复变函数第一章学习指导

复变函数与积分变换学习指导（第⼀章）第⼀章复数与复变函数本章⾸先引⼊复数域与复平⾯的概念，其次引⼊复平⾯上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。

第⼀节复数⼀.复数的表⽰1.2.欧拉公式3.虚数纯虚数且4.模辐⾓主辐⾓5. 与的关系当时，例1 求及解注意：⼀般有两种含义，⼀种是指⾮零复数⽆穷多辐⾓中的⼀⼆.复数的运算复数可以看作与复平⾯上的点对应,也可以看作是与平⾯上的向量相对应。

1.加法（遵循平⾏四边形法则）2.减法（遵循三⾓形法则）3.乘法设4.除法5.乘⽅注意：6.开⽅(即求的根)例2计算解故故例3 解⽅程解由有故三.共轭复数2.3.4.例P38.4证明并说明其⼏何意义。

证⼏何意义:平⾏四边形两条对⾓线长的平⽅和等于四条边长的平⽅和。

例P38.5设三点适合条件及试证是⼀个内接于单位圆周的正三⾓形的顶点。

证由知,位于单位圆周上,故只须证为正三⾓形的顶点即可。

由得⼜（由上题结论知），故即。

同理可得，故得证。

四.常⽤不等式1.2.1.过的直线的实⽅程为当时，表⽰之间的直线段，因此的直线段的复⽅程为过的直线的复⽅程为2. 三点共线3. 的中垂线⽅程为。

4.以为⼼，为半径的圆周⽅程为。

例P35.7证明：复平⾯上的直线⽅程可写成其中为⾮零复常数，为实常数。

证任给实直线⽅程令代⼊化简得令即得反之，设有⽅程令试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平⾯上处处连续。

证1）当时，⽆意义，故在原点不连续。

2）若为负实数，则，当由负实轴的下⽅趋于时,故在负实轴上任意⼀点上都不连续；3）对任意且不在负实轴上，，取中⼼在,不包含负实轴上的点，但整个包含在张⾓为的⾓形内的最⼤圆,半径当时,总有第⼆节复平⾯上的点集⼀.基本概念1.的的邻域。

2.的去⼼邻域——。

3.内点——若有⼀个邻域全含于，则为的内点。

4.外点——若且不是的聚点。

5.边界点——若的任意邻域内既有属于的点⼜有不属于的点，则为的边界点。

复变函数与积分变换课程自学辅导资料二○○八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月给任课教师。

总成绩中，作业占15分。

参考教材：1 《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。

（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。

是后续各章的基础。

二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（二）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。

学习时要注意下边几点：（1）正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。

无穷远点和无穷大∞这个复数相对应。

这里的无穷大∞是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。

（1）平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。

复变函数第一章学习指导一知识结构复数的定义有序实数对向量复数的模、辐角、共辆复数棣莫夫公式 复数的n 次方根'平面点集预备知识区域曲线2.复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质二学习要求1 •了解复数定义及其几何意义； 2•熟练掌握复数的运算； 3 •知道无穷远点邻域；4 •了解单连通区域与复连通区域； 5.理解复变函数；6•理解复变函数的极限与连续。

三内容提要复数是用有序数对（兀刃定义的，其中为实数。

要注意，因为复数是“有 序数对”，所以一般地讲，（兀,刃工（儿兀）。

止如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即C = {z = （a ,h ）:a,he R}复数的四则运算定义为（a ，b ） + （c ，d ） = （ci + c,b + d ） (a, h) - (c, d) = (a -c, h-d) (a, b) • (c, d ) = (ac - bd, be + ad )1.复数复数的五种表示代数式三角式 指数式/ 八/ 八 ‘ac + bd be — ad 、-> ,2 八（d”）+ （c,d ） = （ ―，—―）,L +d_ HOc +d 「c +d~复数的四则运算满足以下运算律 ① 加法交换律知+ 5 = 5 +◎ ② 加法结合律 Z] +（Z 2 + Z3） =（Z] + Z2）+ Z3 ③ 乘法交换律H=S 、知④ 乘法结合律Z1 •（◎辽3）=（石弋2）辽3⑤ 乘法对加法的分配律Z] -（z 2 +Z3）= Z]暇2 +Z]暇3（x, - y ）称为z = （%,y ）的共轨复数，记为Z 。

k +）‘，2称为z = O,y ）的模,记为Z O 共轨复数满足Zi ± Z 2 = Z]±z 2（互）=鱼，5工0复数的三角式 z =厂（cos& + isin&） 复数的三角式z 二卅& 由此得如下关系式$ • Z2 =厂占⑹• r 2e [02=斤•厂2』®+如S~7A-Imz（其屮厂=側）z"=Arg(° • 0) = ArgGi) + Arg(z 2) Arg(—) = Arg(z,) 一 Arg(z 2)S0+2kn对丁复数乙=,它的川次方根为V? = Vre "伙=0丄-1)。

