复变函数教案第一章复变函数教案课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
章节名称：第一章复数与复变函数学时安排：10学时教学要求：使学生掌握复数的概念，理解复数的几何意义及熟悉平面点集系列概念。
教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根；平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。
教学难点：理解扩充复平面的相关概念。
教学手段：课堂讲授教学过程：一、引言复数的产生和复变函数理论的建立1，1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。
后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。
这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。
2，1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。
用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。
3，19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的。
4，20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。
5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系。
其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较。
§1、复数及其代数运算1，复数概念：（1）称),(R y x iy x z ∈+=为复数；（2）称z x Re =为复数),(R y x iy x z ∈+=的实部；称z y Im =为复数),(R y x iy x z ∈+=的虚部；（3）纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；（4）两个复数相等；（5）虚数不能比较大小。
（6）共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数。
记z 的共轭复数为z 。
2，复数的代数运算：设111iy x z +=，222iy x z +=，（1）加减法：±+)(11iy x )(22iy x +)()(2121y y i x x ±+±=；（2）乘法：?+)(11iy x )(22iy x +)()(21122121y x y x i y y x x ++-=；（3）除法：0222≠+=iy x z ，222221122121221121)()(y x y x y x i y y x x iy x iy x z z +-++=++=；（4）共轭复数的运算：1）2121z z z z ±=±，2121z z z z ?=，2121)(z z z z =； 2）z z =；3）2222)][Im()][Re(y x z z z z +=+=?；4）)Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+。
显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
3，应用举例：例1，设i z 551-=，i z 432+-=，求)(,2121z z z z ；例2，设ii i z ---=131，求z Re 、 z Im 、z z ?；练习：求)(1cos 1cos ?ηθηθηi e z =+-=的实部和虚部。
§2、复数的几何表示1，复平面（1）复数z 表示为复平面上的点因为复数),(R y x iy x z ∈+=由一对有序实数),(y x 唯一确定，从而复数全体与直角坐标平面上点的全体构成一一对应关系，所以，复数),(R y x iy x z ∈+=可以用复平面上的点),(y x 来表示。
我们把直角坐标系中的X 轴称为实轴，而把Y 轴称为虚轴，把实轴和虚轴决定的平面称为复平面或Z 平面。
下面我们利用复平面上的点对应的以原点为起点的向量来定义模和辐角的概念。
（2）复数z 表示为复平面上的向量1)模的定义：显然，在复平面上，复数z 与从原点指向点),(R y x iy x z ∈+=的平面向量一一对应，因此复数z 能用向量表示。
向量的长度称为z 的模或绝对值，记为22y x r z +== 显然，)Im()Re(z z z +≤；z z ≤)Re(；z z ≤)Im(；22z z z z ==；z z =；2121z z z z +≤±；)Re(2212221221z z z z z z ±+=±2)辐角在0≠z 时，以正实轴为始边，以表示z 的向量为终边的角的弧度数θ称为z 的輻角，记为xy Argz Argz ==)tan(,θ 任何一个复数0≠z 有无穷多个輻角，如果1θ是其中一个，则为整数）k k Argz (21πθ+= 给出了z 的全部輻角。
輻角主值：在0≠z 的所有輻角中，满足πθπ≤<-0的0θ称为πθk Argz 21+=的主值，记作z arg 0=θ=<<><±<>=±<=>>==)0,0(,)0,0,0(,arctan )0,0,0(,2)0,0,0,0(, arctan arg 0y x y y x x y y y x y y y x x y z πππθ （3）复数的三角形式和指数形式称)sin (cos θθi r z +=；θi re z =分别为复数z 的三角形式和指数形式。
应用举例：例1，将下列复数化为三角形式与指数形式i z 212--=； 5c o s 5s i n ππi z += 例2，设21,z z 为两个任意复数，证明：2121z z z z =；2121z z z z +≤±练习题1：试将复数)0(sin cos 1πθθθ≤≤+-i 化为三角形式与指数形式。
练习题2：若11<="">1<--z z z z 。
2，复球面复数可以表示为复平面上的点及向量（几何表示）本节用复球面上的点来表示复数。
1）球面上的点，除去北极N 外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。
2）为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定：复平面上有一个唯一的“无穷远点”，它与球面上的北极N 相对应。
相应地规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并记作∞。
这样一来，球面上的每一个点，就有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面。
3）包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面或称复平面。
§3、复数的乘幂与方根1，乘积与商1）定理1两个复数乘积的模等于它们的模的成绩；两个复数成绩的輻角等于它们的輻角的和。
2）定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的輻角等于被除数与除数的輻角之差。
3）应用举例：已知正三角形的两个顶点为i z z +==2,121，求它的另一个定点。
2，幂与根1）棣莫弗公式：θθθθn i n i n sin cos )sin (cos +=+2）方根公式：)2sin 2(cos),sin (cos n k i n k r i r n n πθπθωθθω+++=+=)1,,2,1(-=n k 3）应用举例：求41i +1，区域的概念：1）邻域：平面上以0z 为中心，δ（任意正数）为半径的圆：δ<-0z z 内部的点的集合称为0z 的邻域，而称由不等式δ<-<00z z 所确定的点集为0z 的去心邻域。
2）内点：设G 为平面点集，0z 为G 中任意一点，如果存在0z 的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G ，那么称0z 为G 的内点。
3）开集：如果G 内的每个点都是它的内点，那么称G 为开集。
4）区域：平面点集D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件：D 是一个开集；D 是连通的（即D 中任何两点都可以完全属于D 的一条折线连接起来）。
5）边界点（边界）：设D 为平面内的一个区域，如果点P 不属于D ，但在P 的任意小的邻域内总含有D 中的点，这样的点P 称为D 的边界点；D 的所有边界点组成D 的边界。
（区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成）6）区域D 与它的边界一起构成闭区域。
7）如果一个区域D 可以被包含在一个以原点为中心的圆里面，即存在正数M ，使区域D 的每个点z 都满足M z <，即称D 为有界的。
否则称为无界的。
2，单连通域与多连通域1）连续曲线：如果)(),(t y t x 是两个连续的实变函数，那么，方程组)(),(t y y t x x == )(b t a ≤≤代表一条平面曲线，称为连续曲线。
2）按段光滑曲线：如果在区间b t a ≤≤上)(),(''t y t x 都是连续的，且对于t 的每一个值，有0)]([)]([2'2'≠+t y t x ，那么这曲线称为光滑的。
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。
3）简单曲线或JORDAN 曲线：没有重点的连续曲线称为简单曲线。
4）单连通域和多连通域：复平面上的一个区域B ，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B ，就称为单连通域。
一个区域如果不是单连通域，就称为多连通域。
§5、复变函数1，定义：设G 是一个复数，iy x z +=的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G 中的每一个复数iy x z +=，就有一个或几个复数iv u w +=与之对应，那么称复变数iv u w +=是iy x z +=的函数（简称复变函数），记)(z f w =。
1）定义域与值域与实变函数类似；2）单值函数与多值函数。
2映射的概念：1）对于复变函数，由于它反应了两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面内的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系。
2）如果用z 平面上的点表示自变量z 的值，而用另一个平面上的点表示函数的值，那么函数)(z f w =在几何上就可以看做是把z 平面上的一个点集G 变到平面上的一个点集的映射。
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