δ时，Mg 2)(0εδ<≤，且当u >>'''δδ时，εεδδ=≤⎰MMdx x g x f 22)()('''由柯西收敛准则知dx x g x f a)()(⎰∞收敛.2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理8 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则无穷积分dx x f a⎰∞)(也收敛.定义2 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则称无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛.定义3 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，但不绝对收敛，称积分dx x f a⎰∞)(条件收敛.定理9 积分dx x f a⎰δ)(关δ于单调递增，则积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是dx x f a⎰δ)(存在上界.由定理可知，无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛，则积分dx x f a⎰∞)(必收敛，但收敛的无穷积分不一定绝对收敛.例7 证明积分)0,,(sin 0>∈⎰∞-αβαβαC xdx e x 绝对收敛.证 因为x x e x e ααβ-≤sin ，所以a e a dx e xx 11=-=∞-∞-⎰αα, 故知积分dx x e x ⎰∞-0sin βα收敛，再由定理8知积分xdx e x βαsin 0⎰∞-绝对收敛.2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法定理10 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ；（2）0,>∈M C M ，使a b ≥∀有M dx x f ba≤⎰)(则无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.例8 证明积分dx x xa⎰∞sin 收敛. 证明 当0=x 时有1sin =xx，则x x s i n 在[)∞,0上连续，对0>∀ε，x x sin 在[]ε,0上可积. 又函数x x f 1)(=的导数21)('xx f -=在[)∞,1上是连续的，且01lim =∞→x x 则对0>∀ε有2cos 1cos sin 1≤-=⎰εεxdx ，根据狄利克雷判别法知积分dx x x⎰∞sin 收敛. 2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法定理11 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）dx x f a⎰∞)(收敛，（2）)(x g 非负且0)('≤x g ，（3）a x ≥∀有M x g ≤)(（其中0,>∈M C M ）则可知无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别两个函数相乘的无穷积分的敛散性，也是判别无穷积分是否是条件收敛的方法之一.3瑕积分3.1瑕积分的定义定义4 设)(x f 在区间(]b a ,上有定义，点a 的任意右邻域内无界，但在任何区间[](]b a b ,,⊂δ上有界可积，若极限M dx x f ba=⎰+→δδ)(lim 存在，称极限为无界函数)(x f 在区间(]b a ,上的广义积分，记作M dx x f ba=⎰)(，且无界广义积分dx x f ba⎰)(收敛于M ，若极限不存在，则无界广义积分dx x f ba⎰)(发散. 被积函数)(x f 在点a 附近是无界的，故点a 成为)(x f 的瑕点，从而无界广义积分dx x f ba⎰)(又称瑕积分.类似的可定义瑕点为b 时的瑕积分，函数)(x f 在区间[)b a ,上有定义，在b 的任意左邻域内无界，但在[)[)b a a ,,⊂∀δ上可积则有dx x f dx x f abba ⎰⎰-→=δδ)(lim )(，极限dx x f ab )(lim ⎰-→δδ存在时积分dx x f ba⎰)(收敛，极限不存在积分发散. 当函数)(x f 的瑕点()b a c ,∈，)(x f 在[)(]b c c a ,, 上有定义，在点c 的任意邻域内无界，但在[]δ,a ∀[)[](]b c b c a ,,,,⊂⊂γ上都是可积的，则有瑕积分=+=⎰⎰⎰b ac abcdx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+-→→+bacc dx x f dx x f γδγδ)(lim )(lim ，当右边两个瑕积分同时收敛时，才可判定左边的瑕积分收敛. 若b a ,都是)(x f 的瑕点，且)(x f 在[]()b a ,,⊂γδ上可积，则⎰=badx x f )(dx x f dx x f dx x f dx x f ba bcc a)(lim )(lim )()(-+→→+=+=⎰⎰γδ，当右边的两个瑕积分同时收敛时左边的瑕积分收敛. 3.2瑕积分的性质瑕积分的理论与无穷积分的理论是平行的，从而得出瑕积分的性质：性质1 设函数)(),(21x f x f 的瑕点同为a x =，C k k ∈∀21,，当瑕积分1(),baf x dx ⎰2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分dx x f kdx x f k baba)()(2211⎰⎰+必收敛，从而有11()bak f x dx +⎰221122()()()b bbaaakf x dx k f x dx k f x dx =+⎰⎰⎰.性质2 设函数)(x f 的瑕点为a x =，()b a c a x ,,∈=为任一常数，则瑕积分dx x f dx x f caba⎰⎰)(,)(同敛态，有⎰⎰⎰+=b a c a bcdx x f dx x f dx x f )()()(.