第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式:(1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+(2) ;(1)(2)i i i -- 解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i i i i i i i i +-====+----+- (3) 1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y y i z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.2 将直线方程220(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=] 解: 由,22z z z z x y i+-== 代入直线方程,得 ()()0,22()20,()()20,0,,2.a b z z z z c iaz az bi z z c a bi z a bi z c Az Az B A a ib B c ++-+=+--+=-+++=++==+=故其中1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b c az z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+=1.4 求下列复数的模与辐角主值.(1) 2;i -解: 2i -== 11arg(2)arctan arctan .22i --==- (2) 13;i -+解: 13i -+== 3arg(13)arctanarctan 3.1i ππ-+=+=-- 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+解: sin cos 1,i αα+=故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sin cos .66i ππ-- 解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=- sin cos 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin .3333i i ππππ-+-=- 1.6 利用复数的三角表示计算下列各式:(1) 31();2解: 由乘幂公式知3cos3()sin 3() 1.33i ππ⎡⎤=⋅-+-=-⎢⎥⎣⎦(2)解: 因32222),4i i π-+=-+=所以由开方公式知3838sin ),0,1,2,3.1616k k i k ππ++=+= 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线? (1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周. (2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=-若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.1.8 用参数方程表示下列各曲线.(1) 连接1i +与14i --的直线段;解: 法一：由直线段的复参数方程直接得 211()()[14(1)](1)1(25),01z t z z t z i i t i i i t t =-+=---+++=++--≤≤法二：由直线段的实参数方程间接得平面上连接点(1,1)与(1,4)--的直线段,其参数方程可写为: 1(11),011(41),x t t y t =+--⎧≤≤⎨=+--⎩故其复数形式的参数方程为: 12(15)1(25),01z t i t i i t t =-+-=++--≤≤ (2) 试证0Re limz z z →不存在. 证: 000Re limlim ,z x y z x z x iy →→→=+令,y kx =则上述极限为1,1ki +随k 变化而变化,因而极限不存在.全国2009年4月高等教育自学考试英语语法试题课程代码：00831一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）Choose the best answer from the choices given and put the letters A, B, C or D in the brackets.1.——Did you hear what she said? （ ）——Well, I heard her say something, but I ______．So I don ’t know exactly what she said.A ．would not listenB ．were not listeningC ．had not listenedD ．shouldn ’t listen2．When I got to the top of the mountain, the sun ______．（）A．shoneB．shinesC．has shoneD．was shining3．The building suddenly collapsed while it ______ down．（）A．pulledB．had been pulledC．was being pulledD．was pulled4．Most of my saving ______ in stocks．（）A．has been investedB．is being investedC．have investedD．have been invested5．The manager insisted that the chief engineer ______ testing the new model immediately．（）A．startB．startsC．startedD．will start6．Great as Newton was, many of his principles ______ and modified by contemporary scientists。

复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。

主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。

第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。

而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。

就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。

而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。

而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。

和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。

第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。

但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。

复变函数与积分变换课程自学辅导资料二OO八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末血授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。

总成绩中，作业占15分。

参考教材：I《复变函数》（笫以版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962《复变两数与积分变换》（第二版），华屮科技人学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一. 本章的核心.重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。

（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。

是后续各章的基础。

二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（-）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（-）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。

学习时要注意下边几点：（1）止确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2・3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的儿何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平而的概念，它们是为了用球而上的点来表示复数而引入。

无穷远点和无穷大oo这个复数相对应。

这里的无穷大-是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》屮相应概念的推广，它们有相似之处，乂有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。

