空间向量的数量积运算练习题

【巩固练习】一、选择题：1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）①||=a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a ④22=a b b aA ．4B ．3C ．2D ．12．（2014 奉贤区二模）已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A.11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅3．（2014秋 兴庆区校级期末）已知向量123,,v v v 分别是空间三条不同直线123,,l l l 的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）A ．12l l ⊥，2313()l l v v R λλ⊥⇒=∈B. 12l l ⊥，2313//()l l v v R λλ⇒=∈C. 123,,l l l 平行于同一个平面⇒123,,+R v v v λμλμ∃∈=使得D. 123,,l l l 共点⇒123,,+R v v v λμλμ∃∈=使得4．已知非零向量a 、b 不平行，并且其模相等，则+a b 与-a b 之间的关系是（ ）A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可以5．已知空间中非零向量a 、b ，且|a|=2，|b|=3，〈a ，b 〉=60°，则|2a －3b|的值为（ ）．A B ．97 C D ．616．已知a 、b 是异面直线，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a=2e 1+3e 2， b=ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为（ ）．A ．－6B ．6C ．3D ．－37．（2015春 广安校级月考）已知直线l 的方向向量(1,0,1)a =-，点A （1，2，―1）在l 上，则点P （2，―1，2）到l 的距离为（ ）A B ．4 C D ．二、填空题：8．已知a ，b 是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，||a b -=cos 〈a ，b 〉=________．9．已知线段AB 的长度为，AB 与直线l 的正方向的夹角为120°，则AB 在l 上的射影的长度为______。

