2018届北师大版 变化率与导数 单元测试

题组层级快练(十五)1．y ＝ln(－x)的导函数为( ) A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln(x)D ．y ′＝－ln(－x)答案 B2．(2017·广东五校协作体联考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.5．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2D ．不确定答案 A解析 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝(sinx)′＝cosx.k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．(2017·湖南雅礼中学月考)曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12 B ．2 C ．ln2 D ．ln 12答案 A解析 由题知，y ′＝a x lna ，y ′|x ＝0＝lna ，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna －y ＋1＝0，∴a ＝12，故选A.7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )答案 A解析 由题意知⎩⎨⎧－b2＞0，4c －b 24＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，b 2＞4c.又f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(x)的图像为A.8．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C9．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析 因为f ′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.10．(2017·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( )A ．1B ．2 C.12 017 D.2 0182 017答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017.故选D.11．若P 为曲线y ＝lnx 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ|min ＝( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2答案 C解析 如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝1x ，令1x ＝1，得x ＝1.故P(1，0)．故|PQ|min ＝22＝ 2.故选C. 12．y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋xcos 2x解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·(sinxcosx )′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx＋xcos 2x. 13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．答案 1解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.16．(1)(2015·广东，文)若曲线y ＝ax 2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________． 答案 12解析 因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.(2)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 由题意，可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x 3(x>0)，故a ∈(－∞，0)． 17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．18．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 y ＝－14x 切点为(32，－38)解析 ∵直线过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 02－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴在(x 0，y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ＝＝3x 02－6x 0＋2. ∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2. 整理得2x 02－3x 0＝0. 解得x 0＝32(x 0≠0)．这时，y 0＝－38，k ＝－14.。

一、选择题1．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞2．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820195．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．6．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．2．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.3．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.6．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+，可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．B解析：B【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．10．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

第三章 变化率与导数本章练测（北师大版选修1-1）一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分) 1.某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午 1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min）（ ） A.03.0 B.－03.0 C.003.0 D.003.0－ 2.000()()lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）A.)(210x f ' B.)(0x f ' C.)(20x f ' D.)(－0x f '3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++=4.曲线322+=x y 在点1-=x 处的切线方程为（ ） A.14+=x y B.54--=x y C.14+-=x y D.54-=x y5.曲线2sin πxy x=过点π(,0)P 的切线方程是（ ） A.π0x y +-= B.22π0x y +-=C.22π2π0x y --=D.22π2π0x y +-=6.已知)1)(2)(1(-++=x x x y ，则='y ( ) A.2223--+x x x B.1432-+x xC.2432-+x xD.3432-+x x7.设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在ππ0,,42x x x ===附近的平均变化率， 则（ ） A.210k k k << B.120k k k << C.012k k k << D.201k k k <<8.函数4)1cos(2++=x y 的导数是（ ） A.)1sin(22x x + B.)1sin(2x +- C.)1cos(22x + D.)1sin(22x x +-9.过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) A.220x y ++= B.330x y -+= C.10x y ++= D.10x y -+=10.函数x x x y sin cos -=的导数为（ ）A.x x x sin cos 2+B.x x x sin cos 2-C.x x sin -D.x x sin二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11.曲线122+=x xy 过点)1,1(P 的切线方程是 .12.曲线2212)(x x f -=与241)(3-=x x g 在交点处切线的夹角是 . 13. 求导：（1）2)3(-=x y ，则_________='y ； （2）x x x y cos sin -=，则_________='y .14. 函数121)(3++=x x x f 的导数是三、解答题15.（10分）已知42()f x ax bx c =++的图像经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-. （1）求)(x f y =的解析式（2）求)(x f y =的单调递增区间.16.（10分）设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式.17.（10分）已知函数c bx x g ax x x f +=+=23)(,2)(的图像都过点)0,2(P ，且在点P 处有公共切线，求)(),(x g x f 的表达式.18.（10分）设曲线d cx bx ax y S +++=23:在点)1,0(A 处的切线为1:1+=x y l ，在点)4,3(B 处的切线为102:1+-=x y l ，求d c b a ,,,的值. 19. （12分）设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数，求b ，c 的值.20.（12分）已知曲线66:23+--=x x x y S ，求S 上斜率最小的切线方程一、 选择题1.B2.B3.A4.C5.D6.B7.C8.D9.D 解析：12+='x y ，设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率为120+=x k ，且10200++=x x y ，于是切线方程为))(12(100020x x x x x y -+=---.由点)0,1(-在切线上，可解得02x =-或00=x ，代入可验证D 正确.10.C 二、填空题 11.1=y12.45︒ 解析：联立方程得016223=-+x x ，得交点)0,2(，而2123(2)2,(2)234f kg k ''==-==⨯=，由夹角公式得1212tan 1,451k k k k θθ- ===︒+.13.（1）x31- （2）1cos 2x - 14.232)12(23++--x x x三、解答题15．解：（1）因为42()f x ax bx c =++的图像经过点(0,1)，所以1c =.①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=.②由题意得切点为(1,1)-，则42()f x ax bx c =++的图像经过点(1,1)-，所以. ③联立①②③得 所以（2）令得 当x 变化时，由上表可知，函数的单调递增区间为16.解：设2)()(m x a x f -=，则()2()2222f x a x m ax am x '=-=-=+，解得1,1a m ==-，所以22()(+1)21f x x x x ==++.17.解：由题意知22)2(826)2(,04,82⨯='=-⨯='=+-=b g f c b a ，得16,4,8-==-=c b a .所以32()28()416f x x x g x x =-=-，.18.解：由(0)1,(0)1,(3)4,(3)2f f f f ''====-列式求得1,=1,==13a b c d =-. 19.解：∵()32f x x bx cx =++，∴ ()232f x x bx c '=++.从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，由(0)0g =，得0c =，由奇函数的定义得3b =.20.解：22()31213(2)1313f x x x x '=--=---≥，所以切线斜率最小为13-，当2=x 时取到. 进而可得切点为)12,2(-，故斜率最小的切线方程为01413=-+y x。

阶段质量检测(三) 变化率与导数[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(5x)′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．104．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－15．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.196．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－48．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.12．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为____________________．14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .答 案1．选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．2．选C 一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.3．选B t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.4．选A 由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1.5．选D 由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.6．选D 设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 7．选D ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4.8．选A ∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝3＋2a ＋b ＝－2，f ′ －1 ＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数．9．选C 令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2 x －2 x ＋1 x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0， 所以x ＞2.10．选B y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.11．解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)13．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112 15．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝d ＝3，f ′ 0 ＝c ＝0，f ′ 1 ＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′ 2 ＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13(x ＋23)，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×|－223－1|×|－52|＝12512.。

