(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4B ．92CD ．22．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．3．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．44．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=5．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．16．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-7．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=8．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920209．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．410．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e12．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________． 14．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．15．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 16．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.17．对于曲线4()1xf x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线221()ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+（t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点． （i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 24．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 25．已知函数（）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，试讨论的单调性．26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程； （2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为2h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为()1,1，∴124p =-+，∴3p =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.4．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.5．B解析：B 【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立.在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对.对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--， 可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．C解析：C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．8．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.9．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．10．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()xf xg x e =，x ∈R ． ()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【详解】 因为曲线12xy e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2）∴f′（x ）|x=4=12e 2， ∴切线方程为：y-e 2=12e 2（x-4）， 令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2. 故选D ．12．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可． 【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题二、填空题13．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a 然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn 【详解】由题意知f(x)=2ax 则k=f(1)=2a2a ⋅(-18)=-1故a=4f 解析：【解析】 【分析】利用导数的几何意义求a ，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出． 【详解】 由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题14．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.15．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=【解析】 【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭是点P 附近的一点， 则()()1112111PQ x x k xx x x+-+∆-∆===∆∆--∆+∆．当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，∴曲线11y x=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.16．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，， 故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..17．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（解析：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．详解：∵()41x f x e =+，∴()2441(1)2x x x xe f x e e e --==+'++∵11224x xx xe e e++≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()221ln 2g x ax x x x =-+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1）， 当x ∈（0，1e）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数；当x ∈（1e，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数； 故当x=1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2e，0） 若对于曲线()41x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1， 总存在在曲线()221ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2， 则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2e≤﹣1． 解得：a ∈2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 故答案为：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f （x ）=ax2+bx 得=2ax+b 又f （x ）=ax2+bx （a ＞0b ＞0）在点解析：9 【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f '=2a+b=2，得a+2b =1，把8a b ab +变形为8b +1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值． 详解：由f （x ）=ax 2+bx ，得()f x '=2ax+b ，又f （x ）=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2， 所以(1)f '=2a+b=2，即a+2b=1． 则8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2b ）=5+8a b +2ba≥9． 当且仅当8a b =2ba ，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9． 故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ=20．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填解析：32【解析】由题意可得t S t =+（）()1s t=+'所以第4秒末的瞬时速度为3(4)12s '==，填32。

一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+2．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．43．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－24．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( ) A ．1 B ．2C ．12D ．3555．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．46．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点P 在曲线y=41xe +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ）A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 8．曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e9．若函数()33=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e + 11．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-12．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 2二、填空题13．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______.14．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________． 15．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．16．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.17．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于__________．18．设()0sin f x x =，()()10'f x f x =，()()21'f x f x =，…，()()1'n n f x f x +=，n N ∈，则()20170f = __________19．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．20．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________．三、解答题21．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．63．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．54．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65B 5C ．55D ．66．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=7．若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A ．a=1，b=1 B ．a=－l ，b=lC ．a=l ，b=－1D ．a=－1，b=－168．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x x ππ∆→-+∆=∆（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．210．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 11．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B ．2C ．2D ．2212．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.14．已知曲线f （x ）=e x +sinx ﹣x 3+1在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为_____15．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.16．若对()0,,x ∀∈+∞都有ln x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________ 17．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________18．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==体外接球的表面积为_______________.19．设()0sin f x x =，()()10'f x f x =，()()21'f x f x =，…，()()1'n n f x f x +=，n N ∈，则()20170f = __________20．等比数列中，，函数，则曲线在点处的切线方程为____.三、解答题21．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.22．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．52．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．函数3sin 2y x =的导数是（ ） A ．'3sin 2sin 4y x x = B ．2'3sin 2y x = C ．2'3sin 2cos2y x x =D ．'6sin 2cos 2y x x =5．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1586．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．20 m/s B ．29.4 m/s C ．49.4 m/sD ．64.1 m/s8．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e9．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ）A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -11．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．112．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈__________．18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 25．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由求导公式及复合函数的导数求导法则可得. 【详解】 由求导公式可得：223sin 2(sin 2)3sin 2cos2(2)y x x x x x '''==26sin 2cos 2x x = 3sin 2sin 4x x =故选：A 【点睛】本题主要考查了求导公式及复合函数的求导法则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】 解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．7．B解析：B 【解析】v ＝s ′(t )＝gt ，∴当t ＝3时，v ＝3g ＝29.4. 选B8．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.9．A解析：A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x-=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-；当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.17．【解析】分析：分别设则表曲线上的点到直线的距离则最小值表示与直线平行的切线之间的距离求出曲线的切线方程根据平行线之间的距离公式即可求解详解：分别设则表曲线上的点到直线的距离所以最小值表示与直线平行的 解析：322【解析】分析：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线y x =-的距离，则22()()a c b c -++最小值表示与直线y x=-平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解． 详解：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线yx =-的距离，所以22()()a c b c -++最小值表示与直线y x =-平行的切线之间的距离， 因为()225ln f x x x =-，所以()54f x x x='-， 令()541f a a a=-=-'，解得1a =，所以()12f b ==， 所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 所以直线30x y +-=与直线yx =-间的距离为33222d ==，即22()()a c b c -++最小值322．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距y x=-平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f（x）=ax2+bx得=2ax+b又f （x）=ax2+bx（a＞0b＞0）在点解析：9【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f'=2a+b=2，得a+2b=1，把8a bab+变形为8b+1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．详解：由f（x）=ax2+bx，得()f x'=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以(1)f'=2a+b=2，即a+2b=1．则8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b）=5+8ab+2ba≥9．当且仅当8ab=2ba，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9．故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f（x）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=1x+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解． 即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ． 此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4B ．92CD ．22．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0 B ．x -y -1=0 C ．x -y +1=0 D ．x +y -1=03．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线；④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率为（ ）A ．19-B ．29-C ．19D ．295．若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A ．a=1，b=1 B ．a=－l ，b=lC ．a=l ，b=－1D ．a=－1，b=－166．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=7．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x x ππ∆→-+∆=∆（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．28．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+9．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或16410．设21sin x y x-=，则'y =A ．()222sin 1cos sin x x x xx--- B ．()222sin 1cos sin x x x xx-+-C ．()22sin 1sin x x x x-+- D ．()22sin 1sin x x x x---11．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．1212．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．直线l 是曲线32y x x =+-在点()0,2-处的切线，求直线l 的倾斜角__________． 15．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 16．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．17．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 18．若对()0,,x ∀∈+∞都有ln x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________ 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___．20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知函数(0)m >.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数的取值范围．23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．设函数()ln ()f x ax x a R =-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）过坐标原点O 作曲线2()y f x x =+的切线，求切点的横坐标．25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x x b ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ的值； （2）求函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： （3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切． 26．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】 求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.3．B解析：B 【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义： （1）导数：'()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，（2）左导数：'()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-=∆，（3）右导数：'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆，函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确； 对于③中，切线与导数的关系：（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在，所以是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．B解析：B 【分析】先用换元法，求得22()1xf x x =+，再求导，进而求得曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率.令11xt x -=+， 则1,1tx t-=+ 所以.2221121()1111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以22()1x f x x=+ 所以()()22221()1x f x x -'=+，∴29f '=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查求函数解析式和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】求得函数的导数求得()0f a '=，由切线的方程为10x y +-=，求得1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，求得b 的值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2f x x ax b =++，则()2f x x a '=+，所以()0f a '=，又由切线的方程为10x y +-=，所以1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，即010b +-=，解得1b =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．6．C解析：C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．7．A解析：A 【分析】求函数的导数，令2x π=，先求出2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值，根据导数的概念即可得到结论． 【详解】∵()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，∴()2sin 2f x f x π⎛⎫'='-⎪⎝⎭， 令2x π=，则2sin 222f f πππ⎛⎫⎛⎫'='-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 则00()()()()2222lim lim 12x x f f x f x f f x x πππππ∆→∆→-+∆+∆-⎛⎫=-=-=- ⎪∆∆⎝⎭'， 故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的计算，根据导数公式以及求出12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭是解决本题的关键，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--，【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.9．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.10．A解析：A 【分析】利用导数的四则运算法则，结合初等基本函数的求导公式可得出其导函数，从而可得结果. 【详解】()()2221sin 1(sin )()sin x x x x f x x'''---⋅=()222sin 1cos sin x x x xx---=,故选A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则与求导公式，考查了计算能力，解题关键在于掌握导数的四则运算法则，属于基础题.11．A解析：A 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.12．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考解析：4 【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果. 【详解】 因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ， 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =， 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ， 则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．