(word完整版)数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一导数的概念平均变化率表示函数在某个区间内变化的快慢，瞬时变化率(导数)表示函数在某一点处变化的快慢．f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．例2航天飞机发射后的一段时间内，第t时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1 s内高度的平均变化率；(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．知识点二 导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，利用导数可以求曲线的切线斜率和切线方程．例3 已知曲线方程为y ＝x 2，(1)求过点A (2,4)且与曲线相切的直线方程；(2)求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围．知识点三 导数的计算导数的计算主要考查导数公式的应用和导数的四则运算，复合函数的求导．在求导数时，一定要认清函数的形式，然后选择适当的公式和法则进行计算．例5 (1)求函数f (x )＝4x 3在x ＝16处的导数；(2)求函数y ＝x 5＋x ＋sin x x 2的导数； (3)求函数y ＝e sin(2x ＋3)的导数．知识点四 导数的实际意义实际生活中存在大量的变化率问题，我们可以根据导数计算并表示变化的快慢，在实际问题中理解导数的意义．例6 在受到制动后的t 秒内飞轮转过的角度(弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2给出． 求：(1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度；(2)飞轮停止旋转的时刻．例7 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15 (0≤x ≤18)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．答 案重点解读例1 解 f ′(x )＝lim Δx →02(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )－(2x 2＋4x )Δx ＝lim Δx →04x ·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx ＋4)＝4x ＋4， ∴y ′|x ＝3＝f ′(3)＝4×3＋4＝16.例2 解 (1)h (0)表示航天飞机未发射时的高度，h (1)表示航天飞机发射1 s 后的高度． (2)Δh Δt ＝h (1)－h (0)1－0＝80(m/s)， 即第1 s 内高度的平均变化率为80 m/s.(3)h ′(1)＝lim Δt →0 Δh Δt ＝lim Δt →0h (1＋Δt )－h (1)Δt ＝lim Δt →0[5(Δt )2＋45Δt ＋120]＝120， 即第1 s 末高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s 末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加．例3 解 (1)∵A (2,4)在y ＝x 2上．由y ＝x 2得，y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x . ∴f ′(2)＝4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 20)．由(1)得y ′＝2x ，∴f ′(x 0)＝2x 0.∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．∵点(3,5)在切线上，∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)．即x 20－6x 0＋5＝0.解得x 0＝1或x 0＝5，∴切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.例4 解 (1)因为y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2Δx ＝3ax 2＋2bx .∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝43a ＋2b ＝9得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. (2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x＝3(x ＋1)2－3≥－3.∴过已知函数图像上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3. 例5 解 (1)∵f ′(x )＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x， ∴f ′(16)＝34·416＝34×2＝38. (2)∵y ＝x 3＋x －32＋sin x x 2， ∴y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(sin x )′x 2－(x 2)′sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x 2cos x －2x sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x －2cos x －2x －3sin x . (3)设y ＝e u ，u ＝sin t ，t ＝2x ＋3，则y ′＝y ′u ·u ′t ·t ′x ＝e u cos t ×2＝2e sin(2x ＋3)·cos(2x ＋3)．例6 解 (1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(弧度)．(2)由题意得，φ′(t )＝4－0.6t ，飞轮停止旋转，即瞬时角速度为0，所以令4－0.6t ＝0⇒t ＝203. 所以在t ＝203秒时飞轮停止转动． 例7 解 ∵f ′(x )＝2x －7，∴f ′(6)＝5.导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h ，原油温度将升高5 ℃.。