一、选择题1．已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞5．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞6．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦7．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－18．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+9．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3 B ．8C ．8-D ．3-10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为23t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 12．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________. 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．17．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．18．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．19．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．20．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.三、解答题21．已知曲线()3:C f x x x =-.(1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程. 22．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.23．已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞5．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2D ．6．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．28．设点P 是曲线31y =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 12．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．14．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．15．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____． 19．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”.（1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()ln g x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 22．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.23．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 24．已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.25．已知函数31()43f x x x a =-++. （1）当4a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）当函数()f x 只有一个零点时，求a 的取值范围.26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，001(0)0f e e=-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.3．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况.设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得1m =，则相切时斜率6k =-故要满足题意，只需(0,6k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.4．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.5．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=,则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =, 所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.6．B解析：B 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()xxe e '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误 ⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.8．A解析：A 【分析】求函数的导数，设出切点(,)P m n ，可得切线的斜率，由定义域得斜率的范围，由正切函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】31y x =-+，(11)x -<<的导数为2y '=- 设(,)P m n ，可得切线的斜率为2tan k α=-(1m 1)-<<即有tan 0α<， 可得2[3πα∈，)π． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

宝宝宝宝嘻嘻嘻 3.1 变化的快慢与变化率[ 基础达标 ]1. 将半径为 R 的球加热，若球的半径增添 R ，则球的表面积增添S 等于()A ． 8πR RB ． 8πR R ＋ 4π ( R ) 2C ． 4πR R ＋ 4π ( R ) 2D ． 4π( R ) 2分析：选 B. S ＝ 4π ( R ＋ R ) 2－ 4πR 2＝ 8π R R ＋ 4π ( R ) 2.2. 某质点的运动规律为 s ＝ t 2＋ 3，则在时间段 (3 ， 3＋ t ) 中的均匀速度等于 ()A ． 6＋ tB ． 6＋ 9t ＋tC ． 3＋ tD ． 9＋ tA. v ＝ s s （3＋ t ）－ s （ 3）分析：选 t ＝t＝ [ （ 3＋ t ） 2＋3] －（ 32＋3） ＝ 6＋ t .t23. 已知点 (2 ，8) 是曲线 y ＝ 2 x 上一点，则 P 处的刹时变化率为 ( )PA ． 2B ． 4C ． 6x ) 2－2×22＝ 8 D ． 8 x ) 2，分析：选 D. y ＝ 2(2 ＋ x ＋ 2(8 x ＋ 2（ x ） 2 x ，y ＝ x＝8＋ 2xx 无穷趋近于 0 时， y 8. 当x 无穷趋近于常数234. 已知物体的运动方程为 s ＝ t ＋t ( t 是时间， s 是位移 ) ，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度为( )19 17A. 4B. 415 13 C. 4D. 42323D. s （ 2＋ t ） ＋ 2＋ t －（ 2＋2）分析：选 t＝t＝ 4＋ t3t ），－2（2＋当t 无穷趋近于 0 时，s无穷趋近于13，∴选 D.t 45. 物体运动时位移 s 与时间 t 的函数关系是 s ＝－ 4t 2＋ 16t ，此物体在某一时辰的速度为零，则相应的时辰为 ()A ． t ＝1B ． t ＝2C ． t ＝3D ． t ＝4分析：选 B. s ＝－ 4( t ＋ t ) 2＋ 16( t ＋ t ) － ( － 4t 2 ＋ 16t ) ＝ 16 t － 8t · t －4( t ) 2.又由于在某时辰的刹时速度为零，当 t 趋于 0 时， s＝16－ 8t －4 t 无穷趋近于 0. t 即 16－ 8t ＝ 0，解得 t ＝ 2.16. 某日正午 12 时整，甲车自 A 处以 40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以 60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当天 12时30 分，两车之间的距离对时间的均匀变化率为 ________．s 0.5 ×60＋0.5 ×40 ＝100 km/h.分析： t ＝0.5答案： 100 km/h7. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离 s 与时间 t 之间的函数关系为s ＝ 81t 2，则 t ＝ 2 时，木块的刹时速度为 ________．1 21 2分析： s ＝8（ t ＋t ） － 8t ＝ 1t ＋ 1 t.tt4 8 当 t ＝2，且t 趋于 0 时，1s趋于 .t21答案： 2 8. 已知曲线 y ＝x 2＋1 在点 M 处的刹时变化率为－ 4，则点 M 的坐标为 ________．分析： y ＝ ( x ＋ x ) 2＋ 1－ ( x 2＋ 1) ＝ 2x x ＋ ( x ) 2， y 2x x ＋（ x ） 2 x ＝ x ＝ 2x ＋ x ，x 无穷趋近于 y2x ＝－ 4，因此 x ＝－ 2，可得 y ＝ 5. 当 0 时， x 无穷趋近于 答案： ( －2， 5) 9. 求函数 y ＝ x 2 在 x ＝ 1，2， 3 邻近的均匀变化率，取x 都为1，哪点邻近的均匀变化3率最大．解：在 x ＝ 1 邻近的均匀变化率为f （ 1＋ x ）－ f （1）k 1＝xx ） 2－ 1（ 1＋ x ；＝＝ 2＋xf （2＋ x ）－ f （ 2）在 x ＝2 邻近的均匀变化率为k 2＝xx ） 2－ 4（ 2＋ x ；＝＝ 4＋x在 x ＝3 邻近的均匀变化率为k 3＝ f （3＋ x ）－ f （ 3）xx ） 2－ 9（ 3＋ x .＝＝ 6＋x171319令 x ＝ 3，可得 k 1＝ 3， k 2＝ 3 ， k 3＝ 3 ，故函数 f ( x ) 在 x ＝3 邻近的均匀变化率最大． 10. 假如一个质点从定点 A 开始运动，对于时间 t 的位移函数为 y ＝ f ( t ) ＝ t 3＋ 3. 求该质 点在 t ＝ 4 时的刹时速度．y （ 4＋ t ） 3＋ 3－（ 43＋ 3）解： t ＝ t48 t ＋ 12（ t ） 2＋（ t ） 3＝t＝ 48＋12 t ＋ ( t ) 2， 当t 无穷趋近于零时，y无穷趋近于48.t2即质点在 t ＝ 4 时的刹时速度是48.1. 函数 f ( x ) ＝ x 2 在 x 0 到 x 0＋[ 能力提高 ]x 之间的均匀变化率为 k 1，在 x 0－ x 到 x 0 之间的均匀变化率为 k ，则 k ， k的大小关系是 ()212A ． k 1＜ k 2B ． k 1＞k 2C ． k ＝ k2D ．没法确立1分析：选 D. 由于 k 1＝ f （ x 0＋ x ）－ f （ x 0）x ，x＝ 2x 0＋f （ x 0）－ f （ x 0－ x ）x ，k 2＝x＝2x 0－k ，k又x 可正可负且不为零，因此的大小关系不确立．122. 若函数 f ( x ) ＝－ x 2＋ x 在[2 ，2＋ x ]( x ＞ 0) 上的均匀变化率不大于－1，则x 的范围是 ________．分析：由于函数 f ( x ) 在 [2 ， 2＋ x ] 上的均匀变化率为：f （ ＋ x ）－ f （ ）y ＝2x 2x－（ 2＋ x ） 2＋（ 2＋ x ）－（－ 4＋ 2）＝x－ 4 x ＋ x －（ x ） 2x ， ＝x＝－ 3－因此由－ 3－ x ≤－ 1，得 x ≥－ 2.又由于 x ＞ 0，即 x 的取值范围是 (0 ，＋∞ ) ．答案： (0 ，＋∞)3t 2 ＋2（ t ≥3），3.若一物体的运动方程以下 ( s 单位：m ，t 单位： s)：s ＝29＋ 3（ t －3） 2（0≤ t ＜ 3） . 求：(1) 物体在 t ∈ [3 ， 5] 内的均匀速度；(2) 物体的初速度 v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．22s 48解： (1) t ∈ [3 ，5] 时， t ＝ 5－ 3＝ 2， s ＝3×5 ＋2－(3 ×3 ＋2) ＝ 48，∴ t ＝ 2 ＝24(m/s) ．(2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝0 时的刹时速度．∵物体在 t ＝ 0 邻近的均匀速度为 － s s （ 0＋ t ）－ s （ 0）v ＝ ＝ t＝t29＋ 3[ （ 0＋ t ）－ 3] 2－ 29－ 3（ 0－ 3）2 t － 18，t＝ 3∴物体在 t ＝ 0 时的刹时速度为 v 0＝ lims＝ lim (3t －18) ＝－ 18(m/s) ．t → 0tt →0－ s 29＋ 3（ 1＋ t － 3）2－ 29－ 3（ 1－ 3）2(3) ∵物体在 t ＝ 1 时的均匀速度为 v ＝ t ＝t＝3 t － 12，∴物体在 t ＝ 1 时的刹时速度为 v ＝ lims＝ lim (3t － 12) ＝－ 12(m/s) ．t →0tt →04．质点 M 按规律 s ＝s ( t ) ＝ at 2＋1 做直线运动 ( 位移 s 的单位： m ，时间 t 的单位：s) ．问 能否存在常数 a ，使质点 M 在 t ＝ 2 s 时的刹时速度为 8 m/s ？若存在，求出 a 的值；若不存 在，说明原因． 2 2解：假定存在常数 a ，则 s ＝ s (2 ＋ t ) － st(2) ＝a (2 ＋ t ) ＋1－ a ×2－1＝ 4a ＋4a2 2s 4 ＋ （ t ） 2a t a ＋a ( t ) ＋ 1－ 4a － 1 ＝4a t ＋a ( t ) ，因此 t ＝ t＝ 4a ＋ a t . 当t 趋 于 0 时， 4a ＋a t 趋于 4a ，由题易知 4a ＝ 8，解得 a ＝ 2. 因此存在常数 a ＝2，使质点M 在 t3＝2 s 时的刹时速度为8 m/s.4。