（或）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率然后由斜率确定倾斜角即可【详解】曲线点在曲线上因为在曲线上点的切线方程的斜率为1由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：直线的倾斜角（或）【点睛】本题主要解析：4πα=（或45α=︒） 【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率，然后由斜率确定倾斜角即可. 【详解】曲线32y x x =+-，点()0,2-在曲线上，231y x '=+，因为0'|1x k y ===，∴在曲线上点()0,2-的切线方程的斜率为1，由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：tan 1k α==，∴直线l 的倾斜角4πα=（或45α=︒） . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，由直线的斜率确定倾斜角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点解析：20x y -=【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简．【详解】 曲线3211333y x x x =-+-， 223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2， 此时，32111131233y =⨯-+⨯-=． ∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-，解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =. 因为()2x g x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+， 由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43-【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题. 17．2【解析】【分析】设直线与曲线的的切点坐标为根据导数的几何意义求得切线的斜率为求得进而得到切点的坐标代入曲线的方程即可求解【详解】设直线与函数的的切点坐标为因为函数则所以切线的斜率为则所以代入切线的 解析：2【解析】【分析】设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 【详解】设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ，因为函数()ln f x ax x =-，则1()f x a x '=-，所以切线的斜率为001()k f x a x =-'=， 则011a x -=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111a y a a =+=--，即1(,)11a P a a --， 把点P 代入曲线的方程可得11ln 111a a a a a =⨯+---， 整理得1ln01a =-，解得2a =. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 18．【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系数形结合即可求得实数的取值范围详解：在区间上绘制函数和函数的图象满足题意时对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方如图所示为临界条件直线过坐标原点与对 解析：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系，数形结合即可求得实数a 的取值范围. 详解：在区间()0,∞+上绘制函数ln y x =和函数y ax =的图象，满足题意时，对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方，如图所示为临界条件，直线过坐标原点，与对数函数相切，由ln y x =可得1'y x =，则在切点()00,ln x x 处对数函数的切线斜率为01k x =， 切线方程为：()0001ln y x x x x -=-， 切线过坐标原点，则：()00010ln 0x x x -=-， 解得：0x e =，则切线的斜率011k x e==. 据此可得：实数a 的取值范围为1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题主要考查切线方程的求解，数形结合解题，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-， 然后把x=1代入即可.【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+，∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为14【点睛】 本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．或【解析】由题意可得：设曲线上点的坐标为切线的斜率为切线方程为：(*)切线过点则：解得：或将其代入(*)式整理可得切线方程为：或点睛：曲线y ＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的解析：20x y --=或5410x y +-=【解析】由题意可得：()2'32f x x =-， 设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-， 切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，(*)切线过点()1,1-，则：()()()32000012321x x x x ---=--， 解得：01x =或012x =- 将其代入(*)式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.点睛：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．三、解答题21．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =- （2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x =-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根. （3）2ln 2m mx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x x m x +<-恒成立， 令()222ln 1x x x G x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241e G e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.22．（1）（2）【解析】本题考查切线方程和函数的最值问题．考查学生利用导数法解决问题的能力.如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为000()()()y f x f x x x -='-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.本题的第一文是在点(1,(1))f 处，故直接求解即可；通过对函数求导，分析函数的单调性，寻求函数的最值是常规的解题思路，往往和分类讨论思想结合在一起考查．如本题的第二问，通过函数单调递增的等价性判断参数m 范围.23．证明见解析.【分析】求出曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率k ，若112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，即可证明切线与直线112y x =-+垂直. 【详解】证明：3'2,31y x x y x =-∴=-.∴曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率23112k =⨯-=， 121,2⎛⎫⨯-=-∴ ⎪⎝⎭曲线3y x x =-在x =1处的切线与直线112y x =-+垂直. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，属于基础题.24．(1)0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无单调增区间；0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2) 1. 【分析】(1)根据题意先求出1()f x a x '=-，再根据导数与单调性的关系，分0a ≤与0a >讨论后即可求解；(2)设出切点坐标，根据导数的几何意义，切线的斜率等于导函数在切点处的导数值，也等于切点与原点连线的直线斜率，由此等量关系列方程，即可求解.【详解】解：(1)由题意()ln ()f x ax x a R =-∈，11()(0)ax f x a x x x-'∴=-=>， 当0a ≤时，在(0,)+∞上，()0f x '<恒成立，当0a >时，令()0f x '<，解得10x a <<；令()0f x '>，解得1x a >. 综上所述，可知：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无单调增区间；当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)22(0())ln ax y f x x x x x =-++>=,12x y a x -'∴=+, 设切点坐标为()00020,ln x ax x x -+， 则20000000ln 121ax x a x x x x x -=-+⇒=+，所以切点的横坐标为1.【点睛】本题考查函数的导数与单调性的应用及导数的几何意义的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.25．(1) 38ϕπ=- (2) 和-1. (3)证明见解析 【分析】（1）利用向量的数量积求得函数()f x 、()4y f x π=-的表达式，从而利用三角函数性质求得ϕ的值；（2）结合x 的取值范围求得函数最值；（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与()4y f x π=-图象的关系．【详解】(1)可知()sin 2sin 2cos2cos2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-， 所以cos 22sin(22)44f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为8x π=是函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得1()28k k Z πϕπ=+∈ 因为0πϕ-<<，所以31,8k ϕπ=-=-(2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以332,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2和1-. (3)因为32cos 24y x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-，30y -+=2>，30y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切.【点睛】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）23y x =-；（2）()0,1.【分析】（1）将2a =代入，求出函数解析式，可得(0)f 的值，利用导数求出(0)f '的值，可得()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a 的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）22,()(3)e 4,(0)3x a f x x x x f =∴=--+∴=-,()(2)e 24x f x x x '=--+，则(0)2f '=，故所求切线方程为23y x =-；（2）()()()e x f x x a a '=--， 当1a 时，()0f x '>对(1,2)x ∈恒成立 ，则()f x 在(1,2)上单调递增，从而()21(1)e 02(2)(1)e 20f a a f a a ⎧⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-->⎩，则(0,1)∈a ，当12a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(,2)a 上单调递增，121(1)e 0,()0,(2)02a f a a f a f <<⎧⎛⎫=--<∴<∴⎨ ⎪>⎝⎭⎩则a ∈∅ ， 当2e a <时， ()0f x '<对(1,2)x ∈恒成立，则()f x 在(1,2)上单调递减，(1)0,()f f x <∴在（1，2）内没有零点 ，综上，a 的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.。

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4B ．92C ．322D ．22．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820174．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-5．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )ABCD．7．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．08．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ） ABCD9．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-10．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．111．已知点P 在曲线y=41xe +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 12．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） ABCD二、填空题13．在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________.14．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．15．在平面直角坐标系中，曲线21x y e x =++在0x =处的切线方程是___________． 16．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.17．若对()0,,x ∀∈+∞都有ln x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________ 18．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________．19．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________. 20．等比数列中，，函数，则曲线在点处的切线方程为____.三、解答题21．已知曲线x 求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程. (2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程. 22．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间. 23．已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 24．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x x b ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ的值； （2）求函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： （3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切．26．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为2h ==，∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-. 则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinxf x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.6．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.7．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.8．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.9．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+- 令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.11．D解析：D 【详解】 试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.12．A解析：A 【解析】 【分析】 求出曲线2ln y x x=-在1x =处切线斜率，从而可得进而得到cos sin αα+. 【详解】函数的定义域为()0,∞+ ，212,y x x=+' 1x =时，3,y '=，即tan 3,α= 且α为锐角，则cos ,1010αα===cos sin αα∴+== 故选A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan 3,α=是解题的关键．二、填空题13．【分析】求出原函数的导函数可得导函数的最小值求出使导函数取最小值的值即可得出结果【详解】解：由题意得当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率考查基本不等式求最值是中 解析：4【分析】求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的x 值，即可得出结果. 【详解】解：由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.14．0【解析】【分析】通过求导数得y ＝x2＋3x 在点（－1－2）处的切线再直线与曲线相切于点求导可得解方程组即可得解【详解】由得∴当时则曲线在点处的切线方程为即设直线与曲线相切于点由得∴解之得∴答案：0解析：0 【解析】 【分析】通过求导数得y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线1y x =-，再直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，求导可得000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可得解.【详解】由23y x x =+得'23y x =+， ∴当1x =-时，'1y =，则曲线23y x x =+在点()1,2--处的切线方程为21y x +=+，即1y x =-， 设直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ， 由ln y ax x =+得1'(0)y a x x=+>， ∴000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得01x =，00y =，0a =. ∴0a =. 答案：0. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．15．【分析】根据导数几何意义得切线斜率再根据点斜式得结果【详解】因为所以因此在x ＝0处的切线斜率为因为x ＝0时所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义考查基本求解能力属基础题 解析：32y x =+【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果. 【详解】因为21x y e x =++，所以2x y e '=+，因此在x ＝0处的切线斜率为023k e =+=， 因为x ＝0时2y =，所以切线方程是233 2.y x y x -=∴=+ 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.16．-2011【解析】分析：由题意函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值以内可求得再根据切点的双重性即切点既在曲线上又在切线上可求得的值即可求解答案详解：根据函数的图象可知函数的图象在点处解析：-2011 【解析】分析：由题意，函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率就是函数P 在该点处的导数值，以内可求得(2018)f '，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得(2018)f 的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数()y f x =的图象在点P 处的切线切于点P ， 所以(2018)201882010f =-+=-， 又由切线的方程为8y x =-+，所以(2018)f '为函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率，所以(2018)1f '=-， 所以(2018)(2018)201012011f f +=--=-'.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.17．【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系数形结合即可求得实数的取值范围详解：在区间上绘制函数和函数的图象满足题意时对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方如图所示为临界条件直线过坐标原点与对解析：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系，数形结合即可求得实数a 的取值范围. 详解：在区间()0,∞+上绘制函数ln y x =和函数y ax =的图象， 满足题意时，对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方， 如图所示为临界条件，直线过坐标原点，与对数函数相切， 由ln y x =可得1'y x=，则在切点()00,ln x x 处对数函数的切线斜率为01k x =， 切线方程为：()0001ln y x x x x -=-， 切线过坐标原点，则：()00010ln 0x x x -=-， 解得：0x e =，则切线的斜率011k x e==. 据此可得：实数a 的取值范围为1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题主要考查切线方程的求解，数形结合解题，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】【详解】∵切线与直线平行∴斜率为∵∴∴∴∴切点为因此本题正确答案是： 解析：(0,1)【解析】 【详解】∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1， ∵x y e =，e x y '=， ∴0()1y x '=， ∴01x e =， ∴00x =， ∴切点为(0,1)，因此，本题正确答案是：(0,1)．19．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为2,3的长方体，所以该几何体外接球的直径为1236++=，表面积为246r ππ=20．【解析】在等比数列中且所以所以函数在点处切线方程为即点睛：本题主要考查了等比数列的性质求导法则利用导数研究曲线在某点处切线的方程属于中档题利用等比数列的性质及求是解答本题的关键 解析：201232y x =+【解析】在等比数列{}n a 中，212012220111006100793a a a a a a ===== ，且122012()()()()2f x x x x x x x a =---+ ，所以122012122012120122201120162017222100622012'(0)()()()()()()33333f a a a a a a a a a a a a ⨯=---===⋅== ，所以函数()y f x = 在点(0,(0))f 处切线方程为(0)'(0)(0)y f f x -=- ，即201232y x =+ 。

其次章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x 2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx ,2+Δy ),则Δy Δx 等于( )A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx )2=(1+Δx )2+1-(12+1)Δx =Δx+2.2.曲线y=ax 3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) B.60° C.120° D.135°点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x 3-2x+4,y'=3x 2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.3.已知函数f (x )=lnx x ,则方程f'(x )=0的解为( ) A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0(x )=1x ·x -lnx x 2=1-lnx x 2. ∵f'(x )=0,∴1-ln x=0,解得x=e .4.函数y=1(3x -1)2的导数是( )A.6(3x -1)3B.6(3x -1)2C.-6(3x -1)3D.-6(3x -1)2[1(3x -1)2]'=-2(3x -1)3·(3x-1)'=-6(3x -1)3,故选C .5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a=( )A.0B.1C.2D.3f (x )=ax-ln(x+1),∴f'(x )=a-1x+1. ∴f (0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.6.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满意f (x )=2x ·f'(1)+ln x ,则f'(1)等于( )A.-eB.-1C.1D.ef(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x.∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.7.已知函数f(x)=ln x+mx(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()A.3B.-3C.1D.-1f'(x)=1x −mx2,则f'(1)=11−m1=2,得m=-1.所以f(1)=ln1+-11=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由y=-3.故选B.8.已知函数f(x)=a sin 3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 021)-f'(-2 021)=()B.8C.2 020D.2 021f'(x)=3a cos3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有+f(-2025)+f'(2024)-f'(-2025)=8.9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln 2)B.(2,-ln 2)D.(ln 2,-2)P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-e-x0=-2,解得x0=-ln2.∴y0=e-x0=2.故点P的坐标是(-ln2,2).10.已知点P在曲线y=2sin x2cos x2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[3π4,π) B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4] D.[0,π4]∪[3π4,π)y=2sin x2cos x2=sin x,∴y'=cos x.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cos x0, ∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π).故选D.11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对随意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1(x)=2sin x cos x+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.12.已知曲线y1=2-1x与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1y'1=1x2,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1x02,3x02-2x0+2,所以3x02-2x0+2x02=3.