高等数学-复合函数的偏导数

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

授课单元7教案课题1 偏导数一、复习x处的导数，y=f(x)的导数一元函数y=f(x)在二、偏导数的概念、我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。

对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。

虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。

例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RTP (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T VRT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为V RdTdP V ==常数)(. 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。

1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在,则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作),(00y x x z ∂∂,),(00y x xf∂∂, ),(00y x xz ', 或),(00y x f x '.即 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆),(),(lim),(0000000（2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数),(00y x yz ∂∂=),(00y x yf ∂∂=),(00y x yz '=),(00y x f y '=yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim000002、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂= x f ∂∂= 'x z =),(y x f x'xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 0.(2) z =f (x , y )对y 的偏导函数y z ∂∂=y f∂∂= 'y z =),(y x f y '=yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 0说明（1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求xz ∂∂时，把y 视为常数而对x 求导；求yz∂∂时，把x 视为常数而对y 导，这仍然是一元函数求导问题 （2）偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0例 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂例 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z , 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz 例 设f(x,y)= ,求)0,1(x f '解 如果先求偏导数),(y x f x '是比较复杂的，但是若先把函数中的y 固定在y = 0，则有 f (x ，0) = 2ln x ，从而xx f x 2)0,(='，)0,1(x f '=2 说明 求z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数方法（1）00),(),(00y y x x x x y x f y x f =='=', 00),(),(00y y x x y y y x f y x f =='='（2）0]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==', 0]),([),(000y y y y x f dyd y x f =='.例 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂ ，z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例 求222z y x r ++=的偏导数. 解r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.例 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂; RpV T =, R V p T =∂∂;所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p .)ln(22arctany x e xy +说明 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 练习 求下列函数的偏导数)ln(222y x x z +=，xy e u =，x y z arctan=，y x xy z +=，22yx xy z += 例 并联可变电阻总电阻的调节问题由n 个可变电阻并联成为一个总的可变电阻器，其中各个可变电阻的电阻值 之间的大小关系为⋅<<<n R R R 21现在用通过对各个电阻进行逐个调节 的方法来达到对总电阻的调节。

专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）cbx axyb kx y 2一般形式的定义域：x ∈R（2）xk y 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y 根式的形式定义域：x ≥0（4）x ya log 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。

当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y 的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ，则有D x ）(1) 偶函数)(x f ——D x ，恒有)()(x f x f 。

(2) 奇函数)(x f ——D x，恒有)()(x f x f 。

三、基本初等函数1、常数函数：c y，定义域是),(，图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数：ux y ，(u 是常数)。

它的定义域随着u 的不同而不同。

图形过原点。

3、指数函数定义: xa x f y)(， (a 是常数且0a，1a ).图形过（0,1）点。

4、对数函数定义: x x f y a log )(， (a 是常数且0a，1a )。

图形过（1,0）点。

5、三角函数(1) 正弦函数: x ysin 2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。

(2) 余弦函数:x y cos .2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。

(3) 正切函数: x y tan .T ，},2)12(,|{)(Z R kkxxx f D ，),()(D f .(4) 余切函数: x y cot .T ，},,|{)(Z R kk xxx f D ，),()(D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc ，]1,1[)(f D ，]2,2[)(D f 。

高等数学偏导教材下册目录第一章偏导数的概念与计算方法1.1 偏导数的引入1.1.1 多元函数的定义1.1.2 偏导数的定义1.1.3 偏导数的几何意义1.2 偏导数的计算方法1.2.1 隐函数求偏导1.2.2 复合函数求偏导1.2.3 参数方程求偏导1.3 高阶偏导数与混合偏导数1.3.1 高阶偏导数的定义1.3.2 高阶偏导数计算方法1.3.3 混合偏导数的计算第二章偏导数的几何应用2.1 切线与法线2.1.1 曲线的切线与法线定义2.1.2 曲线的切线与法线斜率计算 2.1.3 高阶导数与曲率2.2 函数的极值与最值2.2.1 极值的定义与判定条件2.2.2 最值的计算方法2.2.3 函数图像的分析与应用2.3 泰勒展开与最优逼近2.3.1 泰勒展开的概念2.3.2 泰勒展开的计算方法2.3.3 最优逼近的原理与应用第三章多元函数微分学3.1 多元函数的微分3.1.1 多元函数的微分定义3.1.2 多元函数的微分计算方法 3.1.3 微分的几何应用3.2 隐函数与参数方程的微分3.2.1 隐函数的微分定理3.2.2 参数方程的微分计算3.2.3 微分方程的应用3.3 多元函数的全微分与导数3.3.1 多元函数全微分的概念3.3.2 多元函数全微分的计算方法 3.3.3 多元函数导数的应用第四章多元函数的积分学4.1 重积分的引入4.1.1 二重积分的定义与性质4.1.2 三重积分的定义与性质4.1.3 重积分计算方法4.2 广义积分与变量变换4.2.1 广义积分的定义与收敛性 4.2.2 变量变换的概念与方法4.2.3 曲面积分的计算4.3 重积分的应用4.3.1 几何体的体积计算4.3.2 质心与转动惯量的计算4.3.3 牛顿引力与电荷的计算第五章多元函数的级数展开5.1 函数的多项式逼近5.1.1 傅里叶级数展开的基本思想5.1.2 傅里叶级数与函数的逼近5.1.3 傅里叶级数的计算方法5.2 幂级数与泰勒级数5.2.1 幂级数的概念与性质5.2.2 幂级数的收敛域与收敛性5.2.3 泰勒级数的计算与应用5.3 多元函数的级数展开5.3.1 多元函数的Tayler展开5.3.2 多元函数的Fourier展开5.3.3 级数展开在物理与工程中的应用总结通过《高等数学偏导教材下册目录》的学习，我们了解了偏导数的概念与计算方法，同时学习了偏导数在几何应用中的作用。