课时分层训练(十三) 变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)C[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于()【导学号：57962101】A．－e B．－1 C．1D．eB[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0C[y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]4．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3D[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]5．(2017·陕西质检(二))曲线y ＝在点(6，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.32e 2 B ．3e 2 C ．6e 2D ．9e 2A [由题意得y ′＝，则当x ＝6时，y ′＝＝e 23，即曲线在点(6，e 2)处的切线的斜率为e 23，则切线方程为y ＝e 23(x －6)＋e 2，则切线与两坐标轴的交点分别为(3,0)，(0，－e 2)，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×3×|－e 2|＝32e 2，故选A.]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________.【导学号：57962102】2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图像在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【导学号：57962103】12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2-10-1，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图2-10-10 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13. 又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln (2x ＋1)x. [解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x2.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围.【导学号：57962104】[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. 6分 (2)由(1)得k ≥－1，9分 所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．y＝－2x－1[因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]3．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解]根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax. 2分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 9分曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线. 12分。

【高考核动力】2018届高考数学 2-10变化率与导数、导数的计算配套作业 北师大版1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速率为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【解析】 s ′＝t 2－3t ＋2，令s ′＝0，则t ＝1或t ＝2. 【答案】 D2．(文)y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．2x cos x ＋x 2sin x B ．2x cos x －x 2sin x C ．2x cos xD ．－x 2sin x【解析】 y ′＝2x cos x －x 2sin x . 【答案】 B(理)已知y ＝12sin 2x ＋sin x ，则y ′是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 y ′＝12cos 2x ·2＋cos x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－98. 【答案】 B3．(2018·云南玉溪模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 函数定义域为(0，＋∞)，因y ′＝12x －3x ，解12x －3x ＝12得x 2－x －6＝0，故x ＝3或x ＝－2(舍去)．【答案】 A4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )等于________．【解析】 ∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ， ∴f 2 013(x )＝f ′2 012(x )＝cos x . 【答案】 cos x5．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．【解】 (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－ －2 x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 2－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3(14－1)＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.课时作业【考点排查表】1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215【解析】 函数f (x )的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212，故选C.【答案】 C2．(2018·山东临沂质检)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13【解析】 由y ＝x 3，得y ′＝3x 2， 即该曲线在点P (1,1)的切线的斜率为3.由3×a b ＝－1，得a b ＝－13.【答案】 D3．(文)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速率为( )A.194B.174C.154D.134【解析】 s ′＝2t －3t 2，∴t ＝2时的瞬时速率为2×2－322＝134.故选D.【答案】 D(理)(2018·潍坊模拟)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．e 2B ．4e 2C ．2e 2D.92e 2【解析】 y ′＝12e 12x ，所以切线的斜率k ＝12e 2，切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2，所以三角形面积为12×2×e 2＝e 2.【答案】 A4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)【解析】 tan α＝k ＝y ′＝－4e xe x ＋12＝－4e x＋1ex ＋2≥－42e x·1ex ＋2＝－1，∴－1≤tan α＜0.又∵α为倾斜角，∴3π4≤α＜π，故选D.【答案】 D5．下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.73D ．－13或53【解析】 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)． ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a ＞0，∴a ＝－1. 故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 B6．(2018·江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【解析】 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2.【答案】 B 二、填空题7．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；li mΔx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________(用数字作答)．【解析】 由图象知f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2. li mΔx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx＝f 1(1)－2.【答案】 2 －28．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.【解析】 依题意得2×1－3f (1)＋1＝0，即f (1)＝1，f ′(1)＝23，则f (1)＋f ′(1)＝53. 【答案】 539．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．【解析】 y ′＝2x －1，∴－1≤2x －1≤3，∴0≤x ≤2.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴34≤y ≤3.∴点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题10．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x； (2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e x ln x ；(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)． (理)(5)y ＝ln(2x ＋5)． 【解】 (1)y ′＝nxn －1e x ＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1， ∴y ′＝3x 2＋2x －1.(5)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0,0)．∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1.∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.(3)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为k ＝3x 20＋1，由题意知(3x 20＋1)(－14)＝－1，∴x 20＝1，即x 0＝±1当x 0＝1时，f (1)＝－14，即切点为(1，－14)； 当x 0＝－1时，f (－1)＝－18，即切点为(－1，－18)． ∴切线方程为y ＋14＝4(x －1)或y ＋18＝4(x ＋1)， 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．(文)设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c .【解】 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)， 所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ， 所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3. 故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(理)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0.∴a ＝－2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9)，先求直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)，∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将点(0,9)代入，得x 0＝±1， 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，即有x ＝－1或x ＝2， 当x ＝－1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；当x ＝2时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9. ∴公切线是y ＝9.又有f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， ∴x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10， ∴公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y ＝9，此时存在k ＝0. 四、选做题13．(2018·苏州十校联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x ＜0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，试求出x 0的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2.(2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则x 0＞0， 且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.∵x 0＞0，得x 0＝12，即在x 0＝12处f (x )，g (x )的切线互相平行．。