所以x0=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.14.已知函数f(x)在x=x0处可导,若limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,则f'(x0)=.lim Δx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,∴limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12,即f'(x0)=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12.f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]',∴-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.12016.已知点P在曲线y=4e x+1上,α为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.f'(x)=-4e xe2x+2e x+1,∵k=-4e x+1e x +2≥-42+2=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k<0,∴曲线y=f(x)上点P处的切线的斜率-1≤k<0.又∵k=tanα,α∈[0,π),∴α∈[3π4,π).[3π4,π)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1. (1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;t=2时的瞬时速度.因为Δs=3(2+Δt )2+2(2+Δt )+1-(3×22+2×2+1)=14Δt+3Δt 2,所以从t=2到t=2+Δt 的平均速度为14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为17;当Δt=0.1时,平均速度为14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=lim Δt →0(14+3Δt )=14. 18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.(1)y=lg x-sin x ; (2)y=(√x +1)(√x 1); (3)y=e x x+1; (4)y=ln(3x-1).y'=(lg x-sin x )'=(lg x )'-(sin x )'=1x ·ln10-cos x. (2)∵y=(√x +1)(√x 1)=-x 12+x -12, ∴y'=-12x -12−12x -32=-2√x ·(1+1x ). (3)y'=(e xx+1)'=e x (x+1)-e x (x+1)2=xe x (x+1)2. (4)y'=[ln(3x-1)]'=13x -1·(3x-1)'=33x -1.19.(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=2x 2.(1)求x<0时,f (x )的表达式.(2)令g (x )=ln x ,问是否存在x 0,使得f (x ),g (x )在x=x 0处的切线相互平行?若存在,恳求出x 0的值;若不存在,请说明理由.当x<0时,-x>0,f (x )=-f (-x )=-2(-x )2=-2x 2.(2)若f (x ),g (x )在x 0处的切线相互平行,则f'(x 0)=g'(x 0),且x 0>0,故f'(x 0)=4x 0=g'(x 0)=1x 0,解得x 0=±12.∵x 0>0,∴x 0=12. ∴存在,x 0的值为12.20.(本小题满分12分)已知曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x-y-1=0,且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标; l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程.由y=x 3+x-2,得y'=3x 2+1,由已知令3x 2+1=4,解得x=±1.∵点P 0在第三象限,∴x=-1,y=-4.∴切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),∴直线l 的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3+x-16.(1)求曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;l 为曲线y=f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.由题意可判定点(2,-6)在曲线y=f (x )上.∵f'(x )=(x 3+x-16)'=3x 2+1,∴曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13. ∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f'(x 0)=3x 02+1,y 0=x 03+x 0-16,∴直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16.又∵直线l 过坐标点(0,0),∴0=(3x 02+1)(-x 0)+x 03+x 0-16,整理得x 03=-8.∴x 0=-2.∴y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.∴直线l 的方程为y=13x ,切点坐标为(-2,-26).22.(本小题满分12分)设抛物线C :y=-x 2+92x-4,过原点O 作C 的切线y=kx ,使切点P 在第一象限.(1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标. 解(1)设点P 的坐标为(x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),则y 1=-x 12+92x 1-4.∵y=-x 2+92x-4,∴y'=-2x+92.由题意可知k=-2x 1+92.∴切线方程为y=(-2x 1+92)(x-x 1)+(-x 12+92x 1-4).∵切线过原点O ,∴0=(-2x 1+92)(-x 1)+-x 12+92x 1-4,解得x 1=2,则y 1=1.∴k=-2×2+92=12. ∴k 的值为12.(2)过点P 作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.①将①代入抛物线方程得x 2-132x+9=0. 设点Q 的坐标为(x 2,y 2),则x 2=92,y 2=-4. ∴点Q 的坐标为(92,-4).。

一、选择题1．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65B 5C 65D ．63．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=4．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．05．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．126．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-7．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+8．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0，4π]∪[2π，34π]9．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．1210．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形11．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <二、填空题13．不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意0,b a >∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点()()2,2f处的切线的斜率为___________． 15．曲线332y x x =-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______16．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 17．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______． 18．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 19．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________．20．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.三、解答题21．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．22．已知()()()()()()2ln 1,,1,f x a x g x x bx F x f x g x =-=+=+- 其中,a b R ∈ ．（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求,a b 的值；（2）若2x = 是函数()F x 的一个极值点，0x 和1是()F x 的两个零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n .23．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.24．已知函数32()f x x bx cx d =+++有两个极值点121,2x x ==，且直线61y x =+与曲线()y f x =相切于P 点． (1) 求b 和c(2) 求函数()y f x =的解析式；(3) 在d 为整数时，求过P 点和()y f x =相切于一异于P 点的直线方程 25．已知函数（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行．(1)求m ，n 的值； (2)求函数()f x 的单调区间． 26．已和函数()32111,32f x x x x =-+∈R . （1）求函数图象经过点3,12⎛⎫⎪⎝⎭的切线的方程： （2）求函数()3211132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||PQ == 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.3．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.4．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x limx∆→+∆-==∆【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.5．B解析：B 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，曲线21x y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2xx x y e-=='=-=-，所以曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=， 令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果.由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.8．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.9．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．D解析：D 【解析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．11．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可． 【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．12．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e =，x ∈R ．()()()xf x f xg x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()xf xg x e =，x ∈R ． ()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】设可得又分别在曲线及直线：上计算可得在点处的切线与直线平行求出点到直线的距离即最小值为进而解不等式即可【详解】由题意设则即又分别在曲线及直线：上且令解得且所以在点处的切线与直线平行又点到直线 解析：[]1,2-【分析】设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，可得22PQ m m ≥-，又P ，Q 分别在曲线()ln f x x=及直线l ：1y x =+上，计算可得()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行，求出点P 到直线l 的距离d ，即PQ 最小值为d ，进而解不等式22m m -≤即可. 【详解】由题意，设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，则()()2222ln 1PQ b a b a =--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即22PQ m m ≥-，又P ，Q 分别在曲线()ln f x x =及直线l ：1y x =+上，且()1f x x'=， 令11x=，解得1x =，且()10f =，所以()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行， 又点P 到直线l的距离为d ==，所以PQ所以22m m -≤，解得12m -≤≤. 故答案为：[]1,2-. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.14．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解 解析：29-【分析】利用官员发先求得函数()f x的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f处的切线的斜率. 【详解】已知221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 令11xt x-=+，则11t x t -=+，所以()22211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则()221xf x x =+∵求得导函数可得()()222221x f x x -'=+，∴29f '=-.由导数几何意义可知在点)f处的切线的斜率为29-， 故答案为：29- 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.15．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜解析：2[0,)(,)23πππ 【解析】【分析】求得函数的导数，得到23y x =≥'P 处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】 由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，即曲线32y x=+上的任意一点P 处切线的斜率k ≥设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(,)23ππαπ∈， 即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是2[0,)(,)23πππ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16．1【解析】【分析】由题意知f （x ）在x=1处的切线的斜率为4根据导数的几何意义即可求解【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4又所以解得故解析：1【解析】 【分析】由题意知，f （x ）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行， 所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4 又2()31f x ax '=+，所以(1)314f a ='+=，解得1a =，故填1. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.17．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：a=1f(x)=ex+e-x 利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数∴f(-x 解析：【解析】 【分析】 函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．【详解】 函数为偶函数，，即，可得：．， ，设该切点的横坐标等于，则，令，可得，化为：，解得．，解得． 则该切点的横坐标等于． 故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+.【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x-=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+ 故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.19．【解析】若则设曲线上点的坐标为则切点处切线的斜率此时切线方程为：切线为则切线过坐标原点即：解得：则： 解析：e【解析】若x y e =，则'x y e =，设曲线x y e =上点的坐标为()00,x x e ，则切点处切线的斜率00'|xx x k y e ===， 此时切线方程为：()00x x x y ee x e -=-，切线为y kx =，则切线过坐标原点，即：()00000x x ee x -=-,解得：01x =，则：01'|x x k y e e ====.20．【解析】设切点函数y=-x2+l 的导数为即切线的斜率为所以切线方程为:令得;令得又则△OAB 的面积为定义域为解得或(舍)当时为减函数;当时为增函数;当时取到最小值故填【解析】设切点()2,1P t t -+,函数y=-x 2+l 的导数为2y x '=-,即切线的斜率为2k t =-,所以切线方程为:()212y t t x t -+=--,令0x =,得()20,1B t +;令0y =,得1,022t B t ⎛⎫+⎪⎝⎭,又01t <<,则△OAB 的面积为()()231111122224AOB t S f t t t t t t ∆⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,定义域为0,1,()()()2242222213111321320444tt t t f t t t t t +-+-⎛⎫=+-=⎪⎭'== ⎝,解得33t =或3t 3=-(舍),当303t <<时,()()0,f t f t '<为减函数; 当313t <<时,()()0,f t f t '>为增函数;当33t =时,()f t 取到最小值,31133431323629f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故填439. 三、解答题21．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0. 试题(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.22．（1）1{22a b =-=- （2）n=3【解析】试题分析：（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，则可知()()()()22{221f g f g ''=⋅=-，于是可以求出,a b 的值；（2）()()()1F x f x g x =+-=2ln a x x bx --，则()20F '=，又()01F =，于是可以求出,a b 的值，然后根据函数()F x 的单调性及函数零点存在性定理来确定函数()F x 零点所在的区间，从而确定n 的取值． 试题 （1），由题知，即 解得（2）=，由题知，即 解得=6，=－1∴=6－（－），=∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减， 故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）= 又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0∴∈（3,4），故=3点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间(),a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程0f x的根．23．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0， 即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立， 又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤， 所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.24．(1)9,62b c =-=；（2）329()612f x x x x =-++；（3）15x ﹣16y+16＝0 【解析】 【分析】（1）由题意可得：f '（x ）＝3x 2+2bx+c ，所以3x 2+2bx+c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝2，进而得到a 与b 的关系式解决问题．（2）设切点为（x 0，y 0），得f '（x 0）＝6，即x 0＝3或者x 0＝0，即可解出切点的坐标求出函数y ＝f （x ）的解析式．（3）由题意可得：设切点的坐标为（x 1，y 1），所以111y x k -=切＝321111962x x x x -+＝211962x x -+…①．所以K 切＝3x 12﹣9x 1+6…②，所以切点为（94，19964），所以1516k =切，所以切线方程为15x ﹣16y+16＝0． 【详解】（1）由题意可得：函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx+d 的导数为：f '（x ）＝3x 2+2bx+c ，因为函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx+d 有两个极值点x 1＝1，x 2＝2，所以3x 2+2bx+c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝2，所以2b+c+3＝0，并且4b+c+12＝0，解得：b ＝﹣92，c ＝6． （2）设切点为（x 0，y 0），由（1）可得：f '（x ）＝3x 2﹣9x+6，因为直线y ＝6x+1与曲线y ＝f （x ）相切于P 点，所以f '（x 0）＝6，即x 0＝3或者x 0＝0，当x 0＝3时，y 0＝19，所以函数y ＝f （x ）的解析式为f （x ）＝x 392-x 2+6x+272．当x 0＝0时，y 0＝1，所以函数y ＝f （x ）的解析式为f （x ）＝x 392-x 2+6x+1．（3）由题意可得：f （x ）＝x 392-x 2+6x+1，并且P （0，1），设切点的坐标为（x 1，y 1），所以111y x k -=切＝321111962x x x x -+＝211962x x -+…①．又因为f '（x ）＝3x 2﹣9x+6， 所以K 切＝3x 12﹣9x 1+6…②，由①②可得：194x =或10x =（舍去）， 所以切点为（94，19964），所以1516k =切，所以切线方程为15x ﹣16y+16＝0． 所以过P 点和y ＝f （x ）相切于一异于P 点的直线方程为15x ﹣16y+16＝0． 【点睛】本题考查了导数的几何意义与求导公式，求切线方程时应该首先弄清切线所过的点是否为切点，再根据题意采用不同的方法进行处理，属于中档题． 25．解：（Ⅰ）（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行7分14分【解析】 （1）先求出函数的导数，有导数的几何意义得(2)01{,{(1)33f m f n ==∴=-'=-'（2）由（1）得2()36,f x x x -'=令2()360f x x x -'=>，得增区间； 令2()360f x x x -'=<，得减区间． 解：（Ⅰ）（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行7分14分26．（1）1y =或3148y x =-；（2）964【分析】（1）分点3,12⎛⎫⎪⎝⎭是切点和不是切点两种情况，求出切线方程，即可得到本题答案；（2）结合图形，利用定积分即可求出封闭图形的面积. 【详解】 （1）①若点3,12⎛⎫⎪⎝⎭是切点，由题，得2()f x x x '=-， 则切线的斜率2333224k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以切线方程为33142y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3148y x =-； ②若点3,12⎛⎫⎪⎝⎭不是切点，设切点为()00,P x y ，则有20000132y x x x -=--，又3200011132y x x =-+， 所以32002000113232x x x x x -=--，解得00x =或032x =（舍去）， 所以切线方程为1y =；综上，函数图象经过点3,12⎛⎫⎪⎝⎭的切线的方程为1y =或3148y x =-；（2）由3211()1132f x x x =-+=，解得0x =或32x =，所以函数()3211132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积为： 332334220311119[1()]()()22361264f x dx x x dx x x -=-=-=⎰⎰.【点睛】本题主要考查经过直线上一点和直线外一点的切线方程的求法，以及利用定积分求封闭图形的面积，涉及到数形结合思想的运用，考查学生的计算能力.。