复变函数第一章学习指导一．知识结构1. n ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩复数的定义有序实数对代数式复数的五种表示三角式复数指数式向量复数的模、辐角、共轭复数棣莫夫公式复数的次方根 2. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩平面点集预备知识区域曲线复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质二．学习要求⒈了解复数定义及其几何意义；⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；⒍理解复变函数的极限与连续.三．内容提要复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数.要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠.正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+,),(),(),(d b c a d c b a --=-, ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅,0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc ad bc d c bd ac d c b a . 复数的四则运算满足以下运算律①加法交换律 1221z z z z +=+,②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++, ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅,④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅,⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅,),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z .22y x +称为),(y x z =的模，记为z .共轭复数满足 z zz z zz z z z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅, 2121z z z z ±=±, 2121z z z z ⋅=⋅, 0,)(22121≠=z z zz z . 复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的指数式 θi e r z =, 由此得如下关系式)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z ,0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ,θn n n r z i e =, 2121z z z z ⋅=⋅,0,22121≠=z z z z z ,)Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅, )Arg()Arg()Arg(2121z z z z -=. 对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(eπ2i-==+n k r z nk n n θ.0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N .0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-<z z z ，记为),(0*ρz N .无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N .开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集. 区域：1. D 是开集；2. D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D .对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域.不是单连通区域的区域称为复连通区域.复变函数的定义： 设G C ⊂，如果对于G .中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =.复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形. 注1.此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应； 注2.同样可以定义函数的定义域与值域； 注3.复变函数等价于两个实变量的实值函数.复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数.如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且00||z z δ<-<时，|()|f z a ε-<，则称a 为函数()f z 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即A z f A z f z z z z z z Re )(Re lim )(lim 000Im Im Re Re =⇔=→→→且A z f z z z z Im )(Im lim 00Im Im Re Re =→→复变函数连续性的定义：如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果()f z 在E 中每一点连续，则称()f z 在E 上连续.如果()(,)(,)f z u x y iv x y =+，000z x iy =+，()f z 在0z 处连续的充要条件为：00000000,,,,lim(,)(,)lim(,)(,).x x y y x x y y u x y u x y v x y v x y →→→→==，四. 疑难解析复数的概念与几何表示1.复数为什么不能比较大小?答: 实数能比较大小,是因为实数是有序的；而复数是无序的,所以不能比较大小.因为复数是实数的推广,则若复数有大小,其大小关系应与实数中大小关系保持一致.不妨取复数0和加以讨论:因为0i ≠,设0i >,则00i i i ⋅>⋅=,得-1>0,显然不成立;设0i <,则00i i i ⋅>⋅=(不等式两边同乘以小于零的数,不等号反向),也有-1>0,所以,i 与0无法比较大小.从而知,两个复数是不能比较大小的.然而,复数的模.实部和虚部都是实数,辐角也是实数,是有序的,因此,可以比较两个复数的模.实部.虚部和辐角的大小,在这个意义上,也称复数是部分有序的.2.怎样确定辐角的主值argz ?答: 因为复数z 的辐角,tan yxθθ=A rgz =.而πθπ≤0-<argz =.所以, θ0(见图1.2)按下列关系式来确定.arctan ,arctan arctan arctan 2yxy xy xyx πππ+-+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩在第一象限，在第二象限，在第三象限， 在第四象限 z z z z argz =3.复数可以用向量表示,是否就此可以认为复数的运算与向量的运算相同?答: 不能.复数的运算与向量的运算有相同之处也有不同之处.如复数运算与向量运算有相同的加法运算和数乘运算,但向量运算有数量积.