一、选择题1．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1492．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．05．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值 D ．既无最大值也无最小值6．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A．5B．5C．D ．7．设点P是曲线31y =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a 的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e9．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定10．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A ．92B ．94C ．174D ．17812．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.14．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。

第三章 单元质量评估第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋Δx D ．4Δx ＋(Δx )2答案 B 2．若lim Δx →0f （x 0）－f （x 0＋3Δx ）2Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A.32B.23 C ．－32D ．－23答案 D解析 原式＝－32lim Δx →0 f （x 0＋3Δx ）－f （x 0）3Δx ＝1，即－32f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－23.3．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6答案 A解析 v(t)＝s ′(t)＝6t 2－10t ，∴a(t)＝v ′(t)＝12t －10. 当t ＝2时，a(t)＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 4．下列结论正确的个数为( ) ①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln2; ④y ＝log 2x ，则y ′＝1xln2. A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 D5．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2，3)答案 B解析 ∵y ＝x 2＋2x －2， ∴y ′＝2x ＋2.∵切线与x 轴平行，∴2x ＋2＝0. ∴x ＝－1.代入y ＝x 2＋2x －2，得y ＝－3. ∴M(－1，－3)．6．若曲线y 1＝f 1(x)＝x 2－1与y 2＝f 2(x)＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( ) A.3366B ．－3366C.23D.23或0 答案 A解析 ∵f 1′(x 0)＝2x 0，f 2′(x 0)＝－3x 02，∴2x 0×(－3)x 02＝－1，∴x 0＝3366. 7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是( )答案 A解析 ∵f ′(x)＝2x ＋b ，∴排除B 、D.又∵f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限． ∴－b 2>0.∴b<0.故选A.8．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32C.52D. 2答案 D解析 曲线方程可化为y ＝x 2－2ln x ＝x 2－lnx ，由题意得点P 到直线y ＝x －2的最小距离为曲线y ＝x 2－2ln x 在点P 处切线与直线y ＝x －2平行时的距离．设P(x 0，y 0)，则由y ′＝2x －1x 知点P 处切线斜率为2x 0－1x 0，由2x 0－1x 0＝1得x 0＝－12(舍去)或x 0＝1，则P(1，1)，∴过P(1，1)的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，x －y ＝0与x －y －2＝0的距离为|0－（－2）|12＋（－1）2＝ 2.9．若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f ′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)答案 C解析 由条件得f ′(x)＝2x －2－4x .令f ′(x)>0，即2x －2－4x >0，整理得（x ＋1）（x －2）x >0，解得－1<x<0或x>2.又因为f(x)的定义域为{x|x>0}， 所以x>2，即{x|x>2}．10．设a>0，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f(x)对称轴距离的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，12a C.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b －12a答案 B解析 f ′(x)＝2ax ＋b ，故P(x 0，f(x 0))处切线的斜率k ＝2ax 0＋b ＝tan θ∈[0，1]，于是P 到对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0－⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝|2ax 0＋b|2a∈⎣⎡⎦⎤0，12a . 11．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1，0] C ．[0，1] D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设P(x 0，y 0)，∵y ′＝2x ＋2，∴曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴斜率范围是[0，1]，即2x 0＋2∈[0，1]． ∴x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f(x)＝x(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215答案 C解析 f ′(x)＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知y ＝(x 2－1)(x ＋1)，则y ′|x ＝1＝________． 答案 4解析 ∵y ′＝[(x 2－1)(x ＋1)]′ ＝(x 3－x ＋x 2－1)′＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.14．已知f(x)＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． 答案 －4解析 f ′(x)＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2.∴f ′(x)＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4.15．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________． 答案 216．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________． 答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)处的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1，0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求下列函数的导数． (1)y ＝2tanx ＋3cotx ； (2)y ＝x·e x ＋lnx ； (3)y ＝x 5＋x ＋sinxx 2.解析 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫2sinx cosx ＋3cosx sinx ′ ＝⎝⎛⎭⎫2sinx cosx ′＋⎝⎛⎭⎫3cosx sinx ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2x sin 2x＝2cos 2x －3sin 2x. (2)y ′＝(x·e x )′＋(lnx)′＝e x ＋x·e x ＋1x＝(1＋x)e x ＋1x.(3)∵y ＝x 3＋x －32＋x －2sinx ，∴y ′＝3x 2－32x －52＋(x －2)′sinx ＋x －2(sinx)′＝3x 2－32x －52－2x －3sinx ＋x －2cosx.18．(12分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x 2，tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，b ＝(2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π4)，令f(x)＝a ·b ，是否存在实数x ∈[0，π]，使f(x)＋f ′(x)＝0.若存在，则求出x 的值，若不存在，说明理由． 解析 存在． f(x)＝a ·b＝22cos x 2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＝22cos x 2⎝⎛⎭⎫22sin x 2＋22cos x2＋1＋tan x 21－tan x 2·tan x2－11＋tanx 2＝2sin x 2cos x 2＋2cos 2x2－1＝sinx ＋cosx ，令f(x)＋f ′(x)＝0，则sinx ＋cosx ＋cosx －sinx ＝2cosx ＝0. 又x ∈[0，π]，∴x ＝π2.∴存在实数x ＝π2∈[0，π]，使得f(x)＋f ′(x)＝0.19．(12分)已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12x 2＋a(a 为常数)，若直线l 与y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象都相切，且l 与y ＝f(x)的图象相切于定点P(1，f(1))，求直线l 的方程和a 的值． 解析 f ′(x)＝1x，∴f ′(x)＝1，∴切点为(1，0)． ∴l 的方程为y ＝x －1. 又l 与y ＝g(x)的图象相切，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2＋a ，得x 2－2x ＋2a ＋2＝0.∴Δ＝(－2)2－4(2a ＋2)＝0，∴a ＝－12.20．(12分)设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P 点，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q点，又作PK 垂直于x 轴于K ，求KQ 的长． 解析 设P(x 0，y 0)，则k 1＝f ′(x 0)＝12x 0. ∵l 1⊥l 2，∴k 2＝－2x 0.于是l 2为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)， 令y ＝0，则－y 0＝－2x 0(x Q －x 0)． 即－x 0＝－2x 0(x Q －x 0)． 解得x Q ＝12＋x 0.由于x K ＝x 0，∴|KQ|＝|x Q －x K |＝|x Q －x 0|＝12.21．(12分)(1)设f(x)＝a·e x ＋blnx ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求实数a ，b 的值．(2)已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋b ，若x ∈[0，1]，函数y ＝f(x)图象上任一点切线的斜率为k ，求|k|≤1时a 的取值范围． 解析 (1)∵f ′(x)＝ae x ＋bx，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝ae ＋b ＝e ，f ′（－1）＝a e －b ＝1e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)当x ∈[0，1]时，k ＝f ′(x)＝－3x 2＋2ax ，对任意的x ∈[0，1]，|k|≤1，即|－3x 2＋2ax|≤1在x ∈[0，1]上恒成立，由于|f ′(0)|＝0≤1，则必须满足⎩⎨⎧|f ′（1）|＝|－3＋2a|≤1，0≤a3≤1，⎪⎪⎪⎪f ′⎝⎛⎭⎫a 3＝a 23≤1.或⎩⎪⎨⎪⎧|f ′（1）|＝|－3＋2a|≤1，a 3>1.或⎩⎪⎨⎪⎧|f ′（1）|＝|－3＋2a|≤1，a 3<0.解得1≤a ≤ 3.22．(12分)设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2其中x ∈R ，a ，b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线l.求a ，b 的值，并写出切线l 的方程． 解析 f ′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ， g ′(x)＝2x －3.由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以切线l 的方程为x －y －2＝0.。