解析导数的计算一、几个常见函数的导数几个常见函数的导数如下表所示．二、基本初等函数的导数公式 其证明需用导数的定义，这里不作要求 ，但是需要熟记公式．1.为了便于记忆分类如下：常数函数的导数（1）若()f x C =，则()0f x '=．幂函数的导数（2）若()(N )n f x x n *=∈，则1()n f x nx -'=．三角函数的导数（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=．（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．指数函数的导数（5）若()x f x a =，则()ln (0)x f x a a a '=>．（6）若()x f x e =，则()x f x e '=．对数函数的导数（7）若()log a f x x =，则1()(01)ln f x a a x a '=>≠，且．（8）若()ln f x x =，则1()f x x '=．2．问题归类（1）前面的1()f x x =可以化为1()f x x -=， 由幂函数的导数可得221()1f x x x -'==-·； ()f x C =可以看作是0()f x Cx =·， 由幂函数的导数可得01()00f x C x -'==··； 因此表中4个常见函数的导数都可以归纳到幂函数的求导．（2）指数函数的导数（6）可以归到（5）由（5）可得，()ln f x x =的导数()ln x x f x e e e '==．（3）类似地，对数函数的导数（8）可以归到（7），同学们给出推导． 问题的归类可以形成知识网络，增强知识的记忆，灵活应用所学知识．3．两种求导方法：由导数的定义求导，由公式求导．三、导数的运算法则1．关于x 的函数简记为u v ，且可导，教材中的第91页导数的运算可以简记如下：（1）和（或差）的导数：()u v u v '''+=+．（2）积的导数：()uv u v uv '''=+．（3）商的导数：2(0)u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 商的导数要特别注意分子的形式，可以叙述为：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方． 其它导数公式同学们可以类似的叙述，以加深理解和记忆．四、复合函数求导法则求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数．也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系()y f u =，()u g x =；然后将已知函数对中间变量求导()u y '；最后求u x y u ''·，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解――求导――回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．。

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20192020 B ．20182019 C ．20172018 D ．20182017 3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．12C ．2eD ．e 4．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6-B ．8-C ．6D ．86．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ）A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（ ） A 31-B 13-C 31+ D ．31+9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[0，π) C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π] 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）.A ．1BC ．2D ．二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________． 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___． 20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．25．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行．(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围． 26．已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点，求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，， 设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>.所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C.【点睛】 本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称， 所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．A解析：A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称， 故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ； 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．A解析：A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+，()1f a '=， 所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A解析：A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A. 12．C解析：C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x '=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ． 【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考 解析：4【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果.【详解】 因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ， 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =， 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ，则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2 【分析】 转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】 由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a +=，解得a =∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】解得故故答案为 解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-， 然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程． （2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=， 则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．（Ⅰ）12(1)e +（Ⅱ）2a e ≥-【解析】试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II ）将f （x ）≥x 2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围． 试题（Ⅰ）∵当1a =时，()1xf x e x =+-，()1111f e e =+-=，()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-， 即()11y e x =+-．设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ， 令0x =得，1y =-，令0y =得，11x e =+， ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +．（Ⅱ）由()()()20,1f x x x ≥∈得，21x x ea x+-≥．令()211x xx e e h x x x x x+-==+-，则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=， 令()1xk x x e =+-，则()'1xk x e =-．∵()0,1x ∈，∴()'10xk x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，∴()()00k x k <=．又10x -<，20x >，∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>，∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-， 因此只需2a e ≥-即可满足题意． 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 23．（1）()10e x ey e -+-=（2）12a = 【解析】试题分析:（1）根据导数几何意义得切线斜率为()f e '，再根据点斜式得切线方程（2）根据分母符号转化为：1x >时()0max f x <，01x <<时()0min f x >，研究()f x ，其导函数有两个零点1x =或11x a =-，根据11a-与0,1大小分类讨论，确定函数单调性，进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题（1）1a =时，()ln 1f x x x =-+，()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-，()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= （2）∵当0x >且1x ≠时，不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立 等价于1x >时()0f x <，01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时，即102a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=，∴102a <<不符合题意②当111a -=时，即12a =时，()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=；()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时，即112a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时，即1a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意 综上，12a =. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4. 【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵()823f =， 所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0． （Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切， 所以切线方程为()()202y x ax =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25．（1）（2）答案见解析 （3）【解析】 试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的. （2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值； （3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题 (1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以. (2)由，.由，得或. ①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：2－＋＋2－2，为与中较大的一个．. 所以.(3)令，． 在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围. 26．（1）4180x y --=；（2）130x y -=. 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程． 【详解】（1）(1)14f =-，2()31f x x '=+(1)4f '=，144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为：4180x y --=（2）设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即：()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-，所以02x =-此时026y =-，切点(2,26)-- 所以直线l 方程为：130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.。

4.2 导数的乘法与除法法则一、基础过关1． 函数y ＝x 1－cos x的导数是 ( ) A.1－cos x －x sin x1－cos x B.1－cos x －x sin x(1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )22． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 ( )A ．－1B ．－2C ．2D ．03． 设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－24． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 25． 曲线f (x )＝x2x －1在点(1，1)处的切线方程为________．6． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，则a ＋b ＝________.7． 求下列函数的导函数：(1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x3x 2.二、能力提升8． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π9． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]10．若函数f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为________． 11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．12．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．答案1．B 2.B 3.D 4.B 5.x ＋y －2＝0 6.17．解 (1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝(x 3＋cot x )′ln x －(x 3＋cot x )(ln x )′ln 2x＝(3x 2－1sin 2x )x ln x －x 3－cot x x ln 2x. (3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x )′x －23＋(x ＋2sin x －2x )·⎝⎛⎭⎫x －23′ ＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x )x －53. 8．D 9.D 10.1211．解 ∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. 12．解 ∵f (x )的图像过点P (0，1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92. ∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4 解得⎩⎨⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝0. 所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

