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复变函数第一章学习指导一知识结构复数的定义有序实数对向量复数的模、辐角、共辆复数棣莫夫公式 复数的n 次方根'平面点集预备知识区域曲线2.复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质二学习要求1 •了解复数定义及其几何意义； 2•熟练掌握复数的运算； 3 •知道无穷远点邻域；4 •了解单连通区域与复连通区域； 5.理解复变函数；6•理解复变函数的极限与连续。
三内容提要复数是用有序数对（兀刃定义的，其中为实数。
要注意，因为复数是“有 序数对”，所以一般地讲，（兀,刃工（儿兀）。
止如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即C = {z = （a ,h ）:a,he R}复数的四则运算定义为（a ，b ） + （c ，d ） = （ci + c,b + d ） (a, h) - (c, d) = (a -c, h-d) (a, b) • (c, d ) = (ac - bd, be + ad )1.复数复数的五种表示代数式三角式 指数式/ 八/ 八 ‘ac + bd be — ad 、-> ,2 八（d”）+ （c,d ） = （ ―，—―）,L +d_ HOc +d 「c +d~复数的四则运算满足以下运算律 ① 加法交换律知+ 5 = 5 +◎ ② 加法结合律 Z] +（Z 2 + Z3） =（Z] + Z2）+ Z3 ③ 乘法交换律H=S 、知④ 乘法结合律Z1 •（◎辽3）=（石弋2）辽3⑤ 乘法对加法的分配律Z] -（z 2 +Z3）= Z]暇2 +Z]暇3（x, - y ）称为z = （%,y ）的共轨复数，记为Z 。
k +）‘，2称为z = O,y ）的模,记为Z O 共轨复数满足Zi ± Z 2 = Z]±z 2（互）=鱼，5工0复数的三角式 z =厂（cos& + isin&） 复数的三角式z 二卅& 由此得如下关系式$ • Z2 =厂占⑹• r 2e [02=斤•厂2』®+如S~7A-Imz（其屮厂=側）z"=Arg(° • 0) = ArgGi) + Arg(z 2) Arg(—) = Arg(z,) 一 Arg(z 2)S0+2kn对丁复数乙=,它的川次方根为V? = Vre "伙=0丄-1)。
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
第一章复数和复平面
§1.1复数
1.复数的概念
复数z = a + ib或空=。
+仞，其中d和b为实数，i称为虚单位，即是满足r =-1.
Q与“分别称为复数z的实部和虚部，记作Q二Rez, /? = Im乙
■
2.复数的向量表示和复平面
根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + ib f都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定；，有序实数对@0)与平面直角坐标系屮的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平而
直角坐标系中的点集之间的对应.
我们说点z(a,b),与复数z = a + ib表示同一意义.
如果z = a + ib ,则z = a —ib.
复数z = a + ib还可以用rtl原点引向点z的向量丞來表示，这种表示方式建立了复数集Q与平面向量所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量丞的 < 度称为复数z 的模，记为|z|或儿因此有
|z| =厂=J/ > 0 (1.1) 显然,|Rez| 5|z| 5|Rez| + |lmz|, |lmz| <|z| W|Rez| + |lmz|・
考虑复平面□的不为零的点z = x + iy .如图1.3所示，这个点有极坐标(r,&):x = “os0,y =
A*sin&.显然厂=忖,&是正实轴与从原点0到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为& = Argz,英屮满足条件：一兀<05的值称为z = x + iy的主幅角,
记为 6 = 6/rgz ,显然有 Argz = argz + 2k7T, k = 0,±l,±2,±3,…
实部，虚部，模与幅角的关系：
兀=厂cos&, y = rsin3 tan^ = —.|z| =厂=Jx 2 + 于
V arctan —
,x>0
x y
龙+ arctan —v 0,y > 0
x y
八
--ZT +arctan —,x< 0,y < 0
6 = argz = x
—
,x = 0, y > 0
2 ”0,y<0
7T,x<0,y = 0
3.复数的运算
设复数z, =a + ib,z 2 =c + id ,贝！J 由下式定
义:
加法:z 1 + z 2 = (a + c) + i(h + d) (1.2)
减法:z }-z 2=(a- c) + i(b - d)
a
乘法:z }- z 2=ac + ihc + lad + rbd = (ac 一 hd) + i(hc +
ad).
除法 Z] _a + ib _(a + ib)(c-id) _ac + bd +jbc-ad z 2 c
+ id (c + id)(c — id) c 2 +d 2 c 1 +d 2
(1.4) (1-5)
复数的模和共轨复数冇下面的性质:
l)Rez = -(z + z), Imz =
—(z-z);
2 2i z — \
----- _ _ __ _____ Z
2)(z + vv) = z + zw = z iv; 一 \ /
=二3工 0); w
3)|zvv| = |z||w 心旦
w |w|
5)|z| = |z|.
