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级数知识点总结归纳考研一、级数的概念级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。
级数可以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。
二、级数的收敛性1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。
2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。
三、级数的性质1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。
2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且∑(an+bn)=∑an+∑bn。
3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。
4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件收敛的。
四、级数的判定方法1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。
2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。
4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。
2018考研数学高数重要知识点2018考研数学高数重要知识点(一)：第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算2018考研数学高数重要知识点(二)：第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))2018考研数学高数重要知识点(三)：第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理2018考研数学高数重要知识点(四)：第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)2018考研数学高数重要知识点(五)：第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法2018考研数学高数重要知识点(六)：第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线2018考研数学高数重要知识点(七)：第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)2018考研数学高数重要知识点(八)：第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)2018考研数学高数重要知识点(九)：第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
数学一考研必备知识点总结数学一考研是考研数学的一个科目，它的题目和知识点覆盖范围很广，包括高等数学、线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在备考数学一考研的过程中，掌握一定的知识点是非常重要的。
本文将对数学一考研的必备知识点进行总结，希望能对考生们有所帮助。
一、高等数学高等数学是考研数学一的重要基础知识，包括微积分、常微分方程、多元微积分等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：1.1 微积分微积分是高等数学的基础，包括极限、导数、积分、微分方程和无穷级数等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用函数的导数和积分公式。
1.2 常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用，包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性常微分方程和非线性常微分方程等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握常微分方程的基本概念、解法和应用，特别是一阶线性常微分方程和二阶线性常微分方程的解法。
1.3 多元微积分多元微积分是微积分的一个重要拓展，包括重积分、曲线积分、曲面积分和梯度、散度和旋度等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握多元微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用的重积分和曲线积分公式。
二、线性代数线性代数是考研数学一的另一个重要基础知识，包括向量空间、线性方程组、矩阵和特征值等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的概念、线性相关和线性无关、基和维数、子空间和直和等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握向量空间的基本概念和性质，以及子空间和直和的相关定理和应用。
2.2 线性方程组线性方程组是线性代数的一个重要应用，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组、解的结构和解的存在唯一性等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握线性方程组的基本概念、解的性质和解的求法，特别是线性方程组的解的结构和解的存在唯一性的定理和应用。
