高中数学 第三章 变化率与导数单元测试1 北师大版选修1-1

一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．324．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．4D 5．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim 12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65BCD ．65．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．06．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --7．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞D ．(](),11,-∞-+∞8．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） AB．C ．2D．9．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( )A ．[2, )+∞B ．[2, 4]C ．[4, )+∞D ．[4, 8]10．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,311．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点12．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且10,2a b ==，则sin B =__________．15．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．16．函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__ 17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数f （x ）＝f '（1）e x +x 2﹣1，其中f '（x ）是f （x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为_____．19．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.20．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()2(0)x f x e f x '+=⋅，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________三、解答题21．已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程. 22．已知函数()()()1xf x x a ea R =--∈()1当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； ()2当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的最大值。

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞5．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2D ．6．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．28．设点P 是曲线31y =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 12．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．14．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．15．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____． 19．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”.（1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()ln g x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 22．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.23．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 24．已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.25．已知函数31()43f x x x a =-++. （1）当4a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）当函数()f x 只有一个零点时，求a 的取值范围.26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，001(0)0f e e=-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.3．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况.设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得1m =，则相切时斜率6k =-故要满足题意，只需(0,6k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.4．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.5．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=,则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =, 所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.6．B解析：B 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()xxe e '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误 ⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.8．A解析：A 【分析】求函数的导数，设出切点(,)P m n ，可得切线的斜率，由定义域得斜率的范围，由正切函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】31y x =-+，(11)x -<<的导数为2y '=- 设(,)P m n ，可得切线的斜率为2tan k α=-(1m 1)-<<即有tan 0α<， 可得2[3πα∈，)π． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．324．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+5．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．326．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+7．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++8．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ）A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e-⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦9．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．5810．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=11．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-212．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.14．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-14．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1495．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-6．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣7．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞8．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3-D．(0,39．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++10．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 11．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．53二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．14．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.15．已知f （x ）＝lnx ，g （x ）12=x 2+mx 72+（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，且与函数f （x ）的图象的切点为（1，f （1）），则m 的值为_____．16．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______18．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 19．函数的图象在点处的切线方程为______．20．已知P 为函数ln y x =图象上任意一点，点Q 为圆()22211x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为___．三、解答题21．已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)． (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间．22．已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.23．