性质3 设)(x f 的瑕点为a x =，在(]b a ,的∀[]b ,δ上可积，当dx x f ba⎰)(收敛，积分⎰b adx x f )(收敛，则dx x f dx x f bab a⎰⎰≤)()(.3.3瑕积分的敛散性判别法因为瑕积分的敛散性与无穷积分的敛散性是平行的，则类比无穷积分的敛散性来讨论瑕积分的敛散性.3.3.1瑕积分的定义判别法用定义法可判别较简单的瑕积分，适用于瑕积分对应的定积分易于解出原函数的类型，简单快捷.例9 判断瑕积分()⎰-ba a x dxα的敛散性. 解 由题可知被积函数的瑕点为a x =，则由瑕积分的定义可得到()=-⎰ba a x dxα()()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--≠----=--=----→⎰1,log 1,111lim 111αδαδααααδαδαδaa b a a b a x a x dxbba ， 则当1<α时，()()()ααδαααδ--=-------→11lim 111a b a a b a综上可知，当1<α时积分()⎰-ba a x dxα收敛，当1≥α时，极限不存在，故积分发()⎰-baa x dxα散. 3.3.2瑕积分的比较判别法定理12 设函数)(),(x g x f 在区间(]b a ,上有定义，瑕点同为a x =，在[]b ,δ(]b a ,⊂可积，且[]b a x dx x g dx x f ,,)()(∈≤，当dx x g ba⎰)(收敛，dx x f ba⎰)(必定收敛.dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba⎰)(必定发散.从而由定理可得出：推论1 如果0)(>x g ，c x g x f ax =+→)()(lim ，则（1）∞<<c 0∞<<c 0，dxx f ba⎰)(与dx x g ba⎰)(同敛态. （2）0=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(收敛. （3）∞=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(发散.推论2 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，则（1）()p a x x f -≤1)(，10<<p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）()p a x x f -≥1)(，1≥p 时知dx x f ba⎰)(发散.推论3 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，若μ=-+→)()(lim x f a x pax ，则可得（1）∞<≤<<μ0,10p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）∞≤<≥μ0,1p 时知dx x f ba⎰)(发散.例10 证明瑕积分dx x x⎰10ln 收敛，dx x x ⎰21ln 发散. 证明 瑕积分dx x x ⎰1ln 的瑕点为0=x ，由推论3知当143<=p 时，x x x x ln lim 430⋅=→λ 0)4(lim ln lim41041==-=→-→x xx x x ，从而知瑕积分dx x x⎰10ln 收敛. 又瑕积分dx x x ⎰21ln 的瑕点为1=x ，当1=p 时，1ln 1lim ln )1(lim 11=-=⋅-=→→x x x x x x x λ，从而瑕积分dx x x ⎰21ln 发散. 运用比较法讨论瑕积分的敛散性时，要进行适当的放缩，而熟悉公式后问题就变得相对简单了. 3.3.3瑕积分的柯西收敛准则定理13 瑕积分dx x f ba⎰)(瑕点a x =收敛的充要条件是：0,0>∃>∀δε，当()b a a a <<+∈δδμμ,,2,1时，有ε<=-⎰⎰⎰2112)()()(u u b u b u dx x f dx x f dx x f .例11 证明积分⎰-121x xdx 收敛，dx xx ⎰1ln 1发散. 证明 易知积分⎰-121xxdx 在被积函数的区间(]1,0上是连续的，且瑕点为1=x ，取)10(,12<<-=δδe ，对0>∀ε当()1,',''δ∈u u 时，22'''2''1'11u u x xdx u u ---=-⎰，22''1'1u u ---e e u =-+<-<11'122，由柯西收敛准则知瑕积分⎰-121x xdx 收敛. 知瑕积分dx xx ⎰1ln 1的被积函数在(]1,0上连续，瑕点为0=x ，对0>∀δ当()δ,0',''∈u u 时，()()()''log ln 'ln ''ln ln 'ln ln ''ln ln ln 1''''u u u u u dx x x u u u ==-=⎰因为'''u u >，则1''log '>u u ，从而()1ln ''log ln '>u u ，即1ln ln 1'''>⎰u u dx x x ，故由柯西收敛准则知瑕积分⎰1ln xx dx发散. 柯西收敛准则与定义法比较起来判别积分敛散性时稍复杂些. 柯西收敛准则主要研究的是数列.3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理14 积分dx x f ba⎰)(收敛时称瑕积分⎰badx x f )(绝对收敛，收敛但不绝对收敛的瑕积分称条件收敛.瑕积分的收敛与绝对收敛是同理相通的. 3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法定理15 设函数)('),(x g x f 在区间b x a ≤≤上连续，若：（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ，（2）0,>∈M C M 使对一切b a <<δ有M dx x f a≤⎰δ)(，则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法定理16 设函数)('),(x g x f 在b x a <≤上连续，若：（1）dx x f ba⎰)(收敛，（2）0)('≤x g （)(x g 非负），（3）0,>∈M C M ，使对一切b x a <≤有M x g ≤)(则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判别两个函数相乘时积分的敛散性，也是判别瑕积分收敛的方法.4含参变量的广义积分4.1含参变量广义积分的定义定义5 二元函数),(u x f 在区域()βα≤≤≤≤ℜu b x a ,上有意义，[]βα,∈∀u ，无穷积分dx u x f a⎰∞),(收敛，积分中的参变量u 的函数可表示为dx u x f u a⎰∞),()(φ，称无穷积分dx u x f a⎰∞),(为含参变量的无穷积分.