空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。

下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。

解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。

练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。

解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。

练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。

解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。

然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。

3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。

专题1.1.2 空间向量的数量积运算10种常见考法归类（70题）题型一 空间向量的夹角题型二 空间向量的运算律题型三 空间向量数量积的运算题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状题型五 空间向量数量积的最值问题题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)题型八 利用空间向量的数量积求夹角（一）求两个向量的夹角（二）求异面直线所成角（三）根据夹角求参数题型九 利用空间向量的数量积求投影向量题型十 新定义问题1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作OA a =，OB b =，则么叫做向量的夹角，记,a b <>r r.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）2、范围：[],0,a b p <>Îr r ．特别地，（1）如果,2a b p<>=r r ，那么向量,a b r r 互相垂直，记作a b ^r r ．(3)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为p ，故a,b 0<>=r r(或a,b p<>=r r )//a b Ûr r (,a b r r为非零向量)．(4)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0r 与任何向量a r都是共线的，即0a r r ．两非零向量的夹角是唯一确定的．3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b r r所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为q ，(1)向量夹角的范围是0<<,a b r r ><p ，异面直线的夹角q 的范围是0<q <2p，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b q =<>r r ；当两向量的夹角为2p时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b q p =-<>r r.题型一 空间向量的夹角1．（2024·高二课时练习）如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求向量AC uuu r 分别与向量A B ''uuuu r ，B A ''uuuur ，AD 'uuuu r ，CD'uuuu r ，B D ''uuuur 的夹角．2．（2024·高二课时练习）在正四面体ABCD 中，BC uuu r 与CD uuu r的夹角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．（2024·高二课时练习）如图，在长方体ABCD A B C D -''''中：(1)哪些棱所在直线与直线AA '互为异面直线且互相垂直？(2)若1AB AA '==，分别求向量BA ®'与CC ®'，D C ®''，B C ®''的夹角.定义已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;性质①a ⊥b ⇔a ·b ＝0②a ·a ＝a 2＝|a |2运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∈R .②a ·b ＝b ·a (交换律)．③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律).2.空间向量数量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在a r方向上的投影||cos ,b a b <>r r r 的乘积或等于b r 的长度||b r 与a r 在b r方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积.注：题型二 空间向量的运算律4．【多选】（2024·高二课时练习）设a r ，b r为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）A ．22a a =r r B ．a b ba a a ×=×r r rr r rC ．()222a b a b ×=×r r r r D ．()2222a b a a b b-=-×+r r r r r r 5．（2024·高二课时练习）对于任意空间向量a r ，b r ，c r，下列说法正确的是（ ）A ．若//ab r r 且//bc r r，则//r r a cB ．()a b c a b a c×+=×+×r r r r r r r C ．若a b a c ×=×r r r r ，且0a ¹r r，则b c=r r D ．()()a a cb bc ×=×r r r r r r 6.（23-24高二上·北京·期中）设a 、b 、c 是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）A ．a 、b 一定共面B ．a 、b 、c 一定不共面C ．a ⋅b =b ⋅aD ．a ⋅b +c =a ⋅b +a ⋅c7．（2024·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设a r ，b r ，c r都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）A ． ()()a b c a b c++=++r r r r r r B ． ()+×=×+×r r r r r r r a b c a c b cC ． ()()a b c b c a××=××r r r rr r D ． ()()()2||a b a c a b c a b c+×+=++×+×r r r r r r r r r r 题型三 空间向量数量积的运算解题策略：1.求空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．8.（2023春·高二课时练习）已知空间向量,a b r r 满足||2,1a b ==r r ∣，且a r 与b r 的夹角为3p ，则a b ×=rr __________．9.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量,a b r r 的夹角为π,||2,||33a b ==r r ，则(3)a a b ×+=r r r．10．（2024·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu g rg g 等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定11.（2023·全国·高二专题练习）正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ×=uuu r uuu r______．12.（23-24高二上·陕西渭南·期末）在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ×uuu r uuu r的值为（ ）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．1213．（2024·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ×uuuu r uuu r=_______.14．【多选】（2024·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，体对角线1AC 与1BD ，相交于点О，则（ ）A ．111AB A C ×=uuu r uuuu r B ．