已知函数()1ln f x x x=-. （1）求函数()f x 在点()1,1-处的切线方程；（2）若函数()()1g x xf x =+，直线1:2l y ax e =+与函数()g x 在x e =处的切线2l 互相垂直，求直线12,l l 与x 轴围成的封闭图形的面积. 24．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x x e x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =. 因为()2xxf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增．可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.4．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11x f x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.6．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.7．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”，所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.8．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.9．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2bf x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++， 因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题10．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.12．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2911y x '=-=-，得x =y =，即切点22Q ⎛⎝⎭，则切点Q 到直线0x y +=的距离为22329222611+=+，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.14．【分析】由题意可知有解即与有交点根据导数的几何意义求出切点结合图象可知的范围【详解】函数与的图象上存在关于轴的对称点在上有解即在上有解在上有解分别设若为的切线则设切点为则结合图象可知故答案为：【点睛解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题意可知()()f x g x =-有解，即y lnx =与y ax =有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围. 【详解】函数3()f x lnx x =-与3()g x x ax =-的图象上存在关于x 轴的对称点，()()f x g x ∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax -=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax ∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx =，y ax =， 若y ax =为y lnx =的切线，则1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，则01a x =，00ax lnx =， 0x e ∴=，1a e∴=，结合图象可知，1ae. 故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx =与y ax =有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.15．【分析】由题意g′（x ）＝x+m （m ＜0）从而可得直线l 的斜率为切点为（10）；从而求出直线方程联立令△＝0即可求出m 的值【详解】解：由题意故直线l 的斜率为切点为（10）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1 解析：2-【分析】由题意，1'()f x x=，g ′（x ）＝x +m （m ＜0），从而可得直线l 的斜率为11k f '＝（）＝，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0即可求出m 的值. 【详解】解：由题意，1'()f x x=， 故直线l 的斜率为11k f '＝（）＝， 切点为（1，0）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1；即x ﹣y ﹣1＝0；由12x 2+mx 72+=y ，y ＝x ﹣1消y 得， x 2+2（m ﹣1）x +9＝0,故241490m ∆⨯=（﹣）﹣＝，解得，m ＝﹣2（m ＜0）； 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．16．【分析】求导得到根据切线公式得到切线方程故再计算前50项和得到答案【详解】则故故切线方程为：取得到前50项和为故答案为：【点睛】本题考查了切线方程通项公式数列求和意在考查学生的计算能力和综合应用能力 解析：1275-【分析】求导得到()()'1nf x n x =+，根据切线公式得到切线方程()()11222nn y n x +=+-+，故()12122n n n a n +=-++，12nn a n +=-，再计算前50项和得到答案. 【详解】()1n y f x x +==，则()()'1n f x n x =+，故()()'212n f n =+，()122n f +=故切线方程为：()()11222nn y n x +=+-+，取0x =，得到()12122n n n a n +=-++.()1112n n a n n +=-++=-，前50项和为()1505012752+-⨯=-.故答案为：1275-. 【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222x x S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.18．【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析：210x y -+=【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程． 【详解】11x y x +=-， 22'(1)y x ∴=--，当3x =时，1'2y =-，即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-， ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2， 直线过点()0,1，∴所求直线方程为12y x -=，即210x y -+=．故答案为210x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．19．x-y-1=0【解析】【分析】求得f(x)的导数可得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)=lnxx 的导数为f(x)=1-lnxx2可得f(x)在x=1处的切线斜率为k 解析：【解析】 【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】 函数的导数为， 可得在处的切线斜率为，，即，可得切线方程为，即， 故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.20．【分析】要求点到曲线的距离最小值先设点坐标求导后由垂直得到关于参量的函数再次运用导数求出函数单调性解得结果【详解】由圆的对称性可知只需满足圆心（0）到图象上一点的距离最小值设图象上的一点为则即有切线解析：1【分析】要求点到曲线的距离最小值，先设点坐标，求导后由垂直得到关于参量的函数，再次运用导数求出函数单调性，解得结果 【详解】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，21e +）到ln y x =图象上一点的距离最小值 设ln y x =图象上的一点为(),(0)m lnm m > 则1y x'=即有切线斜率为1k m=可得21lnm e m m --=-2210m lnm e ∴+--=,设()221g m m lnm e =+--()120g m m m+'=>, ()g m 递增又()0g e =可得e m =处点（e,1）到Q =则线段PQ 长度的最小值为1 【点睛】本题考查了利用导数研究点到曲线上距离最小值，理清题意，求出满足条件的结果，本题有一定的难度，属于中档题．三、解答题21．（I ）322ln 230x y -+-=（II ）见解析 【详解】 （I ）322ln 230x y -+-=（II ）当0k =时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k- 22．（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18，---,418y x =-或414y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+，由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-， 解得1a =，16b =-. （2）∵切线与直线134y x =-+垂直， ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ，则()200'314f x x =+=，∴01x =±.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-. 23．（1）230x y --=（2）24920e【分析】（1）求导，将切点分别代入导函数和原函数利用切线方程公式得到答案.（2）()g x xlnx =, 切点坐标为(),e e ,计算得到12,l l 方程，得到交点，再计算三角形面积. 【详解】 (1)()211´f x x x =+, ()()´1 2,1 21f y x =+=-,230x y --=(2)由已知, ()g x xlnx =, 切点坐标为(),e e ,()()'1,'2g x lnx g e =+=,所以2l :的方程为：()2y e x e -=-,2y x e =-…………① 于是，1l 的方程为：122y x e =-+,……………………② 联立①②，解得67,55e e （） 2l 与x 轴交点,02e ⎛⎫⎪⎝⎭, 1l 与x 轴交点()4,0e此封闭图像面积为三角形，底边为7422e e m e =-=,高75h e = 所以三角形面积为2117749222520e S mh e e ==⨯⨯= 【点睛】本题考查了切线方程，直线的垂直，三角形面积，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.24．（1）12y x π-=-即12y x π=+-；（2）195-. 【分析】（1）先求导数，代入切点得到斜率，在计算切线方程.