1.1.2 空间向量的数量积运算

1.1.2 空间向量的数量积运算（基础知识+基本题型）知识点一 空间向量的夹角 1．概念如图3.1-26，已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.2．范围[],0,a b π<>∈． 3．特别地，如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点：(1)由概念，知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故,0a b <>=(或π)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0∥a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．(3)对空间任意两个向量,a b ，有；①,,,a b a b b a <>=<-->=<-->；②,,,a b a b a b π<->=<->=-<>；③AB AC BACA AB AC π<>=<>=-<>．．．．拓展若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 知识点二 空间向量的数量积定义已知两个非零向量,a b ，则||||cos ,a b a b <>叫做向量,a b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>.零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.几何意义向量,a b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 的方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.运算律()()a b a b λλ⋅=⋅a b b a ⋅=⋅（交换律）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）1． 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：(1)向量,a b 的数量积记为a b ⋅．而不能表示为a b ⨯或ab ;(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：当θ为锐角时，a b ⋅>0，但当a b ⋅>0时， θ也可能为0；当θ为钝角时．a b ⋅<0，但当a b ⋅<0时，θ也可能为π：(3)当θ≠0时， a b ⋅=0不能推出b 一定是零向量，这是因为对于任一个与a 垂直的非零向量b ．都有a b ⋅=0．2． 在考向量数量积的运算律时，要准确区分两向量的数量积与向量的数乘 、实数与实数的乘积之问的差异.（1）向量的数量积的运算不满足消去律，即a b ⋅=b c ⋅推不出a c =， （2）向量数量积的运算不满足结合律，即()a b c ⋅⋅不一定等于()a b c ⋅ ． （3）向量数量积的运算不满足除法，即对于向量a b ⋅，若a b ⋅=k ，不能得到k a b =（或kb a=）．例如，当非零向量a b ⋅垂直时，a b ⋅=0，但0a b=显然是不正确的．知识点三 空间向量数量积的性质若,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ为a 与e 夹角，则： (l) cos e a a e a θ⋅=⋅=. (2) 0a b a b ⊥⇔⋅=(3)若a 与b 同向，则a b a b ⋅=；若a 与b 反向，则a b a b ⋅=-．特别地，2=a a a a a a ⋅=⋅或． (4)若θ为a 与b 的夹角．则cos =a b a bθ⋅.(5)a b a b ⋅≤. 拓展空间向量数量积的性质可以看作数量积的定义的．引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具解决立体几何中与夹角和距离有关的问题．例如．（1）求空间中两点间的距离或线段的长度，可以理解为求解为求相应线段所对应的向量的模． (2)求空间中两条直线的夹角（特别是两条异面直线所成的角），即求这两条直线所对应的两个向量的夹角或其补角．(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零来说明这两条直线垂直．考点一 空间向量数量积的运算问题例1 已知向量,a b 之间的夹角为30，且a =3，b =4，求22,,,(2)()a b a b a b a b ⋅+⋅-．解：0cos ,34cos3063a b a b a b ⋅==⨯⨯=，229a a a a =⋅==，2216b b b b =⋅==22(2)()2963326323a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=+-=-总结：有关向量数量积的运算应注意的问题：⑴要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数． ⑵书写规范：不能写成a b ⨯，也不能写成ab ． ⑶向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律．(4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．考点二 利用向量的数量积求角例2如图3．1—30．在正方体1111ABCD A B C D -中，求向量1BC 与AC 的夹角的大小．解：方法1：因为11AD BC =，所以1CAD ∠的大小就等于1,BC AC因为△1CAD 为等边三角形，所以0160CAD ∠=，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒． 方法2．设正方体的棱长为1，()()()()111BCAC BCCC AB BC AD AA AB AD ⋅=+⋅+=+⋅+ 222110001AD AB AD AA AB AA AD AD AD =⋅++⋅+⋅=+++==又因为12,2BC AC ==，所以cos 11111,222BC AC BC AC BC AC⋅===⨯⋅， 因为[]1,0,BC AC π∈，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒．求两个向量的夹角有两种方法：⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；⑵先求a b ⋅，再利用公式cos ,a b a b a b⋅<>=，求cos ,a b <>，最后确定,a b <>．考点三 利用向量的数量积求距离例 3 已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，且与α所成的角是30︒，如果,AB a AC BD b ===，求C ，D 间的距离．