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对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
ak ) ? 也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
若对(于ab三)c 个 a均(b不c).为对0于的向数量a,ba,,bc,,c,
(a
b)c
a(b
c)
成立吗？也就
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方
P
向向量的数量积为零即可！
适当取向量尝试看看！
O A a l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
证明：在直线l上取向量 a ,只要证 a PA 0
a PO 0 , a OA 0,
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
例1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F
分别是AB，OC的中点，试求OE, BF 所成角
的余弦值.
O
F
A
C
E
B
例 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的数
a
对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例.
不直能 时， ，例 有如a b向 量a ca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
| AC | 85.
P925..3已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b
A
B
解：∵ | CD |2 (CA AB BD)2
| CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ . a
a, b =0 时, a 与 b 同向; a, b =π 时, a 与 b 反向. b
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA
O A a l
0.
a PA,即l PA. 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p
q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
2
a
.
注：
性质②是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律 ⑴(a) b (a b)
⑵ a b b a (交换律)
⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
共面向量定理,有了!
证: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
A
C
0
B
OA BC
78、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的
长都等于a，点M、N 分别是边AB、CD的中点。 求证：MN AB，MN CD。
证明：因为 MN MA AD DN
A
AB MN AB (MA AD DN )
王新敞 奎屯
解：∵ CD BD BC ， ∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
67、、已知空间四边形OABC，OB OC， AOB AOC ，求证：OA BC
证明：因为OA BC OA (OC OB)
O OA OC OA OB
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D' A'
D A
B'
C B
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
CD a2 b2 c2
5.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
(3) EF DC (4) EF AC E
F
B
D
C
P92.2
ABCD ABCD AB 4
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D ④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
a b 的几何意义
A
a A1
B1
b
数量积
a
b
等于
a
的长度
a
B 与b
在
a
的方向上的投影 b cos 的乘积.
3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
MD BN CAB MA AB AB AB DN
1 a2 1 a2 1 AB (BC BD) 222
0 MN AB
同理，MN CD
复习：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
回顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