导数的四则运算法则【教学目标】知识与技术：1.能按照概念求函数的导数。

2.能按照导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数。

进程与方式：通过求导公式的推导，培育学生从具体到抽象，从特殊到一般的归纳能力。

情感态度与价值观：进展学生擅长质疑，擅长交流，擅长协作的情感。

【知识重点与难点】重点：导数公式和导数的四则运算。

难点：灵活运用导数公式和导数的四则运算进行相关运算。

【课前预习】1.大体初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)；（3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ；（5）=)'(x e ； （6）=)'(x a ；（7）=)'(ln x ； （8）=)'(log x a 。

2．导数的运算法则：（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])(['x cf = ；(3) ])()(['•x g x f = ； (4) ])()(['x g x f = 。

【典型例题】例1：求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2+=； （2）x x x h sin )(=； （3）tt t s 1)(2+=；（4）2623)(23+--=x x x x g ； （5）x x x x x f cos 1sin 2)(•+•=； （6）123)(2+--=x x x x f ； （7）)3)(2)(1()(+++=x x x x f 。

例2.已知曲线x x x f 3)(3-=，过点A(0,16)作曲线)(x f 的切线，求曲线的切线方程.互动探讨：已知在曲线x x x f 3)(3-=上的点P 处的切线平行于直线9x-y=0，求点P 的坐标.例3.已知抛物线c bx ax y ++=2通过点P(1,1)，且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c 的值.【课后作业】1. 求下列函数的导数:(1) x x y cos 2+=; (2) x y x ln 22-=; (3) 2cos 2sin x x x y •-=; (4) )23)(32(2-+=x x y ; (5) 21x y =; (6) 32+=x x y ; (7) 2sin x x y =.。

§3 计算导数导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式.高手支招1细品教材 一、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x):f′(x)=0lim→∆xx f x x f ∆-∆+)()(,则f′(x)是关于x 的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也称为导数.二、几种常见函数的导数 1.设y=c(常数)，则y′=0.（1）表述：常数函数的导数为零. （2）证明：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=c-c=0,xy ∆∆=0, ∴y′=c′=0lim→∆xy∆∆=0.∴y′=0. （3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c 的图像是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 【示例】设y=π2，则y′等于（ ）A.2πB.πC.0D.以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可.因为π是常数，常数的导数为零，所以选C.答案：C状元笔记函数f(x)=x 、f(x)=x 2、f(x)=x -1是函数f(x)=x n (n ∈R )的特殊情况，它们的导数也是f(x)=x n (n ∈R )导数的特殊情况. 2.(x n )′=nx n-1(n 为实数).表述：正整数指数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n-1)次幂的乘积. 【示例】求函数y=321x在点x=8处的导数.解：y=x32-,y′=32-x 35-,y′|x=8=32-·835-=481-.3.(sinx)′=cosx.（1）表述：正弦函数的导数等于余弦函数. （2）证明：y ＝f(x)=sinx ，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx -sinx ，xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ， y′=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x xxx x x x ∆-∆+∆sin sin cos cos sin=0lim→∆x xxx x x ∆∆+-∆sin cos )1(cos sin=0lim→∆x +∆∆-xxx )22sin 2(sin 0lim →∆x x x x ∆∆sin cos =0lim →∆x 4)2(22sin )sin 2(2x x x x ∆•∆∆•-+cosx =-2sinx·1·0+cosx=cosx ，∴y′=cosx. 【示例】求曲线y=sinx 在点A(6π,21)处的切线方程. 解：y′=cosx,曲线在点A 处的切线斜率为y′6|x x ==cos 6π=23. 所以，所求切线方程为y 21-=23(x-6π)，即63x-12y-3π+6=0. 状元笔记有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后再应用导数公式. 4.(cosx)′=－sinx.（1）表述：余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号. （2）证明：Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx -sinxsinΔx -cosx,y′=0lim→∆x =∆∆x y 0lim→∆x x xx x x x ∆-∆-∆cos sin sin cos cos =0lim →∆x xx x x x ∆∆--∆sin sin )1(cos cos =0lim →∆x -∆∆-xxx )2sin 2(cos 20lim →∆x x x x∆∆sin sin =0lim →∆x 1sin 4)2(2sin )cos 2(22•-∆•∆∆-x x x x x =-2cosx·1·0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx【示例】求过曲线y=cosx 上点P(3π,21)且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程. 解：∵y=cosx ， ∴y′=-sinx.曲线在点P(3π,21)处的切线斜率是y′3|π=x =-sin 3π=23-.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32，∴所求的直线方程为y 21-=32(x-3π)， 即2x-3y-32π+23=0. 高手支招2基础整理本节首先通过几个常用函数的导数的推导过程,进一步理解导数的定义.然后引入了几种常见的基本初等函数的导数公式. 几种常见函数的导数高手支招3综合探究1.通过函数y=f(x)在x 0处的导数的定义，探究x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导与y=f(x)在(a,b)内处处可导的等价性.自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)－f(x 0),若0lim→∆x xy∆∆存在,则这个极限值为y=f(x)在x=x 0处的导数.x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0可导,而不能说明(a,b)内每点处都有导数,所以不能得到y=f(x)在(a,b)内处处可导;反之，y=f(x)在(a ，b)内处处可导，因为x 0∈(a,b),所以y=f(x)在x 0处可导，所以，y=f(x)在x 0∈(a,b)处可导是y=f(x)在（a,b ）内处处可导的必要而不充分条件. 2.求函数导数的流程图.我们根据导数的概念，可以得到一个求函数导数的流程图.利用该流程图可以推导出常见函数的导数.。

