第一章复数与复变函数
一、学习要求
1．熟练掌握复数的运算。
2．掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确求出复数的实部、虚部、模与辐角。
3．了解各种区域。
4．了解共轭复数的性质。
5．理解复数几何意义。
6．理解复函的极限与连续，知道复函极限存在与连续的充要条件。
二、考核知识点
1．复数的定义。
2．复数的代数运算。
3. 共轭复数的定义与性质。
4．复平面和复数的点表示法、复数的向量表示法。
5．复数的代数式、三角式及指数式。
6．常用曲线的复数方程。
7．复数的积与商。
8．复数的幂与方根。
9．点的邻域。
10．区域。
11．复函定义。
12．复函极限与连续。
第一节复数
本节主要对复数与复数的运算作一次复习．
一、复数
一个复数可表示为，其中x，y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记为x=ReZ，y=ImZ；(即)——虚单位。
复数的上述表示称为复数的代数式。
讨论：1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x称为实数。
全体实数只是全体复数的一部分。
2)若实部x=0，虚部y=0，则z=0——复数零，即:
二、复数的四则运算
1)相等:
2)和差:
3)积:
4)商:
从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即交换律：
结合律：
分配律：
全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。
在复数域中，复数没有大小。
三、复平面
如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟
平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平
面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
在复平面上，从原点到点所引的矢量
op
与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：
这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。
四、复数的三角形式和指数形式
用极坐标r，θ代替直角坐标x和y来表示复数z，有
则复数ｚ可表示为：——三角式
利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为：
——指数式
叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz．讨论：
i)．复数的幅角不能唯一地确定。
如果是其中一个幅角，则
也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz。
ii)．复数“零”的幅角无定义，其模为零。
iii)．当r=1时,称为单位复数．
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
所以有
例
例2
例3 求
根据图1.1，图1.2，图1.3还可以得出三角不等式
五、共轭复数
一个复数
的共轭复数为
或称ｚ与
复数共轭。
性质：
55332(cos sin )3(cos sin )8888886(cos sin )
88
6
i i i ππππππ+⋅+=+=-4
12(cos
sin )244
i
i i e ππ
π
+=+=313
31231cos 0sin 000
cos sin 1
330202cos sin
330404cos sin
33
i w i w i w i ππ
ππ
=+=+=++=+++=+
六、复数的乘幂与方根
非零复数ｚ的整数次幂
为
当r ＝１时
上式为棣摩弗公式。
非零复数ｚ的整数次根式
为
k=0,1,2,…，n-1．
讨论：给定的可以取n 个不同的值，它们沿中心在原点，半径为
的圆周而等
距地分布着。
例4 用sin θ及cos θ表示cos3 θ, sin3 θ
由复数相等的关系有： 11题， 证明：
同理
17：证明三角形的内角和等于π。
3
3223cos3sin 3(cos sin )cos 3cos sin 3cos sin sin i i i i θθθθθθθθθθ
+=+=+--32cos3
cos 3cos sin θθθθ
=-23sin 33cos sin sin θ
θθθ
=-121112
2
2
2
2
2122
2
2
2
2122
2
2
1232()2()2()2(11)13z z z z z z z z z z z z z z z ++-=+∴
-=+-+=+-=+-=2
233
z z -=2
313
z z -=21
31
32
arg arg
z z z z z z z z αβ-=--=-3213
21311223
1
z z z z z z z z z z z z ---=----
证：设三角形的三个顶点分别为z1，z2，z3；对应的三个顶角分别为α，β，γ，于是由假设0〈α〈π，0〈β〈π，0〈γ〈π，所以0〈α+β+γ〈3π，故必k=0，因而α+β +γ=π
第二节复变函数的基本概念
一、区域与约当曲线
1、区域，邻域:
(1)、区域的定义：设有非空点集D，如果满足：
①开集性：在D中的每一点z，都必有以z点为圆心的一个充
分小的圆全含于D内(即圆内的每点都是D内的点)。
②连通性：D内任意两点都可以用一条由D内的点所构成的折
线连接，则称D为区域（图1.4）图1.4
(2)、邻域：邻域是区域最简单的例子，所谓点a的邻域，是指满足
的点所组成的集合．即以a为心，为半径的圆的内部(图1.4)
2、界点，边界、闭区域
若点P不属于区域D，但在P的任意邻域内总包含有D中的点，则点P叫做区域D的界点。
D的所有界点的集合叫做D的边界(图1.4)区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，用表示。
3、简单曲线或约当曲线
(1)、连续曲线：如果和是两个连续的实变函数，则方程组
代表一条平面曲线，称为连续曲线，如果用
来表示，这就是平面曲线的复数表示式。
(2)、重点：若对不同时是的端点，有，则称为曲线c的重点。
(3)简单曲线（或约当曲线）：没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线。
(4)简单闭曲线：如果简单曲线c的起点与终点重合，即，则称曲线c为简单闭曲线或约当闭曲线(图1.5(a))
因此，连续曲线有以下四种情况:图1.5
4、单连通域与复连通域：
如果在区域D内任作一条简单闭曲线，而曲线的内部每一点都属于D，则称D为单连通区域．如果一个区域不是单连通区域，则称为复连通区域．
单连通区域的重要特征是：区域D内任意一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而复连通区域不具有这个特征．
图1.6
二、复变函数的概念
1、复变函数的定义
设D为复数的集合，
式中：表示所有的，任意等意思；表示存在．z称为自变（或宗量），D称为函数的定义域，而对应值w的全体所构成的复数集称为函数的值域．
把复变函数的实部和虚部分别记作，即。
这就是说，复变函数可以归结为一对二元实函数，因此，实变函数论的许多定义、公式、定理都可以直接移植到复变函数论中，如复变函数的极限和连续性等。
２、复变函数的几何表示
要描述的图形，可取两张复
平面，分别称为z平面与w平面，而把复
变函数理解为两个复平面上的点集间的对
应，如图 1.7所示。
具体地说，复变函数
给出了从z平面上的点集D到w
平面上的点集F间的一个对应关系，与点对应的点称为z点的象点，而z点就称为的原象。
三、复变函数的极限与连续
这部分的内容与实变函数的极限与连续类似，请大家自学．
第三节复球面与无穷远点
一、复球面
复数的另一种几何表示，就是建立
复平面与球面上的点的对应。
把一
个球放在复平面上，球以南极S跟
复数平面相切原点，通过O点作一
垂直于z平面的直线与球面交于N
点，N称为球的北极，在复平面上
任取一点z，它与球的北极N的联
线跟球面相交于，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球．
考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周（即纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N．因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。
无远点的幅角没有明确意义，复平面加上点后，称为扩充平面（或闭平面，全平面），与它所对应的就是整个球面，称为复球面，原来的复平面称为开平面。
讨论：
1)复平面上的无穷远点，只有一点，即当时的极限点(不论取何值)，是指沿任意方向趋于。
2)无穷远点的运算与实变函数中的复变函数的运算相似。
二、闭平面上的几个概念
i）．无穷远点的邻域：以原点为心的某圆周的外部，即的邻域是指合乎条件
的的点集．
ii）．闭平面是唯一的无边界的区域，无穷远点是开平面的界点，是闭平面的内点。
习题
本章习题：P16 1(2)(4)，2(2)(3)，4，7，10，12(1)(2)(7)(9)(10) 注：各章习题均为教材上的习题。
