高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

课题 变化的快慢与变化率学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2。

2. 知道平均变化率的定义.学习过程一：教材梳理阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1)x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x 。

(2) 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________。

2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；（2）求函数的增量________________;（3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘;②Δf=Δy=y 2-y 1；二。

效果检测1。

函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ） A 。

()0f x x +∆ B 。

()0f x x +∆ C 。

()0f x x ⋅∆ D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy . 三、合作探究在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t≤0。

5，1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2。

2，时间段里的平均速度. h to思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________。

第二章变化率与导数章末小结一、导数的概念1．函数在点x0处的导数f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．2．导函数f′(x)＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a；(4)f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝1cos2x；(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－1sin2x.2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x g x g 2x .3．复合函数的求导法则设复合函数μ＝g (x )在点x 处可导，y ＝f (μ)在点μ处可导，则复合函数f (g (x ))在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(μ)·g ′(x )，即y x ′＝y μ′·μx ′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．。

2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limΔx→0f（x1）－f（x0）x1－x0＝limΔx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.设函数y＝f(x)可导，则limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1) D.以上都不对【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.【答案】 A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y ＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋4－（x2＋4）Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.【答案】4x＋y＝0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)若limΔx→000Δx＝k，则limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx等于( )A.2kB.kC.12k D.以上都不是(2)函数y＝x在x＝1处的导数是________.(3)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【精彩点拨】根据导数的概念求解.【自主解答】(1) limΔx→0f（x0＋2·Δx）－f（x0）Δx＝lim Δx →0f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）2·Δx ·2＝2·lim Δx →0f （x 0＋2·Δx ）－f （x 0）2·Δx＝2k .(2)∵Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12，∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.【答案】 (1)A (2)12(3)∵f (x )＝2x 2＋4x ， ∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx . ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，ΔyΔx→16，∴f ′(3)＝16.1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤： (1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0ΔyΔx.[再练一题]1.若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )【导学号：94210036】A.1B.－1C.±1D.3 3【解析】 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3，得3x 20＝3，∴x 0＝±1. 【答案】 C已知曲线C ：f (x )＝3x 3＋3.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求f ′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程.(2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解.【自主解答】 (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2，4).f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →013（2＋Δx ）3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2，4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0).特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.[再练一题]2.(2016·临沂高二检测)求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线方程.【解】 在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1，2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝Δx 2＋2·Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1，2)处的切线斜率k ＝2. ∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[探究共研型]探究【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数. 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值. 探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？【提示】 不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程.【精彩点拨】 (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程.(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程.【自主解答】 (1) lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →0－1（x ＋Δx ）x ＝－1x2.设过点A (1，0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上， 所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1，0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1.求曲线过已知点的切线方程的步骤2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.[再练一题]3.求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1，0)的切线方程.【解】 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx ＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，（a 2＋1）－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).[构建·体系]1.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.【答案】 A2.曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )【导学号：94210037】A.30°B.45°C.135°D.165°【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12Δx ＝1， ∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. 【答案】 B3.曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________.【解析】 f ′(－2)＝lim Δx →0f （－2＋Δx ）－f （－2）Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx＝lim Δx →01－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.【答案】 x ＋2y ＋4＝04.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图2­2­1所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”“＝”或“＞”).图2­2­1【解析】 f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，由图像可得f ′(a )＞f ′(b ).【答案】 ＞5.已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值.【解】 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3)， a 的值为12127或－5.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A.4 B.－4 C.－2 D.2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D.【答案】 D2.(2016·衡水高二检测)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)＝0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在【解析】 切线的斜率为k ＝－2，由导数的几何意义知f ′(x 0)＝－2<0，故选C. 【答案】 C3.已知曲线f (x )＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A.(1，1)B.(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1)D.(2，8)或(－2，－8)【解析】 因为f (x )＝x 3，所以lim △x →0Δy Δx ＝lim △x →0（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝lim △x →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1). 【答案】 C4.(2016·银川高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0 （x ＋Δx ）2－x2Δx＝lim △x →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5.曲线f (x )＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )【导学号：94210038】A.2B.－4C.3D.14【解析】 因为lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim △x →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为 k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4. 【答案】 B二、填空题6.(2016·太原高二检测)若f ′(x 0)＝1，则lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k＝__________. 【解析】 lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k＝－12lim △x →0f （x 0－k ）－f （x 0）－k ＝－12f ′(x 0)＝－12. 【答案】 －127.曲线f (x )＝x 2－2x ＋3在点A (－1，6)处的切线方程是__________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为A (－1，6)，所以斜率k ＝f ′(－1)＝lim △x →0（－1＋Δx ）2－2（－1＋Δx ）＋3－（1＋2＋3）Δx ＝lim △x →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0.【答案】 4x ＋y －2＝08.若曲线f (x )＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________.【解析】 设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim △x →0（x 0＋Δx ）2＋2（x 0＋Δx ）－x 20－2x 0Δx ＝lim △x →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0，0).【答案】 (0，0)三、解答题9.(2016·安顺高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0， 解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1，4)，又（Δx ＋1）2＋3－（12＋3）Δx＝Δx ＋2. 当Δx 趋于0时，Δx ＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2.10.试求过点P (3，5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程.【解】 lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0).∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20.又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0，∵所求切线过P (3，5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3， 解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25).当切点为(1，1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1.(2016·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足f （1）－f （1－x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A.2B.－1C.1D.－2【解析】 ∵lim △x →0f （1）－f （1－x ）2x ＝12lim △x →0f （1－x ）－f （1）－x ＝－1， ∴lim △x →0f （1－x ）－f （1）－x＝－2，即f ′(1)＝－2. 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D.【答案】 D2.(2016·郑州高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________.【解析】 设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim △x →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim △x →0a （x 0＋Δx ）2－ax 20Δx ＝lim △x →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1.又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14. 【答案】 143.已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值.【导学号：94210039】【解】 因为f ′(x )＝lim △x →0 Δy Δx ＝lim △x →0a （x ＋Δx ）2＋1－（ax 2＋1）Δx ＝2ax ， 所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .因为g ′(x )＝lim △x →0Δy Δx＝lim △x →0（x ＋Δx ）3＋b （x ＋Δx ）－（x 3＋bx ）Δx ＝3x 2＋b ， 所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b .因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.4.设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线 12x＋y ＝6平行，求a 的值.【解】 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9， 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12，∴－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。

