北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件

当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t △t
= – 0.00001, v 13.099951
△t
= 0.00001, v 13.100049
= – 0.000001, v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
0
f ( x0 ) lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 );
2. 求平均变化率
f x f ( x0 x) f ( x0 ) x ;
导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运
动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的 速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
(2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
x 0
lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
lim
f x
f ( x0 )
x 0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 y | x x , 即
北师大版高中数学选修2-2第二章 《变化率与导数》
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的 分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、 比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、 以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内 涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生 学习数学的兴趣. 二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。 教学难点：理解导数概念的本质内涵 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
，试解释它们的实际意义。
f 解： (10 )
表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。 表示服药后100min时，血液中药物的 质量浓度下降的速度为－0.6μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液 中药物的质量浓度将下降－0.6μ g/（mL· min）。
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段 时间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
x 0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
y | x x , 即 f ( x ) lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) . 或 0 0 x 0 x
(1). f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同; f ( x0 )与x的具体取值无关。
f (100 ) 0 . 6
1 .5
课堂练习:1、
2、课本 P 33
练习：1、2.
小结：1、瞬时速度的变化率的概念； 2、导数的概念； 3、利用导数的定义求函数的导数的方法步 骤：
1、 求 函 数 的 变 化 率 y f ( x0 x ) f ( x0 ) 2、 求 函 数 的 平 均 变 化 率 y x y x 3、 求 极 限 l i m
t 0
lim
h( 2 t ) h( 2) t
13.1
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
t 0
lim
h(t 0 t ) h(t 0 ) t 4.9( t ) (9.8t 0 6.5) t
3. 求值
f ( x0 ) lim
f x
x 0
.
一差、二化、三极限
例1、一条水管中流过的水量y（单位： m ）是时 间x（单位：s）的函数 y f ( x ) 3 x 。求函数
3
y f ( x ) 在x=2处的导数 f ( 2 ) ，并解释它的
实际意义。 解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2 ＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为
x0 0
作业：课本
P 37
习题2-2中A组2、3
五、教后反思：
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h t h( 2 t ) h( 2) t
13.1 4.9t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
（
f (2 x) f (2) x

3(2 x ) 3 2 x

3 x x
3
m /s）.
当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，
3
（ m /s）. 导数 f ( 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水 2) 流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时 的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水 3 量为3 m。 例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x （单位：h）的函数 y f ( x ) 。假设函数 y f ( x ) 在x=1和x=3处的导数分别为 f (1 ) 4 和 f ( 3 ) 3 . 5 ，试解释它们的实际意义。
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h t 13.1 4.9t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2 的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬 时速度是 –13.1.
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：μ g/mL）是时间t（单位：min）的函数 y f (t ) ，假设函数 y f (t ) 在t=10和t=100处的 导数分别为 f (100 ) 0 . 6 和 f (10 ) 1 . 5
f ( 3 ) 3 . 5
2
lim
t 0
t
lim ( 4.9t 9.8t 0 6.5)
t 0
9.8t 0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
x 0
limห้องสมุดไป่ตู้
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
lim
f x
f ( x0 )
所以
f ( 2 ) 3
3
表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
f 解：
(1 ) 4
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。