（2）根据条件先计算出tan 3x =，在利用齐次式上下同时除以2cos x 得到答案. 【详解】 解：（1）12f π⎛⎫=⎪⎝⎭因为()cos sin f x x x =+' 切线斜率12k f π'⎛⎫==⎪⎝⎭所以在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：12y x π-=-即12y x π=+- （2）因为()cos sin f x x x =+'，()()2f x f x '= 所以()cos sin 2sin cos x x x x +=- 解得tan 3x =所以22222221sin 1sin 2sin cos cos sin2cos 2sin cos cos 2sin cos x x x xx x x x x x x x +++==--- 22tan 11912tan 5x x +==--【点睛】本题考查了切线的计算，三角恒等变化，利用齐次式上下同时除以2cos x 是解题的关键. 25．（1）1y x =-（2）20a e -<< 【分析】（1）将0a =代入()()ln f x x a x =+，再对函数()f x 求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；（2）对函数()f x 求导，通过讨论a 的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()'ln 1f x x =+．()'11f =，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-． （2）()f x 有极小值⇔函数()'f x 有左负右正的变号零点. ()()1'ln ln 1af x x x a x x x=++=++ 令()()'g x f x =，则()221'a x ag x x x x -=-=令()'0g x =，解得x a =．x ，g （x ），()'g x 的变化情况如下表：①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则0g x ≥，所以'f x 不存在变号零点，不合题意． ②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，()110g a =+>． 所以()0,1x a ∃∈，使得()00g x =；且当()0,x a x ∈时，()0g x <，当()0,1x x ∈时，()0g x >．所以当(),1x a ∈时，x ，()'f x ，f （x ）的变化情况如下表：所以0a e <<．【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线方程；第二问主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；属于常考题型. 26．(1)见解析(2) 231a e e<≤++ 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与()y g x =联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得()()y f x g x =-的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围． 详解：（1）∵()ln f x x x =， ∴()'ln 1f x x =+， ∴()'11f =. 又()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为1y x =-．由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得()2110x a x +-+=.故()()()22142313a a a a a ∆=--=--=+-，所以当0∆>，即1a <-或3a >时，切线与曲线()y g x =有两个公共点； 当0∆=，即1a =-或3a =时，切线与曲线()y g x =有一个公共点； 当0∆<，即13a -<<时，切线与曲线()y g x =没有公共点. （2）由题意得()()22ln y f x g x x ax x x =-=-++，由0y =，得2ln a x x x=++， 设()2ln (0)h x x x x x=++>，则()()()212'x x h x x -+=. 又1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()0,?h x h x <'单调递减； 当[]1,x e ∈时，()()0,?h x h x >'单调递增． 所以()()min 13h x h ==. 又1121h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()21h e e e=++， 结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，方程2ln a x x x =++有两个不同的实数根， 故当231a e e<≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点． 点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．。

一、选择题1．若()f x lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-2．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．03．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．325．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞D ．(](),11,-∞-+∞7．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +128．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为（ ）A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 11．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数已知函()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是___________. 14．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.15．直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2x y =相切，若直线l 的倾斜角为4π，则t =__________．16．已知函数f (x )＝2sin 3x ＋9x ，则()()lim 110f x f x x+-→____.17．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 18．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 19．若00x 03)()lim1(xx f x f x ∆→+∆-=∆，则0()f x '=________.20．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______.三、解答题21．已知函数()x af x e-=，()ln g x x b =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）若2a b =+，是否存在直线与曲线()y f x =和()y g x =都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 22．求下列函数的导数： （1）y ＝e x lnx ； （2）y 1cosxsinx+=． 23．已知函数()()()32231610f x x m x mx m m R =---+∈. （1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0m >，且当[]13,x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 25．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.26．设函数()()20f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()()1,1f --处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-xg x f x e的单调区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据和曲线()ln f x x =相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值. 【详解】设在函数()ln f x x =处的切点设为（x,y ）,根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和 ()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-,化简得到()2110x a x +-+=,只需要满足()21401 3.a a ∆=--=⇒=-或故答案为D. 【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.2．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.3．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 4．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴21122x a x x+=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．7．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =.所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 22παπααα+-==⨯=故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=，由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m>，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值. 【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭ 整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩ 故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.12．D解析：D【解析】 【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()xf x xe -=-，则()2(2)xx x f x exe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．