(完整word版)高等数学偏导数第七节方向导数题库精编

第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。

解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。

第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。

重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。

作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ． 解 因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解 因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=， 梯度方向为 当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解 因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂， 于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解 因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

【090701】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z x y，在点2,2沿单位圆x2y21外法线方向的方导游数。

2 2【试题答案及评分标准】coscos2(4分)2z1z x 1y因此z222(10分) n22【090702】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z3x2y在点11,沿单位圆x2y22外法线方向的方导游数。

【试题答案及评分标准】cos cos2(4分) 2z3z2x y因此z322252n22(10分)2【090703】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x ln(1y)在点11,沿曲线2x2y21切线（指向x增大方向）向量的方导游数。

【试题答案及评分标准】4xtan(1,1) 2 2ycos 1cos2(4分) 55因此zln(1y)cosxcos1y(1,1)ln21121(ln21)(10分)5255【090704】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数zlne x 在0,1 点沿曲线y e x切线正向（指向x 增大方向）1y 2的方导游数。

【试题答案及评分标准】tany 'x0e xx01coscos2 (4分)2z1 z2y1x (0,1)y (0,1)1y 2(0,1)因此z12 (1)2(10分)a22【090705】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x 2lnarctany 在11, 点沿a 方向的方导游数，此中a 为曲线yx 2在11, 点的切向量，方向为x 增大的方向。

【试题答案及评分标准】tany 'x12cos1cos2 (4分)55z2x(1,1)2 z11 2x (1,1)y (1,1)arctany 1 y 2(1,1)z21 222(2)(10分)因此555a【090706】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数 z y e x 在 1,e 点沿曲线y e x 切线正向（x 增大方向）的方导游数。