高等数学偏导数

授课单元7教案课题1 偏导数一、复习x处的导数，y=f(x)的导数一元函数y=f(x)在二、偏导数的概念、我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。

对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。

虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。

例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RTP (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T VRT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为V RdTdP V ==常数)(. 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。

1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在,则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作),(00y x x z ∂∂,),(00y x xf∂∂, ),(00y x xz ', 或),(00y x f x '.即 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆),(),(lim),(0000000（2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数),(00y x yz ∂∂=),(00y x yf ∂∂=),(00y x yz '=),(00y x f y '=yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim000002、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂= x f ∂∂= 'x z =),(y x f x'xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 0.(2) z =f (x , y )对y 的偏导函数y z ∂∂=y f∂∂= 'y z =),(y x f y '=yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 0说明（1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求xz ∂∂时，把y 视为常数而对x 求导；求yz∂∂时，把x 视为常数而对y 导，这仍然是一元函数求导问题 （2）偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0例 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂例 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z , 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz 例 设f(x,y)= ,求)0,1(x f '解 如果先求偏导数),(y x f x '是比较复杂的，但是若先把函数中的y 固定在y = 0，则有 f (x ，0) = 2ln x ，从而xx f x 2)0,(='，)0,1(x f '=2 说明 求z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数方法（1）00),(),(00y y x x x x y x f y x f =='=', 00),(),(00y y x x y y y x f y x f =='='（2）0]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==', 0]),([),(000y y y y x f dyd y x f =='.例 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂ ，z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例 求222z y x r ++=的偏导数. 解r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.例 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂; RpV T =, R V p T =∂∂;所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p .)ln(22arctany x e xy +说明 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 练习 求下列函数的偏导数)ln(222y x x z +=，xy e u =，x y z arctan=，y x xy z +=，22yx xy z += 例 并联可变电阻总电阻的调节问题由n 个可变电阻并联成为一个总的可变电阻器，其中各个可变电阻的电阻值 之间的大小关系为⋅<<<n R R R 21现在用通过对各个电阻进行逐个调节 的方法来达到对总电阻的调节。

试问应通过怎样的调节次序从粗调到微调，以达 到较精确的调节目标? 解:由于其总电阻为,111121nR R R R +++=它关于各个自变量的变化率(偏导数)为.,...,2,1,)()1.()111(122221n k R RR R R R R R k k nk ==-+++-=∂∂ 根据题意条件,21n R R R <<<可以得到.021>∂∂>>∂∂>∂∂nR R R R R R 容易明白，调节1R 可望对总电阻R 值产生的影响最大，然后依次调节n R R R ,,,32 会对 总电阻值的影响越来越小．所以应该通过先调节,1R 再调节,,2 R 最后调节n R 的次序，来对各个电阻进行逐个调节，可以从粗调到微调达到将总电阻值调节到较精确的目标 ３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导⇒连续，二元函数中在某点偏导数存在⇒连续， 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有,0)0,0(='x f , 0)0,0(='y f 但函数在点(0, 0)并不连续. 偏导数存在连续.4、偏导数的几何意义()υ+=2ln u z yx e u +=x +=2υxz∂∂yz ∂∂v∂='),(00y x f x [f (x , y 0)]x '是曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z =f (x , y 0)在点M 0),(,,(0000y x f y x 处切线T x 对x 轴的斜率.),(00y x f y '=[f (x 0, y )]y '是曲线⎩⎨⎧==0),(x x y x f z z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.二、 高阶偏导数设函数 z = f (x , y )在区域 D 内偏导数存在，则这两个偏导数的偏导数称为函数 z = f (x , y )的二阶偏导数．即同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例 求z =x 3y 2-3xy 3-xy +1偏导数 解y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 196222--=∂∂∂y y x y x z , xyx y z 182322-=∂∂196222--=∂∂∂y y x x y z . 观察得yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 三、小结偏导数 高阶偏导数 作业 下册p26 1,3().;)(22x x xxxx z xz z y x f ''=∂∂="="，().;)(2''=∂∂∂="="y x xy xy z yx z z y x f，().;)(2x y yxyx z x y z z y x f ''=∂∂∂="="，().;)(22y y yy yy z yz z y x f ''=∂∂="="，称为混合偏导数．其中),(),,(y x f y x f yx xy ""课题2 全微分一、复习 一元函数的微分 二、全微分的定义1、定义 设函数z =f (x , y )在点(x , y 的一个邻域有定义，如果函数在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) =) )()(( ),(22y x o y B x A ∆+∆=+∆+∆ρρ其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 2、可微的必要条件定理1 若 z = f ( x ，y ) 在点 ( x ，y ) 处可微，则它在该点连续．定理2 若 z = f ( x ，y ) 在点 ( x ，y ) 处可微，则它在该点处的两个偏导数存在，且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.一般地，记△x = dx , △y = dy , 则函数的全微分可写成一元函数在某点的导数存在微分存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在．例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有0)0,0(='y f 及0)0,0(='x f , 但函数在(0, 0)不可微分,因为f(x,y)在(0,0)处不连续3、可微的充分条件定理3 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.说明 全微分的概念可推广到三元及以上的多元函数．例如，若函数 u = f (x , y , z )有连续偏导数，则总结 多元函数连续、可导、可微的关系.dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=三、全微分的计算例 求二元函数 z = x (x + y ) 在点 (-1,1) 处，当△x = 0.1, △y = 0.2 时的全增量与全微分． 解例 解例 计算函数yz e yx u ++=2sin 的全微分.解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.例 一圆柱形的铁罐，内半径为5cm ，内高为12cm ，壁厚均为0.2cm ，估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少（包括上、下底）？解 圆柱体体积 这个铁罐所需材料的体积为即，这个铁罐所需材料的体积约为 106.8 3cm四 总结１、多元函数全微分的概念；2、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系． 作业 下册 p26 2,27.0)11)(1()]2.01()1.01)[(1.01(),(-=+---+++-+-=∆+∆+=∆y y x x f z .3.02.01.0)2()1,1()1,1()1,1()1,1()1,1(-=--=∆+∆+=∂∂+∂∂=-----y x x y x dy y z dx x z dz .)sin(的全微分求y x e z x+=),cos(),cos()sin(y x e y z y x e y x e x z x x x +=∂∂+++=∂∂.)cos()]cos()[sin(dy y x e dx y x y x e dy yzdx xz dz x x +++++=∂∂+∂∂=,2h r V π=,)()(22h r h h r r V ππ-∆+∆+=∆所以都比较小因为,4.0,2.0=∆=∆h r ,)2(22rdh hdr r dh r rhdr dhh V dr r V dV V +=+=∂∂+∂∂=≈∆πππ,8.10634)4.152.024(5≈=⨯+⨯≈∆ππV课题3 复合函数的求导法则一、复习 一元复合函数的微分法则如果函数)(u f y =)(x u ϕ=可导，则复合函数[])(x f y ϕ=在 x 处的导数为dxdu du dy dx dy ⋅= 前面我们讲过多元函数（包括多元复合函数）偏导数的求法，即直接求导法。