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第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
0>p 时，由于 1)1(1lim 0=+-→+p q p px x x x因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1<p 时收敛，1≥p 时发散。
因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。
上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}1³时发散。
对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰+∞-+=12)1(qp q x x dxI ，由于 1)1(1lim =+-+∞→q p q qx x x x因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。
此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。
上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1£时发散。
综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。
或者为：min{p,q}<1<max{p,q}时收敛，其余时发散。
例2 讨论21sin()mx x I dx x +∞+=⎰的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。
分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。
注意验证积分片段有界性时的配因子方法。
解：先分析绝对收敛性，由于1s i n ()1||m mx x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。
当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性，2222A 2221111|sin()||(1)sin()|111 |sin()()|A A A x dx x dx x x x xx d x dx Mx xx +=-++≤+++≤⎰⎰⎰⎰由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。
由于2111s i n ()2s i n ()1c o s 2()2||m m mx x x x x x x x x ++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+⎰收敛，21m dx x +∞⎰发散，因而，21|sin()|m x x dx x+∞+⎰发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。
注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。
注、不能将积分分成如下两部分21s i n ()m x x I d x x+∞+=⎰＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+⎰⎰， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。
例3 讨论dx xx I m ⎰+∞+=0)1ln(的敛散性。
分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +→和x →+∞时的性质，进行阶的比较。
解、记dx x x I m ⎰+=101)1ln(，dx xx I m ⎰+∞+=12)1ln(。
对1I ， 由于1)1ln(lim 1=+-→+mm x x x x ， 故，当11m -<，即2m <时，1I 收敛；当2≥m 时，1I 发散。
对2I ， 利用已知的结论：0)1ln(lim, 0=+>∀+∞→εεxx x ，则 ⎩⎨⎧≥∞+<==++∞→mp m p l x x x m px , , 0)1ln(lim ， 当1>m 时，取p 使得m p <<1，则 0)1l n (l i m =++∞→mpx x x x 故2I 收敛。
当1≤m 时，取1=p ，则+∞=++∞→mx xx x)1ln(lim 故2I 发散。
因而，当21<<m 时，I 收敛；21≥≤m m 或时I 发散。
例4 讨论sin 0sin 2x e xIdx xl +?=ò的敛散性，其中0l >。
分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel 判别法或Dirichlet 判别法。
解：记 dx x x e I x ⎰=10sin 12sin λ， dx x xe I x ⎰∞+=1sin 22sin λ对1I ，当2 i.e , 11<<-λλ时，e xxe x x x 22s i n l i m s i n 1=-→+λλ 故，1I 收敛。
由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。
当2 i.e , 11≥≥-λλ时，e x xe x x x 22s i n l i m s i n1=-→+λλ 故，1I 发散。
对2I ，由于λλxex x e x ≤2sin sin ， 故当1>λ时，2I （绝对）收敛。
当10≤<λ时，由于，对任意1>A ，222s i n s i n1s i n1s i n ≤=⎰⎰dt te dx x e A t Ax且 当+∞→x 时，λx1单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，2I 收敛。
又，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=≥≥---λλλλλx x x e x x e x x e x x e x 4c o s 122s i n 2s i n 2s i n 1211s i n 且⎰⎰∞∞＋＋发散，114cos 1dx x x dx x λλ收敛，因此，λλxedx x x e x≤⎰∞+2sin sin 1发散。
因而，当10≤<λ时，2I 条件收敛。
综上，条件收敛时绝对收敛；时，I I ,1021≤<≤<λλ；发散。
时，I 2≥λ 例5 讨论⎰+∞=0sin dx x x I q p 的敛散性，其中p 、q 非负。
分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子q x sin ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。
处理技巧是先易后难。
解、先考虑最简情形：0=q 时的情形。
记⎰=11)(dx x p I p，⎰+∞=12)(dx x p I p ，此时，)(1p I 、)(2p I 分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，1->p 时，)(1p I 收敛；1-≤p 时， )(1p I 发散；而对2I ，1-<p 时)(2p I 时收敛，1-≥p 时)(2p I 发散，故0=q 时，I 发散。
当0≠q 时，令q x t =，qqp -+=1α，则 t d t t qI qq p s i n 11⎰∞+-+=＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰+∞110sin sin 1tdt t tdt t q αα 对⎰=101sin tdt t I α，由于 1sin lim 10=+→+ααt t t t ，故1I 与dt t ⎰+101α同时敛散。
因而，2 , 1)1(-><+-ααie 时，1I （绝对）收敛；2-≤α时，1I 发散。
对⎰+∞=12sin tdt t I α，由于ααt t t ≤sin ，故，1-<α时，2I 绝对收敛；当01<≤-α时，由Dirichlet 判别法，2I （条件）收敛。
当0≥α时，利用周期函数的积分性质，则⎰⎰=≥+ππππα0222sin sin tdt tdt t n n因而，由Cauchy 收敛准则，2I 发散。
综上：0=q 时，I 发散；0≠q 时， 011<+<qp －时，I 绝对收敛； 110<+≤q p 时，I 条件收敛； qp 11+≤ 时，I 发散。
注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。
注、也可以用配因子法处理。
下述的例子用阶的分析法。
例6 讨论dx x x I ⎰∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0311)sin 1(的敛散性。
分析 首先将积分分段处理，记dx x x I ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-103111)sin 1( ，dx x x I ⎰∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=13121)sin 1(。
从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。
对1I ，分析奇点附近被积函数的阶。
由于)(!31s i n , )(!3sin 2233x o x x x x o x x x +-=+-=， 因而，1233sin (1)x x x---:，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。
对2I ，对被积函数作阶的分析，由于x 充分大时sin 1xx<<，因此，利用函数展开理论得)(01)1(2x x x ++=+αα , )1,1(-∈x ，由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。