一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+3．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-5．已知函数()2018sin xf x x e x -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（ ） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+6．若点P 在曲线32y x x =-+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3024πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．34，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 7．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920209．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C ．455D ．25510．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形11．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．112．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.14．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________. 15．曲线332y x x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______16．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 17．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 18．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.19．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.20．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．三、解答题21．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+3．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．44．已知方程223150x ax a -+=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920206．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．e B ．1e-C ．1-D ．e -7．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形8．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B 2C ．2D ．229．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +10．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201812．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 14．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.15．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______16．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.17．三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==体外接球的表面积为_______________.18．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．19．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正整数，若116a =，则135+a a a +=________.20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．对于函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+（0a ≠），()()()h x g x f x =-. （1）当曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线方程为3y x =时，求,a b ；（2）当1a b +=，且0a >时，过曲线()y f x =上任一点P 作x 轴的垂线l ，l 与曲线()y g x =交于点Q ，若P 点在Q 点的下方，求a 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 23．设函数f （x ）=++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 24．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.25．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程； （2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导得到()()'121f x f x'=-，取1x =得到()11f '=，代入数据计算得到答案. 【详解】()()21ln f x xf x '=-，则()()'121f x f x'=-，取1x =，则()()11211f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-，12f e e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了求导函数值，计算()'11f =是解题的关键.2．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．3．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ． 【详解】 因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2， 故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．4．D解析：D【分析】由题得123x x a +=，2123a x x =，再根据两切线互相垂直得到()222212129320x x x x -++=，把韦达定理代入化简即得解.【详解】3()f x x x =-，2'()31f x x =-，依题知()()221231311x x --=-，即()222212129320x x x x -++=.∵12x x +=，2123a x x =， ∴()22222212121252233x x x x x x a a a +=+-=-=，∴42320a a -+=.解得22a =，21a =，即a =1a =±，经检验每个值都符合题意，故满足条件的a 有4个. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.6．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．8．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．9．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．10．D解析：D 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.11．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键【分析】先求导得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫=⎪⎝⎭，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入()'f x 求解6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos sin 4444f ππππ''⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f π'⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以1()cos sin 2f x x x '=-，故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.14．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数 解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.15．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.16．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.17．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 18．0【解析】由题知则故本题应填解析：0 【解析】由题知()()()2323'3'13'1F x x f x x f x =---，则()()()'13'03'00F f f =-=．故本题应填0．19．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐解析：21 【解析】2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得111,22n n n n a a a a ++==，{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，1351116161621416a a a ++=+⨯+⨯=.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．(1) 2a =，2b =;(2) (0,2). 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义确定,a b 的值；（2）原问题等价于0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->，研究函数()h x 的单调性与最值即可.试题 （Ⅰ）()21ln 2h x ax bx x =+-，则()112h a b =+ ()()111h x ax b h a b x=+-='+'⇒-，依题意得 1232213a ab b a b ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+-=⎩． （Ⅱ）已知条件可转化为0x ∀>，()()()h x g x f x =-= 21ln 02ax bx x +->． 由1a b +=得()()211ln 2h x ax a x x =+--． ()()()1111ax x h x ax a x x+-=+--='． 又0a >，由()01h x x ='⇒=；由()01h x x >'⇒>；由()001h x x <⇒<<'． 则()h x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则()()min 1112h x h a ==-+，则有11022a a -+>⇒<，又0a >得02a <<． 故a 的取值范围是()0,2． 22．(1)1y x =- ；(2)0a < . 【解析】试题分析：(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为1y x =-； (2)求解函数的导数，然后讨论函数()221t x ax ax =-+的性质可得实数a 的取值范围是0a < .试题（1）当()0,ln a f x x ==则()10f = 又()1,f x x'=则切线的斜率1k =， 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-．（2）()2ln f x x ax ax =+-，0x >，则()221ax ax f x x'-+=，令()221t x ax ax =-+，①若0a =，则()22110t x ax ax =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故0a =不符题意，舍去； ②若0a <，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向下，对称轴14x =，111048t a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根0x =()0'0f x =，且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，上单调递增； 当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，上单调递减；所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点0x =意；③若0a >，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向上，对称轴14x =． （ⅰ）若111048t a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，即08a <≤，()104t x t ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符题意，舍去；（ⅱ）若111048t a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，上有两根2184a a a x a --=，2284a a a x a+-=，故()()12''0f x f x ==，且 当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，上单调递增； 当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，上单调递减； 当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x ，+∞上单调递增； 所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围是0a <．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）k 的范围是（﹣∞，]． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a ，b ；（Ⅱ）由题意可得x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x ，求出导数，可得e x ≥1+x ，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，求得导数，讨论2k 与1的关系，即可求得k 的范围． 解：（Ⅰ）f （x ）=++b 的导数为f′（x ）=﹣，在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣a ，切点为（1，e+a+b ）， 由切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0，可得﹣a=1，e+a+b=e ﹣2， 解得a=b=﹣1；（Ⅱ）x ＞0时，f （x ）＞g （x ）， 即为x ＞0时，﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x 的导数为h′（x ）=e x ﹣1，当x ＞0时，h′（x ）＞0，h （x ）递增；当x ＜0时，h′（x ）＜0，h （x ）递减． 可得h （x ）在x=0处取得最小值0，即有h （x ）≥0成立， 即e x ≥1+x ，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立，由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，m′（x ）=e x ﹣1﹣2kx ， 当2k≤1时，由e x ≥1+x ，可得e x ﹣1﹣2kx≥e x ﹣1﹣x ＞0， 则m （x ）在x ＞0时递增，即有m （x ）＞m （0）=0， 即有e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立；当2k ＞1时，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0不恒成立． 综上可得，k 的范围是（﹣∞，]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 24．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0， 即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立， 又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤， 所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.25．证明见解析. 【分析】求出曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率k ，若112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，即可证明切线与直线112y x =-+垂直.【详解】 证明：3'2,31y x x y x =-∴=-.∴曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率23112k =⨯-=，121,2⎛⎫⨯-=-∴ ⎪⎝⎭曲线3y x x =-在x =1处的切线与直线112y x =-+垂直.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，属于基础题. 26．（1）20x y ++=； （2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程； （2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】 解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x -∴切线方程为020011()y x x x x -=--， 切线过点(4,0)，020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--， 即440x y +-=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．52．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（ ）A ．405B ．810C ．324D ．6483．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ）A ．6-B ．8-C ．6D ．84．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（ ） A ．12B ．12-C ．14D ．14-5．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1586．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．07．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e8．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=9．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =--B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1211．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形12．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 二、填空题13．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______.14．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.15．已知曲线f （x ）=e x +sinx ﹣x 3+1在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为_____16．已知曲线()32ln 3xf x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．18．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.19．已知1()sin cos f x x x =+，记211()(),,()(),,n n f x f 'x f x f 'x +==则1232017()()()()3333f f f f ππππ++++=_________________20．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正整数，若116a =，则135+a a a +=________.三、解答题21．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 22．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）y x x =；（2）2sin x y x=；（Ⅱ）过原点O 作函数f （x ）＝lnx 的切线，求该切线方程． 23．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值.24．已知函数（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行．(1)求m ，n 的值； (2)求函数()f x 的单调区间．25．（1）已知()22f x x =+，请用导数的定义证明：()2f x x '=；（2）用公式法求下列函数的导数：①ln cos y x x =+；②sin 2xxy e =. 26．已知函数()()()321166,32f x x a x ax b a b R =-+++∈. （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率为2-，求a 、b 的值； （2）若在区间()2,3上，函数()f x 不单调，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．B解析：B 【分析】令1x =可得5n =，对()0112nnn x a a x a x +=++⋅⋅⋅+两边求导后，再令1x =即可得解.【详解】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+， 由题意可得()12243n+=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+， 所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用及导数的计算，考查了运算求解能力，属于中档题.3．D解析：D 【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.4．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：()ln 1xf x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tte f t e ∴=+，t R ∈ ()1xx e f x e ∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x xx x e e e e f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.6．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.7．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.8．C解析：C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．9．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.10．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11．D解析：D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．12．D解析：D 【详解】 试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.二、填空题13．【分析】设公切线与两曲线相切于利用导数的几何意义可构造方程求得进而可利用求得结果【详解】由得：；由得：设公切线与两曲线相切的切点为则解得：即故答案为：【点睛】本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题 解析：1-【分析】设公切线与两曲线相切于()00,x y ，利用导数的几何意义可构造方程求得0x ，进而可利用220000242y x x x m =+=-+求得结果.【详解】由224y x x =+得：44y x '=+；由22y x m =-+得：4y x '=-. 设公切线与两曲线相切的切点为()00,x y ，则00444x x +=-，解得：012x =-， 220000242y x x x m ∴=+=-+，即20044121m x x =+=-=-.故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题，关键是能够根据导数的几何意义，得到斜率的等量关系.14．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．-43【解析】【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数再求出f′（0）的值即为所求的倾斜角正切值然后利用二倍角公式求解即可【详解】由题意得f′（x ）=ex+cosx-3x2∴在点（0f （0））处的切 解析：【解析】 【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′（0）的值，即为所求的倾斜角正切值，然后利用二倍角公式求解即可． 【详解】由题意得，f′（x ）=e x +cosx-3x 2， ∴在点（0，f （0））处的切线的斜率为 ，则，故答案为：．【点睛】本题考查了求导公式和法则的应用，以及导数的几何意义，二倍角公式的应用，难度不大．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2）， 所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-18．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PN k x =-∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.19．【解析】以此类推可得出即函数是周期为的周期函数又故答案为【解析】()()()()'213cos ,cos 'cos f x f x x sinx f x x sinx sinx x ==-=-=--，()()45cos ,cos f x x sinx f x sinx x =-+=+，以此类推，可得出()()4n n f x f x +=，即函数()1n f x +是周期为4的周期函数，又()()()()12340f x f x f x f x +++=，1232017...3333f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20171cos 3333f f sin ππππ⎛⎫⎛⎫===+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为12. 20．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐解析：21 【解析】2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得111,22n n n n a a a a ++==，{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，1351116161621416a a a ++=+⨯+⨯=.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.三、解答题21．（Ⅰ）1y =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率()00k f ='=，()01f =-，所以切线方程为1y =-；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x 轴的交点情况。