解：如图，由AC α⊥，知AC AB ⊥，过点D 作'DD α⊥于点'D ，连接'BD ，则'30,,120DBD CA BD ∠=︒=︒，所以22||()CD CD CD CA AB BD ==++2||CA =+22222222||||2222cos120AB BD CA AB CA BD AB BD b a b b a b ++++=+++︒=+故22CD a b =+．总结：（1）线段长度的计算通常有两种方法：一是构建三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量（一般向几何体的棱上转化）．（2）应牢记并能熟练地考公式2222||()||||||222a b c a b c a b c a c a b b c ++=++=+++++．考点四 利用向量的数量积证明垂直例4 如图，在四面体O ABC -中，M,N,P,Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：PM QN ⊥．分析：欲证PM QN ⊥，只要证明0PM QN =，需将PM QN 用其他向量表示后再进行计算． 证明：如图3．1-34，连接OM ，设,,OA a OB b OC c ===．因为P ，M 分别为OA ，BC 的中点，所以111()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．同理，连接ON ，所以111()[()]222QN a c b b a c =+-=--+．所以22111[()]{[()]}(||||)224PM QN b a c b a c b a c =-+⋅--+=---．又因为AB OC =，所以||||b a c -=所以0PM QN =，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．。

1.1.2 空间向量的数量积运算学习目标 1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 导语在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．一、空间向量的夹角 知识梳理定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b例1 (1)对于空间任意两个非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“〈a ，b 〉＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 显然〈a ，b 〉＝0⇒a ∥b ，但a ∥b 包括向量a ，b 同向共线和反向共线两种情况，即当a ∥b 时，〈a ，b 〉＝0或π，因此a ∥b ⇏〈a ，b 〉＝0.故“a ∥b ”是“〈a ，b 〉＝0”的必要不充分条件．(2)如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求向量AC →分别与向量A ′B ′——→，B ′A ′——→，AD ′—→，CD ′—→，B ′D ′——→的夹角．解 连接BD (图略)，则在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ⊥BD ，∠BAC ＝45°，AC ＝AD ′＝CD ′， 所以〈AC →，A ′B ′——→〉＝〈AC →，AB →〉＝45°，〈AC →，B ′A ′——→〉＝180°－〈AC →，AB →〉＝135°，〈AC →，AD ′→〉＝∠D ′AC ＝60°，〈AC →，CD ′—→〉＝180°－〈CA →，CD ′—→〉＝180°－60°＝120°，〈AC →，B ′D ′——→〉＝〈AC →，BD →〉＝90°.反思感悟 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a ，b 有：①〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉；②〈－a ，b 〉＝〈a ，－b 〉；③〈－a ，－b 〉＝〈a ，b 〉．跟踪训练1 在正四面体ABCD 中，BC →与CD →的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 D解析 〈BC →，CD →〉＝180°－〈CB →，CD →〉＝180°－60°＝120°. 二、空间向量的数量积运算 知识梳理1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∈R交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b |b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图②)． (2)如图③，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′——→，向量A ′B ′——→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′——→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．注意点：(1)向量a ，b 的数量积记为a ·b ，而不能表示为a ×b 或者ab .(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a ·b >0；但当a ·b >0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a ·b <0；但当a ·b <0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．例2 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →|·|BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1·cos 60°＝14， 所以EF →·BA →＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos 〈BD →，BD →〉＝12×1×1·cos 0°＝12，所以EF →·BD →＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1·cos 120°＝－14，所以EF →·DC →＝－14.(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14×⎝⎛⎭⎫－12－12＋12－12＋12＝－18.反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确． 跟踪训练2 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32＋12＋422＝－13.三、利用空间向量数量积的性质求模长问题 类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质． 