向量积和混合积,复数则没有;复数运算有乘.除.乘幂和方根,向量则没有.复数相乘的几何意义是将复数1z 放大2z 倍,再将其辐角按逆时针方向旋转角度2argz ,即先作一个相似变换,再作一个旋转变换,而向量的数量积与向量积都不是这样的.4.怎样理解两个复数1z 与2z 的乘积和商的辐角公式? )=+1212Arg(z z Argz Argz ,=-2121z A rgA rgz A rgz z . 答: 由于上述两个公式两边的辐角都有无穷多个值,因此等式的意义是;任意给定一个等式右边两个多值函数一对可能取的值,右边多值函数也必有一个值使这个等式成立.反之也是这样.也就是说,等式的值是在全体意义上的相等,而不是某一组值的相等.例如,若1θ和2θ为1Argz 和2Argz 的任一对选定值,则)12Arg(z z 中一定有一个θ存在,使12cos cos()θθθ=+,12sin sin()θθθ=+,θ不一定就是12θθ+,而可以是使122k θπθθ+=+中的一个.反之也是这样.5.复数所具有的运算性质是否使复数集合成为复数域? 答: 是.复数的运算具有以下规律: (1) 若1z ,2z 是复数,则12+z z 也是复数.(2) 满足对加法的结合律与交换律,即对于复数1z ,2z ,3z 有 ()()112123++=++z z z z z z , 1221+=+z z z z .(3) 关于加法存在零元素,对于任意复数z ,有00+=+=z z z . (4) 关于加法存在逆元素.对于任意复数z ,存在复数-z ,使()()0+-=-+=z z z z .(5) 若1z ,2z 是复数,则12z z 也是复数.(6) 满足对乘法的结合律与交换律,即对于复数1z ,2z ,3z 有123123()()=z z z z z z , 1221=z z z z .(7) 关于乘法存在单位元素1,对于任意复数z ,有⋅⋅1z =z =z .(8) 关于乘法存在逆元素.对于任意复数z =0,存在复数1z,使⋅=⋅11z z =1z z. (9) 满足对加法与乘法的分配律,即对于任意复数1z ,2z ,3z ,有()13133+=⋅+⋅22z z z z z z z ,所以,全体复数构成一个复数域.复球面与平面区域1.为什么在复平面中规定无穷远点只是一个点?答: 在实数中,∞分为+∞与-∞,对应于数轴两端无限远处的点,而在复平面上只有唯一的无限远点∞.这是因为,有复球面上的点与复平面上的点一一对应性,复球面上的北极N 与拓广的复平面上唯一的无穷远点构成一一对应.引入唯一的无穷远点在理论上有重大的意义,它不仅可以作为复平面唯一的边界点,而且还可以存在自己的邻域.2.无穷远点的数学意义是什么?它存在哪些运算?答: 复平面加上无穷远点后称为扩充复平面.复平面又称为有限复平面. 复数∞的实部.虚部和辐角均无意义,复数∞的模规定为∞=+∞，规定关于的四则运算为,,a a a a +∞=∞+=∞-∞=∞-=∞,0,,0a a a a a ∞⋅∞=∞⋅=∞==∞=∞∞其中是不等于∞的复数(又称为有限点).3.复数平面区域的概念与微积分中二元函数区域的概念是否相同?答: 可以认为相同.因为复数z 对应复平面上的点(,)x y ,所以复数与微积分中二元函数有密切的关系.如对复变函数w =f(z)的研究就可以化为对一对实二元函数的研究,从而使我们可以利用微积分中学到的知识来分析.讨论和解决问题.4.集合G 的内点与聚点(或极限点)有什么区别?答: 若对于集合G,0z 为平面上一点,若在0z 的任一邻域内都含有G 的无穷多个点,则称0z 为G 的一个聚点.以下五个说法是互相等价的:(1)0z 为G 的聚点;(2)0z 的任一邻域内含有G 的无穷多个点;(3)0z 的任一邻域内至少含有异于0z 而属于G 的一个点; (4)0z 的任一邻域内至少含有G 的两个点;(5)可在G 中取出点列,(),⋅⋅⋅⋅⋅⋅≠12n n 0z z ,,z ,z z 而n z 以0z 为极限.即对任给0ε>,存在0N >,当n N >时,ε<n 0z -z 属于G 又不是G 的聚点的点称为G 的孤立点.聚点与内点不同.内点是聚点,但聚点不一定G,不一定是内点.如0是点列111,,,,2n⋅⋅⋅⋅⋅⋅的聚点,但不是内点.边界点可能是聚点,也可能不是. 复变函数.极限与连续性1.函数.映射和变换是否是同一概念?答: 函数.映射和变换都是一种对应关系的反映,它们是同一概念.在分析中,习惯把变量之间的对应关系称为函数,如()f ω=z 就反映在确定的法则下,集合G中的数与集合*G 中的数ω一种函数关系;在几何中,习惯把两个点集之间的对应关系称为映射,如()f ω=z 就反映z 平面上一个点集G 与ω平面上一个点集*G 的一映射关系;而代数中,又把变量之间的对应关系称为变换,如()f ω=z 就反映集合G 到集合*G 的变换关系.因此,在复变函数中我们不再区分函数.映射和变换,而把它们都看作z 平面上集合G 与ω平面上集合*G 之间的一种对应.2.复变函数()f ω=z 与实变函数有什么关系?答: 设x iy u iv ωz =+,=+,则()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ,所以一个复变函数()f ω=z 相当于定义两个实变函数(,)u u x y =和(,)v v x y =.讨论一个复变函数()f ω=z 的极限与连续性就需要讨论两个实二元函数的极限与连续性.复变函数的定义虽然在形式上与实一元函数的定义几乎完全一致,但反映的实质却不相同.复变函数反映z 平面上点集G 与ω平面上点集*G 的对应关系,需要两个平面来表示;而实一元函数反映两个实轴上点集之间的对应关系,只需一个平面上的一条曲线就可以直观地表示,显然要简单的多.3.为什么在复变函数的极限概念中,要强调→0z z 的方式是任意的? 答: 复变函数()f ω=z 当→0z z 的极限与实变函数()y f x =当0x x →的极限在形式上与叙述方法上几乎一致,但要求却大不相同.对极限0lim ()x x f x →而言,只能在x 轴上取值,0x x →只能从左,从右或时左时右地在直线方向上发生.而对极限lim ()f →0z z z 来说,z 在复平面上取值,→0z z 可以从任意方向.以任意方式发生.而对极限lim ()f →0z z z 来说z 在复平面上取值，→0z z 可以从任意方式发生.所以,必须强调在→0z z 的任意方式下极限的唯一性,因而对函数的要求更高,更严格.但是,两个极限的几何意义是完全相同的.即只要z (或x )进入0z (或0x )的δ邻域,它的像点()f z (或()f x )就进入 A 的ε邻域,只是以圆形的δ邻域代替了数轴上的δ邻域,正因为如此,()f z 与()f x 有相同的极限运算法则.五．典型例题例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果.解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z . 例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=.由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A .例3 求8)i 1(+．解 4πie 2i 1=+，故有16e 16e)2()e 2()i 1(2πi 4π8i 884πi8====+⋅.例4 设i z +=1，求4z ．解 因4πi e 2=z ，故4arg ,2π==z z ．于是，z 的四个四次方根为 16πi80e 2=w , 169πi81e2=w , 16π17i82e 2=w , 16π25i83e2=w .例5 试确定不等式0arg4z i z i π-<<+所确定的点集是什么图形？ 解法1 （按复数几何意义和辐角定义分析）先考虑满足等式arg4z i z i π-=+的点的集合.