高中数学 第2章 变化率与导数 3 计算导数课后演练提升 北师大版选修2-2

§3 计算导数1.导函数的概念一般地,如果一个函数f (x ）在区间（a ，b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(ｘ)：f ′(x ）＝错误!错误!,则f ′(x )是关于ｘ的函数，称f ′(x )为f （x ）的导函数，通常也简称为导数.2．导数公式表1”得到,即(x ）′＝1，（x 2)′＝2ｘ,错误!错误!未定义书签。

＝-错误!，（错误!未定义书签。

)′＝错误!。

ﻬ1.给出下列命题：①y =l ｎ ２，则ｙ′=错误!; ②ｙ＝１x ２,则y ′=-错误!未定义书签。

；③y =2x，则y ′＝2ｘln 2；④y＝lｏg2ｘ,则y′＝错误!未定义书签。

其中正确命题的个数为（）A．１ B.2Ｃ.3 ﻩ D.４C [对于①，y′=0，故①错误;显然②③④正确，故选C．]2．若函数ｆ(ｘ）=(x-1）2,那么f′(x）=＿_＿_＿___.2x－２［∵f（x)＝x2－2x+1,∴错误!＝错误!未定义书签。

=2x＋Δx-2．故f′(x)=错误!错误!=错误!未定义书签。

（2x＋Δx-2)＝2x－2.］３．若f（x）＝１0x,则f′（１)=＿_______.1０ｌn１0[f′(x）＝１0xｌｎ 10，∴f′(1)=１０lｎ 1０.]利用导数公式求函数的导数(1)y=ｘ1２；（2）y＝错误!;(3)ｙ＝3x;（4)y＝loｇ5x。

思路探究:首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.［解］(１)y′=（x12)′＝12x11.（2)y′＝错误!错误!＝(ｘ－4)′＝-4x－5=-错误!。

（３）ｙ′＝(3x）′＝3x ln 3.（4)y′＝(ｌog5ｘ)′=错误!。

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简,再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.３.要特别注意“错误!未定义书签。

与ｌn x”,“a x与loｇａｘ",“sin x与cｏs x"的导数区别.1．若f(x)＝ｘ3,ｇ(x）=ｌog３ｘ, 则f′（ｘ）－g′(ｘ)=_＿＿_____＿＿.3x２－错误![∵ｆ′(x)＝３x2,g′（x)＝错误!未定义书签。

第二章 变化率与导数 同步练习(二)1. 曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y =3x －4B ．y =－3x +2C ．y =－4x +3D ．y =4x －52. 函数)1()1(2+-=x x y 在2=x 处的导数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. 如图，已知质点P 在半径为cm 2的圆上做匀角速度运动（逆时针），角速度s rad /1=ω，设)0,2(A 为起点，则在时刻)(3s t π=时，点P 在x 轴上的摄影点M的速度是（ ）A. s cm /1-B. s cm /1C. s cm /3-D. s cm /34. 已知函数x x x f +-=2)(的图像上一点（-1，-2）及邻近一点（)2,1f x ∆+-∆+-则=∆∆xf（ ） A ．3 B. 2)(3x x ∆-∆ C. 2)(3x ∆- D.x ∆-35. 汽车在笔直公路上行驶，如果)(t v 表示时刻t 的速度，则)(0t v '的意义是（ ）A. 表示当0t t =时汽车的加速度B. 表示当0t t =时汽车的瞬时速度C. 表示当0t t =时汽车的路程变化率D. 表示当0t t =时汽车与起点的距离6. 若曲线12-=x y 与31x y -=在0x x =处的切线互相垂直，则0x 的值为A ．32 B. 361C. 361- D. 32-或07. 如图，当点)4,3,2,1())(,(=j x f x P j j j 沿着曲线)(x f y =趋近于点))(,(000x f x P 时，函数)(x f 从点j P 到点0P 的平均变化率的大小关系是（ ）Ａ．40201030P P P P P P P P k k k k <<< Ｂ．40302010P P P P P P P P k k k k ===Ｃ．30102040P P P P P P P P k k k k <<< Ｄ．40302010P P P P P P P P k k k k <<<8. 已知命题)(:x f p 的导函数是常数函数，且命题p 是q 的必要不充分条件，则q 不可能是（ ）A. 3)(=x fB. 2)(x x f =C. x x f 2)(=D. x x f +=3)(9. 函数2cos 2sin xxx y -=的导数为（ ）yA.4)cos 2(sin 2x x x x --B.4)sin 2(cos 2xx x x -- C. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos x x x x x x x --- D. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos xx x x x x x --+10. 函数n m mx x f +=2)(的导数为34)(x x f ='，则_________=+m n 。

