D1_1二阶与三阶行列式

矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。

即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。

定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。

⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。

可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。

若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。

例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。

例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。

第一章 行列式要求：1） 理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法； 2） 利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n 阶行列式。

3）掌握克莱姆法则。

1.1 二阶、三阶行列式知识点：二阶、三阶行列式的引入及特征。

一、2阶、3阶行列式由422=个数，按下列形式排成2行2列的方形22211211a a a a ， 记作 2D其被定义为一个数：2112221122211211a a a a a a a a -=，由933=个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数3D =332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=一般2阶, 3阶行列式的计算可按对角线法得到。

例1 （1）计算243122421---- 的值。

（2）求094321112=x x的根。

解 （1）14243122421-=---- （2） 0)3)(2(94321112=--=x x x x三阶行列式定义的特征：（1） 共有3！=6项相加，其结果是一个数；（2） 每项有3个数相乘： 321321p p p a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为123，列足标则是1，2，3 的某个排列 321p p p ；（3） 每项的符号由列足标排列321p p p 的奇偶性决定，即符号是 )(321)1(p p p τ-。

故三阶行列式可写成321321321!3)(3332312322211312113)1(p p p p p p a a a a a a a a a a a a D ∑-==τ1.2 全排列与逆序数知识点： 排列； 逆序。

一、 排列定义1（排列） n 个（不同）自然数 n ,,2,1 组成的一个有序数组 n p p p ,,,21 称作为n 级排列，其中每个自然数 i p 称作（第 i 个）元素。

二阶三阶行列式计算方法在线性代数中，行列式是一个与矩阵相关的重要概念。

行列式具有许多重要的性质和应用，例如计算矩阵的逆、解线性方程组、计算几何体的体积等。

在本文中，我将介绍二阶和三阶行列式的计算方法。

1.二阶行列式的计算方法二阶行列式指的是一个由2x2矩阵组成的行列式。

一个二阶矩阵可以表示为：abcd二阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = ，a*d - b*c其中，a、b、c、d分别表示矩阵中的元素。

2.三阶行列式的计算方法三阶行列式指的是一个由3x3矩阵组成的行列式。

一个三阶矩阵可以表示为：abcdefghi三阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = a*(e*i - h*f) - b*(d*i - g*f) + c*(d*h - g*e)在这个公式中，每个元素与其所在行号和列号有关。

元素a与第一行第一列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第一列之后的所有元素。

元素b与第一行第二列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第二列之后的所有元素，以此类推。

最后，根据正负规律，将所有乘积相加得到最终的结果。

3.示例计算让我们通过一个具体的示例来计算一个二阶和一个三阶行列式。

a)计算二阶行列式：2345使用二阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2所以这个二阶行列式的结果是-2b)计算三阶行列式：123456789使用三阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 1*(5*9 - 8*6) - 2*(4*9 - 7*6) + 3*(4*8 - 7*5)=1*(45-48)-2*(36-42)+3*(32-35)=-3+12-9=0所以这个三阶行列式的结果是0。

通过以上示例，我们可以理解二阶和三阶行列式的计算方法。

对于更高阶的行列式，可以使用类似的方法进行计算，但公式会变得更加复杂。

第一章 行列式主要内容：排列N 阶行列式行列式的性质 行列式的计算 行列式展开定理 Cramer 法则§1.1 二阶与三阶行列式一、二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩(1)(2)用消元法解：22(1):a ⨯1122112222122,a a x a a x b a +=12(2):a ⨯1221112222212,a a x a a x b a +=两式相减消去2x 得：112212*********();a a a a x b a a b -=- 类似地，消去1x 得：112212212112121(),a a a a x a b b a -=- 所以当112212210a a a a -≠时，方程组的有解：122122*********b a a b x a a a a -=-，112121*********.a b b ax a a a a -=- (3)引入行列式记号11122122a a a a 11221221a a a a =-，其中称ij a 为二阶行列式的元素， i 为行标，j为列标，其计算遵循对角线法则，即主对角线元素乘积减去副对角线元素的乘积。

从而上面二元线性方程组的解122122*********b a a b x a a a a -=-，112121211221221a b b ax a a a a -=-可以表示为：112222111122122,b a b a x a a a a = 111122211122122a b a b x a a a a =(4) 例1：求解二元线性方程组1212321221x x x x -=⎧⎨+=⎩解：由于323(4)70,21D -==--=≠ 112212(2)14,11D -==--= 231232421,21D ==-=- 因此，11142,7D x D === 22213.7D x D -===- 二、三阶行列式三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (5) 同样可以用消元法求解，分析其解的结构后引入三阶行列式记号：111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++112332122133132231a a a a a a a a a ---，其计算遵循对角线法则。