1AB AC ×=uuu r uuuu rC ．12AB AO ×=uuu r uuu r D ．11BC DA ×=uuu r uuu u r 15．（2024·全国·高三专题练习）如图，PA ^面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC uuu r 与BDuuu rB ．PB uuu r 与DAuuu rC ．PD uuu r 与ABuuu r D ．PA uuu r 与CDuuur 16．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为2的四面体ABCD 中 CE uuu r =ED uuu r，AFuuu r 2=FD uuu r，则向量BE CF ×=uuu r uuu r （ ）A ．-13B ．13C ．-12D ．1217.（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，,,AB AC M N ^分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，1224AB AC AA ===，则AG MN ×=uuu r uuuu r（ ）A ．4B ．5C ．6D ．818．（2024·全国·高三对口高考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ×uuu r uuu r的值为（ ）A ．2a B ．212aC ．214aD 219．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60o，求1AC BD ×uuuu r uuu r 的值是__________．20．（2024·高二课时练习）如图, 在直三棱柱111ABC A B C - (即1A A ^平面ABC ),1AC AB AA ===22BC AE ＝＝ , 求 1×uuu r uuurAE A C题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状21．（2024·高三课时练习）已知四边形ABCD 满足0AB BC ×>u ur uu r u u ，0BC CD ×>uuu r uuu r ，0CD DA ×>uuu r uuu r ，0DA AB ×>uuur uuu r ，则该四边形为（ ）．A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形22．（2024·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足，0AD AC ×=uuu r uuu r ，0AB AD ×=uuu r uuu r，点M 为BC 的中点，则AMD V 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定23．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r满足,,OA OB OB OC OC OA ^^^uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则ABC V 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或锐角三角形24．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体ABCD 中，设,,CA a CB b CD c ===uuu r uuu r uu r u r r r.(1)若2,3BE BC F =uuu r uuu r 是AD 的中点，用,,a b c r r r 表示EF uuu r ；(2)若,,CA CB CD uuu r uuu r uuu r两两垂直，证明：ABD △为锐角三角形.题型五 空间向量数量积的最值问题25．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知点P 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，则PA PB×uuu r uuu r的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．926.（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥-P ABC 中，PAB V 和ABC V 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD CD ×uuu r uuu r的最小值是 ．27.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ^，PA ^平面ABC ，AE PB ^于点E ，M 是AC 的中点，1PB =，则EP EM ×uuu r uuuu r的最小值为______．28.（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ×+uuu r uuur uuuu r的最小值为（ ）A ．32-B ．1-C ．D ．12-29.（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO 的底面半径为2，点P 为底面圆周上任意一点，点Q 为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP OQ ×uuu r uuu r的取值范围为（ ）A ．()4,4-B ．[]4,4-C ．()2,2-D ．[]22-,设r a ，r b 是非零向量，re 是单位向量，则①cos ,×=×=r r r r r r ra e e a a a e ；②0^Û×=r r r ra b a b ；③若a r 与b r 同向，则a b a b ×=r r r r ；若a r 与b r反向，则a b a b ×=-r r r r ．特别地，a a ×r r④cos ,×=×r rr r r r a b a b a b； ⑤×£×r r r r a b a b2、空间向量数量积性质的应用(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系．(2)利用公式||a =r;(3)利用公式cos ,||||a ba b a b ×<>=r rr r r r 可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;(4)|b |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |，此结论可用于求空间中的距离问题．题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题解题策略：1.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．2.利用向量法证明垂直关系的步骤第一步：将已知的几何问题转化为向量问题；第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量；第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0；第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论．30．（2024·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知1e u r ，2e u u r 为单位向量，且12e e ^u r u u r，若1223a e e =+r u r u u r，124a ke e =-r u r u u r ，a b ^r r ，则实数k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－331．（2024·江苏·高二专题练习）已知空间向量a r ，b r ，1a =ra b -r r 与a r 垂直，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．60oB ．30oC ．135oD ．45o32．（2024·高二课时练习）已知：如图，OB 是平面α的斜线，O 为斜足，AB a ^，A 为垂足，CD a Ì，且CD OA ^．求证：CD OB ^．33.（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，12CC =，1160C CB BCD C CD ÐÐÐ===o(1)求线段1CA 的长；(2)求证：111CA B D ^．34．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD pÐ=Ð=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；(3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ^．