1-1二阶与三阶行列式

线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。

在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。

本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。

计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。

常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。

⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。

本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。

本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。

==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。

因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。

设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。

即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。

这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。

由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。

第一章行列式第一节二阶与三阶行列式1．二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当时，有（2）这就是二元方程组的解的公式。

但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。

我们称记号为二阶行列式，它表示两项的代数和：即定义（3）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即－＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有如果将D中第一列的元素a11，a21换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1的表达式的分子。

同理将D中第二列的元素a12，a22换成常数项b1，b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为其中D≠02. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为（1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当时，有（2）这就是三元方程组的解的公式。

这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。

我们称记号为三阶行列式。

三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为于是有按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。

12n n n n nn n a x a x a x +++= （1。

2。

1) 1b ，（1．2．2)引入符号称为三阶行列式(（1。

2。

2)的系数行列式)。

当系数行列式0≠D 时，三元一次方程组（1.2.2）有惟一解， 其中 DD x D Dx D D x 332211,,===3、三阶行列式的对角线法则：＝312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++补充：三阶行列式具有以下特点:（1)三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积,除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成332211p p p a a a ，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成 321p p p ，它是自然数1,2,3的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列:123 ，231,312 ；带负号的三项列标排列是：132,213，321．前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列,因此各项所带符号可以表示为t)1(-，其中111122133121122223323113223332a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，111213212223313233a a a D a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---1121312222333233,b a a D b a a b a a =1111322122331333,a b a D a b a a b a =1112132122231323a ab D a a b a a b =简记为)det(ij a D =。

二三阶行列式的计算公式行列式是线性代数中的一种基本概念，它是一个方阵的一个标量值，用于表示线性变换对体积的影响。

在实际应用中，求解行列式是非常重要的，因此，对于二三阶行列式的计算公式的掌握显得尤为重要。

一、二阶行列式的计算公式二阶行列式是一种特殊的行列式，它由一个2×2的方阵构成。

其计算公式为：$$begin{vmatrix}a & bc & dend{vmatrix} = ad-bc$$其中，a、b、c、d均为实数。

二阶行列式的计算公式非常简单，只需要将主对角线上的元素乘起来，再将副对角线上的元素乘起来，最后将两个积相减即可。

例如，求解以下二阶行列式：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix}$$根据公式可得：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix} = (1times4)-(2times3)=-2$$因此，二阶行列式的计算非常简单，只需要掌握公式即可。

二、三阶行列式的计算公式三阶行列式是一种比较常见的行列式，它由一个3×3的方阵构成。

其计算公式为：$$begin{vmatrix}a &b & cd &e & fg & h & iend{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i均为实数。

三阶行列式的计算公式比较复杂，需要掌握一定的技巧。

一种常用的计算方法是“按行展开法”，即按照第一行的元素展开，将行列式转化为二阶行列式的形式，然后再利用二阶行列式的计算公式进行求解。

例如，求解以下三阶行列式：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix}$$按照第一行的元素展开，有：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1begin{vmatrix}5 & 68 & 9end{vmatrix} - 2begin{vmatrix}4 & 67 & 9end{vmatrix} + 3begin{vmatrix}4 & 57 & 8end{vmatrix}$$利用二阶行列式的计算公式，可得：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} =1times(5times9-6times8)-2times(4times9-6times7)+3times(4tim es8-5times7)=-6$$因此，掌握了行列式的计算公式和计算方法，就可以轻松求解二三阶行列式了。