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y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
，f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
由偏导数的定义，可以看出
z y
x y ln x,
所以
x z y x
1 z ln x y
x y
yx y1
1 ln x
xy
ln
x
原结论成立.
x y x y 2z.
例3 求三元函数 u sin( x y2 ez ) 的偏导数
u x
,
u , y
u z
.
解 把 y 和 z 看作常数, 对 x 求导得
u x
cos( x
p V V T
T p
RT pV
1
有关偏导数的几点说明
1.
偏导数
u x
是一个整体记号,
不能拆分;
2. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;
例如，二元函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,(
x,
y)
(0,0),
0,
( x, y) (0,0)
在点(0,0)处的偏导数为
fx 0,0
lim
x0
f x x,
y,z
lim
x0
f
x
x,
y, z
x
f
x,
y,z ,
……
.
注: 上述定义表明, 在求多元函数对某个自变量的
偏导数时, 只需把其余自变量看作常数, 然后直接利
用一元函数的求导公式 及复合函数求导法则来计算
之.
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
f x (x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
(x0 ,
y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
( x0
x)
x
f (x0 )
dy dx
x x0
计算f关于x的偏导数,可以先将y0固定,用一元函数 求导的方法求导,再代入x0,即可求得fx(x0,y0)。
因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函 数的微分法问题。
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数(partial derivative)，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y2
ez
);
把 x 和 z 看作常数, 对 y 求导得
u y
2 y cos( x
y2
ez );
把 x 和 y 看作常数, 对 z 求导得
u z
ez
cos( x
y2
ez ).
例4 求 r x2 y2 z2 的偏导数.
解 把 y 和 z 看作常数, 对 x 求导得
r
x
x,
x x2 y2 z2 r
1．几何意义
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
图示
设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
2.偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
f
0 x,0
x
f
0,0
lim
x0
0 x
0
有关偏导数的几点说明
fx 0,0
lim
x0
f
0 x,0
x
f
0,0
lim
x0
0 x
0
有关偏导数的几点说明
fx 0,0
lim
x0
f
0 x,0
x
f
0,0
lim
x0
0 x
0
f y 0,0
lim
y0
f
0,0
y
y
f
0,0
lim
y0
0 y
0
二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏
导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的定义
对自变量 y 的偏导数为 f y x, y , … . 偏导数的概念
可推广到二元以上的函数.
例如, 三元函数 u f x, y, z 在 x, y, z处的偏导数
利用函数关于自变量的对称性, 可得
r y
y, r
r z
z r
.
例5. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
求
f x
时， 只要把 x
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
解法1:zBiblioteka x2x3y
,
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2 设 z x y ( x 0, x 1), 求证
x y
z x
1 ln x
z y
2z.
证
因为 z yx y1, x
