(5)广义积分敛散性的判别法,

摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。

广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。

与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。

然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。

一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。

同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。

需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。

二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。

1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。

例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。

广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。

定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。

因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。

广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。

它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。

常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。

例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。

第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。

例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。

敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。

下面是判别广义积分敛散性的常用方法。

第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。

判别法判断积分敛散性
积分敛散性是数学中比较重要的概念，它可以提供我们不同的性质的函数的收敛情况的信息。

它可以帮助我们更好地了解函数的特性，对函数的研究和应用也有很大帮助。

积分敛散性是指一个函数从$- \infty $ 到$ + \infty $上的固定横跨长度之和所构成的函数。

如果一个函数$y = f(x)$在某一闭区间上是敛散的，则定义符号$ \int_{a}^{b}f(x)dx$为指定的函数在横跨的变量x的横跨值$a$和$b$之间的积分值，即为$y$之和。

当积分值为正，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是敛散的；当积分值为负，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是散敛的。

（当积分值等于零时，函数$f(x)$在某一闭区间上就是稳定的，不具有任何无动力收敛或者散散现象）。

积分敛散性主要涉及到函数在定义域有效的极限，可以通过对函数解析，判断其边界等概念来判断其积分敛散性。

直线和抛物线，它们在定义域上的无穷点收敛散散良好；反之，如倒钩函数则会出现收敛紊乱等现象。

综上所述，积分敛散性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地了解函数的特性，如果能够掌握其运算的技巧，也可以用于函数的研究和应用。