考研数学真题近十年考题路线分析以下给出了《高等数学》每章近10年（2021-2021）的具体考题题型，能够使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。
高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%）第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）题型1 求1∞型极限（一（1），2021）题型2 求0/0型极限（一（1），2021；一（1），2021）题型3 求∞-∞型极限（一（1），2021）题型4 求分段函数的极限（二（2），2021；三，2021）题型5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判定（二（1），2021；二（8），2021）题型6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2021）题型7 数列极限的判定或求解（二（2），2021；六（1），2021；四，2021；三（16），2021）题型8 求n项和的数列极限（七，2021）题型9 函数在某点连续性的判定（含分段函数）（二（2），2021）第二章一元函数微分学（①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）题型1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2021）题型2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，2021；二（3），20 21；二（7），2021）题型3 求函数或复合函数的导数（七（1），2021）题型4 求反函数的导数（七（1），2021）题型5 求隐函数的导数（一（2），2021）题型6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2021）题型7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2021；二（3），2021）题型8 函数在某点可导的判定（含分段函数在分段点的可导性的判定）（二（2），2021）题型9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），2021；四，2021；一（1），2021）题型10 函数单调性的判定或讨论（八（1），2021；二（8），2021）题型11不等式的证明或判定（二（2），2021；九，2021；六，2021；二（1），2021；八（2），2021；三（15），2021）题型12在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2021；七（1），2021；三（18），2021）题型13 方程根的判定或唯独性证明（三（18），2021）题型14 曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2021）第三章一元函数积分学（①10年考题总数：12题②总分值：67分③占第一部分题量之比重：10%④占第一部分分值之比重：8%）题型1 求不定积分或原函数（三，2021；一（2），2021）题型2 函数与其原函数性质的比较（二（8），2021）题型3 求函数的定积分（二（3），2021；一（1），2021；三（17），2 021）题型4 求变上限积分的导数（一（2），2021；二（10），2021）题型5 求广义积分（一（1），2021）题型6 定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，2021；三，2021；六，2021）第四章向量代数和空间解析几何（①10年考题总数：3题②总分值：15分③占第一部分题量之比重：2%④占第一部分分值之比重：1%）题型1 求直线方程或直线方程中的参数（四（1），2021）题型2求点到平面的距离（一（4），2021）题型3 求直线在平面上的投影直线方程（三，2021）题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，2021）第五章多元函数微分学（①10年考题总数：19题②总分值：98分③占第一部分题量之比重：16%④占第一部分分值之比重：12%）题型1多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），2021；一（2），2021；四，2021；四，2021；二（9），2021；三（18（Ⅰ）），2021）题型2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，2021；三（19），2021；二（10），2021）题型3 多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2021；二（1），2021）题型4 求曲面的切平面或法线方程（一（2），2021；一（2），2021）题型5 多元函数极值的判定或求解（八（2），2021；二（3），2021；三（19），2021；二（10），2021）题型6 求函数的方向导数或梯度或相关问题（八（1），2021；一（3），2021）题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式（四，2021）第六章多元函数积分学（①10年考题总数：27题②总分值：170分③占第一部分题量之比重：23%④占第一部分分值之比重：22%）题型1 求二重积分（五，2021；三（15），2021；三（15），2021）题型2 交换二重积分的积分次序（一（3），2021；二（10），2021；二（8），2021）题型3 