1 变化率与导数1．变化率函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度哪个大？解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0.所以在时间段[0，t 0]内乙的平均速度比甲的大．点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．2．导数的概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点的导数即为函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例2 如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________.(用数字作答)解析 由A (0，4)，B (2,0)可得线段AB 的方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC 的方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝－2.答案 2 －2例3 函数f (x )的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处的切线的斜率．由图可见，过点B 的切线的斜率大于过点A 的切线的斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点的平均变化率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB 的斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 C点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．2 导数计算中的策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)Δx ＝________.分析 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应的Δy 也应选择对应的形式，本题中Δy 中x 的增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)2Δx ·2＝2f ′(1)＝12.答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2013)，求f ′(2013)的值．分析 本题的待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的入手点．若仔细观察分析，把前面的(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)看成一个整体，然后利用积的求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)，则f (x )＝(x －2013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2013)φ′(x )，于是有 f ′(2013)＝φ(2013)＝1×2×3×…×2012. 3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x 的导函数． 分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积的求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导的多项式展开，再利用公式求导，那么此题的求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32.点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误．3 巧用导数的几何意义解题1．求参数例1 设曲线y ＝f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.解析 根据导数的定义，Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx ＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋a Δx 无限趋近于2a ， 即f ′(1)＝2a .又由曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，即a ＝1. 答案 1 2．求倾斜角例2 求曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角．分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k ，再根据斜率k ＝tan α，求出倾斜角α. 解 设曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为α.f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－⎝⎛⎭⎫13－1＋5Δx＝13(Δx )3－Δx Δx ＝13(Δx )2－1，当Δx 无限趋近于0时，13(Δx )2－1无限趋近于－1，即tan α＝f ′(1)＝－1.因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.故切线的倾斜角为3π4.点评 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围． 3．求曲线的切线例3 求在点P ⎝⎛⎭⎫2，83处与曲线y ＝13x 3相切的切线方程． 分析 要求直线在点P 处的切线方程，需求得过点P 的切线的斜率k ，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，83在曲线y ＝13x 3上， Δy ＝13(2＋Δx )3－13×23＝4Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3，所以Δy Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，即k ＝4.故所求的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评 求在点P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程． 4．求切点的坐标例4 若曲线y ＝f (x )＝x 3＋1在点P 处的切线的斜率为3，求点P 的坐标．分析 要求点P 的坐标，可设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．解 设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，因为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20·Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，上式无限趋近于3x 20，所以3x 20＝3，解得x 0＝±1. 故点P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．点评 值得注意的是切点P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.4 剖析导数运算中的常见错误1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.故选A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f ′(1)是常数． 正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝－2.从而f ′(x )＝2x －4. 所以f ′(0)＝－4.故选B. 2．切点位置的确定有误例2 求过点P (1，0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切的直线的方程． 错解 由题意知点P (1，0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1，0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点)．正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)， 则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1，0)，得0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2，4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2，4)外没有其他的公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理，得x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0. 所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点的坐标为(2，4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．。