计算导数例析导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应熟练掌握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点掌握复合函数的求导方法.学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。

举例说明如下. 例1 求下列函数的导数（1）453223-+-=x x x y ； （2）)23)(32(2-+=x x y ；（3）)11(32x x x x y ++=； （4）y=tanx 。

解 （1）566'2+-=x x y ；（2）6946)23)(32(232-+-=-+=x x x x x y ∴9818'2+-=x x y 或利用函数的积的求导法则：9818)32(3)23(4)'23)(32()23()'32('2222+-=++-=-++-+=x x x x x x x x x y（3）111)11(232332++=++=++=-x x x x x x x x y ，∴3223'x x y -=（4）x x x y cos sin tan ==，∴x x x x x x x x x x x y 22222cos 1cos sin cos cos )'(cos sin cos )'(sin )'cos sin ('=+=-==. 例2 求下列函数的导数：.分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.解：（1）（2）点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为复杂，用商的求导法则之后，还需通分化简.（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．例3 求下列函数的导数（1）2cos 2sin x x x y -=； （2）4cos 4sin 44xx y +=； （3）x xxx y +-+-+=1111； （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4cos212sin2x x y 。

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。

第二章单元综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．若曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程是－＋＝，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝－解析：本题主要考查导数几何意义的应用．由′＝＋，得′＝＋＝＝，将(，)代入切线方程得＝，故选.答案：．若曲线＝＋＋存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－，＋∞)解析：本题主要考查切线斜率的求解及一元二次方程判别式的应用．令＝＋＋＝()，由′()＝＋＋，∵()存在垂直于轴的切线，∴′()＝有解，即＋＋＝有解，∴Δ＝()－≥，∴≥或≤－，即的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)，故选.答案：．若函数＝(>)在点＝处的导数等于，那么＝( )．．－．－和．解析：本题主要考查利用导数运算法则确定函数解析式的能力．由′＝(＋)′＝－，结合题意得－＝⇒＝⇒＝±，故选.答案：．已知函数()＝＋＋＋，∈[－]表示的曲线过原点，且在点(，())和点(－，(－))处的切线斜率均为－，则()的奇偶性为( )．奇函数．偶函数．既是奇函数又是偶函数．非奇非偶函数解析：本题主要考查导数运算法则及待定系数法的应用．∵()＝，∴＝.∵′()＝＋＋，∴(\\(′((＝＋＋＝－′(－(＝－＋＝－))，解得＝，＝－，∴()＝－，∈[－]，()为奇函数，故选.答案：．已知()＝(>)的导函数是′()，记＝′()，＝()－()，＝′()，则( )．>> ．>>．>> ．>>解析：本题主要考查利用导数的几何意义比较切线与割线的斜率大小．记(，())，(，())，则由于＝()－()＝表示直线的斜率，＝′()表示函数()＝在点处的切线的斜率，＝′()表示函数()＝在点处的切线的斜率．由()的图像易得>>，故选.答案：．[·河南省六市联考]若过函数()＝＋上的点的切线与直线－＝平行，则实数的取值范围是( ) ．(－∞，] ．(－∞，)．(，＋∞) ．(，＋∞)解析：本题主要考查利用导数求切线斜率及两直线平行的条件等知识．设过点(，)的切线与直线－＝平行，因为′()＝＋，故′()＝＋＝，得＝－，由题意知>，所以＝－<，故选.答案：．曲线＝－＋在点()处的切线与直线＝和＝围成的三角形的面积为( )．．．．解析：依题意得′＝－×(－)＝－－，′＝－－×＝－，曲线＝－＋在点()处的切线方程是－＝－，即＝－＋.在坐标系画出直线＝－＋、＝与＝，注意到直线＝－＋与＝的交点坐标是，直线＝－＋与轴的交点坐标是()，结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形的面积＝××＝，故选.答案：．设函数()＝(ω＋)－ω(ω>)的导函数′()的最大值为，则()的最大值为( )．．．－．－解析：本题主要考查三角函数的导数公式及三角函数的有关性质．由′()＝ω(ω＋)的最大值为，得ω＝，∴()＝(＋)－，则()的最大值为－，故选.答案：.函数()＝＋＋的图像过原点，它的导函数＝′()的图像是如图所示的一条直线，则()．－>，>．－<，>．－>，<．－<，<解析：本题主要考查导数运算法则及二次函数的图像与性质．函数()＝＋＋的图像过原点，则＝，于是()＝＋，则′()＝＋，图像是直线，结合′()的图像可。