求三重积分（三（1），2021）题型4 求对弧长的曲线积分（一（3），2021）题型5求对坐标的曲线积分（三（2），2021；六，2021；四，2021；五，2021；六，2021；六（2），2021；一（3），2021；三（19），2021）题型6 求对面积的曲面积分（八，2021）题型7 求对坐标的曲面积分（三（17），2021；一（4），2021；一（3），2021）题型8 曲面积分的比较（二（2），2021）题型9 与曲线积分相关的判定或证明（六（1），2021；五，2021；三（19（Ⅰ）），2021）题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式（六，2021；三（19（Ⅱ）），2021题型11 求函数的梯度、散度或旋度（一（2），2021）题型12 重积分的物理应用题（转动惯量，重心等）（八，2021）第七章无穷级数（①10年考题总数：20题②总分值：129分③占第一部分题量之比重：17%④占第一部分分值之比重：16%）题型1无穷级数敛散性的判定（六，2021；八，2021；九（2），2021；二（3），2021；二（2），2021；二（9），2021；三（18），2021；二（9），2021）题型2 求无穷级数的和（九（1），2021；五，2021；七（2），2021；四，2021；三（16），2021）题型3求函数的幂级数展开或收敛域或判定其在端点的敛散性（一（2），2021；七，2021；五，2021；四，2021；三（16），2021；三（17），2021）题型4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值（二（3），2021；一（3）；2021）第八章常微分方程（①10年考题总数：15题②总分值：80分③占第一部分题量之比重：1%④占第一部分分值之比重：10%）题型1求一阶线性微分方程的通解或特解（六，2021；一（2），2021；一（2），2021；三（18（Ⅱ）），2021）题型2 二阶可降阶微分方程的求解（一（3），2021；一（3），2021）题型3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（一（3），20 21）题型4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程（一（1），2021）题型5 求欧拉方程的通解或特解（一（4），2021）题型6 常微分方程的物理应用（三（3），2021；五，2021；八，2021；三（16），2021）题型7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），2021；五，2021）考研数学真题近十年考题路线分析(线代部分)以下给出了《线性代数》每章近10年（2021-2021）的具体考题题型，能够使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。
考研⾼数38个⾼频知识点汇总 在2020年考研数学的备考过程中，⾼数是很重要的⼀部分。
为此,⼩编整理了相关内容，希望能帮助到您。
考研⾼数38个⾼频知识点汇总 ⼀、函数极限连续 1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。
2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。
掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法。
理解⽆穷⼩、⽆穷⼤以及⽆穷⼩阶的概念，会⽤等价⽆穷⼩求极限。
3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最.⼤值、最⼩值定理和介值定理)，并会应⽤这些性质。
重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim(sinx/x)=1，lim(1+1/x)=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。
难点是分段函，复合函数，极限的概念及⽤定义证明极限的等式。
⼆、⼀元函数微分学 1、理解导数和微分的概念，导数的⼏何意义，会求平⾯曲线的切线⽅程，理解函数可导性与连续性之间的关系。
2、掌握导数的四则运算法则和⼀阶微分的形式不变性。
了解⾼阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的⼀阶、⼆阶导数。
会求隐函数和由参数⽅程所确定的函数的⼀阶、⼆阶导数及反函数的导数。
3、理解并会⽤罗尔中值定理，拉格朗⽇中值定理，了解并会⽤柯西中值定理。
4、理解函数极值的概念，掌握函数最.⼤值和最⼩值的求法及简单应⽤，会⽤导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形⽔平铅直和斜渐近线。
5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交⾓。
6、掌握⽤罗必塔法则求未定式极限的⽅法，重点是导数和微分的概念，平⾯曲线的切线和法线⽅程函数的可导性与连续性之间的关系，⼀阶微分形式的不变性，分段函数的导数。
罗必塔法则函数的极值和最.⼤值、最⼩值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。
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第九章级数（数一、数三）综述：级数本质上是极限，级数的收敛性也就是极限的收敛性，关于级数的题目往往需要结合微分和积分的知识，因此也可以看做是对它们的综合运用。
本章一直是考试的重点内容，平均每年所占分值在15分左右。