阶段质量检测(二)变化率与导数[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 11．已知函数f(x)＝x2，则f′(2 )＝()1 1A．－B．－C．－8D．－164 82．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝()A．sin x B．cos x C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x1 4( 处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为() 5．曲线y＝x＋3x3在点1，3 )1 1A．3 B．2 C. D.3 96．函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为()7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝()2 2 2A. B．2ln 3 C. D.3 3ln 3 5ln 318．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()3A．0 B．2 C．1 D．－11x2＋a29．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝()xA．a B．±a C．－a D．a2110．若函数f(x)＝－e ax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋bb的最大值是()A．4 B．2 2 C．2 D. 2答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.112．已知0<x< ，f(x)＝x2，g(x)＝x，则f′(x)与g′(x)的大小关系是____________．4x－113．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点x＋a(0，f(0))处的切线方程为________________．14．曲线y＝f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：1(1)y＝sin x＋；x(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；(3)y＝x·e－x；1(4)y＝sin 2x.2216.(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.1 717．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：3 6(1)f(x)的表达式；(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．118．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为x＋by＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．答案1．选D∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，1 1(2 )＝－2×(2 )－3＝－16.∴f′2．选A由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.3．选C4．选A函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．5．选D y′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，34 4又切线过点(1，，∴切线方程为y－＝2(x－1)，3 )32即y＝2x－，31 2切线和x轴，y轴交点为( ，0 )，( 3).0，－31 12 1故所求三角形的面积＝××＝，故选D.2 3 3 96．选C∵f(x)＝x sin x，∴f′(x)＝sin x＋x cos x，∴f′(－x)＝－sin x－x cos x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.2 27．选D∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.2x－1ln 3 5ln 38．选A f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.x2＋a2′x－x x2＋a22x2－a2－x2 x2－a2 9．选B因为y′＝＝＝，所以x－a2＝02x2 x2 x20，解得x0＝±a.110．选D函数的导数为f′(x)＝－e ax·a，b1 a所以f′(0)＝－e0·a＝－，b ba即在x＝0处的切线斜率k＝－，b1 1 1又f(0)＝－e0＝－b，所以切点为(0，－b)，b1 a所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.b b1圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，a2＋b21即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤.2又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，即a＋b≤2，所以a＋b的最大值是2，选D.11．解析：∵f(x)＝log3(x－1)，1∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，x－1ln 31∴f′(2)＝.ln 341答案：ln 3112．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.2 x1 1由0<x< ，知0<f′(x)< ，g′(x)>1，4 2故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)x＋a－x－1 1 a＋1 113．解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝x＋a 2 x＋1 x＋a 2 x＋12＋1 1 7 1 1 ＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－ 2 )2 (－0＋2 2 0＋1 47＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.4答案：7x－4y－2＝02 214．解析：f′(x)＝，由＝2，得x＝1，又f(1)＝0，所以与直线2x－y＋3＝2x－1 2x－10平行的切线的方程为y＝2(x－1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的|3＋2|最短距离为d＝＝5.5答案：51 115．解：(1)y′＝(sin x)′＋(x)′＝cos x－.x2(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－x e－x＝(1－x)e－x.1 1(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.2 216．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知Error!解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式对任意x都成立，所以Error!5解得 a ＝2，b ＝2，c ＝1，即 f (x )＝2x 2＋2x ＋1. 17．解：(1)f ′(x )＝x 2＋3f ′(a )，于是有a 213a 2 f ′(a )＝a 2＋3f ′(a )⇒f ′(a )＝－ ，∴f (x )＝ x 3－x ， 2327 1 3 7又 f (a )＝ ，即 a 3－ a 3＝ ⇒a ＝－1，6 3 2 6 1 3f (x )＝ x 3－ x ； 3 27(2)由(1)知切点为(6)， －1，1切线的斜率 f ′(a )＝－ ，27 1∴切线方程为 y － ＝－ (x ＋1)，即 3x ＋6y －4＝0.6 2118．解：(1)f ′(x )＝a － ，于是Error!解得Error!或Error!x ＋b21因为 a ，b ∈Z ，故Error!即 f (x )＝x ＋ . x －1 7 (2)由(1)知当 x ＝3时，f (3)＝ ，211 3 f ′(x )＝1－ ，f ′(3)＝1－ ＝ ，x －1 23－1 2 477 3 过点(3，2 )的切线方程为 y － ＝ (x －3)，2 4即 3x －4y ＋5＝0.切线与直线 x ＝1的交点为(1,2)， 切线与直线 y ＝x 的交点为(5,5)， 直线 x ＝1与直线 y ＝x 的交点为(1,1)． 1 从而所围三角形的面积为 ×|5－1|×|2－1|＝2.26。

学习目标 1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．知识点一 函数的平均变化率问题1 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：思考1 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？ 答案 不相同．思考2 哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快． 思考3 如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．问题2 假设如图是一座山的剖面示意图，建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考4 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考5 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 知识点二 瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt .思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．梳理 瞬时变化率的定义及作用(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋(4x 1＋3)． ①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋(4x 1＋3)＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为________．答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx ＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1s 时的瞬时速度． 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt ＝3＋Δt ，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于3，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1s 时的瞬时速度为3m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0s 时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt ＝1＋Δt ，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于2t 0＋1，即2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4s 时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝Δs Δt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2s 附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， 当Δt 趋于0时，∴ΔsΔt趋于4a ，即4a ＝8，∴a ＝2.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2答案 B 解析s (2.1)－s (2)2.1－2＝3＋2×2.1－(3＋2×2)0.1＝2.2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若Δt 趋于0时，s (1＋Δt )－s (1)Δt 趋于9.8m/s ，那么下列说法中正确的是( ) A ．9.8m/s 是物体从0s 到1s 这段时间内的速率 B ．9.8m/s 是1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率 C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速率D ．9.8m/s 是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 答案 C解析 由瞬时变化率的定义可知，9.8m/s 是t ＝1s 时的瞬时速度．3．一质点的运动规律为s ＝t 2＋3t (其中位移单位：m ，时间单位：s)，那么该物体在2s 时的瞬时速度是( )A ．5m /sB ．6 m/sC ．7m /sD ．8 m/s 答案 C解析 Δs Δt ＝(2＋Δt )2＋3(2＋Δt )－(22＋3×2)Δt ＝(Δt )2＋7Δt Δt＝Δt ＋7，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于7.4．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图像可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．5．已知函数y ＝f (x )＝ax 在x ＝1处的瞬时变化率为－2，则实数a 的值是________．答案 2解析 Δy Δx ＝a1＋Δx －aΔx ＝－a 1＋Δx ，当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－a ，∴－a ＝－2，∴a ＝2.1．对瞬时速度的理解及求法(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．(2)当Δt 在变化中趋近于0时，比值ΔsΔt 趋近于一个确定的常数，此常数称为t 0时刻的瞬时速度．2．对瞬时变化率的两点说明 (1)平均变化率与瞬时变化率的关系：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． (2)“Δx 无限趋近于0”的含义：Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.课时作业一、选择题1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6.2．当自变量从x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对 答案 A3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88m /sD ．4.8 m/s答案 A5．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2B ．1C.12D.14答案 C解析 Δs Δt ＝18(2＋Δt )2－18×22Δt ＝18(Δt )2＋12ΔtΔt ＝18Δt ＋12，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12.6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是()A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定答案 B解析 在t 0处，有W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂治污效果较好． 二、填空题7．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .8．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 －14解析 因为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt ＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－14，所以质点在t ＝2时的瞬时速度为－14.9．函数y ＝f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以，当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝________.答案 94解析 Δy ＝f (a )－f (2)＝a 2－2a ＋3－(4－4＋3)＝a 2－2a ，又Δx ＝a －2，∴平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a a －2＝a ＝94.11.如图所示，物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度．(填“等于”、“大于”或“小于”)答案 等于 大于解析 由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度． 三、解答题12．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)． 13．已知s (t )＝5t 2.(1)求t 从3s 到3.1s 的平均速度； (2)求t 从3s 到3.01s 的平均速度； (3)求t ＝3s 时的瞬时速度． 解 (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1, Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)， ∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5Δt (6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴t ＝3s 时的瞬时速度为30m/s. 四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t >0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是________.答案 2 3解析 由AB ＝OB 2－OA 2＝3t ，∴S (t )＝12·OA ·AB ＝12t ·3t ＝32t 2， ∴ΔS Δt ＝S (2＋Δt )－S (2)Δt ＝32Δt ＋23， 当Δt 趋于0时，ΔS Δt 趋于2 3. 15．某一运动物体，在x (s)时离出发点的距离(单位：m)是y ＝f (x )＝23x 3＋x 2＋2x . (1)求在第1s 内的平均速度；(2)求在1s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s?解 (1)物体在第1s 内的平均变化率(即平均速度)为f (1)－f (0)1－0＝113m/s. (2)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝23(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2＋2(1＋Δx )－113Δx＝6＋3Δx ＋23(Δx )2. 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于6， 所以物体在1s 末的瞬时速度为6m/s.(3)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝23(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－(23x 3＋x 2＋2x )Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx )2＋2x ·Δx ＋Δx . 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x 2＋2x ＋2， 令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x ＝2，即经过2s 该物体的运动速度达到14m/s.。