提示 (1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (2)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2；(3)若a ，b 为非零向量，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |；(4)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ，b 共线时等号成立)．例3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段．又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长．解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴〈CA →，BD →〉＝120°.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)·(CA →＋AB →＋BD →)＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×⎝⎛⎭⎫－12＝68， ∴|CD →|＝217，故CD 的长为217. 反思感悟 用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点间的连线用向量表示； (2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |.跟踪训练3 已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝AD ＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC 1的长为( ) A ．6 B. 6 C ．3 D. 3 答案 B解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a|＝|b |＝|c |＝1，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 因此a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.由AC 1→＝a ＋b ＋c ，得|AC 1→|2＝AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝6.所以|AC 1→|＝ 6.1．知识清单：(1)空间向量的夹角、投影． (2)空间向量数量积、性质及运算律． 2．方法归纳：化归转化． 3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a ≠0时，由a ·b ＝0可得a ⊥b 或b ＝0．1．(多选)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )A.AB →与A 1C 1—→B.AB →与C 1A 1—→C.BC →与C 1B —→D.BC →与AD 1→答案 AD2．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12D ．0答案 D解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0， 所以OA →⊥BC →.所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.3．若a ，b 为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a －b |＝________. 答案 1解析 |a －b |2＝(a －b )2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1. ∴|a －b |＝1.4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C —→与A 1P —→所成角的大小为________，B 1C —→·A 1P —→＝________.答案 60° 1解析 方法一 连接A 1D (图略)，则∠P A 1D 就是B 1C —→与A 1P —→所成的角，连接PD ， 在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2， 即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°， 即B 1C —→与A 1P —→所成角的大小为60°， 因此B 1C —→·A 1P —→＝2×2×cos 60°＝1. 方法二 根据向量的线性运算可得B 1C —→·A 1P —→＝(A 1A —→＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2， 则2×2×cos 〈B 1C —→，A 1P —→〉＝1， 从而〈B 1C —→，A 1P —→〉＝60°.。

r r的投影．所成的角．量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在的乘积或等于br 的长度||b r 与a r 在b r方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积、数量积的运算：()a b ×r r，R λÎ.A ．1-B ．1【答案】B【详解】由题意得1BD BA =uuuu r uuu r 则11(BD AC AD AB AA ×=-+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur 1111cos6011cos60=-+´´+´´o B故12EF DC BD DC ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r 故答案为：14-【变式1】（2024秋·浙江绍兴AB AM ×=uuu r uuuu r（ ）【答案】2,22éùêúëû【详解】由已知E 为棱1B C 因为111AE AB B E AB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以(AE AC AB BB ×=++u u u r u u u r u u u r u u u r 【答案】18-/-0.125因PA^平面ABC，BC 则BC^平面PAB，又【答案】66.【详解】记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，1AA =uuur 12a b b c a c \×=×=×=r r r r r r ，BD b c a =+-uuuu r r r r Q ，AC a b =+uuu r r r ，(1)求EF uuu r的模长；(2)求EF uuu r ，GH uuur的夹角【答案】(1)22；（1）1AC 的长；【答案】22【详解】棱长为1的正方体ABCD 所以1111AB A C A C =×uuu r uuuu ruuuu r 11cos ,AB A C AB ×uuu r uuuu r uuu 向量 AB uuu r在向量 11AC uuuu r 方向上的投影向量是uuu r uuuu r uuuu r uuuu r【答案】32 BC uuu r【详解】PA^Q平面ABC，则PA BC^，()PC BC PA AB BC BC ×=++×= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r向量uuu r在uuu r上的投影向量为【典例2】（2024春·,,60a c b c ==°r r r r，则A ．