本章的主要知识点有：级数的定义与性质，正项级数的各种判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，条件收敛与绝对收敛，幂级数的定义与性质，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数逐项求导定理与逐项积分定理，傅里叶级数。
从总体上讲，本章主要可以分为常数项级数与幂级数两部分。
其中考查的重点在幂级数上，但幂级数的基础是常数项级数。
对于常数项级数，考生需要重点把握它的收敛性的定义以及各种常见的判别法。
考试在级数中的大题一般出在幂级数上，这一部分的内容可以概括为三个问题:幂级数的收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。
其中，计算幂级数的收敛域最关键的是掌握幂级数的收敛半径的求法与相关的性质。
而幂级数求和与展开，则主要是结合常见函数的幂级数展开，再运用幂级数的逐项求导和逐项积分定理即可。
最后，关于傅里叶级数，考生主要需要掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
本章常考的题型有：1.对常数项收敛性的考查，2.幂级数的收敛半径和收敛域，3.幂级数展开，4.幂级数求和，5.常数项级数求和，6.傅里叶级数。
常考题型一：常数项级数的收敛性1.【1996—3 3分】下述各选项正确的是（ ）()A 若21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑都收敛，则21()n n n u v ∞=+∑收敛.()B 若1n n n u v ∞=∑收敛，则21nn u ∞=∑与21nn v ∞=∑都收敛. ()C 若正项级数21nn u ∞=∑发散，则1n u n≥. ()D 若级数21n n u ∞=∑收敛，且(1,2,)n n u v n ≥=，则级数21nn v ∞=∑也收敛. 【小结】：正项级数的判别法最基本的思想是比较判别法，它有很多种具体的表现形式，其中之一是极限审敛法，其内容是 设1nn u∞=∑是正项级数：如果lim 0n n nu l →∞=>，则级数1nn u∞=∑发散；如果lim ,(1)pn n n u l p →∞=<+∞>，则级数1n n u ∞=∑收敛。
2021考研数学知识点梳理(高数篇)同学们，计划备考2021考研的考生，现在开始就应该开始复习考研数学了，考研数学对于很多考生来说都比较难，所以更应该提早进行复习。
文都考研为同学们梳理出2021考研数学复习的基础知识点的内容，计划参加2021考研的小伙伴们可以划重点啦~第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)希望以上梳理出的关于2021考研数学复习的基础知识点的内容可以为同学们的复习提供帮助，会不断更新2021考研数学备考知识，欢迎广大考生持续关注！。
2019考研数学三知识点总结考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。
整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。
2019考研数学三考前必看核心知识点科目大纲章节知识点题型高等数学函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题定积分的应用用定积分计算几何量多元函数微隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们函数在一点处极限的存在性，连续积分学之间的因果关系性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用无穷级数级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级数的比较判别法、比值判别法和根式判别法，交错级数的莱布尼茨判别法数项级数敛散性的判别常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题线性代数行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式矩阵矩阵的运算求矩阵高次幂等矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通解矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题二次型二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵概率论与数理统计随机事件和概率概率的加、减、乘公式事件概率的计算随机变量及其分布常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题多维随机变量及其分布两个随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性随机变量的数字特征随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质，常用分布的数字特征有关数学期望与方差的计算大数定律和中心极限定理大数定理用大数定理估计、计算概率数理统计的常用统计量的性质求统计量的数字特征基本概念参数估计点估计、似然估计点估计与似然估计的应用知识点口诀，掌握解题技巧。
2024年考研数学知识模块大总结随着每年考研的临近，考研数学成为了很多考生关注的焦点。
对于即将参加2024年考研的考生来说，了解数学知识模块的内容及重点是非常重要的。
下面是对2024年考研数学知识模块的大总结。