章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x ＝2的平均速度为()A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】ΔyΔx＝f（2）－f（1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A.1B.12 C.－12 D.－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝f′(1)＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.【答案】 A3.下列各式正确的是()A.(sin α)′＝cos α(α为常数)B.(cos x)′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.【答案】 C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【导学号：94210053】A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1 x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】 D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】 B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】 B。

word 格式整理参考资料 学习帮手一、学习目标1.了解连续函数，原函数的概念．2．理解微积分基本定理的推导过程．3．能够利用微积分基本定理求简单的定积分．二、自学导引1、如果函数y ＝f (x )的图像是不间断的，称函数y ＝f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F ='，函数)(x F y =称为f (x ) 的( ) A.导函数 B.原函数 C.连续函数 D.幂函数 3、下列函数不是连续函数的为( )A.2x y =B.xy 2= C.x y sin = D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数：①c y =（c 为常数）的一个原函数为：________________. ②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为：________________. ③xy 1=的一个原函数为：________________. ④xe y =的一个原函数为：________________.⑤xa y =（10≠>a a 且）的一个原函数为：____________.⑥x y sin =的一个原函数为：________________. ⑦x y cos =的一个原函数为：________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为：________________. 5、如果)(x F y =是y ＝f (x )的原函数，下列函数中不是f (x )的原函数的是( )A. 2)(+=x F yB. 2)(-=x F yC. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =，走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。

①)(t V 与)(t S 的关系_________. ② 与⎰badt t V )(表示的意义不符合的选项是（ ） A. 1S 的面积 B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b a baba-===⎰⎰7、速度的积分等于____________，线密度的积分是__________. 8、微积分基本定理，如果)()(x f x F ='，则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f -B.)()(b F a F -C.)()(a F b F -D.)()(a F b F '-'三、双基训练1、计算下列定积分： ①=⎰dx x 212（ ）A ．1 B.2 C.3 D. 4②=⎰-dx x 112（ ）A ．0 B.31 C. 331x D. 32 ③=⎰-dx x 22cos ππ（ ）A ．1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx ex1_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f ab ba)()(，则_________四、典例剖析例1 求定积分： （1）dx x ⎰13（2）dx xe⎰11跟踪训练：求定积分： （1）dx x⎰11 =_________（2）dx xae⎰1=__________ 例2 （1）求定积分dx x ⎰πcos ，并解释其意义。