因为()()arg arg arg z iz i z i z i-=--++,又arg(i)z -和arg(i)z +分别是始点在i 和i -而终点在z 的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为0arg 2πz ≤<，故上述描述成立）.因此等式arg4z i z i π-=+ 表示到两定点i,i -的张角之差等于定数4π的点z 的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点i 和i -的两个圆弧.见图1.10所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是arg4z i z i π-=+所确定的点集；虚线圆弧不是arg 4z i z i π-=+所确定的点集. 再考虑等式arg 4z i z i π-=+确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点i 以上，点i -以下的点的全体.从图中看出可见，该点集和图1.10中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）为不等式0arg4z i z i π-<<+所确定的点集.解法2 根据辐角定义得出，由i z x y =+22222222i i i 12i i i i (1)(1)i 2arg()arctan i 1z x y x y xz x y x y x y z x z x y -+-+--==++++++++--∴=++-由题意得到222π0arctan()14x x y -<<+-注意到，在(0,π/4)的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到222011xx y -<<+-由此得到220(1)2x x y <⎧⎨++>⎩ 或 220(1)2x x y >⎧⎨++<⎩注意到 22(1)2x y ++=是以（－1，0题给条件的是图1.10中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于0x >，其辐角图 1.10不满足要求.例 6研究下列函数在0z =点的连续性. （1）Im()()1z f z zz =+（2）Re(), 0()0, 0z z z f z zz ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩解（1）i i 2000sin sin lim ()lim lim 011z r r r r f z re re r θθθθ-→→→===++又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.（2）i 2i i 000cos lim ()lim lim cos 0z r r re r f z re re θθθθθ-→→→===又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.1.证明不等式（1）z z R t ≤，z z I m ≤（2）2121z z z z +≤+证明：（1）设设ｚ＝ｘ＋iy ，则z ＝22y x +故 z y x x z R t =+≤=22同理:zy x y z I m =+≤=2(2)由221z z +＝（1z ＋2z ）（1z ＋2z ）＝1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z＝21212221z z z z z z ⋅+⋅++＝t R z z 22221++（1z ·2z ）由（1）≤2122212z z z z ++＝221)z z +（∴2121z z z z +≤+2.证明：（1）123123()()z z z z z z ++=++，并作图. （2）1231213()z z z z z z z +=+.证明：设111222333,,z x iy z x iy z x iy =+=+=+， 则(1) 232323()()z z x x i y y +=+++，121212()()z z x x i y y +=+++，所以123112323()[()()]z z z x iy x x i y y ++=+++++123123()()x x x i y y y =+++++123121233()[()()]z z z x x i y y x iy ++=+++++123123()()x x x i y y y =+++++ 123().z z z =++(2) 232323()()z z x x i y y +=+++123112323()()[()()]z z z x iy x x i y y +=++++123123123123[()()][()()]x x x y y y i x y y y x x =+-+++++ 1213121312131213()()x x x x y y y y i x y x y y x y x =+--++++ 12112212121212()()()()z z x iy x iy x x y y i x y y x =++=-++ 13113313131313()()()()z z x iy x iy x x y y i x y y x =++=-++ 所以，1231213()z z z z z z z +=+.3.证明：设1z ,2z 是两复数.如果12z z +和12z z 都是实数，那么1z ,2z 或者都是实数，或者是一对共轭复数.证明：设111222,,z x iy z x iy =+=+121212()()z z x x i y y +=+++,1212121212()()z z x x y y i x y y x =-++由于12z z +和12z z 为实数，所以1212210y y x y x y +=⎧⎨+=⎩ 若120,0y y ==则，因此1z ,2z 为实数；若1210,0y y y ≠=-≠则，所以12x x =，即222111z x iy x iy z =+=-=.4.求复数11z z -+的实部与虚部. 解： 21(1)(1)(1)(1)1|1|(1)(1)z z z z z w z z z z --+-+===++++ 222(1)12Im |1||1||1|zz z z zz zi z z z +---==++++ 所以，21Re |1|zz w z -=+，22Im Im |1|zw z =+. 5.设1z ,2z 是两复数，求证（1）.222121212||||||2Re z z z z z z -=+-； （2）1212||||||||z z z z -≥-；（3）.2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义. 证明：(1).2121212||()()z z z z z z -=--121211221212()()z z z z z z z z z z z z =--=+--22121212||||()z z z z z z =+-+ 221212||||2Re z z z z =+- (2).因为||Re z z ≥，所以222121212||||||2Re z z z z z z -=+-222212121212||||2||||||2||||z z z z z z z z ≥+-=+-212(||||)z z =-， 所以1212||||||||z z z z -≥-(3).222121212||||||2Re z z z z z z -=+-，222121212||||||2Re ()z z z z z z +=+---221212||||2Re z z z z =++ 所以，2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+几何意义如图，平行四边形的对角线的平方和2乘以起两边的平方和.6.