3.1 变化的快慢与变化率[A.基础达标]1．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加ΔS 等于( )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2.2.如图，函数y ＝f (x )在A 、B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2解析：选B.Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1.3．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v 1，v 2，v 3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A.v 1＋v 2＋v 33 B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：选D.设三个连续时段为t 1，t 2，t 3，各时段的增长量相等，设为M ，则M ＝v 1t 1＝v 2t 2＝v 3t 3.整个时段内的平均增长速度为3M t 1＋t 2＋t 3＝3M M v 1＋M v 2＋M v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3.4．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174 C.154D.134 解析：选D.ΔsΔt ＝（2＋Δt ）2＋32＋Δt －（22＋32）Δt＝4＋Δt －32（2＋Δt ），当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于134，所以选D.5．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是()A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定 解析：选B.在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1（t 0）－W 1（t 0－Δt ）Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2（t 0）－W 2（t 0－Δt ）Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 6．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km ／h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km ／h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：Δs Δt ＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km ／h.答案：100 km ／h7．已知曲线y ＝x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________．解析：Δy ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)＝2x Δx ＋(Δx )2，Δy Δx ＝2x Δx ＋（Δx ）2Δx＝2x ＋Δx ， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于2x ＝－4，所以x ＝－2，可得y ＝5.答案：(－2，5)8.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t ＝127分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t 分钟后水面高度为h ，则水面的半径为33h ，t 分钟时，容器内水的体积为9.3t ，因为9.3t ＝13π(33h )2·h ，所以h 3＝27t ，所以h ＝33t .因为ΔhΔt ＝33127＋Δt －33127Δt＝3ΔtΔt ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（127＋Δt ）2＋13 3127＋Δt ＋19＝33（127＋Δt ）2＋13 3127＋Δt ＋19，所以当Δ t 趋于0时，Δh Δt 趋于9，即h (t )在t ＝127处的瞬时变化率为9.答案：99．求函数f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2－4Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx＝（3＋Δx ）2－9Δx ＝6＋Δx .令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大．10．如果一个质点从定点A 开始运动，关于时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3.求该质点在t ＝4时的瞬时速度．解：Δy Δt ＝（4＋Δt ）3＋3－（43＋3）Δt＝48Δt ＋12（Δt ）2＋（Δt ）3Δt＝48＋12Δt ＋(Δt )2，当Δt 趋于零时，ΔyΔt趋于48.即质点在t ＝4时的瞬时速度是48.[B.能力提升]1．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定解析：选D.因为k 1＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx＝2x 0－Δx ，又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定．2．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt 趋于0时，ΔsΔt＝16－8t －4Δt 趋于0.即16－8t ＝0，解得t ＝2.3．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx 的范围是________．解析：因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx ，所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)4．当球半径r 变化时，体积V 关于r 的瞬时变化率是________．解析：ΔV Δr ＝43π（r ＋Δr ）3－43πr3Δr＝4πr 2＋4πr Δr ＋43π(Δr )2，当Δr 趋于0时，瞬时变化率为4πr 2.答案：4πr 25．质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m ／s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m ／s.6．(选做题)若一物体的运动方程如下(s 单位：m ，t 单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t ＜3. 求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)t ∈[3，5]时，Δt ＝5－3＝2，Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．因为物体在t ＝0附近的平均速度为v －＝Δs Δt ＝s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝29＋3[（0＋Δt ）－3]2－29－3（0－3）2Δt＝3Δt －18，所以当Δt 趋于0时的瞬时速度为v 0趋于－18，所以物体在t ＝0时的瞬时速度为－18 m/s.(3)因为物体在t ＝1时的平均速度为v －＝Δs Δt ＝29＋3（1＋Δt －3）2－29－3（1－3）2Δt＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，v 趋于－12，所以物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.因为f (x )＝13，所以f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x(2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2，所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f (x )＝e x＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________． 解析：由y ＝x n (1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，所以f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)，所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2，所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )；(2)y ＝x 3sin x 2cos x2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2.解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x )＝32x 2sin x ＋12x 3cos x . (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。

