最新二阶与三阶行列式.ppt1

线性代数二阶与三阶行列式
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

19 世纪末美国数学物理学家吉布斯( Willard Gibbs ) 发表了关于《向量分析基础》 的著名论述。
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其后英国物理学家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 19021984)提出了行向量和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给 出的。
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阿贝尔(Abel) 与伽罗瓦(Galois)
挪威数学家阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6)，以证明 五次元方程的根式解的不可能性而闻名。 法国数学家厄米特（Hermite 1822—1901）在谈 到阿贝尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作， 可以使以后的数学家足够忙碌150年！” 在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作， 于是在不到20岁的时候在代数方程论推陈出新创立了 一门新的数学理论——伽罗瓦理论，这个发现者伽罗 瓦还建立了群论的基础理论。
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范德蒙( Vandermonde ) 是第一个对行列式 理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线 性方程组求解相分离)的人。并且给出了一 条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式。就对行列式本身进行研究这一点而 言，他是这门理论的奠基人。
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拉世 界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些 规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所 含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这 个方法现在仍然以他的名字命名。
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对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,

a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D

称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D

ai1
Ai1

ai 2
Ai
2

L

a a a 0 当a 时,方程组有唯一解： 11 22 12 21
b a b a 1 22 2 12 x 1 a a a a 11 22 12 21 b a b a 2 11 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
当 D
a 11 a 21
a 12 a 22
D 30 D 1 2 15 于是方程组的解为：x 2 , x 1 1 2 D 15 D 15
2、三阶行列式
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
0 时，
x1 方程组的解是：
D1 D2 , x2 D D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。 为便于记忆，引进如下记号： 称其为二阶行列式 据此，解中的分子可分别记为：
a 11 a 12 a 21 a 22
a a a a 11 22 12 21
b a 1 a 12 11 b 1 D , D 1 2 b a a 2 22 21 b 2
称为三阶行列式. “
( i , j 1 , 2 , 3 ) 称为它的元素。 数a ij
”三元素乘积取正号；
“
”三元素乘积取负号。
1 2 4 例2 计算行列式 D 2 2 1 3 4 2
解：由对角线法，有D=1.2.(-2)+2.1.(-3)+(-4).(-2).41.1.4-2.(-2).(-2)-(-4).2.(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14 例3 解线性方程组

定义： 称
a 21 a 31
为三阶行列式. ( 三行三列 )
它表示代数和
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32
a1 1 a 2 3 a 3 2 a1 2 a 2 1 a 3 3 a1 3 a 2 2 a 3 1
三阶行列式的计算
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
第一章 行列式
§1.1 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 二、三阶行列式
一、二阶行列式的定义
定义： 记号
a1 1 a 21 a1 2 a 22
称为二阶行列式.
a 11 a 22 a 12 a 21
它表示代数和 即
a1 1 a 21 a1 2 a 22
a11 a 22 a12 a 21 .
（其中: 横排叫行 ,纵排叫列; 它有两行两列）
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a 12 a 22
a 11 a 21

a11a22 a12a21

即 主对角线上两个元素的乘积减去副对角线 上两个元素的乘积 （这种方法也称为：按对角线展开法）
例1
5 3
1 2
5 2 ( 1) 3 13
a
1 a 1
0 0 1
解:因为
2
1 4
a 0 0 0 1 0
2
a 1
2
且 a 1 0
a 1 a 1 0

|a| 1
因此 1
4
0 0 的充分必要条件是 | a | 1 . 1
作业