设z x iy=+，证明||||||z x y≤≤+.证明：||||2||2222yxyxyxz++≤+=||||x y=+，因为2||||||||22yxyx+≤（算术-几何平均不等式）所以222||2||||||2x x y y++=222222||||||||||||2x x y yx y+++≤=+，所以||z≤.7.试证：分别以1z,2z,3z及1w,2w,3w为顶点的两个三角形相似的必要与充分条件是123123111z z zw w w=.证明：1231231110z z zw w w==233112132132()z w z w z w z w z w z w=++-++231331211232z w z w z w z w z w z w=-+-+-213321132()()()z z w z z w z z w=-+-+-21z+2z21321131132()()()z z w z z z z w z z w =---+-+- 213211131132()()()()z z w z z w z z w z z w =-----+- 21311321()()()()z z w w z z w w =--+-- 所以，21213131z z w w z z w w --=--,同理，有， 21213232z z w w z z w w --=-- 所以313221213132z z z z z z w w w w w w ---==---313221213132||||||||||||z z z z z z w w w w w w ---==--- 即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明313221213132z z z z z z w w w w w w ---==---，所以结论成立.8.如果123||||||1z z z ===，且1230z z z ++=，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆的一个正三角形.证明：由于123||||||1z z z ===，所以它们在单位圆上；又因为1230z z z ++=，故123z z z +=-如图，则1z 与3z -的夹角和2z 与3z -的夹角相等； 同理，2z 与1z -的夹角和3z 与1z -的夹角相等；1z 与2z -的夹角和3z 与2z -的夹角相等；因此，容易证明，1z ,2z ,3z 的夹角为120度，所以结论成立.9.求证：(1cos sin )2cos (cossin )222n n nn n i i θθθθθ++=+ 证明：|1cos sin |i θθ++==2cos2θ==，所以 21cos sin 2cos 2cos sin 222i i θθθθθ++=+2cos (cos sin )222i θθθ=+故 (1cos sin )2cos (cossin )222n n n n n i i θθθθθ++=+. 11.设0||1z <，证明： 如果||1z =，那么11z z zz -=-；如果||1z <，那么 （1）.011z z z z-<-； （2）.22200200(1||)(1||)11|1|z z z z z z z z ----=--；（3）.000000||||||||||1||||11||||z z z z z z z z z z z z --+≤≤--+； （4）.00||||1z z z z z z-≤+-.证明：||1z =，所以1z z =，因此 00001(1)||111z z z z z z z z z z--===--； (1). 222000||||||2Re z z z z zz -=+-22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+-，所以222220000|||1|||||1(||||)z z zz z z z z ---=+-- 220(||1)(1||)0z z =--≤即 2200|||1|z z zz -≤-， 所以011z z z z-<-； (2).由上面的讨论，有：2222000|||1|(1||)(1||)z z zz z z ---=---，即 22200200(1||)(1||)11|1|z z z z z z z z ----=--(3).222000200||||2Re 1|1|z z z z z zz z z z -+-=--222000||||||2Re z z z z zz -=+- 2200||(1||||)z z z z -+ 22003300004224220000||||2Re 2||||2||||4||||Re ||||||||2||||Re z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z=+-++-++- 22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+- 2200|1|(||||)zz z z -+ 24220033000022420000||||||2||Re 2||||2||||4||||Re ||||||2||Re z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z=+-++-++- 22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z -+--+ 3333000022200020002||||2||||2||||2||||2||||Re 2||Re 2||Re 2Re z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z=+---++-222200022200002||||(||||1||||)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z z z =+----+-220022200002||||(||1)(||1)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z=----+-220002(||1)(||1)(||||Re )0z z z z z z =---≥， 所以，220000||||()11||||z z z z z z z z -+≤-+；2200||(1||||)z z z z -- 22003300004224220000||||2Re 2||||2||||4||||Re ||||||||2||||Re z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z=+---+++- 22000|1|1(||||)2Re zz z z zz -=+- 2200|1|(||||)zz z z -- 24220033000022420000||||||2||Re 2||||2||||4||||Re ||||||2||Re z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z=+---+++- 22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z ----- 3333000022200020002||||2||||2||||2||||2||||Re 2||Re 2||Re 2Re z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z=+---++-222200022200002||||(1||||||||)2||(||1)Re 2(||1)Re z z z z z z z z z z z z z =+----+-220022002||||(1||)(1||)2(1||)(||1)Re z z z z z z z z=--+--220002(1||)(1||)(||||Re )0z z z z z z =---≥ 所以22220000||(1||||)|1|(||||)z z z z zz z z --≥--0000||||||1||||1z z z z z z z z--≤--；(4).