二、填空题13．【分析】根据题目给出的定义可得即方程在区间有两个解结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组求解可得的取值范围【详解】因为在区间存在满足方程在区间有两个不相等的解令则解得：故答案为：【点睛】关键点解析：3655t <<【分析】根据题目给出的定义可得()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-，即方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于t 的不等式组，求解可得a 的取值范围． 【详解】 因为()3265f x x x =-，()21235f x x x '=-在区间[]0,t 存在1x ，2x ()120,x x t <<< 满足()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-∴方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个不相等的解 令()22126355g x x x t t =--+，()0x t << 则()()222144612025520560056205t t t g t t g t t t ⎧⎛⎫∆=--+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得：3655t <<故答案为：3655t << 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果．14．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．【解析】【分析】设切点为（mm2）求函数导数求得切线斜率可得切点再由两点斜率公式计算即可得答案【详解】设切点为（mm2）y ＝x2的导数为y′＝2x 切线l 的斜率为k ＝2m ＝tan45°＝1解得m ＝可得解析：14【解析】 【分析】设切点为（m ，m 2），求函数导数，求得切线斜率可得切点，再由两点斜率公式，计算即可得答案． 【详解】设切点为（m ，m 2），y ＝x 2的导数为y ′＝2x ， 切线l 的斜率为k ＝2m ＝tan45°＝1， 解得m ＝12，可得切点为（12，14）， 由1＝10412t --，解得t ＝14．故答案为14．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．6cos3＋9【分析】根据导数的定义原式等于求出后令计算即可【详解】∵∴故答案为【点睛】本题主要考查导数的定义函数的导函数求解熟练掌握初等函数的求导是解题的关键属于基础题解析：6cos3＋9 【分析】根据导数的定义，原式等于()1f '，求出()f x '后令1x =计算即可． 【详解】∵()()2sin396cos39f x x x x '=+'=+. ∴()()0(1)1 lim16cos39x f x f f x→+-='=+，故答案为6cos39+．【点睛】本题主要考查导数的定义，函数的导函数求解，熟练掌握初等函数的求导是解题的关键，属于基础题．17．【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线方程求得与坐标轴的交点即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积【详解】由函数可得导数为当时所以曲线在点处的切线方程为即令可得令可得所以曲线在处的切线与两坐标3【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【详解】由函数2xy x e =+，可得导数为12xy e '=+，当0x =时，3y '=，所以曲线2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为23y x -=，即320x y -+=，令0x =，可得2y =，令0y =，可得23x =-， 所以曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222233⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．19．【详解】由极限的定义可得：故答案为：3【详解】由极限的定义可得：()()0003limx f x x f x x∆→+∆-∆()()0003lim 33x f x x f x x ∆→+∆-⎡⎤=⨯⎢⎥∆⎣⎦()031f x ='=，()01'3f x ∴=. 故答案为：1320．【分析】由可得直线的斜率为即可求出答案【详解】由可得切线为直线的斜率为：设直线的倾斜角则且所以故答案为：【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围属于中档题解析：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】由sin y x =可得()sin cos x x '=，直线l 的斜率为[]cos 1,1k x =∈-，即[]tan 1,1k α=∈-可求出答案.【详解】由sin y x =可得()sin cos x x '=， 切线为直线l 的斜率为：[]cos 1,1k x =∈-设直线l 的倾斜角α，则[]tan 1,1k α=∈-且0απ≤<.所以α30,,44πππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.三、解答题21．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-． 【分析】（1）当1a =时，()1x f x e-=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.【详解】（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-， 代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x a f x e -'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221ln ln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a xb x x x x ---=-， 整理得：()()12110x x --=当11x =时，()111a a y e e x ---=-，即1ay e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1ay e x -=或1y x a -=-【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 22．（1）y ′＝e x （lnx 1x +）；（2）y ′21cosx sin x--= 【分析】（1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可； （2）根据导数商的求导法则和求导公式进行求解即可． 【详解】（1）y ′＝e x lnx +e x 1x⋅=e x （lnx 1x +）．（2）y ′＝（1cosxsinx +）′()2222211sinxsinx cosx cosx sin x cos x cosx cosx sin x sin x sin x --+-----===． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数的运算法则是解决本题的关键．23．（1）1270x y --=；（2）(]0,2. 【分析】（1）先对函数()y f x =求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）问题可转化为求解函数()y f x =在区间[]1,3-上的最小值()min f x ，求导后对实数m 分3m ≥和03m <<两种情况讨论，求出()min f x ，然后解不等式()min 0f x ≥，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()3223f x x x +=，()266f x x x '=+，由题意可得，()15f =，切线斜率()112k f '==，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程()5121y x -=-，即1270x y --=；（2）()()()()2661661f x x m x m x x m '=---=+-.①若3m ≥，则对任意的[]13,x ∈-，()0f x '≤，则函数()y f x =在[]1,3-上单调递减，则只要()335810f m =-+≥， 解可得，81335m ≤<，不合题意，舍去； ②若03m <<，当1x m -≤≤时，()0f x '≤，当3m x <≤时，()0f x '>， 故函数()y f x =在[]1,m -上单调递减，在(],3m 上单调递增， 故只要()323100f m m m m =--+≥，0m >，解得02m <≤.综上可得，m 的范围为(]0,2. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 24．(1) 10x y --= (2) 1(,)2e+∞ (3) 1a = 【分析】（1）先利用导数求切线的斜率，再求切线方程；（2）原命题等价于2ln xa x <对()0,x ∈+∞恒成立，再令()2ln xh x x=求()max h x 即得解.（3）设切点为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解之得解. 【详解】（1）由题得21ln (),(1)1xf x k f x ''-=∴== 所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程y 0x 1-=-为10x y --=即；（2）由题得函数的定义域()0,+∞为. 即2ln xa x<对()0,x ∈+∞恒成立， 令()2ln x h x x =，所以()312ln xh x x-'=， 所以函数h(x)在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()max 12h x he==， 故a 的取值范围为1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （3）由题得ln x y ax x =-，所以21ln x y a x-='- 设切点横坐标为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得1a =.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和切线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 25．（Ⅰ）43y ex e =-（Ⅱ）24(,]e a a a ++- 【分析】（Ⅰ）当a ＝1时，f （1）＝e ，f ′（1）＝4e ，由点斜式可求得y ＝f （x ）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ） 令f ′（x ）＝e x [x 2+（a +2）x ）]＝0，可解得x ＝﹣（a +2）或x ＝0，对﹣（a +2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x 的方程f （x ）＝k 在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k 的取值范围． 