定义6 如果给定的0>∀ε如何小，且0A ∃，当0A A >时，有δ<⎰∞Adx u x f ),(则积分dx u x f a⎰∞),(在[]βα,上一致收敛.4.2含参变量广义积分的一致收敛性 4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法定理17 无穷积分dx u x f a⎰∞),(在区间[]βα,上一致收敛的充要条件：0>∀ε，a M >∃，当M >>ημ时有εμημη<=-⎰⎰⎰∞∞dx u x f dx u x f dx u x f ),(),(),(. 关于广义积分的一致收敛性，与函数级数的情况类似. 4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法定理18 设函数),(x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，函数)(x g 在[)∞,a 上连续，且[)∞∈∈∀≤,,),(),(a x D t x g x t f ，如果积分dx x g a⎰∞)(收敛，则含参变量广义积分dx x t f a⎰∞),(对D t ∈一致收敛.对于条件收敛积分的一致收敛性有狄利克雷和阿贝尔判别法. 4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法定理19 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果)(i 对D t ∈∀，函数),(x t f 关于x 单调，当∞→x 时，函数),(x t f 对D t ∈一致收敛于0；)(ii 部分积分⎰badx x t g ),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，则积分⎰∞adx x t g x t f ),(),(对D t ∈一致收敛.4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法定理20 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果 )(i 对每一个取定的D t ∈，函数),(x t f 关于x 单调，且[),,,,),(∞∈∈∀≤a x D t K x t f )(ii 如果有积分dx x t g a⎰∞),(对D t ∈一致收敛，则dx x t g x t f a),(),(⎰∞对D t ∈一致收敛.例12 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，积分dx x f a⎰∞)(一致收敛，部分积分dx x t g b a⎰),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，求积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.解 对a u u >>∀'''，有⎰⎰>>='''')'''(,),()',(),(),(u u u u u dx x t f u t g dx x t g x t f ηη，又可得M dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f u aaau au 2),(),(),(),(),('''≤+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰ηηη，从而得则),'(2),(),('''t u g M dx x t g x t f u u ≤⎰对A ∃>∀,0ε，当βα≤≤≥t A x ,时，则可以得到Mx t g 2),(ε≤对βα≤≤∀t 当A u u ≥>'''时有εε=⋅<⎰MM dx x t g x t f u u 22),(),('''. 所以由柯西收敛准则知，积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.例13 证明积分dx x e e bxax ⎰∞---0)0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x e e bx ax ⎰∞---0ab ydy y dx e dy dy e dx babab a xyb a xy lnln 100=====⎰⎰⎰⎰⎰∞--∞ 因为积分dx e xy ⎰∞-0对于[]b a y ,∈一致收敛（由维尔斯特拉斯判别法判定），则积分dx x e e bxax ⎰∞---0一致收敛. 例14 证明积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos )0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x bx ax ⎰∞-02cos cos ⎰⎰⎰⎰∞∞==00s i n s i n dx x xydy dy x xy dx ba ba ，作变元替换y x λ=，有 2sin sin 00π===⎰⎰∞∞du u u dx x xy 从而dx x bx ax ⎰∞-02cos cos )(2a b -=π因为积分⎰∞0sin dx x xy 对[]b a y ,∈一致收敛（狄利克雷判别法判定）积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos 一致收敛. 