一、选择题1．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+ 3．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+4．已知函数()2018sin xf x x e x -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（ ） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+5．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．46．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=7．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-；③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．09．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-10．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．54y x =- B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-11．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+12．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能二、填空题13．已知函数()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 14．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________. 15．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 16．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．17．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．18．曲线ln(1)x y e x =++在(0,1)处的切线方程__________．19．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 20．若曲线()3()ln 2f x ax x =+-存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是______．三、解答题21．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．22．已知函数2(),()()x f x x ax b g x e cx d =++=+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．求a b c d ,,,的值. 23．已知函数()e 2(xf x x e =--是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的图象在点()0,1A -处的切线方程；（2）若k 为整数，且当0x ＞时，(1)()10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值． 24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 25．已知函数3()f x x x=-． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ； 当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>； 当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 2．D解析：D 【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解． 【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切， 由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ， 由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =， 所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln 2a =+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．3．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．4．C解析：C 【分析】计算出()1f x 、()2f x 、()3f x 、()4f x ，找出规律，进而可求得()2019f x . 【详解】令()sin xg x x e -=+，()()1g x g x '=，()()21g x g x '=，()()32g x g x '=，，()()1n ng x g x +'=， ()()20171cos 2018x f f x x e x x -'==-+， ()()201621sin 20182017x f x e x f x x -'==-++⨯， ()()201532cos 201820172016x f f x x e x x -'==--+⨯⨯，()()201443sin 2018201720162015x f f x x e x x -'==++⨯⨯⨯，，由上可知，()()4n n g x g x +=，且()()()()201820182017201912018,n n n f x g x n x n n N -*=+⨯⨯⨯-≤≤∈，()()20182017sin 20182017201620151x x x f f x e -'∴==-++⨯⨯⨯⨯⨯，()2019cos x f e x x -=--．故选：C ． 【点睛】本题考查导数的计算，根据题意得出导数的周期性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为()1,1，∴124p =-+，∴3p =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.6．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.7．B解析：B 【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，即④成立. 在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对.对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.9．A解析：A 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.10．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-．故选C ． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.11．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.12．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】因为函数设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切线方程求出的值即可求得所求的切线方程【详解】设切点坐标为则曲线在点处的切线方程为：由于该直线过原点则得则过原点且与曲线相切的直 解析：0ex y -=【分析】因为函数()x f x e =，设切点坐标为(),t t e ，利用导数求出曲线()y f x =在切点(),tt e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，即可求得所求的切线方程． 【详解】设切点坐标为(),tt e ，()x f x e =， ()x f x e '∴=， ()t f t e '=，则曲线()y f x =在点(),tt e 处的切线方程为：()t ty e e x t -=-，由于该直线过原点，则t t e te -=-，得1t =，∴则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为y ex =，故答案为：0ex y -=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查求函数图象的切线方程，解题关键是掌握求过线外一点曲线切线方程的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．【分析】求出导函数由基本不等式求得最小值得最小的切线斜率及切点坐标然后可得切线方程【详解】由题意当且仅当且即时等号成立又时即斜率为1切点为切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查用基 解析：30x y --=【分析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程． 【详解】由题意22232331y x x x x '=-+=+-≥=，当且仅当22x x =且0x >，即1x =时等号成立，又1x =时，2y =-，即斜率为1，切点为(1,2)-，切线方程为21y x +=-，即30x y --=．故答案为：30x y --=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．15．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简．【详解】 曲线3211333y x x x =-+-， 223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=． ∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程.详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2）， 所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-17．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=+a 在区间x ∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2） 【解析】 分析：函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x ）=1x+a 在区间x ∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）相切的情况，解出即可． 详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线，∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解． 即a=2﹣1x 在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）． 则0000122a x x lnx ax ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ． 此时a=2﹣1e． 综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e ，2）． 故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．18．【解析】则曲线在处切线方程的斜率曲线在处的切线方程为即答案为 解析：21y x =+【解析】11x y e x =++' ，则曲线()ln 1x y e x =++在()0,1处切线方程的斜率012,01k e =+=+ 曲线()ln 1x y e x =++在()0,1处的切线方程为()120y x -=-。

一、选择题1．与曲线2y x 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+2．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（ ）A ．1B C ．2D ．43．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上均有可能4．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]5．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）.A ．1B C ．2D ．6．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +7．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8．若曲线e x y x ax =-与直线0x y -=相切（e 是自然对数的底数），则实数a 的值为（ ）A ．eB ．1-C D ．09．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201810．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．1211．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-12．已知函数ln y x x =，则这个函数在点1x =处的切线方程是A ．22y x =-B ．22y x =+C ．1y x =-D ．1y x =+二、填空题13．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．若存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线则实数a 的取值范围是（_____） 16．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．17．已知曲线()32ln 3xf x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 18．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______．19．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==2==AC BD ，5AD BC ==体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(2)x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 21，求a 的值； （2）设()2x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立.22．已知函数()321313f x x x x =--+. （1）求()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求()y f x =的极值点.23．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…） （2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间． 24．已知函数()322232a a f x x x xb +=-++，其中,a b ∈R . （1）若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为42y x =-，求函数()f x 的解析式.（2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.25．设函数()3f x x =的图象上一点()()1,1P f 处的切线l 与()3f x x =的图象的另一交点为Q ．（1）确定点Q 的坐标；（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积． 26．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程； （2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =， 又直线210x y ++=的斜率为12-， 所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭， 解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-， 即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ． 【详解】 因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2， 故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．3．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.5．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．6．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．7．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可． 【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题8．D解析：D 【分析】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，则根据切点在直线0x y -=上可知0000xx x e ax =-，然后再利用0|1x x y ='=列出关于0x 与a 的方程组求解. 【详解】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，()1e xy x a '=+-，则根据题意得：()0000011xx x x e ax x e a ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得000x a =⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.9．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.11．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1x f x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．12．C解析：C 【分析】先求导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数结合点斜式即可求切线方程. 【详解】当1x =时，ln10y ==，则切点为()1,0， 导函数()ln ln ln 1y x x x x x '''=+=+， 所以点1x =处的切线的斜率1|ln111x k y ='==+= 所以函数在点1x =处的切线方程为1y x =-， 故选C. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，属于基础题.二、填空题13．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题 解析：2【分析】求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数． 【详解】解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1()2f x x '=+， 可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为012x +， 切线方程为00001(2)22x y x ln x x x =++-++， 函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ，可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-， 由题意可得012me x =+，000(2)2m m x ln x e me x +-=-+， 可得0000011(2)022x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -． 则满足条件的P 的个数为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a e =，∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．【解析】【分析】先令由题意将问题转化为至少有两个不等式的正实根根据二次函数的性质结合函数的单调性即可得出结果【详解】令由存在两条直线都是曲线的切线可得至少有两个不等式的正实根即有两个不等式的正实根且 解析：()4,+∞【解析】 【分析】 先令()1()ln 0f x a x a x =+≠，由题意，将问题转化为21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性，即可得出结果. 【详解】 令()1()ln 0f x a x a x=+≠， 由存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线，可得21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，即210ax ax -+=有两个不等式的正实根，且两根记作12,x x ，所以有212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 又当4a >时，曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠在点11(,())x f x ，22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-，令()()(0)F x f x ax x =->，由()()0F x f x a ''=-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，()0F x '>，即函数()F x 在[]12,x x 上是单调函数，所以12()()F x F x ≠，所以直线11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠的两条不同的切线，所以实数a 的取值范围是(4,)+∞. 故答案为(4,)+∞ 【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义、灵活掌握用导数研究函数单调性的方法即可，属于常考题型.16．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.17．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.18．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x=-+∴=-+∴=∴=-'''''+'， 所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.19．【解析】由函数的解析式可得：则函数在处的切线斜率为结合直线平行的结论可得：解得：解析：13【解析】由函数的解析式可得：()2'31f x ax =+，则函数在()()1,1f 处的切线斜率为()'131f a =+， 结合直线平行的结论可得：312a +=，解得：13a =. 20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．（1）0a =（2）见解析（3）见解析 【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到())'0111a =-+=；（2）对()x g x xe =0即可；（3）将函数分解为()()()f x g x h x =，分别求两个函数的最小值，乘起来大于2a 即可．（1）∵()()(xxf x e axxe=-+，∴()()('x x f x e a xe =-()()1x xe axx e+-+，∴())'0111f a =-+=，∴0a =.（2）证明：()()1xg x x e +'=，令()0g x '=得1x =-，令()'0g x >得1x >-，()g x 递增；令()'0g x <，得1x <-，()g x 递减.∴()()min 11g x g e =-=-+∵ 2.7e ≈，∴11e->，∴()1g x >. （3）证明：()xh x e ax =-，令()'0h x =得ln x a =，令()'0h x >，得ln x a >，()h x 递增；令()'0h x <，得ln x a <，()h x 递减. ∴()()()min ln ln 1ln h x h a a a a a a ==-=-.∵10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴()min 2h x a >，∴()20h x a >>. 又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) 443y x =-+;(2)极大值点为1x =-，极小值点为3x =． 【解析】试题分析：(1)求出函数()f x 的导数()223f x x x =--'，可得()14f '=-，()813f =-，根据导数的几何意义：切线的斜率()1k f ='，利用点斜式即可得出切线方程；(2)令()0f x '=，解出x ，在函数的定义域内列表，根据极值的定义进行判定极值即可. 试题（1）由()321313f x x x x =--+知()2'23f x x x =--， ()'14f ∴=-，所以函数在1x =处的切线的斜率为-4，又()813f =-，故切线方程为()8413y x +=--，即443y x =-+． （2）令()'0f x =得1x =-或3x =.当x 变化时， ()'f x ， ()f x 变化情况如下表：由表知， y f x =的极大值点为1x =-，极小值点为3x =．23．（1）x +y ﹣e ＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）．【分析】（1）当a ＝0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得结果. （2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论． 【详解】 （1）∵a ＝0，∴f （x ）＝﹣xlnx +x ，f ′（x ）＝﹣lnx ， 则直线的斜率k ＝f ′（e ）＝﹣lne ＝﹣1， f （e ）＝﹣elne +e ＝﹣e +e ＝0， 故所求切线方程为x +y ﹣e ＝0．（2）函数的导数f ′（x ）＝（2ax ﹣1）lnx ﹣ax ﹣1+ax +1＝（2ax ﹣1）lnx ， ∵x ＝e 为函数f （x ）的极值点， ∴f ′（e ）＝2ae ﹣1＝0，解得a 12e=（经检验符合题意） 则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x e e-=lnx ， 由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ， 列表得【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用是关键，属于中档题． 24．（1）()325242f x x x x =-++；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）求导()()222f x a x a x '=⋅-++.由已知得()'24f =，()2f b =，解得,a b 得到函数的解析式；（2）求导.令()0f x '=，12x a =，21x =，分21a <，21a，21>a，三种情况讨论，分析导函数的正负，得原函数的单调性. 【详解】解：（1）定义域{}x x R ∈，()()222f x a x a x '=⋅-++.所以()()242224f a a '=-++=，3a =.()2422f b =⨯-=，∴8254b b =-⨯++.4b =∴()325242f x x x x =-++； （2）定义域{}x x R ∈，()()222f x ax a x '=-++.令()0f x '=，12x a=，21x =， ①当21a<时，即2a >时， ()f x '在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上大于0，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上小于0，∴()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减； ②当21a即2a =时，()f x '在x ∈R 上恒大于等于零，∴()f x 在x ∈R 上单调递增； ③当21>a时，即02a <<时，()01f x x '>⇒<或2x a >.()101f x x a '<⇒<<∴()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上得：2a >时，()f x 在2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1+∞上单调递增，在2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减；2a =时，()f x 在x ∈R 上单调递增；02a <<时，()f x 在(),1x ∈-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减.【点睛】本题考查运用导函数的解决曲线的切线问题，函数的单调性，属于中档题. 25．（1）()2,8Q --；（2）274． 【分析】（1）利用导数求出函数()3f x x =在点()()1,1P f 处的切线方程，将此切线方程与函数()y f x =的解析式联立，可求出点Q 的坐标；（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数()y f x =的图象与切线l 围成的封闭图形面积. 【详解】（1）点()1,1P ，()23f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-.联立332y x y x ⎧=⎨=-⎩，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所以点()2,8Q --．（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，则()12342121327322424S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.26．（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a . 【解析】 【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e -=， 而5()f e e=，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=； （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x'-+=， 令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e -∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e -∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f e e--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax e e -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e-，解得1a ； ②当12a e e -时，即1a -时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221a e+，解得22a e -，而1a -，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.。