第二章变化率与导数(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523 D.1105232．若limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)3Δx＝1，则f′(x0)等于( )A.23B.32C．3 D．23．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)4．设y＝f(sin x)是可导函数，则y′x等于( )A．f′(sin x) B．f′(sin x)·cos xC．f′(sin x)·sin x D．f′(cos x)·cos x5．函数y＝sin x－cos x的导数是( )A．cos x＋sin x B．cos x－sin xC．cos x sin x D．2cos x6．函数y＝x2x＋3的导数是( )A.x2＋6x(x＋3)2B.x2＋6xx＋3C.－2x(x＋3)2D.3x2＋6x(x＋3)27．函数y ＝x 5a x (a >0且a ≠1)的导数是( )A ．5x 4a x ln aB ．5x 4a x ＋x 5a x ln aC ．5x 4a x ＋x 5a xD ．5x 4a x ＋x 5a x log a e8．下列求导数运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x9．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数10．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.10311．下面四组函数中，导数相等的一组是( )A ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x －1B ．f (x )＝sin x －cos x 与g (x )＝cos x －sin xC ．f (x )＝x －1与g (x )＝2－xD ．f (x )＝sin x ＋cos x 与g (x )＝sin x －cos x12．物体自由落体运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8m/s ，那么下面说法正确的是( )A ．9.8m/s 是0～1s 这段时间内的平均速度B ．9.8m/s 是从1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝2x 3＋3x 2－5x ＋4的导数f ′(x )＝______________，f ′(3)＝________.14．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为________．15．曲线y ＝f (x )＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________________． 16．函数f (x )＝(2x ＋5)4在点P (－2,1)处的导数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x 2(x ＋2)6； (2)y ＝x sin2x cos2x .18．(12分)已知函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a 的值．19.(12分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4.(1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．20．(12分)若f (x )＝log 3(x －1)，求x ＝2处的导数值及切线方程．21.(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像经过P (0,2)且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．22．(12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1.答案1．B [s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 2．B3．D [当自变量的改变是Δx 时，函数的改变量为f (x 0＋Δx )－f (x 0)．]4．B5．A [y ′＝(sin x －cos x )′＝cos x －(－sin x )＝cos x ＋sin x ．]6．A [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.] 7．B [y ′＝(x 5a x )′＝5x 4a x ＋x 5a x ln a ．]8．B [⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，(3x )′＝3x ln3， (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．]9．B [f (x )与g (x )的导数相同，根据导数公式和导数运算法则，两函数的差为常数．]10．D [f ′(x )＝3ax 2＋6x ，因f ′(－1)＝4，所以有f ′(－1)＝3a (－1)2＋6×(－1)＝4， 则a ＝103.] 11．A 12.C13．6x 2＋6x －5 67解析 f ′(x )＝(2x 3＋3x 2－5x ＋4)′＝6x 2＋6x －5，f ′(3)＝6×32＋6×3－5＝67.14．315．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(π6)＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 16．8解析 f ′(x )＝[(2x ＋5)4]′＝4(2x ＋5)3×2＝8(2x ＋5)3，f ′(－2)＝8(－2×2＋5)3＝8.17．解 (1)y ′＝[x 2(x ＋2)6]′＝2x ·(x ＋2)6＋x 2·6(x ＋2)5＝4x (x ＋2)5(2x ＋1)．(2)y ＝x sin2x cos2x ＝12x sin4x . ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x sin 4x ′ ＝12sin4x ＋x 2cos4x ·4 ＝12sin4x ＋2x cos4x . 18．解 y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，则3x 2＋2ax ＝0，x 1＝0，x 2＝－23a ， 当x ＝0时，y ＝0＝－43a ， ∴a ＝0，即a ＝0满足条件，当x ＝－23a 时，y ＝0＝－827a 3＋49a 3－43a ， 得a ＝0或a ＝±3，检验知a ＝±3不满足条件，∴常数a 的值为0.19．解 (1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，∴f ′(1)＝－12.所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)设与曲线C 还有其他公共点，于是有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4y ＝－12x ＋8， 整理得x 3(3x －2)－(3x －2)2＝0，即(3x －2)(x 3－3x ＋2)＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0.所以x ＝－2，x ＝23，x ＝1. 即除切点外还有交点(－2,32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 20．解 据复合函数的求导法则，f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3(x －1)′＝1(x －1)ln 3， 则f ′(2)＝1(2－1)·ln 3＝1ln 3， 即此点处的切线斜率为1ln 3，切点(2,0)，则切线方程为y ＝1ln 3(x －2)． 21．解 由f (x )的图像经过P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c ＝－3b －c ＝0， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.22．解 (1)依题意可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3.由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数知f (x )为二次函数．则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，整理得：(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1.若想对任意x 方程都成立，则需a －b ＝0，b －2c ＝0，c ＝1，解得a ＝b ＝2.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。