一、选择题1．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)2．若()f x lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 3．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．eC ．ln 2D ．14．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．26．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．328．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+9．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦10．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.14．已知函数()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__17．函数3()sin 2f x x =-的图象在3x π=的切线方程为_____________。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1 B ． 2 C ．e D ．1e[答案]　A[解析]　根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.2．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )43A ．0 B ．±3C ．0或±3 D ．非以上答案[答案]　C[解析]　求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－A ．23由题设x ＝0时，y ＝0，故－a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝343时，也成立．故选C ．3．设f (x )为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y ＝f (x )lim x →0f 1 －f 1－x2x 在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案]　B[解析]　因为f (x )为可导函数，且＝－1，所以limx →0f 1 －f 1－x 2x 12lim x →0＝－1，所以＝－2，即f ′(1)＝－2，所以f 1 －f 1－x x lim x →0f 1 －f 1－xx y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.4．运动方程为s ＝＋2t 2，则t ＝2的速度为( )1－tt 2A ．4B ．8C ．10D ．12[答案]　B[解析]　本题考查导数的物理意义，求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用．∵s ＝＋2t 2＝－＋2t 2＝t －2－t －1＋2t 2，1－t t 21t 21t ∴s ′＝－2t －3＋t －2＋4t .∴v ＝－2×＋＋4×2＝8，故选B.1231225．函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案]　A[解析]　显然y ＝f (x )为二次函数，设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则y ＝f ′(x )＝2ax ＋b .由图像知a <0，b >0.又由已知函数的图像过原点，∴c ＝0，顶点为(，)，－b 2a －b 24a 因而y ＝f (x )的顶点在第Ⅰ象限．6．若函数y ＝在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值( )e xx A ．等于0 B ．等于1C ．等于 D ．不存在12[答案]　C[解析]　y ′＝＝，e x ′x －e x · x ′x 2e x x －1x 2当x ＝x 0时，y ′＝，y ＝.由题意，知y ′＋y ＝0，即e x 0(x 0－1)e x 0 x 0－1 x 20e x 0x 0＋e x 0·x 0＝0，所以x 0＝.127.(2014·邹城一中月考，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3[答案]　A[解析]　∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，①∴f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8＝2f (x )－x 2－4x ＋4.②将②代入①，得f (x )＝4f (x )－2x 2－8x ＋8－x 2＋8x －8.∴f (x )＝x 2，y ′＝2x .∴y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.∴函数y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.8.设函数f (x )＝x 3＋x 2＋tan θ，其中θ∈，则导数f ′(1)的sin θ33cos θ2[0，5π12]取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[，]23C ．[，2]D ．[，2]32[答案]　D[解析]　∵f ′(x )＝x 2sin θ＋x cos θ，3∴f ′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，3π3∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，5π12π322∴f ′(1)∈[，2]．故选D.29．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |[答案]　C[解析]　设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝，y ′＝－，故切线斜率为a x ax 2－，切线方程为y －＝－(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为a x 20a x 0a x 20(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝，即切线与y 轴的交点坐标为.故切线与两坐标轴所围成2a x 0(0，2ax 0)的三角形的面积为×|2x 0|×＝2|a |.12|2ax 0|10．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋x －9都相切，则a 等于( )154A ．－1或－ B ．－1或2564214C ．－或－ D ．－或774256474[答案]　A[解析]　考查导数的应用，求曲线的切线方程问题．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x )，30所以切线方程为y －x ＝3x (x －x 0)，3020即y ＝3x x －2x ，又(1,0)在切线上，2030则x 0＝0或x 0＝.32x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋x －9相切得154a ＝－2564当x 0＝时，由y ＝x －与y ＝ax 2＋x －9相切得a ＝－1，所以选A ．32274274154二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知曲线y ＝x 3＋，则在点P (2,3)的切线方程是________．1313[答案]　4x －y －4＝0[解析]　y ′＝x 2，当x ＝2时，y ′＝4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.12．球的半径从1增加到3时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案]　104π3[解析]　∵Δy ＝π×33－π×13＝，4343104π3∴V ′＝＝＝.Δy Δx 104π32－1104π313．设f (x )是偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．[答案]　－1[解析]　考查偶函数性质．偶函数图像关于y 轴对称，则曲线上关于y 轴对称的两点的切线也关于y 轴对称，斜率互为相反数．∴斜率为－1.14．已知0<x <，f (x )＝x 2，g (x )＝，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是________．14x [答案]　f ′(x )<g ′(x )[解析]　由题意，得f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝.12x 由0<x <，知0<f ′(x )<，g ′(x )>1，1412故f ′(x )<g ′(x )．15．函数y ＝cos x ·cos2x ·cos4x 的导数为________．[答案]　y ′＝cos x sin8xsin2x[解析]　∵y ＝cos x ·cos2x ·cos4x ＝＝·，sin x ·cos x ·cos2x ·cos4x sin x 18sin8xsin x ∴y ′＝′＝·＝－.18(sin8x sin x )188sin x ·cos8x －cos x ·sin8x sin2x cos8x sin x cos x ·sin8x8sin2x 三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋＋)；1x 1x 3(2)y ＝(＋1)(－1)；x 1x [解析]　(1)∵y ＝x (x 2＋＋)＝x 3＋1＋，1x 1x 31x 2∴y ′＝3x 2－.2x 3(2)∵y ＝(＋1)(－1)＝－x ＋x －，x 1x 1212∴y ′＝－x －－x －＝－·(1＋)．1212123212x 1x 17．设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过点P 的曲线C 的切线与x 轴交于点Q (－a,0)，求a 的值．[解析]　依题意Error!，解得P (a ，a 3－3a )，y ′＝3x 2－3所以过点P 的曲线C 的切线方程为：y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a )令y ＝0得切线与x 轴的交点为(，0)2a 33a 2－3则有＝－a 解得a ＝±或a ＝0，2a 33a 2－3155由已知a >0，∴a ＝.15518．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切．求直线l 的方程．[解析]　设l 与C 1相切于点P (x 1，x )，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．21对于C 1，y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x ＝2x 1(x －x 1)，即21y ＝2x 1x －x ①.21对于C 2，y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x －4②.2∵两切线重合，∴Error!，解得Error!或Error!，∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.19.(1)求曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程；(2)过曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．[分析]　要注意(1)(2)中的不同之处，在点(1，－1)处的切线方程即(1，－1)为切点，而过点(1，－1)的切线方程中切点需设出后，再利用导数的几何意义(可利用斜率相等)，求出切点坐标后再求切线方程．[解析]　(1)由题意f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，∴点(1，－1)处的切线的斜率k ＝1，其方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x －2x 0，30则切点处的导数值f ′(x 0)＝3x －2；20若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x －y －2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x －2＝(x 0≠1)，20y 0＋1x 0－1即3x －2＝，20x 30－2x 0＋1x 0－1∴3x －2x 0－3x ＋1＝x －2x 0.302030∴2x －3x ＋1＝0，3020即(x 0－1)(2x －x 0－1)＝0.20∴x 0＝1或x 0＝－，其中x 0＝1舍去．12则切点坐标为(－，)，1278∴斜率为f ′(－)＝3×(－)2－2＝－.121254∴切线方程为5x ＋4y －1＝0.∴过点(1，－1)的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.[点评]　利用导数求切线方程时要注意：求在点P (x 0，y 0)处的切线方程，与经过点P (x 0，y 0)的切线方程求法不同，后者需要先把切点设出来．20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，请求出x 0的值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2.(2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且x 0>0，故f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝，1x 0解得x 0＝±.12∵x 0>0，∴x 0＝.1221.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的范围．[解析]　∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即|－3(x －)2＋|≤1在x ∈[0,1]上恒成立．a3a 23又f ′(0)＝0，①当<0，即a <0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；a3②当0≤≤1，即0≤a ≤3时，Error!a3得1≤a ≤；3③当>1，即a >3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．a33综上知1≤a≤，3∴a的范围为[1，]．。