一、选择题1．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则bk=（ ） A ．-1B ．-2C ．-eD ．-122．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820174．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（ ）A ．405B ．810C ．324D ．6485．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（ ）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.686．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1587．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（ ）A ．1B C ．2D ．48．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-9．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=10．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．2019202011．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 17．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．18．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____． 19．已知1()sin cos f x x x =+，记211()(),,()(),,n n f x f 'x f x f 'x +==则1232017()()()()3333f f f f ππππ++++=_________________20．函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f′（﹣1）=6，则a 的值等于__．三、解答题21．已知曲线求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程. (2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程. 22．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 23．已知二次函数f （x ）=ax 2+ax ﹣2b ，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数h （x ）=xlnx+f （x ），求曲线h （x ）在x=1处的切线方程． 24．已知函数()1ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 25．设函数()ln 2f x x ax =-.（I ）若函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线为直线l ，且直线l 与圆()2211x y ++=相切，求a 的值；（II ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间. 26．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程， （2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为()212,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2x 的方程组，解出方程即可得出切线方程进而得结果. 【详解】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-， 与1x y e -=的切点为()212,x x e-，由ln 2y x e =+-的导数为1y x'=，1x y e -=的导数为1x y e -'=， 可得2111x k e x -==， ∴切线分别为()1111ln 2y x e x x x --+=-和()22112x x y e e x x ---=-， 即111ln 1y x x e x =++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1bk=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-. 则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.4．B解析：B 【分析】令1x =可得5n =，对()0112nnn x a a x a x +=++⋅⋅⋅+两边求导后，再令1x =即可得解.令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+， 由题意可得()12243n +=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+， 所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用及导数的计算，考查了运算求解能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-.故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.6．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a .()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.7．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ． 【详解】 因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2， 故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．8．A【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．10．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.11．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可． 【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．12．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可． 【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题解析：32【解析】 【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=， 与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22⨯⨯= 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=【解析】 【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭是点P 附近的一点， 则()()1112111PQ x x k xx x x+-+∆-∆===∆∆--∆+∆．当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，∴曲线11y x=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.17．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.18．【解析】因为函数所以；则曲线在点处的切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为：联立得：即所以则故答案为点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程直线的点斜式方程难度中档；我们在解答这类题的解析：14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14. 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线的点斜式方程，难度中档；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.19．【解析】以此类推可得出即函数是周期为的周期函数又故答案为【解析】()()()()'213cos ,cos 'cos f x f x x sinx f x x sinx sinx x ==-=-=--，()()45cos ,cos f x x sinx f x sinx x =-+=+，以此类推，可得出()()4n n f x f x +=，即函数()1n f x +是周期为4的周期函数，又()()()()12340f x f x f x f x +++=，1232017...3333f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20171cos 3333f f sin ππππ⎛⎫⎛⎫===+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．4【解析】f′（x ）=3ax2+6x 把x=﹣1代入f′（x ）中得3a ﹣6=6∴a=4解析：4【解析】f′（x）=3ax2+6x，把x=﹣1代入f′（x）中得3a﹣6=6，∴a=4三、解答题21．（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.【解析】试题分析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x﹣4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x﹣4平行的切线的方程．（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．试题(1)设切点为(x0,y0),由得y′x x|=.所以切线与y=2x-4平行,=2,所以x0=2516,所以y0=254.则所求切线方程为y-254=225x16⎛⎫-⎪⎝⎭,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线,故需设切点坐标为M(x1,y1),.又因为切线斜率为11y5x-,=11y5x-1,所以2x11,得x1=4.所以切点为M(4,10),斜率为54,所以切线方程为y-10=54(x-4),即5x-4y+20=0.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y及斜率，其求法为：设00(,)P x y是曲线()y f x=上的一点，则以P的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x-=-．若曲线()y f x=在点00(,())P x f x的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 22．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）2x+y ﹣2=0． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，代入f （x ）解析式，求出f （x ）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）求出h （x ）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．解：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4， 即为4a+2a ﹣2b=﹣4，又f′（x ）=2ax+a ，可得f′（1）=3a=﹣3， 解方程可得a=b=﹣1； （Ⅱ）函数h （x ）=xlnx+f （x ） =xlnx ﹣x 2﹣x+2，导数h′（x ）=lnx+1﹣2x ﹣1=lnx ﹣2x ，即有曲线h （x ）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2， 切点为（1，0），则曲线h （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣0=﹣2（x ﹣1）， 即为2x+y ﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．24．（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【详解】试题分析：（1）求导：111()ln()111x f x f x x x x'+=⇒=+-+-，利用导数几何意义得切线斜率：(0)2k f '==，又(0)0f =，由点斜式得切线方程：2y x =（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：33()2()()2()033x x f x x f x x >+⇔-+>，令3()()2()3x g x f x x =-+，只需证min ()0g x >（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知k 2≤时3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上恒成立，只需证明当2k >时，3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了． 试题（1）111()ln()111x f x f x x x x'+=⇒=+-+-，利用导数几何意义得切线斜率：(0)2k f '==，又(0)0f =，由点斜式得切线方程：2y x =（2）3422()()2()(),(0,1)()0()(0)031x x g x f x x g x x g x g x g x=-+⇒=∈⇒>⇒>'=-'，结论成立（3）由（2）知k 2≤时3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上恒成立当2k >时，令3()(),3x h x f x k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则422(),1kx k h x x -+-'=当0x <<()0,h x '<()(0)0h x h <=，即当2k >时，3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上不恒成立 k 的最大值为2．考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值 【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 25．（I ）12a =；（II ）在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数.【分析】（I ）利用导数求出切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径列方程可得12a =；（II ）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；【详解】（I ）依题意有1()2f x a x=-'， 所以切线斜率为 12a -， 切线方程()()2121y a a x +=-- 即()2110a x y -++=又已知圆的圆心为()1,0-，半径为1，1=解得12a =（II ）依题意知()ln 2f x x ax =-的定义域为()0,∞+ 又知1()2f x a x=-' 因为0,0a x >>，令120a x-> 由120ax ->，得102x a<<； 由120ax -<，得12x a>所以在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭是增函数在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.26．（1）10x y -+=；（2）见解析 【分析】(1)首先由导函数求得切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)首先设出切点坐标，然后结合点的坐标求得切点横坐标，最后由切点坐标可得满足题意的切线方程. 【详解】（1）曲线2:2C y x x =-+，21y x '∴=-，斜率1|1x k y '===∴曲线22y x x =-+在()1,2处的切线方程为21y x -=-即10x y -+=（2）∵点()2,3不在曲线22y x x =-+上．设过点()2,3与曲线C 相切的直线其切点为()2000,2x x x -+则切点处的斜率为021x -． ∴切线方程为()()()2000221()y x x x x x --+=--*， 又因为此切线过点()2,3．()()()2000032212x x x x ∴--+=--，解得01x =或03x =代入()*式得过点()2,3与曲线2:2C y x x =-+相切的直线方程为10x y -+=或570x y --=.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.。

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（ ） A ．1B 2C ．2D ．46．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x x ππ∆→-+∆=∆（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．27．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0e -B ．-21,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()2,0e -D ．()22,0e -9．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能10．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．111．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．1212．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（ ） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．经研究发现，三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心，设其为()()0,x f x ，则()0''0f x =，反之也成立，其中()''f x 是函数()f x 的导函数()'f x 的导数.已知()()322221f x x ax a a x a =++-++，若对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，则实数a =______.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________. 16．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.18．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.19．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.20．已知曲线1C ：x y e =与曲线2C ：2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为__________.三、解答题21．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． 22．已知()()()()()()2ln 1,,1,f x a x g x x bx F x f x g x =-=+=+- 其中,a b R ∈ ．（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求,a b 的值；（2）若2x = 是函数()F x 的一个极值点，0x 和1是()F x 的两个零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n .23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程； （2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.26．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择.【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinxf x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.5．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ． 【详解】 因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2， 故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．6．A解析：A 【分析】求函数的导数，令2x π=，先求出2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值，根据导数的概念即可得到结论． 【详解】∵()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，∴()2sin 2f x f x π⎛⎫'='-⎪⎝⎭， 令2x π=，则2sin 222f f πππ⎛⎫⎛⎫'='-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 则00()()()()2222lim lim 12x x f f x f x f f x x πππππ∆→∆→-+∆+∆-⎛⎫=-=-=- ⎪∆∆⎝⎭'， 故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的计算，根据导数公式以及求出12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭是解决本题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．C解析：C 【分析】把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．【详解】 ，由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数ln()y x =-(0)x <，由题意可得3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，设3y kx =-与ln()y x =-相切于(,)m n ，因为ln()yx =-的导数1y x '=，所以1k m=， 又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21m e=-， 所以2k e =-，由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()yx =-在0x <上有两个交点，即当20e k -<<时，函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．9．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知(1)k f '=，求导后计算即可. 【详解】 因为()f x x '=-,所以 (1)1k f '==- ，故选B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.11．A解析：A【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.12．A解析：A 【分析】欲求出a 的大小，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，结合题中条件求出切点的坐标，代入直线方程即得． 【详解】()1'y x x=， 由112x =得切点为（2，ln2）， 代入12y x a =+， 得ln 21a =-． 故选A ． 【点睛】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．二、填空题13．-3【分析】由求导得根据题意知恒成立可得出函数对称轴即可求解【详解】由求导得：因为对任意的实数函数在和处的切线互相平行所以故的对称轴为即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的导数导数的几何意义函解析：-3 【分析】由()f x 求导得()22322f x x ax a a '=++-，根据题意知()(2)f m f m ''=-恒成立，可得出函数对称轴，即可求解. 【详解】 由()f x 求导得：()22322f x x ax a a '=++-,因为对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行， 所以()(2)f m f m ''=-， 故()y f x '=的对称轴为1x =， 即13a-=， 所以3a =-，故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，导数的几何意义，函数的对称性，属于中档题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数解析：1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.16．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x =-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.17．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-， 即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可18．-2011【解析】分析：由题意函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值以内可求得再根据切点的双重性即切点既在曲线上又在切线上可求得的值即可求解答案详解：根据函数的图象可知函数的图象在点处解析：-2011 【解析】分析：由题意，函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率就是函数P 在该点处的导数值，以内可求得(2018)f '，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得(2018)f 的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数()y f x =的图象在点P 处的切线切于点P ， 所以(2018)201882010f =-+=-， 又由切线的方程为8y x =-+，所以(2018)f '为函数()y f x =的图象在点P 处的切线的斜率，所以(2018)1f '=-， 所以(2018)(2018)201012011f f +=--=-'.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PN k x =-∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.20．【解析】设交点为则切线斜率为 解析：22ln 2-【解析】设交点为(,)tt e ，则切线斜率为222(),()(),4,2t tttte e t a e t a e e =+=+∴==22ln 422ln 2a t ∴=-=-=-三、解答题21．(Ⅰ)310x y --=；(Ⅱ)211[,)e 2e. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程即可．（Ⅱ）通过求导可得函数()y f x =在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．所以要使方程()0f x =在区间[]1,e上有两个不相等的实数根，需满足()1e 1000f f e f ⎧<<⎪⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<⎪⎩，解不等式可得a 的取值范围．试题（Ⅰ）当2a =时，()22ln f x x x =-，∴()1'4f x x x=-， ∴()'13f =． 又()12f =，∴曲线()y f x =在点()1,2P 处的切线方程为()231y x -=-， 即310x y --=．（Ⅱ）∵()2ln (0)f x ax x a =->，∴()2121'2(0,0).ax f x ax x a x x -=-=>>令()221'0ax f x x-==，即2210ax -=，得10x =>，20x =<（舍去）． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可得，函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．∵方程()0f x =在区间[]1,e 上有两个不相等的实数根， ∴()()21e 10e 10112022f a f ae f ln a ⎧<<⎪⎪=≥⎪⎨=-≥⎪⎪=+<⎪⎩，解得211e 2e a ≤<． 故实数a 的取值范围是211,e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．点睛：已知方程在区间上根的个数求参数范围的方法（1）通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值以及函数的变化趋势等； （2）根据题目要求，画出函数图象的草图，标明函数极(最)值的位置；（3）借助数形结合的方法，将方程在区间上的根的个数问题用区间端点值、函数极值的正负来表示的不等式组；（4）解不等式组可得所求的范围．22．（1）1{22a b =-=- （2）n=3【解析】试题分析：（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，则可知()()()()22{221f g f g ''=⋅=-，于是可以求出,a b 的值；（2）()()()1F x f x g x =+-=2ln a x x bx --，则()20F '=，又()01F =，于是可以求出,a b 的值，然后根据函数()F x 的单调性及函数零点存在性定理来确定函数()F x 零点所在的区间，从而确定n 的取值． 试题 （1），由题知，即 解得（2）=，由题知，即 解得=6，=－1∴=6－（－），=∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减， 故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）= 又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0∴∈（3,4），故=3点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间(),a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程0f x的根．23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出，即可求的解析式； （Ⅱ）对，恒有成立，等价于，即可求的取值范围．试题 （Ⅰ）∵，∴，∴．令，代入切线方程得切点坐标为，代入函数，得．∴． （Ⅱ）∵，令，得或（舍）．列表得：极大值∵，，∴，，∴对恒成立， ∴恒成立，，∴恒成立， 记，，∴． ∵，令，则，列表得：极小值∴，∴．点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；对于含有两个变量时，成立，等价于.24．（1）210x y --=；（2）(2,)+∞【分析】（1）代入0a =，对()f x 求导，代入1x =得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对()f x 求导，令2()ln 1F x x x a =--+，然后再求导得到()F x '，可得(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，再根据(1)2F a =-，按2a ≤和2a >进行分类讨论，得到函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，从而得到若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x -'=+， 则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=. （2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=， 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增， 又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立， 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值． 综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 25．（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a . 【解析】 【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e -=， 而5()f e e=，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=； （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x '-+=， 令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e -∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e -∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f e e--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax e e -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e-，解得1a ； ②当12a e e -时，即1a -时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221a e+，解得22a e -，而1a -，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.26．（1）23y x =-；（2）()0,1. 【分析】（1）将2a =代入，求出函数解析式，可得(0)f 的值，利用导数求出(0)f '的值，可得()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a 的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）22,()(3)e 4,(0)3x a f x x x x f =∴=--+∴=-,()(2)e 24x f x x x '=--+，则(0)2f '=，故所求切线方程为23y x =-；（2）()()()e x f x x a a '=--， 当1a 时，()0f x '>对(1,2)x ∈恒成立 ，则()f x 在(1,2)上单调递增，从而()21(1)e 02(2)(1)e 20f a a f a a ⎧⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-->⎩，则(0,1)∈a ，当12a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(,2)a 上单调递增，121(1)e 0,()0,(2)02a f a a f a f <<⎧⎛⎫=--<∴<∴⎨ ⎪>⎝⎭⎩则a ∈∅ ， 当2e a <时， ()0f x '<对(1,2)x ∈恒成立，则()f x 在(1,2)上单调递减，(1)0,()f f x <∴在（1，2）内没有零点 ，综上，a 的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.。

