高一数学直线的倾斜角和斜率

高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。

3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。

⾼⼀数学知识点总结_直线与⽅程知识点⾼⼀数学怎么学?多预习，预习还可以培养⾃⼰的⾃学能⼒。

今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)直线的倾斜⾓与斜率定义：x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。

特别地，当直线与x轴平⾏或重合时，我们规定它的倾斜⾓为0度。

范围：倾斜⾓的取值范围是0°≤α<180°。

理解：(1)注意“两个⽅向”：直线向上的⽅向、x轴的正⽅向;(2)规定当直线和x轴平⾏或重合时，它的倾斜⾓为0度。

意义：①直线的倾斜⾓，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;②在平⾯直⾓坐标系中，每⼀条直线都有⼀个确定的倾斜⾓;③倾斜⾓相同，未必表⽰同⼀条直线。

公式：k=tanαk>0时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜⾓为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)当a≠0时，倾斜⾓为90度，即与X轴垂直练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜⾓为()A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜⾓为钝⾓135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜⾓为α，若将此直线绕点P按逆时针⽅向旋转45°，得到直线的倾斜⾓为α+45°，则()A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，⼜α与α+45°都是倾斜⾓，从⽽有得0°<α<135°.3.直线l的倾斜⾓是斜率为的直线的倾斜⾓的2倍，则l的斜率为()A.1B.1C.3D.4【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.⾼⼀数学知识点总结(⼆)直线的⽅程定义：从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。

高一数学必修一知识点梳理五篇分享学习任何一门科目都离不开对知识点的总结，尤其是同学们在学习数学时，更要总结各个知识点，这样也方便同学们日后的复习。

下面就是给大家带来的高一数学必修一知识点总结，希望能帮助到大家！高一数学必修一知识点总结1(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.高一数学必修一知识点总结2对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。

高一数学复习考点知识讲解课件§1.1直线的斜率与倾斜角考点知识1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．导语我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝上升高度水平距离＝DBAD.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．问题2若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，你能用一个量反应直线l 的倾斜程度吗？提示可以用y 2－y 1x 2－x 1的符号及大小反应直线l 的倾斜程度．问题3运用k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)计算直线AB 的斜率时，需要考虑A ，B 的顺序吗？提示k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A ，B 两点的顺序无关． 知识梳理对于直线l 上的任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， (1)如果x 1≠x 2：①由相似三角形的知识可知，y 2－y 1x 2－x 1是一个定值，我们将其称为直线l 的斜率．k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．②直线的斜率也可以看作k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝纵坐标的增量横坐标的增量＝ΔyΔx .(2)如果x 1＝x 2，那么直线l 的斜率不存在． 注意点：直线与x 轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式．例1如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)．(1)试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率；(2)若还存点Q 4(a ,3)，试求直线PQ 4的斜率． 解(1)由已知得，直线l 1，l 2，l 3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3.则由斜率公式得k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.(2)当a ＝3时，直线PQ 4与x 轴垂直，此时其斜率不存在．当a ≠3时，其斜率k ＝3－2a －3＝1a －3. 反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．(2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l 1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l 2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l 3)，直线与x轴平行或重合．跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在．(4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝43－a.二、直线的倾斜角知识梳理1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.(3)倾斜角α的范围为[0，π)．2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°.(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°.(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tanθ＝y2－y1x2－x1.例2(1)(多选)下列命题中，正确的是()A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练2已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．解∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°.三、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．知识梳理设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大注意点：正切函数在[0，π)上不单调．例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式．(2)直线的倾斜角及其范围．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于() A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由题意知，tan45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为________．答案92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ·k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1) 答案0°<α≤90°解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是() A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)答案D解析D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在．2．(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案BC解析由题意得直线的斜率为3或－3，故直线的倾斜角为60°或120°.3．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为()A ．－1B ．1C ．2D.43答案D解析由m －(－2)3－m＝2，得m ＝43. 4．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案C解析∵直线的斜率k ∈(－∞，3]，∴k ≤tan π3，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.5．若A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为() A ．2B ．－2C.52D ．－12答案C解析因为A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线， 所以k AB ＝k AC ，即3－2－2－3＝3－m －2－12， 所以－15＝3－m －52，解得m ＝52. 6．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是()A ．[0,2]B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 答案A解析如图所示，当直线l 在l 1的位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2的位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．答案(3,0)或(0,3)解析由题意知，k P A ＝－1，若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为P (m ,0)(m ≠1)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3，即P (3,0)．若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，即P (0,3)．综上，点P 的坐标为(3,0)或(0,3)．8．若经过点A (1－t ,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是________．答案(－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t<1.9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?(4)直线的倾斜角为45°？(5)直线的倾斜角为锐角？解(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝1 3，即1－mm＋1＝13，解得m＝12.(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即m－1－1－m＝1，解得m＝0.(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即m－1－1－m>0，解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以k OD＝k BC＝tan60°＝ 3.因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以k OB＝k CD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以k OC＝tan30°＝33，k BD＝tan120°＝－ 3.11．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析设A (a ，b )是直线l 上任意一点，则平移后得到点A ′(a －2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－b a －2－a＝－1. 12．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ 34<k <2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >2或k <34 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >34D ．{k |k <2} 答案A解析∵k AP ＝3－12－1＝2，k BP ＝－2－1－3－1＝34，如图，∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，2. 13．已知直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析当倾斜角α＝π2时，l 的斜率不存在； 当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，l 的斜率k ＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，l 的斜率k ＝tan α∈(－∞，－1]． 综上，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．已知O (O 为坐标原点)是等腰直角三角形OAB 的直角顶点，点A 在第一象限，∠AOy ＝15°，则斜边AB 所在直线的斜率为________．答案33或－ 3解析设直线AB 与x 轴的交点为C ，(图略)则∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－75°＝60°.所以k AB ＝tan30°＝33或k AB ＝tan120°＝－ 3.15．已知函数f (x )＝log 3(x ＋2)，若a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为()A.f (c )c <f (b )b <f (a )aB.f (a )a <f (b )b <f (c )cC.f (c )c <f (a )a <f (b )bD.f (a )a <f (c )c <f (b )b答案B解析作出函数f (x )＝log 3(x ＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知，y 轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f (a )a <f (b )b <f (c )c .故选B.16．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围． 解y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率．因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32， 又k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。