一、高等代数在高等代数模块中，重点关注以下几个方面的知识：1. 向量空间：- 向量空间的定义与性质- 子空间、张成空间和线性无关的概念- 基和维数- 线性映射和线性变换的概念与性质- 线性映射的矩阵表示和线性变换的标准矩阵2. 矩阵理论：- 矩阵的运算与性质- 矩阵的秩、特征值和特征向量- 矩阵的相似和对角化- 正交矩阵和正交对角化- 矩阵的特征分解和奇异值分解3. 行列式与线性方程组：- 行列式的定义和性质- 行列式的计算和性质- 矩阵的秩与线性方程组的解的关系- 线性方程组的解的存在唯一性和解的结构二、数学分析数学分析是考研数学中最重要的模块之一，重点关注以下几个方面的知识：1. 极限与连续：- 数列极限和函数极限的定义与性质- 极限的四则运算和极限存在准则- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的性质- 极值和最值2. 导数与微分：- 导数的定义与性质- 高阶导数与高阶导数的运算- 微分的定义与性质- 高阶微分与泰勒公式- 函数的凸凹性与最值3. 积分与级数：- 不定积分和定积分的定义与性质- 积分的基本公式和换元法- 数值积分和定积分的应用- 广义积分的收敛性和计算- 级数的概念与性质- 收敛级数和判别法三、概率论与数理统计在概率论与数理统计模块中，重点关注以下几个方面的知识：1. 概率论基础：- 随机试验、样本空间和事件的概念- 概率的定义与性质- 条件概率和独立性- 事件的全概率公式和贝叶斯公式- 随机变量和分布函数的概念- 离散型和连续型随机变量的分布函数2. 数理统计基础：- 参数估计与点估计- 最大似然估计和矩估计- 区间估计和假设检验- 正态总体的参数估计与假设检验- 卡方检验和t检验的应用3. 随机过程与统计推断：- 随机过程、马尔可夫链和隐马尔可夫模型- 统计推断的基本原理和方法- 极大似然估计和贝叶斯估计- 模型检验和参数估计的统计性质- 时间序列分析和回归分析的应用四、线性规划与组合数学线性规划与组合数学是考研数学中的辅助模块，重点关注以下几个方面的知识：1. 线性规划：- 线性规划的基本概念和最优性条件- 单纯形法和对偶性理论- 整数规划和0-1整数规划- 网络流和线性规划的应用2. 图论与组合数学：- 图的基本概念和性质- 连通性和最小生成树- 图的着色和Hamilton回路- 动态规划和组合数学的基本方法以上是对2024年考研数学知识模块的大总结。
1.利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.2.证明：x1sin在)1,0(上不一致连续，但在)0)(1,(>a a 上一致连续. 3.若),3,2,1(131211222ΛΛ=++++=n nx n ，用柯西收敛准则判定数列{}n x 的收敛性.4.（1）证明：2sin )(x x f =在),0(+∞上不一致连续.（2）若n n nx 2cos 23cos 22cos 21cos 132+++++=Λ ),3,2,1(Λ=n ， 用柯西收敛准则判定数列{}n x 的收敛性.5.设E 是非空有上界的实数集.（1）给出E 的上确界a E =sup 的定义；（2）若,sup E a E ∉=证明：在数集E 中可取出严格单调增加的数列{}n x ，使得.lim a x n n =→∞6.证明：200.x dx >7.判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例. (1) {}.,0)(lim 收敛则数列都有若对于每一个正整数n n p n n a a a p =-+∞→(2) 若⎰+∞)(dx x f 收敛，且.0)(lim )(lim =+∞→+∞→x f x f x x 存在，则8.广义积分)10(sin 0≤<⎰+∞p dx xxp 是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 9.求∑-∞→+nk k knk n12)11(311lim10.设4tan nn a xdx π=⎰，（1）求211()n n n a a n∞+=+∑；（2）试证对于任意的常数0λ>，级数1n n a n λ∞=∑收敛. 11.利用-p 级数的敛散性判别级数∑∞=+-1])11([n n n e 的敛散性.12.设),,3,2,1(0Λ=>n a n 且级数∑∞=1n n a 发散，试判断下列级数的收敛性：（1）;112∑∞=+n nna na （2）.11∑∞=+n n n a a13.设级数.)(1121绝对收敛试证：，绝对收敛收敛，∑∑∑∞=∞=∞=--n n n n n n n nb a b a a14.设.),1(,01∑==≥>n k k n na S n a 证明：级数∑∞=12n nn S a 收敛.15.设...),(0111发散证明：记发散且∑∑∑∞==∞=+=∈>n nnni i n n n n S a a S a N n a16.若函数)(x f 在),0[+∞上连续，且.)(lim A x f x =+∞→证明：.)(1limA dt t f xxx =⎰+∞→3.（10分）利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限. 证明：设数列{}n x 单增有界，记{}N n x E n ∈=,E 为非空有界集合，必有上确界，记E sup =β.……………1分任给使得中的元素存在,,0N x E >εβεβ≤<-N x ……………4分 因为{}n x 单增，故当时，有N n >βεβ≤≤<-n N x x …………3分 即有εβ<-n x ，故β=∞→n n x lim .………2分7.（15分）证明：x1sin在)1,0(上不一致连续，但在)0)(1,(>a a 上一致连续. 证明：在)1,0(上，令.21,1πππ+=''='n x n x n n ………3分虽然有0lim =''-'→∞n nn x x ，但是11sin 1sin =''-'nn x x ， 因此，x1sin在)1,0(上不一致连续. ………4分 在)0)(1,(>a a 上，对任意的,0>ε取02>=εδa ，………4分对任意的),1,(,21a x x ∈当δ<-21x x 时，有εξ<-≤-≤-=-2212121211111cos 1sin 1sinax x x x x x x x ， 即x1sin在)0)(1,(>a a 上一致连续. ………4分 2.