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ）A ．4B ．92C D ．22．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．53．已知函数()21f x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2013S 的值（ ）A ．20102013B ．10052013C ．40264027D ．201340274．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--5．已知函数()2018sin xf x x e x -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（ ） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+6．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B C ．5D ．67．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6- B ．8- C ．6D ．88．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．110．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 11．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-________．14．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________. 17．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________．18．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________19．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．20．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．三、解答题21．已知()()()()()()2ln 1,,1,f x a x g x x bx F x f x g x =-=+=+- 其中,a b R ∈ ．（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求,a b 的值；（2）若2x = 是函数()F x 的一个极值点，0x 和1是()F x 的两个零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n .22．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中fx 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值.23．已知函数（ ）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，试讨论的单调性．24．已知函数()()221f x ax a x lnx =+--. （1）当12a =时，求函数()f x 在1x =点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.25．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.（Ⅰ）求实数a ，m 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值. 26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x-'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由21ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为2h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.3．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义求出4a =，然后()()()211111141212122121f n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭，然后算出11122121n n S n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭即可. 【详解】由()21f x ax =-可得()2f x ax '=因为函数()21f x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，所以()128f a '==，即4a = 所以()()()211111141212122121f n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭所以11111111112335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 所以201320134027S = 故选：D 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.4．B解析：B 【分析】求导得到()()'121f x f x'=-，取1x =得到()11f '=，代入数据计算得到答案. 【详解】()()21ln f x xf x '=-，则()()'121f x f x'=-，取1x =，则()()11211f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-，12f e e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了求导函数值，计算()'11f =是解题的关键.5．C解析：C 【分析】计算出()1f x 、()2f x 、()3f x 、()4f x ，找出规律，进而可求得()2019f x . 【详解】令()sin xg x x e -=+，()()1g x g x '=，()()21g x g x '=，()()32g x g x '=，，()()1n ng x g x +'=， ()()20171cos 2018x f f x x e x x -'==-+， ()()201621sin 20182017x f x e x f x x -'==-++⨯， ()()201532cos 201820172016x f f x x e x x -'==--+⨯⨯， ()()201443sin 2018201720162015x f f x x e x x -'==++⨯⨯⨯，，由上可知，()()4n n g x g x +=，且()()()()201820182017201912018,n n n f x g x n x n n N -*=+⨯⨯⨯-≤≤∈，()()20182017sin 20182017201620151x x x f f x e -'∴==-++⨯⨯⨯⨯⨯， ()2019cos x f e x x -=--．故选：C ． 【点睛】本题考查导数的计算，根据题意得出导数的周期性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点， 可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||5PQ ==. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.7．D解析：D 【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.8．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】 解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+- 令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.10．D解析：D 【分析】先根据直线和()245g x x x =-+的图像相切，求出a=-4,再根据直线和()323x f x x x m =+-+相切求出切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入曲线方程即得m 的值. 【详解】联立2y x a =+与2()45g x x x =-+得2650,x x a -+-=364(5)0,a 4a ∴∆=--=∴=-,所以直线方程为y=2x-4,由题得2()21,f x x x '=+-设切点P 坐标为00,)x y （， 所以20000()21=21f x x x x '=+-∴=，或-3,所以切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入()323xf x x x m =+-+得m=73-或13-.故选D 【点睛】本题主要考查直线和曲线相切，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1xf x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．1【分析】化简与直线恰有三个公共点其中为一公共点根据对称性所求式子化为且直线与相切切点的坐标根据导数几何意义可求出的关系式即可求解【详解】均为奇函数所以为一公共点另两个公共点关于原点对称所以为直线与解析：1 【分析】化简()sin 2f x x =-，与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，其中0x =为一公共点，根据对称性133,0x x x =->，所求式子化为33tan 22x x ，且13,x x 直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的坐标，根据导数几何意义，可求出3x 的关系式，即可求解. 【详解】()2sin cos 2cos sin sin 222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),f x y ax =均为奇函数，所以0x =为一公共点，另两个公共点关于原点对称，133,0x x x =->，所以13,x x 为直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的横坐标，3333sin 2()2cos 2,()2cos 2x f x x f x x a x -''=-=-==， 333332cos2sin 2,tan 22x x x x x ∴==，()12331233tan tan 212x x x x x x x x +-==+-.故答案为:1.【点睛】本题考查函数图象的交点、函数的性质、导数的几何意义，函数的对称性是解题的关键，属于中档题.14．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考解析：4 【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果. 【详解】 因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ， 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =， 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ， 则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =. 因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+， 由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4π，0）所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.17．2【解析】【分析】设直线与曲线的的切点坐标为根据导数的几何意义求得切线的斜率为求得进而得到切点的坐标代入曲线的方程即可求解【详解】设直线与函数的的切点坐标为因为函数则所以切线的斜率为则所以代入切线的解析：2 【解析】 【分析】设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 【详解】设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ， 因为函数()ln f x ax x =-，则1()f x a x'=-，所以切线的斜率为001()k f x a x =-'=， 则011a x -=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111ay a a =+=--，即1(,)11a P a a --， 把点P 代入曲线的方程可得11ln 111a a a a a =⨯+---， 整理得1ln 01a =-，解得2a =. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.18．【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝ex ＋2图像在点(01)处的切线斜率k ＝e0＋2＝3故得到切线方程为【详解】∵函数f(x)＝ex ＋2x ∴导数＝ex ＋2∴f(x)的图像在点(01)处的切线斜率k 解析：31yx【分析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x .【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数()'f x ＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.故答案为31y x .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.20．【详解】设切点为∴即又∴即故答案为点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率其求法为：设是曲线上的一点则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数 解析：1ln 2+【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm k m +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．三、解答题21．（1）1{22a b =-=- （2）n=3【解析】试题分析：（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，则可知()()()()22{221f g f g ''=⋅=-，于是可以求出,a b 的值；（2）()()()1F x f x g x =+-=2ln a x x bx --，则()20F '=，又()01F =，于是可以求出,a b 的值，然后根据函数()F x 的单调性及函数零点存在性定理来确定函数()F x 零点所在的区间，从而确定n 的取值． 试题 （1），由题知，即 解得（2）=，由题知，即 解得=6，=－1∴=6－（－），=∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减， 故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）= 又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0∴∈（3,4），故=3点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间(),a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程0f x的根．22．（1）31()33f x x x =-+;(2）()g x 有极大值(2)2ln 21g =-，无极小值 【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据()3133f x x cx =++,求出()2f x x c '=+ ;然后根据()f x 在x 0=处的切线与直线2y x =+垂直,求出()01f c '==-,进而求出函数()y f x =的解析式即可;(Ⅱ)分别求出()g x 、()g x ',然后分两种情况:①当()0,2x ∈和②当()2,x ∈+∞,讨论求出()g x 的极值即可. 试题（1）()2f x x c '=+ ，由已知得()01f c '==-()3133f x x x ∴=-+ (2）由(1）知()21f x x '=-()24ln 1(0)g x x x x =-+>()()()22224422xxx g x x x xx-+-=-=='当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减()g x ∴有极大值()22ln21g=-，无极小值23．（1）（2）当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增。

一、选择题1．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（ ） A ．1y x e=或1y x =- B ．y ex =-或1y x =-- C ．y ex =或1y x =+D ．1y x e=-或1y x =-+ 2．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+3．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．①若直线l 与曲线:()C yf x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若点P 在曲线32y x x =-+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3024πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．34，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，6．已知方程2230x a +=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或1648．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．49．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1210．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A ．2105 B ．1010C ．105 D 31012．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 2二、填空题13．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点()2,2f处的切线的斜率为___________．14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为15．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 16．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________.17．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 18．对于曲线4()1xf x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线221()ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.19．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________ 20．等比数列中，，函数，则曲线在点处的切线方程为____.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(2)x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 21，求a 的值； （2）设()2x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 23．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值.24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．求下列函数的导函数. （1）()521y x =+ （2）1log 32ay x =+ 26．已知函数()()221f x ax a x lnx =+--. （1）当12a =时，求函数()f x 在1x =点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 【详解】设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)xx e ，22(,ln 2)x x +，()x f x e '=，1()g x x'=. 所以121xx k e ==，即1221lnln x x x ==-. 又因为122221221ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-+-==-+，所以222221ln 21ln x x x x x +-=+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e=. 所以()g x 的切点为(1,2)或1(,1)e ，1k =或e .切线为21y x -=-或11()y e x e-=-， 即：1y x =+或y ex =.【点睛】本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题.2．D解析：D 【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解． 【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切， 由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ， 由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =， 所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln 2a =+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．B解析：B 【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义： （1）导数：'()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，（2）左导数：'()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-=∆，（3）右导数：'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆，函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确； 对于③中，切线与导数的关系：（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在，所以是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．B解析：B 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义，结合二次函数的性质和正切函数的图象和性质即可得到结论．解：32y x x =-+的导数为231y x '=-， 设(,)P m n ，可得P 处切线的斜率为231k m =-， 则1k-，由tan k α=，(0απ<且)2πα≠即为tan 1α-，由正切函数的性质可得02πα≤<或34παπ≤< 可得过P 点的切线的倾斜角的取值范围是30,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二次函数的性质和正切函数的图象和性质，考查运算能力，综合性较强．6．D解析：D 【分析】由题得123x x a +=，2123a x x =，再根据两切线互相垂直得到()222212129320x x x x -++=，把韦达定理代入化简即得解.【详解】3()f x x x =-，2'()31f x x =-，依题知()()221231311x x --=-，即()222212129320x x x x -++=.∵123x x a +=，2123a x x =， ∴()22222212121252233x x x x x x a a a +=+-=-=， ∴42320a a -+=.解得22a =，21a =，即a =1a =±，经检验每个值都符合题意，故满足条件的a 有4个. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.8．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．9．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．B解析：B 【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可． 【详解】函数cos sin y x x x =-，可得'sin y x x =-，在点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()000sin k g x x x ==-，函数k 是偶函数，排除A ，D ，当06x π=时，012k π=-<，显然C 不正确，B 正确；故选B ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．