例15 设函数在区间上连续且可积，求dx x g e ax a )(lim 0⎰∞-→.解 对于取定的一点[]δ,0∈a ，函数ax e x a f -=),(关于x 单调，从而有1),(≤x a f ，[][)∞∈∈∀,0,,0x a δ又知积分dx x g ⎰∞)(是收敛的，则由阿贝尔判别法可以知道积分dx x g x a f )(),(0⎰∞对[]δ,0∈a []δ,0∈a 一致收敛，从而函数dx x g ea ax)()(0⎰∞-=ϕ在[]δ,0连续，则)0()(lim 0ϕϕ=→a a ，即dx x g dx x g eaxa ⎰⎰∞∞-→=00)()(lim .5欧拉积分5.1第一类欧拉积分（Beta 函数）()()0,0,1),(111>>-=B ⎰--q p dx x x q p q p .例16 证明),(),(p q q p B =B .证明 令y x -=1则()()()⎰⎰⎰-------=--=-=B 1110111111111),(dy y y dx y y dx x xq p p p q p q p),(p q B =，可知B -函数对于p 和q 是对称的.5.2第二类欧拉积分（Gamma 函数）0,)(01>=Γ-∞-⎰δδδdx e x x .例17 证明)()1(δδδΓ=+Γ)0(>δ.证明 使用第二类欧拉积分并且运用分部积分法证明，由题得dx e x x -∞⎰=+Γ0)1(δδ)()(lim lim lim lim 0110δδδδδεδεδεεδεΓ==+-==-∞----→∞→-→∞→⎰⎰⎰dx e x dx e x ex dx e x x xa ax a xa a .B -函数与Γ-函数的关系：)2()1()1()!1(!!)1,1(++Γ+Γ+Γ=++=++B q p q p q p q p q p . 上述两个非初等函数的收敛性是由含参变量的积分来确定的，其应用已遍及数学、物理、化学等多门学科.总结本论文根据广义积分即非正常积分（或反常积分）的定义与性质，探讨了广义积分的敛散性及判断敛散性的的方法与技巧，举例使判断方法和计算技巧更直观易懂. 从本论文的讨论知，广义积分敛散性的判别方法有定义法、比较判别法及其极限形式、柯西判别法、绝对收敛及条件收敛判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，准确运用判别法可以使我们更快更简单的判别广义积分的敛散性，以提高计算的速率，快速解决实际中的积分问题.数学的研究是无止尽的，广义积分敛散性的判别方法与技巧也会有更进一步的推广与研究，因此我们应该不断努力，加强学习研究，更多的深入研究这些方法，体会到数学之美，更好的融入数学的世界中.参考文献[1]董立华,叶盼盼.关于含参量广义积分一致收敛性的讨论[J].枣庄学院学报,2008, 25(05):51-55.[2]张立柱.收敛无穷限广义积分被积函数在无穷远处性质[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(03):303-307.[3]高慧.含参量非正常积分一致收敛性的几个判别方法[J].延安职业技术学院学报,2011,25(03):99-101.[4]曹学锋.广义积分收敛的必要条件[J].数学学习与研究(教研版),2009(02):92-93.[5]赵德让.关于广义积分的判敛[J].青海大学学报(自然科学版),2002,20(02):48-50.[6]雍龙泉.广义积分收敛的几个补充性质[J].高师理科学刊,2009,29(01):1-2.[7]李鑫.论广义积分敛散性的判别方法[J].大众商务,2010,17(02):179-180.[8]余晓飞,王荣乾.广义积分概念的探究[J].数学学习与研究,2008,(09):87.[9]张利.广义积分敛散性的一点注解[J].安康学院学报,2009,21(03):83-84.[10]马幸华.广义积分定义点瑕[J].苏州教育学院学报,2000,17(02):63-65.[11]张广慧.瑕积分敛散性的判断技巧[J].中国校外教育,2008,19(05):77-78.[12]高瑞平,何尚琴.一类广义积分的计算[J].科技创新导报,2008,22(28):241.[13]苏子安.广义积分的根值判敛法及其推广[J].数学通报,1989,12(06):21-22.[14]李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳经济技术高等专科学校学报,1996,13(02): 65-70.[15]陈立群.一类广义积分计算技巧和应用[J].鞍山钢铁学院学报,1994,17(03):21- 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常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛比较数学中的分是一个重要的量，它被广泛应用于物理、化学、工程等科学和技术的研究中。

本文就分的三主要概念，即常分、广义分和无穷级数收，进行比较分析，以期加深对它的理解。

首先，常分是一常用的计算方式，它可以用来计算某一函数在一定区间内的总和。

一般而言，可以将一个复杂的函数分解成有限的许多小细分片段，根据片段内的函数进行分，然后把它们相加，从而求得原函数在整个计算区间内的总和。

接下来，可以介绍广义分，它是一比常分更加广泛的计算方式，可以用来计算不同类型的函数，存在一些不同于常分的计算方式。

比如，常分只能计算正定函数，而广义分可以入负定函数、奇函数和偶函数等，可以更加准确的计算函数的总和。

最后，无穷级数收也是一种常用的计算方式，它和常分和广义分都有共同之处，也可以用来计算某一函数在一定区间内的总和，但它有一个特点，就是可以将函数抽象为无穷多个特定模式的片段，然后进行分析计算，从而求得原函数在整个计算区间的总和。

综上所述，常分、广义分和无穷级数收都是非常重要的计算方式，它们各有特点，都可以用来计算某一函数在一定区间的总和，而且在工程应用当中发挥着重要作用，应用广泛。

本文对三者进行比较分析，加深了对它们的理解，以期未来能够更好地应用于工程。

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