无穷限广义积分的计算(1)

文献综述信息与计算科学无穷限广义积分的数值计算一．前言部分定积分的数值近似称为数值求积.[1]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2]．比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢?地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为()()⎰⎰∞∞→=alim bab dx x f dx x f ．对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：•用有限的积分区间代替无限的积分区间．选择积分范围时要注意所截掉的部分应是极小的，另外应对这一部分在整个积分中所占的份额作出估计．同时这个有限区间也不应太大，以免在利用自适应求积程序时，陷入无休止的积分函数调用之中．•通过适当的变换将无界区间变成有界区间．典型的变换包括，t x ln -=或者()t tx -=1．但是在变换的时候一定要注意不要引入新的奇异点或产生其它问题． 还有一种方法就是采用专门计算无界区间积分的求积公式，比如说高斯-拉盖尔（Gauss-laguerre ）或者高斯-艾尔米特求积公式．一般采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算．二．主题部分2．1数值积分的一般方法许多定积分都无法用解析方法求出．对于那些并不知道函数()f x 的表达式只能通过实验得到()f x 在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法．[3]2．1．1梯形法则[4]把以曲线()f x 为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大．事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线()f x ．我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式．一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线()f x ；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线．得到相应的求积公式是()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎡⎤⎣⎦⎰, ()2.1.1 对所有1f ∈∏（即次数最多是1次的全体多项式）公式精确成立．此外，它的误差项是()()31''12b a f ξ--, 其中(),a b ξ∈．通过多项式逼近中的误差()()()()()1''x f x p x f x a x b ξ-=--积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项． 2．1．2复合梯形法则如果划分区间[],a b 为：01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=.那么在每个子区间上可应用梯形法则．这时结点未必是等距的．这样，我们得到复合梯形法则()()()()()1111112ii nnbx i i i i ax i i f x dx f x dx x x f x f x ---==-=≈-+⎡⎤⎣⎦∑∑⎰⎰.()2.1.2 对等间距()h b a n =-及结点i x a ih =+，复合梯形法则具有形式()()0''nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰， ()2.1.3其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是()()21''12b a h f ξ--, 其中(),a b ξ∈．对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在[],a b 内存在一点ξ使得()()()1''1''nii f n f ξξ==∑，其中()1,i i i xx ξ-∈以及()1n b a h =-，即平均值，这样便得到总误差项． 2．1．3辛普森法则[5]对任意区间[],a b 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则：()()()462bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰. ()2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数2≤的多项式辛普森法则是精确成立的．出乎意料的是， 对于所有次数3≤的多项式它也精确成立．与辛普森法则联系在一起的误差项是： ()()()541290b a f ξ--⎡⎤⎣⎦, 其中(),a b ξ∈． 2．1．4 Gauss 公式[6]设有计算()()baI f f x dx =⎰ ()2.1.5的求积公式()()0nn kkk I f A f x ==∑， ()2.1.6其中求积节点()0,1,k x k n =，求积系数()0,1,k A k n =.如果其代数精度为()21n +，则称为求积公式为Gauss-Legendre 公式（简称Gauss 公式），称相应的求积节点为Gauss 点．由代数精度的定义知，式()2.1.6为Gauss 公式的充分必要条件是求积节点{}0nk k x =和求积系数{}0nk k A =满足下列方程组：0220212101n b k a k n b k k a k nb k k ak nbn n k k ak A dx x A xdxx A x dx x A x dx===++=⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰. ()2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性．Gauss 公式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数()0,1,kA k n =全是正的．高斯求积公式,[7]它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证．因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化． 2．2 无穷积分的敛散性判别[8]无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件．由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx=⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则．无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．()2.2.1 我们知道，[9]无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的．在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢．首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义：()af x dx +∞⎰收敛时的几何意义：若()f x 是[),a +∞上的非负连续函数，则()af x dx +∞⎰是介于曲线()y f x =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J ．从而可知：()af x dx +∞⎰实际上是表示曲线()y f x =与坐标轴所围成的面积的代数和．而当()af x dx +∞⎰收敛时，是否()f x 在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实：()af x dx +∞⎰收敛时()f x 在无穷远处的极限并不一定为零．被积函数在无穷远处极限为零的充分条件： 当()af x dx +∞⎰收敛时，在无穷远处的极限为零．以下就是经过对()f x 作某些限制而得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答．定理1． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()lim x f x →+∞存在，则有()lim 0x f x →+∞=；定理2． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 单调，则()lim 0x f x →+∞=；定理3． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 一致连续，则有()lim 0x f x →+∞=；定理4． 若()af x dx +∞⎰收敛且导函数()f x 有界，()lim 0x f x →+∞=．2．3无穷区间上的积分的计算方法考虑无穷区间上的积分 ()()aI f f x dx ∞=⎰, ()2.3.1其中a 为有限值或-∞．常用的无穷区间上的积分的求解方法:[10]2．3．1变量替换对于式()2.3.1，作变量替换xt e -=，可将区间[)0,+∞变为区间()0,1．因此有()()()110001ln g t f x dx f t dt dt t t∞=-=⎰⎰⎰. ()2.3.2这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分．若()g t t在0t =的邻域内有界，那么式()2.3.2的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难．变量替换还有很多不同类型． 例 计算积分22111sin dx x x∞⎰． 解 令1y x=，那么有12221011sin sin dx y dy x x∞=⎰⎰， 对2sin y 泰勒级数展开，有122210111111sin sin 342132075600dx y dy x x ∞==-+-+⎰⎰0.310268≈．2．3．2无穷区间的截断将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值．选取R a >，使()0f x dx ε∞<⎰, ()2.3.3其中ε为允许误差，那么无穷区间上的积分()2.3.3可以用()Raf x dx ⎰来近似．例 计算2x e dx ∞-⎰．解：当x R ≥时有2x Rx ≥，所以有估计式221x Rx R RRedx e dx e R∞∞---≤=⎰⎰． 对于4R =，则28110R e R--≈．因此对于允许误差为710-来说，只要计算240x e dx -⎰就可以了．2．3．3无穷区间上的高斯求积公式无穷区间上的积分．高斯-拉盖尔求积公式和高斯-艾尔米特求积公式是最广泛实用的．下面作些补充．将插值型求积公式()()()()()()00,,nbk k a k n bi k a i k i i k x f x dx A f x x x A x dx x x ρρ==≠⎧≈⎪⎪⎨-⎪=∏⎪-⎩∑⎰⎰ ()2.3.4 中的[],a b 换为半无穷区间[)0,+∞，权函数()xx e ρ-=，并取节点()0,1,,k x k n =为1n +次拉盖尔多项式()()1111n xn xn n d L x e x e dx ++-++=的零点，称这样的高斯求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示形式为()()0,nxk k k e f x dx A f x +∞-=≈∑⎰()2.3.5系数k A 为()()122'1!n k k k n A x L x ++⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦()0,1,2,,k n =，()2.3.6 截断误差为[]()()()()2221!22!n n R f f n ζ++⎡⎤⎣⎦=+， ()0,ζ∈+∞. ()2.3.7 高斯-艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式()()2nx k k k ef x dx A f x +∞--∞=≈∑⎰， ()2.3.8其中节点()0,1,,k x k n =为(),-∞+∞上带权()x x e ρ-=正交的1n +次艾尔米特多项式()()()2211111n n x x n n d H x e e dx++-++=-的零点，系数k A 为 ()()22'121n k n k n A Hx +++=⎡⎤⎣⎦， ()2.3.9截断误差为[]()()()()2211222!n n n R f f n ζ+++=+，(),ζ∈-∞+∞. ()2.3.10 在实际应用中有时希望一个或几个节点预先固定，然后确定其他节点和系数以使求积公式具有尽可能高的代数精度，这种固定部分节点的高斯型求积公式理论上总是可以按代数精度的等价定义[11]．2．3．4极限过程()()0lim r f x dx f x dx ∞∞→∞=⎰⎰,提供了极限过程．令010r r <<<是趋向于∞的数列．记()()()()0121r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx ∞=+++⎰⎰⎰⎰,右端每个积分都是正常积分，当()1n nr r f x dx ε+<⎰时，计算终止．2．4无穷限广义积分的新方法最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法，[12-15]该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适应度函数，在给定的终止条件下，可获得精度较高的积分值．最后，以广义积分(无穷限广义积分)为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点．三、总结部分定积分的积分区间是有限的，但在实际问题中，往往需要突破这个限制，把积分区间从有限的推广到无限区间，形成了无穷限广义积分，因此，无穷限广义积分的基本性质、计算方法与定积分相类似[16]．在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题，尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(无穷限广义积分)的数值计算问题，不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法．同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法去解决这些问题．四、参考文献[1]Michael T．Health．Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京 :清华大学出版社,2001．10:297-311．[2]李国莹,姜诗章,杨平,王国清．应用数学基础[M]．第2版．上海:复旦大学出版社,2003．2:97-97．[3]Leader J．J．Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社,2008．5:314-314．[4]Curtis F．Gerald Partrick O．Wheatley著,吕淑娟译．应用数值分析[M]．第7版．北京:机械工业出版社,2006．9:22-223．[5]David Kincaid,Ward Cheneny著,王国荣,俞耀明,徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社,2005．9:385-386．[6]孙志忠,袁慰平,闻震初．数值分析[M]．第2版．南京:东南大学出版社,2002．1:203-211．[7]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社,2005．10:186-186．[8]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社,2001．6:264-270．[9]戴培亮．无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限[J]．常熟理工学院学报．2006．11,20(6) :1-4．[10]《代应用数学手册》编委会．现代应用数学手册-计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社,2005．1:227-230．[11]封建湖,车刚明,聂玉峰．数值分析原理[M]．北京:科学出版社,2001．9:118-118．[12]郭德龙,周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设计． 2008．10,29(19):5026-5028．[13]张艳红．一种工程实用的数值积分方法[J]．工程力学报．2005．6,22(3):39-45．[14]陈泽文,朱玉灿．高阶奇异积分的小波逼近及数值计算[J]．数学物理学报．2002．6,22(2):281-288．[15]张新育,杨松华．矩形域上非正常积分的一种数值算法[J]．郑州工业大学报． 1999．3,12(4):101-102．[16]李承家,胡晓敏．数学分析导教．导学．导考[M]．第3版．陕西:西北工业大学出版社,2003．6:234-234．。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。