[A 基础达标]1．函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝2和x ＝3处的导数的大小关系是( )A ．f ′(2)＜f ′(3)B ．f ′(2)＞f ′(3)C ．f ′(2)＝f ′(3)D ．大小关系不确定解析：选A.因为⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， 所以y ′|x ＝2＝－122＝－14，即f ′(2)＝－14，y ′|x ＝3＝－132＝－19，即f ′(3)＝－19，因为－14＜－19，所以f ′(2)＜f ′(3)，故选A.2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e 22解析：选D.因为y ′＝e x ， 所以切线的斜率k ＝e 2，所以切线方程为y ＝e 2x －e 2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e 2)，(1，0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为e 22.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C.因为y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，所以令1x ＝12得x ＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b 得b ＝ln 2－1.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A.1nB.1n ＋1 C.n n ＋1D.1解析：选B.由题意得x n ＝nn ＋1，则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．已知点P 在曲线y ＝2sin x 2cos x2上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫3π4，π B.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选D.因为y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，所以y ′＝cos x ，设P (x 0，y 0)．由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P 处的切线的斜率k ＝tan α＝cos x 0，所以－1≤tan α≤1.因为0≤α＜π，所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π，故选D.6．若指数函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝a x ln a ，f ′(1)＝a ln a ＝3ln 3，所以a ＝3，故f ′(－1)＝3－1ln 3＝ln 33.答案：ln 337．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.答案：18．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 018(x )＝________．解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x9．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解：因为f (x )＝cos x ，g (x )＝x ， 所以f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， g ′(x )＝x ′＝1.由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1，1]， 所以sin x ＝1，所以x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以x 的取值为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，求z ＝x －2y 在D 上的最大值．解：由题意知，f (x )在(1，0)处的切线方程为y ＝x －1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z ＝x －2y 的最优解(0，－1)，即z 的最大值为2.[B 能力提升]11．若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.设函数y ＝f (x )的图像上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x ＞0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x ＞0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k ＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解析：因为y ′＝2x ，所以过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1，0)， 所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，所以a 3＝4，a 5＝1，所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：2113．已知点P 是曲线y ＝e x 上任一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 解：设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.因为y ′＝(e x )′＝e x .所以e x0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1， 即P (0，1)．利用点到直线的距离公式得d ＝|0－1|12＋（－1）2＝22. 故点P 到直线y ＝x 的最小距离为22. 14．(选做题)求证：曲线y ＝a 2x (a 为非零常数)上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值．证明：设曲线上任意一切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，a2x 0， 因为y ′＝－a 2x 2，所以k ＝－a 2x 20，过P 点的切线方程为y －a 2x 0＝－a 2x 20(x －x 0)，切线与两坐标轴的交点为(2x 0，0)，⎝⎛⎭⎫0，2a2x 0，显然三角形的面积为 12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0＝2a 2，为常数，故命题得证．由Ruize收集整理。

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课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1作直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( )A．4 B．13C．15 D．28解析: Δs＝3×32＋1－3×22－1＝15，错误!＝错误!＝错误!＝15.答案：C2．已知函数y＝f（x）＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0。