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体OABC 的棱长为2，点G 是OBC △的重心，点M 是线段AG 的中点.(1)用,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示OM uuuu r，并求出||OM uuuu r ；(2)求证：OM BC ^.题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)解题策略：求空间两点间的距离或线段长的方法(1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |推广为|a ±b |(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题．注：利用空间向量的数量积求距离(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．(2)应牢记并能熟练地应用公式|a ＋b ＋c |36．（2024·安徽·高二校联考开学考试）已知,a b r r均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，则2a b +=r r ______．37.（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量,,a b c r r r两两夹角为60°，且1a b c ===r r r ，则2a b c -+=r r r．38．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（ ）A ．2BC D 39．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AD BD AA ===，AD BD ^，145A AB °Ð=，160A AD °Ð=，则线段1BD 的长为______.40．（2024·天津·高二统考期末）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5AB =，4=AD ，3AA '=，60BAD BAA DAA ''Ð=Ð=Ð=°，则AC '的长为_______．41．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD Ð=Ð=°，线段1AC 的长度为，则cos DAB Ð=______．42．（2024·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB Ð=°，1160BAA DAA Ð=Ð=°，()112AE AC AC =+uuu r uuu r uuuu r，则AE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．43．（2024·高一课时练习）如图，二面角l a b --的平面角为120°，ÎA l ，B l Î，AC a Ì，BD b Ì，AC l ^，BD l ^，若1AB AC BD ===，则CD 长为（ ）A B C ．2D 44．（2024·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角AB a b --中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．45．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C --的大小为45o ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）A B C D 46．（2024·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD 中，60BAC Ð=°，45BAD CAD Ð=Ð=°，AD ，3AB AC ==.(1)求BC BD ×uuu r uuu r的值；(2)已知F 是线段CD 中点，点E 满足2EB AE =uuu r uuu r，求线段EF 的长.47.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体ABCD ，E 、F 分别为AB 、AC 中点，G 为靠近D 的三等分点．记a AB =r uuur ，b AC =r uuu r ．(1)c a tb =+r r r ，R t Î，求c r的最小值；题型八 利用空间向量的数量积求夹角（一）求两个向量的夹角解题策略：利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．48.（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知,a b r r是两个空间向量，若||2,||2a b ==r r ，||a b -r r ，则cos ,a b áñr r ＝ .49.（23-24高二上·广东东莞·月考）已知空间向量a r ，b r ，c r 满足0a b c -+=r r r r ，||,||,||a b c ===12r r ra r 与a b -r r的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°50.（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC pÐ=Ð=，则cos ,OA BC uuu r uuu r的值是（ ）A ．12B C ．12-D ．051．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为a ，设,,AB a AD b AA c '===uuu r uuu r uuur，则,A B B D '''=uuur uuuu r（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°52．（2024·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =uuuu r uuu r______．53．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB Ð=Ð=Ð=°，则1C AB Ð的余弦值是________.54.（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1AC AB AA ===22BC AE ==，则向量AE uuu r 与1AC uuur的夹角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°55．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥ABCD 中，E F ､分别在棱AB AD ､上，::1:2AE EB AF FD ==，且0CE BF ×=uuu r uuu r，则BAC Ð的余弦值为___________.（二）求异面直线所成角解题策略：注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．56．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA Ð=Ð=°，90BAD Ð=°，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（ ）A ．BC ．D 57.（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求1BD uuuu r 与AC uuu r所成角的余弦值.58．（2024·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，1160BAA CAA Ð=Ð=°，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．13C D （三）根据夹角求参数59．（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量,,2,1,,60a b a b a b °===r r r r r r ，则使向量a b l +r r 与2a b l -r r的夹角为钝角的实数l 的取值范围是____________．（1）向量a 在向量b 上的投影向量如图①，在空间，向量a r 向向量b r 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面a r内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b r 共线的向量c r ，cos ,bc a a b b=<>rr r r r r ，向量c r 称为向量a r 在向量br 上的投影向量。

