定积分和广义积分的区别与联系

第三章 一元积分学第四节 定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。

在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。

遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。

元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。

例１．（1）曲线)0( sin 2≥=-x x e y x与x 轴所围成的图形的面积为____．（２）曲线)0(sin 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为____．解：（１）所求的面积为 ∑⎰⎰+∞=+-+∞-==)1(0|sin |2|sin 2|k k k x xdx x e dx x e A ππ而⎰+-ππ)1(|sin |2k kxdx x e==⎰--ππsin 2tdt e et k )1(ππ--+e e kππππ--∞=---+=+=∑e e ee A k k 11)1(011-+=ππe e （２）弧长为4)]([102='+=⎰dx x f l π例２．过点)0,4(作曲线)3)(1(x x y --=的切线，（１） 求切线方程；（２） 求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（１）)3)(1(2x x x y ---='设切点为),(00y x ，则有4)3)(1(4)3)(1(200000000---=--=---x x x x y x x x解得 250=x ，那么切线的斜率为31-=k 切线方程为 )4(31--=x y ，即043=-+y x（３） 旋转体的体积为 6)3)(1()]4(31[3252425πππ=-----=⎰⎰dx x x dx x V下面介绍一下元素法我们先看一个例子例３．求曲线22x x y -=与直线0=y 围成的图形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积．分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题．但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果．在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限．用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分（以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分）得结果．先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x 也可选y ．若选y 为积分变量，则积分区间为]1,0[，分割：在]1,0[上任取一个小区间],[dy y y +，近似：该小区间对应的一小片绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V ∆近似为dy y dy y y V -=----+≈∆18])12()12[(22ππ，从而得体积元素dy y dV -=18π，积分得结果：ππ3161811=-==⎰⎰dy y dV V ．若选x 为积分变量，则积分区间为]2,0[，分割：在]2,0[上任取一个小区间],[dx x x +，近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V ∆近似为22322)( )65(2])3()3[( dx y dx x x x dx x x y V πππ-+-=----≈∆dx x x x )65(223+-≈π，从而得体积元素dV dx x x x )65(223+-=π，积分得结果：ππ316)65(212320=+-==⎰⎰dx x x x dV V ．解答过程自己完成． 总结：用元素法求某个量U 的一般步骤：（１） 建立坐标系，选取积分变量，比如x ．确定该变量的变化区间即为积分区间，比如],[b a ．（２） 在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，对应该小区间的部分量记为U ∆，找出该部分量的近似值 dx x f U )(≈∆，那么得到量U 的元素 dx x f dU )(=．（３） 以元素dx x f dU )(=为积分表达式在区间],[b a 上积分便得欲求的量U ⎰⎰==babadx x f dU U )(这里关键是找出元素dx x f dU )(=，找元素的思想是：以直代曲，以常代变．例３．设有半径为R 的密度不均匀的圆盘．已知其面密度为b ar +=μ，其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，b a ,为正常数，求圆盘的质量．解：以圆盘上的点到圆心的距离r 为积分工变量，则],0[R r ∈，任取],0[R 上的一个小区间],[dr r r +，该小区间对应的小圆环的质量近似为dr b ar r b ar r dr r M )( 2)]( )([22+≈+-+≈∆πππ于是质量元素为 dr b ar r dM )( 2+=π，所以圆盘质量为 )32( )( 220b aR R dr b ar r M R+=+=⎰ππ注：本题可用二重积分计算。

反常积分与定积分有何区别和联系要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。

从定义的角度出发，对其进行讨论定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点，a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b把区间[a,b]分成n 个小区间，记△X I =x i -x i-1（i=1，2，…，n ），在每个小区间[x i,x i-1]上任取一点ξi(i=1,2,…,n ），作小区间长度△X I 与f （ξi ）的乘积，并求和。

设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数I ，这个常数I 叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分i ni i x f I x f ∆==⎰∑=→ba1)(lim )(ξλ其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。

反常积分：无穷积分：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a,如果极限⎰+∞→bab f dx x lim）（存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作⎰⎰+∞→+∞=bb adx x f dx x f a)(lim)(瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a -ε,b](0<ε<b -a)上可积，即：⎰⎰-→=uabu badx x f x f )(lim )(由上可知，定积分是有界函数在有限区间上的积分。

实际运用中遇到的无穷区间上的积分，以及无界函数在有限区间上的积分，两者统称为反常积分，分别称为无穷积分和瑕积分。

广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。

它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。

广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。

在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。

定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。

如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。

当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。

但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。

有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。

为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。

广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。

广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。

对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。

对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。

广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。

函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。

如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。

广义积分在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。

在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。

广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。