1时，Δy的值为( ）A．0.40 B．0。

41C．0。

43 D．0。

44解析：Δy＝2.12－22＝0。

41。

答案: B3．如果质点A按规律s＝2t3运动,则在t＝3 s时的瞬时速度为（)A．6 B．18C．54 D．81解析: s′(3）＝23＋Δt3－2×33Δt＝54＋18Δt＋2(Δt）2.当Δt→0时s′(3)→54.答案: C4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1、k2的大小关系为( ）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定解析: k1＝错误!＝2x0＋Δxk2＝错误!＝2x0－Δx。

k1－k2＝(2x0－Δx）－（2x0－Δx)＝2Δx。

由于Δx可正、可负，所以k1，k2的大小不定，故选D。

第二章DIERZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx =x02-(x0-Δx)2Δx=2x0-Δx,则k1-k2=4Δx.因为Δx>0,所以k1>k2.故选A.2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒解析∵Δs Δt=(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,Δs Δt→5.3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πRΔRB.8πRΔR+4π(ΔR)2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)22-4πR 2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.4.物体甲,乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.5.已知曲线y=2的坐标为( )A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx =2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δ的坐标为(-1,3).6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t= .Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以ΔyΔx =t2-t1-t=-t.又因为ΔyΔx=2,所以t=-2.7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt -(Δt)2,∴当Δt 趋于0时,Δs Δt=3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt 趋于3.8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y 与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 . ①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加. ④第3个月到第8个月内停产.3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .y=k x(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x 21200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .=C (1000)-C (900)1000-900=1100+100021200-(1100+90021200)100=1912.11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx.当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2s末的瞬时速度为225m/s. ∴航天飞机升空第2s末的瞬时速度为225m/s.13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.因为0≤x≤1时,f(x)=80x 2+20,15分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)Δx=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x≤8时, f(x)=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx=-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx),当Δx趋于0时,ΔyΔx 趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-120 49.。

2016-2017学年高中数学 第2章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析： y ′x ＝(cos 2x ＋sin x )′＝(cos 2x )′＋(sin x )′ ＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋cos x2x .答案： A2．函数y ＝log 3cos 2x 的导数是( ) A ．－2log 3e·tan xB ．2log 3e·cot xC ．－2log 3cos x D.log 3ecos 2x解析： y ′＝1cos 2x log 3e(cos 2x )′＝1cos 2xlog 3e·2cos x ·(cos x )′ ＝1cos 2xlog 3e·2cos x (－sin x )＝－2log 3e·tan x . 答案： A3．曲线y ＝e x2 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析： 因为y ′＝12·e x2 ，所以切线的斜率k ＝12e 2.所以切线的方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．所以横、纵截距分别为2，－e 2. 所以S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.答案： D4．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析： 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (1)＝2f (1)－1＋8－8，∴f (1)＝1.又f ′(x )＝2f ′(2－x )·(2－x )′－2x ＋8 ＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，∴f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，解得f ′(1)＝2.故曲线在(1，f (1))即(1,1)处切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1，故选A. 答案： A 二、填空题5．设f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 等于___________． 解析： ∵f ′(x )＝2ax 2ax 2－1，∴f ′(x )＝ax ax 2－1，∴f ′(1)＝aa －1，又f ′(1)＝2， ∴aa －1＝2，解得a ＝2. 答案： 26．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是_______． 解析： 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 答案： (e ，e) 三、解答题7．求下列函数的导数．(1)y ＝＋5x10x；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (3)y ＝ln x 2＋1； (4)y ＝a 3xcos(2x ＋1)．解析： (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋5x10x′ ＝－1x 2(2＋5x )10＋1x·10(2＋5x )9·5＝－＋5x10x 2＋＋5x9x.(2)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .(3)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1(x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝xx 2＋1.(4)y ′＝[a 3xcos(2x ＋1)]′＝(a 3x)′cos(2x ＋1)＋a 3x·[cos(2x ＋1)]′＝a 3xln a ·(3x )′cos(2x ＋1)＋a 3x·[－sin(2x ＋1)]·(2x ＋1)′ ＝3a 3xln a ·cos(2x ＋1)－2a 3x·sin(2x ＋1) ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋1)－2sin(2x ＋1)]．8．求曲线y ＝1x 2－3x在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线方程．解析： y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－3x ′＝－12(x 2－3x )－32(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝4＝－12×(16－12)－32×(8－3)＝－516.所以切线方程为y －12＝－516(x －4)．即5x ＋16y －28＝0.9．已知函数f (x )＝log a x 和g (x )＝2log a (2x ＋t －2)的图像在x ＝2处的切线互相平行，其中a ＞0，a ≠1，t ∈R .求t 的值．解析： ∵f ′(x )＝1xlog a e ，g ′(x )＝42x ＋t －2log a e ，函数f (x )和g (x )的图像在x ＝2处的切线互相平行， ∴f ′(2)＝g ′(2)，且f (2)≠g (2)．∴12log a e ＝4t ＋2log a e ，且log a 2≠2log a (2＋t )．∴t ＝6.。