【详解】解：(Ⅰ)由2()()x f x e x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即43y ex e =-（Ⅱ） 令2'()((2))0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))a f a e +-+=. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x ()ae a a -≥->-.所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. 【点睛】 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．26．（1）2a ，23a +；（2）()g x 的减区间为(),2-∞-和()2,+∞；增区间为()2,2-.【解析】分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用a 分别表示b 和c ； （2）当bc 取得最小值时，求得a ，b 和c 的值.写出函数()g x 的解析式，根据求导法则求出()'g x ，令()'g x =0求出x 的值，分区间讨论()'g x 的正负，即可得到函数()g x 的单调区间.详解：解：（1）因为()2f x ax bx c =++，所以()2f x ax b ='+又因为曲线()y f x =通过点()023a +，, 故()023f a =+，而()0f c =，从而23c a =+.又曲线()y f x =在()()11f --，处的切线垂直于y 轴， 故()10f '-=，即20a b -+=，因此2b a =.（2）由（1）得()239223444bc a a a ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当34a =-时，bc 取得最小值94-. 此时有33,22b c =-=. 从而()2333422f x x x =--+，()3322f x x =-'-， ()()2333422x x g x f x e x x e --⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，所以()()()()23(44xx g x f x f x ex e --=-'-'=-. 令()0g x '=，解得122,2x x =-=.当(),2x ∈-∞-时，()0g x '<，故()g x 在(),2x ∈-∞-上为减函数； 当()2,2x ∈-时，()0g x '>，故()g x 在()2,2x ∈-上为增函数. 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()2,x ∈+∞上为减函数.由此可见，函数()g x 的单调递减区间为(),2-∞-和()2,+∞；单调递增区间为()2,2-. 点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用.。

一、选择题1．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-2．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 3．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<' D ．()()()()2211f f f f ''<-<4．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．355B ．255C ．25D ．357．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞ D ．[4, 8]8．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()2,1--11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．直线2y x =与()2ln f x a x x =+的图象相切，则a 的值为___________.15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．曲线224x y e x x =+-在1x =处的切线方程是_____________17．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________ 18．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________．19．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．20．已知函数(),()x f x e g x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.22．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 23．已知函数()ln 1x af x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 24．已知曲线3212313y x x x =-+-+. （1）求该曲线斜率为-3的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P ，过点P 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最小值.25．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.2．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.3．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.4．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--， 故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.因为f (x )＝13，所以f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x(2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2，所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f (x )＝e x＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________． 解析：由y ＝x n (1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，所以f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)，所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2，所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )；(2)y ＝x 3sin x 2cos x2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2.解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x )＝32x 2sin x ＋12x 3cos x . (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。

一、选择题1．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点；③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65BCD ．63．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．04．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．设函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．540x y --=B ．320x y --=C ．0x y -=D ．1x =6．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和点()()02,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31iii x y =+=∑（ ）A ．0B ．3C ．6D ．98．设点P 是曲线313y x =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201112．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______.14．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.15．已知函数()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______. 16．函数3()sin 2f x x =-的图象在3x π=的切线方程为_____________。

第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.因为f (x )＝13，所以f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x(2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2，所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f (x )＝e x＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________． 解析：由y ＝x n (1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，所以f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)，所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2，所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )；(2)y ＝x 3sin x 2cos x2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2.解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x )＝32x 2sin x ＋12x 3cos x . (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。