（10分）若),3,2,1(131211222ΛΛ=++++=n nx n ，用柯西收敛准则判定数列{}n x 的收敛性. 解：数列{}n x 收敛. 考察222)(1)2(1)1(1p n n n x x n p n ++++++=-+Λ……………………………2分 ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++≤Λ………………………… 2分np n n 111<+-=…………………………………………………………… 2分 对任意给定的0>ε，取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，……………… 2分则当N n >时，对任意的正整数p ，总有ε<<-+nx x n p n 1，根据柯西收敛准则，数列{}n x 收敛. ………………………………………………………………2分 1.（每小题10分，共20分）（1）证明：2sin )(x x f =在),0(+∞上不一致连续. （2）若n n nx 2cos 23cos 22cos 21cos 132+++++=Λ ),3,2,1(Λ=n ， 用柯西收敛准则判定数列{}n x 的收敛性. 解：（1）构造两个数列)(2,22)2()1(+∈=+=N n n x n x nnπππ,…………………………………5分有)(02222)2()1(∞→→++=-n n n x x nnππππ,………………………2分但1)()()2()1(=-nn x f x f 不趋于0, ………………………………………… 2分故2sin )(x x f =在),0(+∞上不一致连续. …………………………………1分 （2）数列{}n x 收敛. 考察pn n n p n p n n x x +++++++=-2)cos(2)1cos(1Λ……………………………… 2分 pn n p n n ++++++≤2)cos(2)1cos(1Λp n n ++++≤21211Λ………………………… 2分 .21)211(21n p n <-=…………………………………………………………… 2分 对任意给定的0>ε（不妨设1<ε），取11log 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，……………… 2分则当N n >时，对任意的正整数p ，总有ε<<-+n n p n x x 21，根据柯西收敛准则，数列{}n x 收敛. ………………………………………………………………2分8.（15分）设E 是非空有上界的实数集. （1）给出E 的上确界a E =sup 的定义；（2）若,sup E a E ∉=证明：在数集E 中可取出严格单调增加的数列{}n x ，使得.lim a x n n =→∞解：（1）若满足：①a x E x ≤∈∀,；………………2分 ②εε->∈∃>∀a x E x ,,0………………2分则称a 是E 的上确界，记为a E =sup ………………1分（2）证明：,sup E a E ∉=因此,,0E x ∈∃>∀ε使得a x a <<-ε.……………3分 取;,,11111a x a E x <<-∈∃=εε………………2分取2122212,},,21min{x x a x a E x x a <⇒<<-∈∃-=εε；取3233323,},,31min{x x a x a E x x a <⇒<<-∈∃-=εε；……取n n n n n n n x x a x a E x x a n<⇒<<-∈∃-=--11,},,1min{εε；………………3分……从而在E 中取到了严格单调增加的数列{}n x ，使得.lim a x n n =→∞………………2分证明：200.x dx >证明：22200,=sin sin sin t x t t t ππππ==+⎰⎰⎰令原式故0=sin 0t dt π>⎰原式1.（每小题9分，共18分）判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例. (1) {}.,0)(lim 收敛则数列都有若对于每一个正整数n n p n n a a a p =-+∞→(2) 若⎰+∞)(dx x f 收敛，且.0)(lim )(lim =+∞→+∞→x f x f x x 存在，则12.（15分）广义积分)10(sin 0≤<⎰+∞p dx x xp是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由于1sin lim00≤≤+→px x x从而0=x 不是瑕点. ………………2分对每个有限的A ，都有2sin 0≤⎰A xdx , p x 1在),0[+∞上单调减少且01lim =+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法可知)10(sin 0≤<⎰+∞p dxxp 收敛. ………………5分………………1分 )2cos 1(21sin 2pp p xxx x x -=≥ )10(sin 1≤<⎰∞+p dx x x p 发散，进一步得到 )10(sin 0≤<⎰∞+p dx xx p发散. ………………5分因此，)10(sin 0≤<⎰+∞p dx x xp条件收敛. ………………2分 求∑-∞→+nk k knk n12)11(311lim解：考虑正项级数∑∞-+12)11(31k k kk由收敛）（而或因k k k k k kk k ee k e u )3,)3()11(31(13lim 12∑∞=∞→<+<= 知该级数收敛，设收敛于S ，故有S k nk k k<+∑-12)11(31 所以∑-∞→+nk k knk n12)11(311lim =0.