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升北师大版选修2—2一、选择题1．下列结论正确的是( )A．若y＝错误!，则y′＝错误!B．若y＝错误!，则y′＝错误!错误!C．若y＝cos x，则y′＝sin x D．若y＝ln x，则y′＝错误!解析：错误!′＝－错误!，（错误!）′＝错误!，(cos x)′＝－sin x,(ln x）′＝错误!。

答案: D2．已知f(x）＝x a，若f′(－1)＝－4,则a的值是( )A．－4 B．4C．±4D．不确定解析：f′(x）＝a·x a－1，f′(－1)＝a·（－1)a－1＝－4，∴a＝4。

答案：B3．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值等于( ）A．e B．－eC。

错误!D．－错误!解析：y′＝(ln x)′＝错误!，设切点为（x0,y0),则切线方程为y－y0＝错误!(x－x0)，即y＝1x 0x＋ln x－1，由ln x0－1＝0得x0＝e.又∵k＝错误!，∴k＝错误!。

答案：C4．已知直线ax－by＋2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则错误!的值为（)A。

错误!B。

错误!C．－23D．－错误!解析：曲线y＝x3在点P(1,1）处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，直线ax－by＋2＝0斜率k′＝错误!，由题意可得3×错误!＝－1,故错误!＝－错误!.答案：D二、填空题5．若已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，且f′（x)＋g′（x)≤0，则x的取值为_____________．解析: ∵f（x）＝cos x，g（x)＝x，∴f′（x)＝（cos x)′＝－sin x．g′（x）＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x）≤0，得到－sin x＋1≤0,即sin x≥1，但sin x∈[－1，1]，∴sin x＝1.∴x＝2kπ＋错误!，k∈Z.答案: 2kπ＋错误!，k∈Z6．曲线y＝sin错误!在点A错误!处的切线方程为_________________．解析: ∵sin错误!＝cos x,∴y′＝（cos x）′＝－sin x，∴切线的斜率k＝－sin错误!＝错误!，∴过点错误!的切线方程为y－错误!＝错误!错误!，即3错误!x－6y＋错误!π＋3＝0。