11．A解析：A 【解析】 【分析】 求出曲线2ln y x x=-在1x =处切线斜率，从而可得进而得到cos sin αα+. 【详解】函数的定义域为()0,∞+ ，212,y x x=+' 1x =时，3,y '=，即tan 3,α= 且α为锐角，则cos αα===cos sin αα∴+== 故选A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan 3,α=是解题的关键．12．B解析：B 【解析】()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B. 二、填空题13．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解 解析：29-【分析】利用官员发先求得函数()f x 的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f处的切线的斜率. 【详解】已知221111x x f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 令11xt x-=+，则11t x t -=+，所以()22211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则()221xf x x =+∵求得导函数可得()()222221x f x x -'=+，∴29f '=-.由导数几何意义可知在点)f处的切线的斜率为29-， 故答案为：29- 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.14．【分析】求出导函数根据题意转化为对恒成立即可得解【详解】曲线上总存在两点M （x1y1）N （x2y2）使曲线在MN 两点处的切线互相平行即所以对恒成立所以x1+x2的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查解析：()8+∞，【分析】求出导函数24()1f x x x λ'=--，根据题意转化为()()212121244x x x x x x λλ++=<对2λ≥恒成立，即可得解.【详解】4()ln 2f x x x x λλ=+-≥，，24()1f x x xλ'=--，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，2211224411x x x x λλ--=--， 22121244x x x x λλ-=-，()()212121244x x x x x x λλ++=< 所以1216x x λ+>对2λ≥恒成立所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，.故答案为：()8+∞，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.15．1【解析】【分析】由题意知f （x ）在x=1处的切线的斜率为4根据导数的几何意义即可求解【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4又所以解得故解析：1 【解析】 【分析】由题意知，f （x ）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行， 所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4 又2()31f x ax '=+，所以(1)314f a ='+=，解得1a =，故填1. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.16．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4π，0） 所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.17．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=【解析】 【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭是点P 附近的一点， 则()()1112111PQ x x k xx x x+-+∆-∆===∆∆--∆+∆．当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，∴曲线11y x=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.18．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（解析：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．详解：∵()41x f x e =+，∴()2441(1)2x x x xe f x e e e --==+'++∵11224x xx xe e e++≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()221ln 2g x ax x x x =-+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1）， 当x ∈（0，1e）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数； 当x ∈（1e，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数； 故当x=1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2e，0） 若对于曲线()41xf x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1， 总存在在曲线()221ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2， 则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2e≤﹣1． 解得：a ∈2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 故答案为：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．19．【解析】分析：求出导函数可得切线斜率利用切线斜率等于列方程求解即可详解：因为函数所以可得函数由函数在点处切线与直线平行可得解得故答案为点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于简单题应用导数的几何意义解析：12【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于3列方程求解即可. 详解：因为函数()ln f x x x =+， 所以可得函数()1'1f x x=+，由函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，可得0113x +=，解得012x =，故答案为12. 点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 解方程()1f x k '=即可.20．【解析】在等比数列中且所以所以函数在点处切线方程为即点睛：本题主要考查了等比数列的性质求导法则利用导数研究曲线在某点处切线的方程属于中档题利用等比数列的性质及求是解答本题的关键 解析：201232y x =+【解析】在等比数列{}n a 中，212012220111006100793a a a a a a ===== ，且122012()()()()2f x x x x x x x a =---+ ，所以122012122012120122201120162017222100622012'(0)()()()()()()33333f a a a a a a a a a a a a ⨯=---===⋅== ，所以函数()y f x = 在点(0,(0))f 处切线方程为(0)'(0)(0)y f f x -=- ，即201232y x =+ 。

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则bk=（ ） A ．-1 B ．-2C ．-eD ．-123．与曲线2yx 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+4．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．225．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+6．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=8．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．09．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．2019202010．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4 B ．14-C ．14D ．411．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形12．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e +二、填空题13．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________. 14．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 15．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________． 19．设()()()sin 2',''32f x x xf f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是的导函数，则___________. 20．已知2()2(1)f x x xf =+'，则'(1)f _______三、解答题21．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.23．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）y =（2）2sin x y x=；（Ⅱ）过原点O 作函数f （x ）＝lnx 的切线，求该切线方程． 24．已知()()2*01221.nnn x a a x a x a xn N -=+++⋅⋅⋅+∈（1）求012n a a a a +++⋅⋅⋅+；（2）我们知道二项式()1nx +的展开式()01221nn nn n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+,若等式两边对x 求导得()112221123n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=+++⋅⋅⋅+，令1x =得1231232nn n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅.利用此方法解答下列问题：①求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+； ②求2222123123n a a a n a +++⋅⋅⋅+. 25．已和函数()32111,32f x x x x =-+∈R . （1）求函数图象经过点3,12⎛⎫⎪⎝⎭的切线的方程： （2）求函数()3211132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积. 26．已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=-.（Ⅰ）若()3f x =，求tan x ； （Ⅱ）证明：2'()sin 21f x x =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为()212,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2x 的方程组，解出方程即可得出切线方程进而得结果. 【详解】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-， 与1x y e -=的切点为()212,x x e-，由ln 2y x e =+-的导数为1y x'=，1x y e -=的导数为1x y e -'=， 可得2111x k e x -==， ∴切线分别为()1111ln 2y x e x x x --+=-和()22112x x y e e x x ---=-， 即111ln 1y x x e x =++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1bk=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =， 又直线210x y ++=的斜率为12-， 所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭， 解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-， 即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．5．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．6．C解析：C 【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.8．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x limx∆→+∆-==∆【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.9．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.10．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．11．D解析：D【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．12．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离， ∴d min2. 故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．二、填空题13．【分析】求出函数的斜率为2的切线方程与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值【详解】如图作出函数的图象作直线平移到与函数图象相切由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由得令得此时解析：3ln 22-【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值． 【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值． 由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min 132(ln 2)ln 222AB =-+=-． 故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解．14．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．1【解析】【分析】由题意知f （x ）在x=1处的切线的斜率为4根据导数的几何意义即可求解【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4又所以解得故解析：1 【解析】 【分析】由题意知，f （x ）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】因为f （x ）在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行， 所以f （x ）在x=1处的切线的斜率为4 又2()31f x ax '=+，所以(1)314f a ='+=，解得1a =，故填1. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.16．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-， 即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，， 故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．【详解】设切点为∴即又∴即故答案为点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率其求法为：设是曲线上的一点则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数 解析：1ln 2+【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm k m +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．-1【解析】∵令可得：解得则解析：-1 【解析】∵()2(),()2()33f x sinx xf f x cosx f ππ=+'∴'=+'，令3x π=,可得：()2()333f cos f πππ'=+' ,解得1()32f π'=- ， 则1()2()1222f cosππ'=+⨯-=- 20．【解析】求导得：把代入得：解得故答案为 解析：2-【解析】求导得：()()221f x x f '=+'，把1x =代入得：()()1221f f '=+'，解得()12f '=-，故答案为2-.三、解答题21．（1）32y x =-；（2）222,4e m ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到()'13f =，()11f =，根据点斜式可得到方程；（2）根据题意研究函数()g x 的单调性，从而得到函数的图像的变化趋势，寻求和x 轴的交点个数即可。

一、选择题1．已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．2[,)e +∞C ．[2,)+∞D ．[4,)+∞2．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．设()2ln 1f x x =+()2f '=（ ）A ．45 B ．15C ．25D ．355．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．不存在7．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ） ABCD8．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-9．若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A ．a=1，b=1B ．a=－l ，b=lC ．a=l ，b=－1D ．a=－1，b=－1610．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（ ） AB．12- CD．11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．2019202012．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m（ ）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题13．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．设曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行，则a =_________ 16．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．17．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 18．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．19．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．20．若曲线()2ln f x x ax =+的切线斜率恒为非负数，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知函数3ln ()()xxf x ax b e x=-+，且函数()f x 的图象在点(1,)e -处的切线与直线(21)10x e y ++-=垂直．（1）求,a b ；（2）求证：当(0,1)x ∈时，()2f x <-． 23．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.24．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间. 25．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.26．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x b y e +=，则'1x b y e +==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()221112224b a b b b b b b+==++≥⋅=， 当1b =时等号成立.故选：D. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键.2．A解析：A 【分析】 求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ； 当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>； 当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．C解析：C 【分析】令()u x =，可求得()u x ='()f x '，可求得()2f '．【详解】∵()f x =()u x =，则()ln f u u =，∵()1f uu'=，()12u x ='=，由复合函数的导数公式得：()21xf x x =='+， ∴()225f '=． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．5．B解析：B 【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立.在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对.对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】 化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案. 【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.7．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-，由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.8．A解析：A 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】求得函数的导数求得()0f a '=，由切线的方程为10x y +-=，求得1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，求得b 的值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2f x x ax b =++，则()2f x x a '=+，所以()0f a '=，又由切线的方程为10x y +-=，所以1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，即010b +-=，解得1b =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．10．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-， 曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：31032f a e ππ'⎛⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：12a =. 故选A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.12．A解析：A 【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m gx m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值．【详解】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2， 当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0， ∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m gx g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值， 故选A. 【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．二、填空题13．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．15．4【分析】求出原函数的导函数得到函数在x=2时的导数再由两直线平行与斜率的关系求得a 值【详解】由得：又曲线在点处的切线与直线平行即故填4【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程考查两直线解析：4【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】由31xyx+=-得：22134(1)(1)x xyx x---'==---24xy=∴=-'又曲线31xyx+=-在点()2,5处的切线与直线10ax y+-=平行4a∴-=-，即4a=.故填4.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.16．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn【详解】由题意知f(x)=2ax则k=f(1)=2a2a⋅(-18)=-1故a=4f解析：【解析】【分析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题17．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=【解析】 【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭是点P 附近的一点， 则()()1112111PQ x x k xx x x+-+∆-∆===∆∆--∆+∆．当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，∴曲线11y x=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.18．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化 解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.19．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2），所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-20．0【解析】根据导函数的几何意义得到曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值根据题意即在恒成立变量分离得到其中x 的范围是故得到故a 的最小值为0故答案为0解析：0 【解析】根据导函数的几何意义得到，曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值，()2ln f x x ax =+，1()2f x ax x'=+，根据题意即'()0f x > 在()0,∞+恒成立，变量分离得到212a x >- ，其中x 的范围是()0,∞+，故得到0a ≥ ，故a 的最小值为0. 故答案为0.三、解答题21．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根.（3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 22．(1) 1a =，2b =；(2)见解析 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()'1f ，再根据切线与直线()2110x e y ++-=垂直得()'121f e =+，根据()1f e =-，解方程组可得,a b ；（2）将不等式化为两个函数大小比较:()()32x g x x e =-，()ln 2xx xφ=+ ,利用导数求两个函数取值范围,根据范围可证不等式 试题（1）因为()1f e =-，故()a b e e -=-，故1a b -=-①；依题意，()'121f e =+；又()()3221ln '3x xf x e ax ax b x-=+-+， 故()()'14121f e a b e =-+=+，故42a b -=②， 联立①②解得1a =，2b =；（2）由（1）得()()3ln 2xxf x x e x=-+， 要证()2f x <-，即证()3ln 22x xx e x+<-； 令()()32xg x x e =-，()ln 2x x xφ=+()()()()322'32122x x g x e x x e x x x =-+-=-++-令()'0g x =，()0,1x ∈，0x e >，10x +>，故1x =-+∴ ()g x在(0,1-上单调增加，()1-在单调减少。