【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。

4.直线的倾斜角的大小为。

【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。

【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。

7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。

解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。

直线的倾斜角、斜率、斜率公式一、新知学习A ．直线的倾斜角 1．直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时 直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角． （ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角． 2．直线倾斜角的范围：[0,)π．3．直线倾斜角与直线的对应关系是“一对多”关系．即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线；反过来，坐标平面内的任意一条直线，都有唯一的倾斜角． B ．直线的斜率1．直线的斜率定义注：对直线斜率定义的理解：（1）当倾斜角时时，直线的斜率不存在，但并不表示该直线不存在，此时，直线垂直于轴（或平行于轴或与轴重合）． （2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．2．斜率公式条件：直线l 经过两点：111(,)P x y 、222(,)P x y ，其中12x x ≠． 斜率公式：21122112y y y y k x x x x --==--． 证明：设直线12PP 的倾斜角为(90)αα≠︒，当直线12PP 的方向（即从1P 指向2P 的方向）向上时， 过点1P 作y 轴的垂线，过点2P 作x 轴的垂线，两线相交于点Q ，于是点的坐标为21(,)Q x y 如图（1）（2）．在图（1）中，… 在图（2）中，…不存在，90α≠︒． tan ,90,k αα≠︒⎧=⎨⎩即都有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 同样，当直线21P P 的方向向上时，如图（3）（4），也同样有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 综上，直线12PP 的斜率公式为2121y y k x x -=-． 3．直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题： （1）由直线倾斜角范围求斜率范围．（2）由直线斜率范围求倾斜角范围． 4．直线斜率的求法： （1）定义法； （2）公式法；（3）直线方程法：将在后面介绍．二、知识迁移A ．概念理解题例 下列命题：①任意一条直线都有倾斜角；②任意一条直线都有斜率；（《5.3》P77页例2） ③若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ④若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α； ⑤直线的倾斜角越大，它的斜率越大；⑥直线的倾斜角[0,)(,)22ππαπ∈时，直线斜率分别在[0,)2π、(,)2ππ这两个区间上单调增加．正确命题的序号是 ①⑥ ．B ．求直线斜率例 求经过下列两点的直线的斜率（如果存在）和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不等的实数． （1）(,)a c ，(,)b c ；（2）(,)a b (,)a c ，；（3）(,)a a b +，(,)c b c +．（《5.3》P78页例1）经过：（1）斜率0k =，倾斜角为0︒．（2）斜率不存在，倾斜角为90︒．（3）斜率1k =，倾斜角为45︒．C ．求斜率和倾斜角范围例1 （由斜率范围求倾斜角范围）已知直线l 的斜率[k ∈-，则其倾斜角α取值范围是3[0,)[,)34πππ．自主体验（1）若直线l 的斜率k =，则其倾斜角α取值范围是5[0,)[,)66πππ．（2）设直线的斜率为k，且k <α的取值范围是2(0,)(,)63πππ．例 2 （由倾斜角范围求斜率范围）若一条直线的倾斜角2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则这条直线的斜率k ∈(,(3,)-∞+∞．自主体验 若直线l 的倾斜角2[,]43ππα∈，则这条直线的斜率k ∈(,[1,)-∞+∞．例3 （由直线的位置求斜率或倾斜角范围）过点(1,2)P -的直线l 与线段AB 相交，若(2,3)A --，(4,0)B ，求直线l 的斜率k 的取值范围．（《5.3》P78页例2）D ．有关斜率的计算例 （1）已知点(,3)A m m --，(2,1)B m -，(1,4)C -，直线AC 的斜率等于直线BC 斜率的3倍，求实数m 的值．解：直线AC 的斜率71AC m k m +=-+，直线BC 的斜率53BC m k -=． 因为3AC BC k k =，所以751m m m +-=-+，整理得2320m m -+=，解得1m =或2m =． （2）若直线l 的倾斜角是连结(3,5)A -、(0,9)B -两点的直线倾斜角的2倍，求l 的斜率．解：设直线AB 的倾斜角为α，则l 的倾斜角为2α．由已知：9(5)4tan 033AB k α---===-． 又因为tan2l k α=，所以2422tan 243161tan 719l k αα-===---．所以直线l 的斜率为247-． 自主体验 1．已知直线l 的倾斜角α满足1sin cos 5αα+=和12sin cos 25αα⋅=-，则l 的斜率为 A ．43 B ．34 C ．43- D ．43-或34- 2．已知点(cos77,sin 77)A ︒︒，(cos17,sin17)B ︒︒，则直线AB 的斜率为 A ．tan 47︒ B ．1tan 47︒C ．tan 47-︒D ．1tan 47-︒。