第2章 §3 计算导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列结论中不正确的是( B )A ．若y ＝x 4，则y ′|x ＝2＝32B ．若y ＝1x ，则y ′|x ＝2＝－22 C ．若y ＝1x 2·x，则y ′|x ＝1＝－52 D ．若y ＝x －5，则y ′|x ＝－1＝－5[解析] ∵(1x )′＝(x －12)′＝－12 x －32 ∴y ′|x ＝2＝－28. 故B 错误．2．若f (x )＝3x ，则f ′(－1)＝( D )A ．0B ．－13C ．3D ．13[解析] ∵f (x )＝x 13， ∴f ′(x )＝13x －23 ∴f ′(－1)＝13(－1)－23＝13，∴选D. 3．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定[解析] f ′(x )＝3x 2，∴3x 2＝1，解得x ＝±33， 故存在两条切线，选B.4．(2019·武汉期末)若f (x )＝x 5，f ′(x 0)＝20，则x 0的值为( B )A ． 2B ．±2C ．－2D ．±2[解析] 函数的导数f ′(x )＝5x 4，∵f ′(x 0)＝20，∴5x 40＝20，得x 40＝4， 则x 0＝±2，故选B.5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( A )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y －3＝0[解析] y ′＝4x 3，直线x ＋4y －8＝0的斜率为－14，所以切线l 的斜率为4.所以4x 3＝4，解得x ＝1.所以切点为(1,1)，切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.6．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.二、填空题7．已知函数f (x )＝1x ，且f ′(a )－f (a )＝－2，则a ＝1或－12. [解析] f ′(x )＝－1x2， ∴f ′(a )＝－1a 2，∴f ′(a )－f (a )＝－1a 2－1a， ∴1a 2＋1a ＝2，解a ＝1或－12. 8．(2019·全国Ⅰ卷理，13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .[解析] y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴ 斜率k ＝e 0×3＝3，∴ 切线方程为y ＝3x .三、解答题9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．B级素养提升一、选择题1．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(C) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.二、填空题3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.[解析]∵y′＝(ax＋a＋1)e x，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3.4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是21.[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．试比较曲线y ＝x 2与y ＝1x在它们交点处的切线的倾斜角的大小． [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)． 对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1. 由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．6．(2018·全国卷Ⅲ文，21(1))已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x.求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程．[解析] f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0.C 级 能力拔高求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解析] 解法1：设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12， ∴切点坐标为(12，14)， ∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.解法2：设与抛物线y ＝x 2相切且与直线x －y －2＝0平行的直线l 的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x2得x 2－x －m ＝0. ∵直线l 与抛物线y ＝x 2相切，∴判别式Δ＝1＋4m ＝0，∴m ＝－14， ∴直线l 的方程为x －y －14＝0， 由两平行线间的距离公式得所求最短距离d ＝|－2＋14|2＝728. 解法3：设点(x ，x 2)是抛物线y ＝x 2上任意一点，则该点到直线x －y －2＝0的距离d ＝|x －x 2－2|2＝|x 2－x ＋2|2＝22|x 2－x ＋2| ＝22(x －12)2＋728. 当x ＝12时，d 有最小值728，即所求的最短距离为728.。

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课后演练提升北师大版选修2—2 一、选择题1．设f（x）＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝（)A．e2B．eC.ln 22D．ln 2解析：由已知有f′（x)＝ln x＋x·错误!＝ln x＋1，所以f′（x0）＝2⇒ln x0＋1＝2⇒x0＝e。

答案: B2．函数y＝（x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )A．1 B．2C．3 D．4解析: y′＝［（x＋1)2（x－1）]′＝[(x＋1）2］′（x－1)＋（x＋1)2（x－1)′＝2(x＋1）(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′｜x＝1＝4.答案：D3．曲线f（x）＝错误!x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，则该切线方程为（）A．x－y＋1＝0 B．x－y＋5＝0C．5x－5y±4＝0 D．不确定解析: 设M(x0，y0），则错误!∴错误!或错误!即切点M错误!或错误!所求切线方程为y±错误!＝x±1即5x－5y±4＝0.答案：C4．已知点P在曲线y＝错误!上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析：设曲线在点P处的切线斜率为k,则k＝y′＝错误!＝错误!,因为e x＞0,所以由均值不等式得k≥错误!,又k＜0,∴－1≤k＜0，即－1≤tan α＜0，所以错误!≤α＜π.答案：D二、填空题5．已知f（x)＝x2＋2xf′(1），则f′（1)＝________________.解析：f′（x)＝2x＋2f′(1）∴f′（1)＝2＋2f′（1)，∴f′(1)＝－2.答案: －26．若曲线y＝x3－2x＋a与直线y＝x＋1相切，则常数a＝______________。