4.复数的三角表示和复数的方根 利用
极坐标表示，攵数z 可以表示为 三角形
式：z=r （cos 〃+rsin 〃）.
指数形式：z = 4
|z | z —,Arg =• = Argz,- Argz 2. \Z 2\ Z 2 设复数z =沁&从而有:
z n = (r(cos^ + zsin 3))n = F'(cos0 + isin&)" = r n (cos nO + i sin nO) = r n c ine .
|z"|=|z|",
英中n 为正整数.当r=\吋,得棣莫拂(de Moivre)公式
(cos 0 + i sin &))" = cos n0 + i sin nd. (1.15)
复数的“次方根是复数〃次乘幕的逆运算.下面我们介绍复数的川次方根的定义和求法. 设z =卅是已知的复数，〃为正整数，则称满足方程
of - Z
的所有的复数血为z 的77次方根，并且记为
CO — yfz .
O)k =(^z )k =^ze ”
, "0,1,2,…，介 1 (1.16)
若记©二仏吩，则©可表示为 .2kn CO k — CO ()e n , ^=1,2, •••, /7-1 (L17)
§1.2复平面点集
我们研究的许多对象一一解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的 问题，这些都是复平面上的一种点集。
在此，我们先介绍复平面上的点集.
1. 平面点集的几个概念
(1)邻域集合
D(Zo,6 = {z ：|z — Zo| V 》}
称为Zo 的/邻域，其中/ >0,
D(z o ,^)\{z o } = {z:O<|z-z o |<^}
称为Z Q 的去心邻域.
z i z?
(2)内点、开集若点集E的点Z。
，有一个zo的邻域D(Zo0)uE,则称z°为E的一个
内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集.
(3)边界点、边界如果点z()的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点, 则称Z。
为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作0E.
(4)区域如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起來，则称集E为连通集.连通的开集称为区域.
区域D和它的边界DD的并集称为闭区域，记为万.
(5)有界区域如果存在正数使得对一切ZG E,有
\z\<M,
则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域.
(6)简单曲线、光滑曲线设x(r)和),⑴是实变量r的两个实函数，它们在闭区间[/0]上
连续，则由方程组
[y = y(O
或由复值函数
z(r) = x(t) + iy(t)
定义的集合厂称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线厂的参数方程.点A = z(Q)和
B=z(0)分别称为曲线厂的起点和终点.如果当片山W [G，0]，A工『2时，有Z(/])#Z(f2)，称曲线厂为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线.z(Q)= z(0)的简
单曲线称为简单闭曲线.例如圆周
x-厂cosr,y = Fsinrjw [0,2K]
就是简单闭曲线.如图1.6,用复数表示为
kl=r.
我们容易证明圆|Z|F将平面分为两个不相交的区域，由不等式|z|"
和|z|R所规定，这两个区域以圆周为边界.这个结果是以下约当定理的
特例.
定理1・1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为厂的内部；一个是无界的，称为厂的外部.
如果曲线厂在[%0]上有“(/)和y(/)存在、连续，而且不同时为零，则称曲线厂为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线.
(7)单连通区域设D为复平面上的区域,如果在D内的任意简单曲线的内部均屈于D, 则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域.
§1.3扩充复平面及其球面表示
在复平面上没有一点和OO 对应，但是我们可以设想平面上有一个理想点和它对应.这个 理想点称为无穷远点.复平面加上OO,称为扩充复平面C^CUM.为使|oo| = +00的规定合 理，我们规定扩充复平面上只有一个无穷远点.为使无穷远点的存在得到直观的解释，我们 建立扩充复平面Go 的球面表示法.
例题
、3
的实部，屜部，模与(I®角；将它表示为指数形式或三角形式
2. 指出下式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.
(1) argz =兀；
(2) |z-l| = |z|；
(3) l<|z + z|< 2;
(4) Rez > Im z;
(5) Imz > 1 且 |z |<2.
解：
(3)、表示以・i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
-3i
1求复数Z ④解: + 3-(-1)2-A /3-(V3)3 i = |(8 + 0i) = l
(1)、cirgz=Tt ・表示负实轴.
0.
‘-1 + 昉
2-
（4）表示直线）=x 的右下半平面
（5）、表示圆盘内的一弓形域。
3.设z=x^iy,将|z-l| + |z-2| = 3化为关于兀，y 的方程，并说明它是何种曲线.。