设40tan nn a xdx π=⎰，（1）求211()n n n a a n∞+=+∑；（2）试证对于任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛. （1）解：2244200111()tan (1tan )tan sec n n n n a a x x dx x xdx n n n ππ++=+=⎰⎰.令tan x t =，则上式=1011(1)n t dt n n n =+⎰，因此211111()1(1)1nn n i i i i S a a i i i n +===+==-++∑∑，于是211()lim1n n n n n a a S n∞+→∞=+==∑. （2）证明：令tan x t =，则11420001tan 11n nnn t a xdx dt t dt t n π==<=++⎰⎰⎰，所以对于任意的常数0λ>，111(1)n a n n n n λλλ+<<+（2分），而级数111n n λ∞+=∑收敛，从而级数1n n a nλ∞=∑收敛.解：（1）⎰-=+4022)1(sec tan πdx x x a n n（2）由（1）n n a n 111<+<，故λλ+<11nn a n由正项级数的比较判别法知1nn a nλ∞=∑收敛. 12.（15分）利用-p 级数的敛散性判别级数∑∞=+-1])11([n n n e 的敛散性.解：t t e nn e t t nn 10)1(lim 1)11(lim +-=+-+→∞→ ])1[(lim1'+-=+→t t t (5)分)1()1ln()1()1(21t t t t t t t+++-⋅+=………5分故nn e nn 1)11(lim+-→∞20)1ln()1(lim t t t t e t -++=→ 22)1ln(lim 0e t t e t =+=→………3分 由级数∑∞=11n n 发散，知原级数发散. ………2分 11.（15分）设),,3,2,1(0Λ=>n a n 且级数∑∞=1n n a 发散，试判断下列级数的收敛性：（1）;112∑∞=+n nnan a （2）.11∑∞=+n nna a解：(1),11022n a n a n n<+<而∑∞=121n n收敛，故原级数收敛. (2)若),,3,2,1(Λ=+∞<≤n M a n 则011>+≥+Maa a n n n , 而∑∑∞=∞=+=+11111n n n n a M Ma 发散，故原级数发散.若{}n a 无上界，则nna a +1不趋于0,此时级数也发散. 故原级数总是发散. 12.（13分）设级数.)(1121绝对收敛试证：，绝对收敛收敛，∑∑∑∞=∞=∞=--n n n n n n n nb a b a a证明：记121)(a a a a S n nk k k n -=-=∑=-故.,111绝对收敛即∑∑∑∞===≤≤n n n nk knk k k b a MS b M b a6.（13分）设.),1(,01∑==≥>nk kn n aS n a 证明：级数∑∞=12n nn S a 收敛.证明：因为2nn S a 21nn n S S S --=………………………………………………3分,11111nn n n n n S S S S S S -=-≤--- …………………………………………………3分故有∑∞=12n n nSa ∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤211111n n n S S a ………………………………………2分n n S a 1lim21∞→-=.21a ≤ …………………………………………………3分 因此正项级数∑∞=12n nnSa 收敛. ………………………………………………2分设...),(0111发散证明：记发散且∑∑∑∞==∞=+=∈>n nnni i n n n n S a a S a N n a证明：因).(,01∞→+∞→>∑∞=n Sa a nn n n 发散，故令由柯西准则：,nnnS a u =εε<+++∈≥∃>∀⇔++++∞=∑p n n n n n u u u Np N n N u Λ21,1,0时，对任意的当，收敛而PN p N N N p N N N S a S a u u u +++++++++=+++ΛΛ1121对任一使故存在正整数因正整数,,,p S N n +∞→2111>++-+p N n S a a Λ， 故∑∞=1n n u 发散.若函数)(x f 在),0[+∞上连续，且.)(lim A x f x =+∞→证明：证明：由于,)(lim A x f x =+∞→从而对任意的,0,0>∃>X ε对任意的,X x >有ε<-A x f )(.于是 又由于(),1)(1)(1εε<<-≤-⎰⎰⎰xXxXxX dt x dt A t f xdtA t f x因此(),)(1limA dt A t f x x Xx =-⎰+∞→最后得设()d af x x +∞⎰收敛，且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞→= 0.证：因)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，故0ε∀>，0δ∃>，使得当[)12,,t t a ∈+∞且12t t δ-<时，有12()()2f t f t ε-<.令(1)()d a n n a n u f x x δδ++-=⎰，则由积分第一中值定理得，[](1),n x a n a n δδ∃∈+-+，使得(1)()d ()a n n n a n u f x x f x δδδ++-==⎰.因()d af x x +∞⎰收敛，故级数1nn u ∞=∑收敛，从而0n u →，即()0n f x δ→，也即()0n f x →，故对上述的ε，存在N +∈¢，使得 当n N >时，()2n f x ε<.取X a N δ=+，则当x X >时，因故存在惟一的k +∈¢，使得[)(1),x a k a k δδ∈+-+，易见k N >，且k x x δ-<，从而。