空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。

1.1.3 空间向量的数量积运算同步练习一、单选题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则()⋅+a b c 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】B【解析】()0⋅+=⋅+⋅=a b c a b a c ．故选B ． 2．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|3|+=a b （ ） A ．7B ．10C ．13D ．4【答案】C【解析】因为,a b 均为单位向量，它们的夹角为π3， 所以222π|3|9619611cos13,3133+=++⋅=++⨯⨯⨯=∴+=a b a b a b a b ，故选C. 3．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD ⋅等于（ ）A ．－2B ．2C ．23-D ．3【答案】A 【解析】CD AD AC =-，()····022cos602AB CD AB AD AC AB AD AB AC ∴=-=-=-⨯⨯=-，故选A4．在正方体1111ABCD A B C D -中，有下列命题：①221()3AA AD AB AB ++=；②()11110AC A B A A ⋅-=；③1AD 与1A B 的夹角为60. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据数量积的定义知：①②正确，与的夹角为，∴③不正确，故选C.5．已知四面体A-BCD 的所有棱长都是2,点E,F 分别是AD,DC 的中点,则EF BA ⋅=（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．3-【答案】B【解析】由题意可得12EF AC =，所以1122cos120122EF BA AC BA ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-．故选B ． 6．已知正四面体ABCD 的棱长为2，则AB CD ⋅=（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【答案】B【解析】如图，取CD 中点E ，连接,AE BE ，则,CD AE CD BE ⊥⊥，AE BE E =，∴CD ⊥平面ABE ，于是有CD AB ⊥，∴0AB CD ⋅=．故选B.7．三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，90BAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，则AB CD ⋅等于（ ）A ．0B ．2C ．23-D ．3【答案】A【解析】因为90BAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，即AB AD ⊥，AB AC ⊥，所以0AB AD AB AC ==，()AB CD AB AD AC =-AB AD AB AC =-000=-=．故选A ． 8．若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则cos ,OA BC 的值为（ ）A ．12B．2C ．12-D ．0【答案】D【解析】依题意空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，设棱长均为a .而BC OC OB =-， 则()22cos cos033OA OC OB OA OC OA OB a a ππ⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅=所以()cos ,0OA OC OB OA BC OA BC OA BCOA BC⋅-⋅===⋅⋅.故选D9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A．2aB ．212a C ．214a D ．24a 【答案】C 【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅＝()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=．故选 C 10．已知a +b +c =0，|a |=2，|b |=3，|c |=4，则向量a 与b 之间的夹角a ＜，b ＞为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【答案】 D【解析】∵a +b +c =0，|a |=2，|b |=3，|c |=4，∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ； 令AB =c ，AC =b ，BC =a ，则△ABC 三边之长分别为BC =2，CA =3，AB =4；由余弦定理，得：cos ∠BCA =2222BC CA AB BC CA +-⋅=222234223+-⨯⨯=﹣14， 又向量BC 和CA 是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°﹣∠BCA ，∴cos ＜a ，b ＞=14， 即向量a 与b 之间的夹角a ＜，b ＞不是特殊角．故选D ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ）A ．221111111()3A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A ⋅-= C ．向量1AD 与1A B 的夹角是120D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD ⋅⋅【答案】D【解析】正方体1111ABCD A B C D -如图，由正方体的性质得1111111A A A D A B A D A A A C CD ++=++=, 222211111133C C B A A B A A ===，故A 正确；1111A B A A AB -=，由1AB BC ⊥，11AB A B ⊥可得1AB ⊥平面1A BC ，则11AB AC ⊥，所以110AC AB ⋅=即1111()0AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 由正方体性质可得11//AD BC ，易知11BC A △为等边三角形，所以1160A BC ∠=，所以向量1AD 与1A B 的夹角是120，故C 正确；因为1AB AA ⊥，所以1||0AB AA AD ⋅⋅=，故D 错误. 故选D.12．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 30B 6C 3D 6【答案】D【解析】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒， 设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=， 1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=.11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-， 所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111111112BC AA AC AB =+-=++--+=所以1111116cos 23AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⨯⋅， 故选D.二、填空题13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AD AA ==，2AB =，则1AC AC ⋅=_____．【答案】5【解析】由题意得()()115AC AC AB AD AA AD AB AD AD AB AB ⋅=++⋅+=⋅+⋅=．故填5 14．如图所示，在空间四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，3CD =，4BC =，M ，N 分别为AB ，AD的中点，则MN DC ⋅=________________．【答案】92-【解析】由题易知5BD =，3cos 5BDC ∠=，所以12MN DC BD DC⋅=⋅＝()119cos ,53cos π222BD DC BD DC BDC =⨯⨯⨯-∠=-．故填92-.15．四棱柱1111ABCD A B C D -中，11160,1A AB A AD DAB A A AB AD ∠=∠=∠=︒===，则1AC =__________．6【解析】11AC AB AD AA =++ ，所以()()2222111112AC AB AD AA AB AD AA AB AD AD AA AB AA =++=+++⋅+⋅+⋅1111211362⎛⎫=+++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭6.16．已知|a |=|b |=|c |=1,a +b +c =0,则a ·c +b ·c +a ·b =_____.【答案】3.2-【解析】设a c b c a b x ⋅+⋅+⋅=,则()()()2x a b c b c a c a b =+++++222||||3c a b =---=-.解得x=3.2-．故填32-. 17．已知：如图，在60︒的二面角的棱上有A B 、两点，直线AC BD 、分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直AB ，已知4,6,8AB AC BD ===，则CD =__________．【答案】217【解析】CD CA AB BD =++，所以()()222222CD CA AB BDCA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅，21636642068cos 011648683π⎛⎫=++++⨯⨯+=-= ⎪⎝⎭，所以217CD =，故填217.18．在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，又1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________．【答案】6【解析】由题意，画出平行六面体，连接1BC ，1AC ，则()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅，因为1AB =，1AD =，11AA =，1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒， 所以1111112cos 2cos 2cos 6AC BAD BAA DAA =+++∠+∠+∠=， 又221111112112cos 3BC AD AD AA AD AA AD AA DAA ==+=++⋅=++∠=，所以22211116cos 23261AC AB BC C AB AC AB +-∠===⨯⨯⨯⨯.故填63. 三、解答题19．在平行四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠D=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=6，求PC 的长.【解析】因为PC PA AD DC =++，所以|PC |2=2PC =(PA AD DC ++)2=|PA |2+|AD |2+|DC |2+2·PA AD +2·PA DC +2·AD DC =62+42+32+2|AD ||DC |cos 120°=61-12=49，所以|PC |=7，即PC=7.20．如图所示，已知P 是ABC △所在平面外一点，,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ABC △的垂心．【解析】∵,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，∴0PA PC ⋅=，0PB PC ⋅=，0PA PB ⋅=，PA ⊥平面PBC ，∴0PA BC ⋅=. 由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴0PH BC ⋅=，0PH AB ⋅=，0PH AC ⋅=，∴()0AH BC PH PA BC PH BC PA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=，∴AH BC ⊥. 同理可证BH AC ⊥，CH AB ⊥. ∴H 是ABC △的垂心．21．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求11AC DE 与所成角的余弦值.【解析】设正方体的棱长为1，AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则|a |=|b |=|c |=1，a ·b =b ·c =c ·a =0. ∵11AC AC AB AD ==+=a +b ，1111112DE DD D E DD D C =+=+=c +12a ，∴11·AC DE =(a +b )·12c a ⎛⎫+⎪⎝⎭=a ·c +b ·c +12a 2+12a ·b =12a 2=12.又∵|11AC 2，|DE 21512⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos <11,AC DE >=1111A C |A C ||DE|DE⋅=12522⨯10∴11AC DE 与10.22．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，2AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD △折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【解析】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>． 因为BD BA AC CD=++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>． 当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =； 当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =．综上，可知B ，D 之间的距离为14或6．。