（D）与m，n的值都无关
解：瑕点：X=0与x=1
1 m ln2 (1 x)
1 2
m
ln2 (1
x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx
nx
0
dx
nx
1
2
n x dx I1 I2
对于 I1
m ln2 (1 x)
f (x)
:
m (x)(x)
x
2 m
1 n
,
(
arctan x
dx
1
x
的敛散性.
解 因为 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故根据推论2知，题设广义积分发散 .
例6 判别广义积分
eax sin bxdx
0
的收敛性，其中 a,b 都是常数，且 a 0.
解
eax sin bx eax ,而
(x
c a)
p
,
(c
0)
Cor3设 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，且
f (x) 0, lim f (x) 1）如果存在常数M>0,及
q 1
xa0
,使得：
f
(x)
(x
M a)q
, (a
x
b)
b
则 f (x)dx
a
收敛；
2）如果存在常数N>0,及q≥1,使得
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
解 因为
0 1 3 x4 1
xx
1 dx
0x
的收敛性.
收敛，根据比较审敛原理知，
广义积分
1
sin
1 x
dx
0x
收敛，从而题设广义积分也收敛.
例11.考研题（2010.1）
设m，n均为正整数，，则反常积分 的收敛性为（ ）
1
0
m
ln
2 (1 nx
x)
dx
（A）仅与m的值有关 （B）仅与n的值有关 （C）与m，n的值都有关
x
0
)
nx
nx
分1）n>1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1， m>2讨论
对于 I2
当
0<p<1时
lim
x1
f
(x)(1
x) p
0
（罗比达）
故无论 I1 I2 对于任意的m，n均收敛，故选（D）
1 x4
1 x4/3
,
这里 p 4 1,
3
故由推论1知，题设广义积分收敛.
例2 判别广义积分
dx 1 x 1 x2
的敛散性.
解 因为 lim x2 1 1,
x x 1 x2
这里 p 2 1,
故由推论2知，题设广义积分收敛.
例3 判别广义积分
x 3/ 2 1 1 x2 dx
广义积分敛散性的判别法
判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问 题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函 数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来 判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其 它方法来判断广义积分的收敛性.
（一）。无穷限广义积分的审敛法
无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审 敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以 便与无穷限广义积分的审敛法作比较
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
1.正项级数比较审敛原理(收敛，发散，值)
广义积分比较审敛原理：设 f (x), g(x) 在
区间 [a, );(a 0) 上连续，， 1）如果：
0 f (x) g(x),(a x ) 且 g(x)dx
收敛，则
f (x)dx
a
收敛；2）如果：
a
0 g(x) f (x), (a x ) 且 g(x)dx
a
发散；则 f (x)dx ，发散
a
注：1）.可将广义积分比较原理与级数相应比 较法对比，其是类似的； 2）.可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛； 反之，小积分发散，则大积分发散。
2.P级数（积分）及其敛散性：
Cor1（选p级数作比较对象）
； Cor1.令
g(x)
c xp
, (c
0)
xa0 a
2）如果存在常数 q 1 ，使得：
lim ( x a)q f ( x) d 0
xa0
(或 lim ( x a)q f ( x)=+)
x a 0
b
存在，则广义积分 f (x)dx 发散
a
收敛
（四）无界函数的广义积分审敛法例题
例8 判别广义积分
2 0
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
sin x x2
3
dx
绝对收敛 .
（三）无界函数的广义积分审敛法 定理：（比较原理）设函数 f (x), g(x)
在区间 (a,b] 上连续，， 1）如果：
当x充分靠近点a时有 lim f (x) xa
0 f (x) g(x),
b
b
且 g(x)dx 收敛，则 f (x)dx
设 f (x) 在区间 [a, );(a 0) 上连续，且
f (x) 0 1.如果存在常数M>0,及p>1,使得：
f
(x)
M xp
,
(a
x
)
则 f (x)dx a
收敛；
2）如果存在常数N>0,使得
则
f (x)dx
发散；
f (x) N , (a x ) x
1
cos xm
x
dx
的收敛性.
解 由于
x0
是
f (x) 1 cos x xm
的瑕点，且
1 cos x xm
~
1 x2 2 xm
1 2
1 xm2
(x 0),
所以，当 m 2 1, 即 m 3
时，题设广义积分收敛 ;当 m 2 1,
即 m 3 时，题设广义积分发散 .
的敛散性. 解 因为
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim
x
x2 1
x x2
,
故根据推论2知，题设广义积分发散.
例4 判别广义积分
1 ex dx
1x
的敛散性. 解 因为当 x 1 时，1 ex 1 ,
xx
故由推论1知，题设广义积分发散 .
例5 判别广义积分
例9 判别广义积分
3 dx 的收敛性.
1 ln x
解 被积函数在点 x 1
的右邻域内无界.又由洛必达法则知
1
1
lim(x 1) lim 1,
x1
ln x 源自文库 x1
x
故根据推论4知，题设广义积分发散.
1
例10
判别广义积分01
sin x x
dx
解 因为
而 sin 1 x
1
,
ax e dx
收敛 .
0
0
|
e ax
sin bx
|
dx
收敛，故题设广义积分收敛 .
例7 判别广义积分
sin x3 a x2 dx
.
解 由于
(a 0) sin x3 1
|
| ,
x2
x2
而
1 dx a x2
收敛，故
a
|
sin x3 x2
|
dx
收敛，即
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