类似于(3)，可以证明结论.14.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区域还是多连通区域：（1）Im 3z =； 解：直线，不是区域；（2）1Re 2z >；解：半平面，单连通无界区域；（3）|||2|z i i -≤+；解：|||2|z i i -≤+=，圆心在i ，（4）|2||2|5z z -++=；解：椭圆，不是区域；（5）arg()4z i π-=；解：半射线，不是区域；（6）1||1,Re 2z z <≤；解：半园，不是区域，因为既不是开集，也不是闭集； （7）0|1|2z i <++<；解：去心圆盘，有界多连通区域；（8）121z z -≤+； 解：圆盘的外区域，无界多连通闭区域；z x iy =+，2233()48x y ++≥；（9）1arg(1),2Re 34z z π<-<<<；解：梯形区域，有界单连通区域；（10）0arg4z i z i π-<<+； 解：arg arg()arg()z iz i z i z i-=--++，圆盘的外区域，无界多连通闭区域.六．单元检测 一、单项选择题：1、设32z i =--，则arg z =___________. A) 2ar 3ctgB) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2ar 3ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.A)1 B) cos θ C) θ 3、设12,w z z w z z =⋅=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠ A) = B) ≤ C) < D) ≥4、设(),,0,1,2,3,4i k kz re w k θ===则arg kw=____________.25k θπ+ C)25k θπ+ D)22,0,15k n n θππ++=±5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对6.复平面上三点: 134,0,34i i+-+,则__________A)三点共圆 B)三点共线C)三点是直角∆顶点 D)三点是正∆顶点 7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑 8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}|01,0x yi x y +≤<=9.函数1w z=将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A ）直线 B ）圆 C ）双曲线 D ）抛物线10. 4(1)i +=___________A ）2B ）2-C ）4D ）4-11.区域12z <<的边界是1z =，2z =，它们的正方向_____________ A ）1z =，2z =都是“逆时针” B ）1z =“顺时针”， 2z =“逆时针” C ）1z =，2z =都是“顺时针” D ）1z =“逆时针”， 2z =“顺时针” 12.极限0lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________A ）无关B ）有关C ）不一定有关D ）与方向有关13.函数238()8z f z z +=+的不连续点集为____________A ）{2,1--±B ）{}2-C ）{2,1D ）{2,1-±14. 53(cos sin )(cos3sin3)i i e i ϕθθθθ-=+，则ϕ=_________________A ）2θB ）4θ-C ）4θD ）14θ-15.扩充复平面上，无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集A ）z ε<B ）z ε>C ）1z ε<D ）1z ε>二、多项选择题：1.若12z iz =，则12oz z 是______________ A ）锐角B ）钝角C ）直角D ）等腰E ）正2.表示实轴的方程是_____________（其中t 是实参数） A ）Re 0z = B ）Im 0z = C ）11z t i -=- D ）12z t -= E ）3z t = 3.函数2w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+A ）3z = B) 224x y += C ）224x y -= D ）4xy = E ）229y x -=4.函数1()1f z z=-在单位圆1z <内______________ A ）连续 B ）不连续 C ）一致连续 D ）非一致连续 E ）解析5.对无穷远点∞，规定________________无意义A ）运算∞+∞B ）运算∞-∞C ）∞的实部D ）∞的虚部E ）∞的幅角 三、填充题：1.复数z x i =+，当0,x y <≥时，其幅角的主值a r g z =___________________________.2.复数i z re θ=的n 将方根k k w ==________________________.3.具备下列性质的非空点集D 称为区域：（1）________________________ __________（2）___________________________________.4.设D 为复平面上的区域，若_______________________________,则称D 为单连通区域.5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.6.在关系式00lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点0z 为广义连续的.7.设12z z i ==,指数形式:12z z =_______________________.8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成： 其中： . 9．考虑点集E 若 ，则称0z 为点集E 的聚点.10．任一简单闭曲线C 将E 平面唯一地分成C 、()I C 、及()E C 三个点集，它们具有性质：（1） （2） （3） （4） 四、计算题：1．解方程：440z a +=()0a >.2．将复数：1cos sin i ϕϕ-+（0ϕπ<≤）化为指数形式.3．求函数1w z =将Z 平面上曲线11z -=变成W 平面上的曲线. 4．求复数()111zw z z+=≠-的实部，虚部，模.5．求cos 4θ及sin 4θ 用cos 4θ与sin 4θ表示的式子. 五、证明题 综合题：1．设1z =，试证：1az b b z a--+=+.2．设(1nn n x iy +=-（n x ，n y 为实数，n 为正整数）试证：114n n n n n x y x y ----=.3．试证：以123,,z z z 为顶点的三角行和以123,,w w w 为顶点的三角形同向相似的充要条件为：1122331101z w z w z w =. 4．