二阶与三阶行列式(1)

矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。

即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。

定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。

⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。

可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。

若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。

例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。

例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。

二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。

例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。

二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。

根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。

三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。

例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。

三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。

展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。

根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。

行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。

以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。

2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。

3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。

4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。

三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。

行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。

行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。

二三阶行列式的定义
二阶行列式（简称二阶式）是指在数学里由两行两列共四项组成的矩阵。

它是唯一能够通过四项元素（a，b，c，d）表示方程组：
ax + by = c
dx + ey = f
显然，它可用下列形式写成：
a b
d e
它当然也可以以另一种形式写：
这种表示法称为笛卡尔方程。

在数学中，二阶行列式是四项数字组成的矩阵，表示为：
它是众多方程组的唯一表示方式：
三阶行列式是指一个分解成三行三列的矩阵，有六个元素组成，它以行列式的形式写成：
它同时也可以写作：
它可以用于表示由三元一次方程组构成的系统：
ax² + by² + cz² = d
ex² + fy² + gz² = h
ix² + jy² + kz² = l
在数学中，三阶行列式是由六个元素（a,b,c,d,e,f,g,h,i）组成的矩阵，以一定的顺序分列的表示，表示形式有三种，它可以用来表示由三元一次方程组或三元二次方程组构成的系统。

第一章 行列式主要内容：排列N 阶行列式行列式的性质 行列式的计算 行列式展开定理 Cramer 法则§1.1 二阶与三阶行列式一、二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩(1)(2)用消元法解：22(1):a ⨯1122112222122,a a x a a x b a +=12(2):a ⨯1221112222212,a a x a a x b a +=两式相减消去2x 得：112212*********();a a a a x b a a b -=- 类似地，消去1x 得：112212212112121(),a a a a x a b b a -=- 所以当112212210a a a a -≠时，方程组的有解：122122*********b a a b x a a a a -=-，112121*********.a b b ax a a a a -=- (3)引入行列式记号11122122a a a a 11221221a a a a =-，其中称ij a 为二阶行列式的元素， i 为行标，j为列标，其计算遵循对角线法则，即主对角线元素乘积减去副对角线元素的乘积。

从而上面二元线性方程组的解122122*********b a a b x a a a a -=-，112121211221221a b b ax a a a a -=-可以表示为：112222111122122,b a b a x a a a a = 111122211122122a b a b x a a a a =(4) 例1：求解二元线性方程组1212321221x x x x -=⎧⎨+=⎩解：由于323(4)70,21D -==--=≠ 112212(2)14,11D -==--= 231232421,21D ==-=- 因此，11142,7D x D === 22213.7D x D -===- 二、三阶行列式三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (5) 同样可以用消元法求解，分析其解的结构后引入三阶行列式记号：111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++112332122133132231a a a a a a a a a ---，其计算遵循对角线法则。