课题 变化的快慢与变化率
学习目标
1.理解瞬时变化率的概念;
2. 会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习过程
一：教材梳理
阅读课本30P 页瞬时变化率的概念回答下面的问题：
1. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
求瞬时速度的步骤
（1） 设非匀速直线运动的规律为()s s t =;
（2） 设时间的改变量t ∆，求位移的改变量
_____________________;
（3） 求平均速度_______________;
（4） 求瞬时速度____________________.
二．效果检测
1. 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

2.已知质点M 按规律2()3s t t =-作直线运动, （位移单位：cm,时间单位：s ）
（1） 当t=2, t ∆=0.01时，求s t
∆∆； （2） 当t=2, t ∆=0.001时，求
s t ∆∆； 估计质点M 在t=2时的瞬时速度.
三、合作探究
1.质点M 按规律2()1s t at =+作直线运动 （位移单位：m,时间单位：s ）.问：是否存在常数a ，使质点M 在t=2s 时的瞬时速度为8m s ？
2.过曲线y=f(x)=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
四、课堂练习
1. 一木块眼某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数
关系为218
s t =，则t=2时，求木块的瞬时速度。

2. 求函数2x y =在,2,31=x 附近的平均变化率，取x ∆都为3
1，哪一点附近的平均变化率最大？ 我的收获：
我的困惑：。

陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.4.3 导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.4.3 导数的四则综合运算教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.3 导数的四则综合运算一、复习：1、两个函数和（差)的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g ',我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地,当k x g =)(时，有：)(])([x f k x kf '='二、探究新课例1:求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=； （2)2cos x xx y -=。

解：（1)解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=.（2）解一：22222)()()(cos )(cos cos x x x x x x x x x x y '⋅--⋅'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='3422cos 2)sin 1(2)(cos )1sin (x xx x x x x x x x x -++-=⋅--⋅--= 3cos 2sin x xx x x -+-=。

第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。

知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。

通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。

函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。

2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。

重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。

（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

1 变化率与导数1．变化率函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度哪个大？解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0.所以在时间段[0，t 0]内乙的平均速度比甲的大．点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．2．导数的概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点的导数即为函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例2 如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________.(用数字作答)解析 由A (0，4)，B (2,0)可得线段AB 的方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC 的方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝－2.答案 2 －2例3 函数f (x )的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处的切线的斜率．由图可见，过点B 的切线的斜率大于过点A 的切线的斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点的平均变化率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB 的斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 C点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．2 导数计算中的策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)Δx ＝________.分析 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应的Δy 也应选择对应的形式，本题中Δy 中x 的增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)2Δx ·2＝2f ′(1)＝12.答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2013)，求f ′(2013)的值．分析 本题的待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的入手点．若仔细观察分析，把前面的(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)看成一个整体，然后利用积的求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)，则f (x )＝(x －2013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2013)φ′(x )，于是有 f ′(2013)＝φ(2013)＝1×2×3×…×2012. 3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x 的导函数． 分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积的求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导的多项式展开，再利用公式求导，那么此题的求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32.点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误．3 巧用导数的几何意义解题1．求参数例1 设曲线y ＝f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.解析 根据导数的定义，Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx ＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋a Δx 无限趋近于2a ， 即f ′(1)＝2a .又由曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，即a ＝1. 答案 1 2．求倾斜角例2 求曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角．分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k ，再根据斜率k ＝tan α，求出倾斜角α. 解 设曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为α.f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－⎝⎛⎭⎫13－1＋5Δx＝13(Δx )3－Δx Δx ＝13(Δx )2－1，当Δx 无限趋近于0时，13(Δx )2－1无限趋近于－1，即tan α＝f ′(1)＝－1.因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.故切线的倾斜角为3π4.点评 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围． 3．求曲线的切线例3 求在点P ⎝⎛⎭⎫2，83处与曲线y ＝13x 3相切的切线方程． 分析 要求直线在点P 处的切线方程，需求得过点P 的切线的斜率k ，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，83在曲线y ＝13x 3上， Δy ＝13(2＋Δx )3－13×23＝4Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3，所以Δy Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，即k ＝4.故所求的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评 求在点P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程． 4．求切点的坐标例4 若曲线y ＝f (x )＝x 3＋1在点P 处的切线的斜率为3，求点P 的坐标．分析 要求点P 的坐标，可设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．解 设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，因为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20·Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，上式无限趋近于3x 20，所以3x 20＝3，解得x 0＝±1. 故点P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．点评 值得注意的是切点P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.4 剖析导数运算中的常见错误1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.故选A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f ′(1)是常数． 正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝－2.从而f ′(x )＝2x －4. 所以f ′(0)＝－4.故选B. 2．切点位置的确定有误例2 求过点P (1，0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切的直线的方程． 错解 由题意知点P (1，0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1，0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点)．正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)， 则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1，0)，得0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2，4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2，4)外没有其他的公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理，得x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0. 所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点的坐标为(2，4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．。

1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（ ）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（ ）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是 。

6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2， 则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是 。

7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。

8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。

9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。

答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。