试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z z z z z z z z ----为实数. 5．函数()11f z z=-在单位圆1z <内是否连续？是否一致连续？证明之. 6．证明：Z 平面上的圆周可以写成：0Az z z z C ββ---+++=其中A ，C 为实数，0A ≠且2AC β>.单元检测答案：一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A13.D 14.D 15D二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE三、1. y arctg xπ+()20,1,,1k i n k n θπ+=- .3.(1).D 开集 (2)D 中任意两点可用全在D 中的折线连接.4.在D 内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D.5.对E 内每一复数,z 有唯一确定的复数w 与之对应.6.如果0z 及()0f z 之一或者它们同时取∞.7. 51212e π. 8. 0z z r -=,0z 为圆心,r 为半径.9.平面上点0z 的任意邻域都有E 的无穷多个点.10.(1)彼此不交 (2)()I C 是一个有界区域 (3)()E C 是一个无界区域 (4)若简单折线p 的一个点属于()I C ,另一个端点属于()E C ,则p 必与C 有交点.四、1.解:44z a =-22cos sin,0,1,2,344k k k z i k ππππ++⎫=+=⎪⎭2.解:21cos sin 2sin 2sincos222i i ψψψψψ-+=+2sinsin cos 222i ψψψ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sincos sin 22222i ψπψπψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222sin2i eπψψ⎛⎫- ⎪⎝⎭=.3.解:设,,z x iy w u iv =+=+则曲线11z -=,可写成222x y x +=, 2222221z x iv x yw iz x y x y x y z z -====-+++⋅, 即22122x x u x y x ===+.故1w z =将z 平面上曲线11z -=变成w 平面上的直线12u =. 4.解:设z x iy =+,则()()()()22221211111x y yi x iy z w z x iy x y--++++===----+, 故()22221Re 1x y w x y--=-+ ()2221m y I w x y =-+,w =5.解:()4cos sin i θθ+432234cos 4cos sin 6cos sin 4cos sin sin i i θθθθθθθθ=+--+,但()4cos sin cos 4sin 4i i θθθθ+=+.故442222cos 4cos sin 6cos sin 18sin cos θθθθθθθ=+-=-,33sin 44cos sin 4cos sin θθθθθ=-.五.1.证明21,az b az b az bz bz a bz a bz a +++=∴=⋅+++ 22221a abz abz bb abz abz a+++==+++, 故1az bbz a+=+.设(1nn n x iy +=- (.n n x y 为实数,n 为正整数). 2.证明:已知(155122cos sin 2233nnn n n n n n x iy i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此 552cos ,2sin 33n n n n n n x y ππ==. 11n n n n x y x y ---()()151515522cos sin sin cos 3333n n n n n n ππππ---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()215152sin 33n n n ππ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭21211542sin 2sin 4332n n n n ππ---⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭3.证明:由于123z z z ∆与123w w w ∆同向相似的充要条件是33,z w ∠=∠且23231313z z w w z z w w --=--,而23313arg,z z z z z -∠=-2313arg w w w w w -∠=-,于是有23231313z z w w z z w w --=--,即1122331101z w z w z w =,试证:以123,,z z z 为顶点的三角形和以123,,w w w 为顶点的三角形同相似的充要条件为1122331101z w z w z w =.4．证明：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z z z z z z z z ----为实数.但3212321argz z z z z z z -∠=-，1434143arg z zz z z z z -∠=-, 3232141421432143argarg arg z z z z z zz z z z z z z z z z ----+=⋅----， 因此1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件为34141232:z z z z z z z z ----为实数, 5．()11f z z=-在1z <内连续但非一致连续. 证明 （1）1z -在1z <内连续且不为0，故11z-在1z <内连续.（2）011,0,2εδδ⎛⎫∃=∀>< ⎪⎝⎭，均存在121,142z z δδ=-=-使得124z z δδ-=<,()()1212112111f z f z z z δ-=-=>--,故()f x 在1z <内非一致连续.6．证明： Z 平面上的圆周可以写成()0z z -=γγ>0 其中0z 为圆心，γ为半径 ()()2000z z z z z z 2∴γ=-=-- 0000z z z z z z z z =⋅-⋅-⋅+⋅, 令2001,,A B z C z 2==-=-γ，从而圆周可以写成0AZZ BZ BZ C +++=,A C 为实数，且22200B z z AC 2=>-γ=.。

复变函数全程学习指导与习题精解
复变函数是数学学科中应用最广泛的技术，它可以用来预测与一个或多
个变量关联的响应变量的取值。

学习复变函数技术是大部分学科中一种最重
要的技能之一，涉及到多个领域，如经济分析、物理科学、生物科学等。

复变函数的学习的步骤包括：了解数据、找到函数形式、估计系数和参数、评价经验拟合性能、预测复变系数和参数及其精确度。

首先，了解数据，这一步是学习复变函数非常重要的第一步，旨在理解数据的概况，即变量之
间的联系，数据本身的特征等。

然后，找到函数形式，通常有线性函数、指
数函数、正态函数或其他形式，根据数据特征选择最适合的函数。

接下来，
我们需要估计系数和参数，以及进行参数调整，使拟合的函数弯曲更加准确。

接着，评估拟合的性能，直觉的，越好的拟合说明参数拟合的精确度更高。

最后，我们可以用复变函数预测参数及其精确度，以确定影响复变结果的影
响因素。

综上所述，学习复变函数技术是一种重要而复杂的过程，需要一系列步骤，以正确解决复变问题。

专业的指导和习题精解可以帮助学习者更容易地
完成这些复变函数的学习，从而更有效地用来预测变量之间联系的取值。