5B 【答案】D【详解】因为a b ^r r ，(1)用,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示OM uuuu r，并求出(2)求证：OM BC ^.【答案】(1)1126OM OA OB =+uuuu r uuu r uuu r (2)证明见解析【详解】（1）因为点G 是OBC △(1)EF ^平面11BB D D ；(2)平面1EFB ^平面11C D M 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）正方体ABCD(1)求线段1CA 的长；(2)求证：111CA B D ^．【答案】(1)11(2)证明见解析【详解】（1）设,CD a CB =uuu r r uuu r (1)求A B '和B C '的夹角；(2)求证：A A B C ''^．【答案】(1)60°(2)证明见解析【详解】（1）AB a uuu r r=，AD uuu r则(1PA PC PO ×=+uuu r uuuu r uuu r uuu Q 当P 为侧面1ABB 又11122OA AC ==uuu r uuuu r【详解】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF 内切球半径为r ，取EF 中点为G ，13142-=,12333DO DG ==0DEF O CDE O CDF CEF V V V V ---=+++11143DEF DEF CO S OO ´=´´△△，所以设外接球球心为O，则uuuu r uuu r uuuu22=-=|||||MO OE MO由于点M在正方体的棱上运动即为正方体面对角线的一半，为uuur uuur的最小值为由题知，22216,9,AB AD AA '===uuu r uuu r uuur 43cos900AB AD ×=´´°=uuu r uuu r，AB AA ×uuu r uuur 1535cos 602AD AA '×=´´°=uuu r uuur .AC AB AD AA ''=++uuuu r uuu r uuu r uuur Q ，A ．14-【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()(1122P P C P A PB PA =××+=uuur uuu r uuu r uuu r uuuA．4B．5【详解】AM ，由棱柱性质，侧棱1AA ^2211415AA A M +=+=，又()()(1122AN AM AN AM =+×-=uuu r uuuu r uuu r uuuu rA ．112333MN a b c=++uuuu r r r r C ．111A B A C ^uuur uuuu r【答案】BD【详解】因为12BM A M =，1C N =11uuuur uuur uuu r uuurA. 由向量的加法运算得1A A uuur 确；B. 正方体的性质易知1A C ^C. 因为11A BC V 是等边三角形，且D. 由正方体的性质得过1,A D【答案】9【详解】因为1BB ^平面ABC 所以，(1EF BB EA AA ×=+uuu r uuur uuu r uuur 211111122BA BB BB A C =×++uuur uuur uuur uuuu r 故答案为：9.12．（2024秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体【答案】12+/21+【详解】向量的拆分，11112D E AE AD AA =-=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r 122cos 23AA AB AD p =×=´´=u r u u u r u u u r ，22211124AB AA AD AB AA ++-×-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】AB uuu r，2a 【详解】因为PC AB ×uuu r uuu 又||AB a =uuu r，所以PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量为：uuu r uuu r uuu r 【答案】证明见解析【详解】因为CD OA ^，所以因为AB α^，CD αÌ，所以又OA AB OB +=uuu r uuu r uuu r，所以CD OB ×uuu r uuuA ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ^，DF AC ^，Q 在矩形,1,3ABCD AB BC ==，\Q ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC \×=32BE DF \==，则1AE CF ==，即211EF =-=，(1)试用向量,,a b c r r r 表示向量OE uuu r；(2)若4,3,OA OC OB AOC Ð===【答案】(1)111236OE a b c =++uuu r r r r；(2)83-.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以(1)确定PC uuu r在平面ABC (2)确定PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量，并求【答案】(1)PC uuu r在平面(2)PC uuu r 在AB uuu r 上的投影向量为【详解】（1）因为A ．1111AB AC AD D B ´=´uuur uuu r uuuu r uuuur C ．111A C A D ´uuuu r uuuu r 与1BD uuuu r 共线【答案】ACD【详解】设正方体棱长为1，3．（2024春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角uuu r uuu r uuu r【答案】10【详解】作母线CEAF CE，所以因为//EC^平面ABC，又由已知得AC^所以BC^平面ACEF5．（2024春·江苏常州Ð=Ð形，且1C CB【答案】1【详解】解：如图所示：设1,0CD x x CC =>，11CC =，则因为1A C ^平面1C BD ，11,C B C D Ì平面1C BD ，所以11C D C C CD =+u u u u r u u u u r u u u r ，11A C A =u u u r u u 由110A C C D ×=u u u r u u u u r ，得(AD +u u u r。